Zahlensysteme - Mathematik, Uni

Zahldarstellung im System zur Basis n
Am Anfang steht die Division mit Rest.
Wir gehen aus von den nicht-negativen ganzen Zahlen und benutzen die Notation ℕ0 := ℕ∪{0} .
Sind a , b∈ℕ0 , b0 , so gibt es eindeutig bestimmte Elemente q , r ∈ℕ0 mit rb und
a=qbr .
Die Eindeutigkeit einer solchen Darstellung beweist man zuerst.
Seien a=qbr und a=q ' br ' .
Wäre q≠q ' , so gehen wir oBdA aus von qq ' . Dann gibt es ein x∈ℕ mit q x=q ' .
Also a=q xbr ' =qb xbr ' =qb xbr '  . Daraus folgt r= xbr ' b , und dies ist
ein Widerspruch zur Voraussetzung rb .
Also gilt schon einmal q=q ' . Setzt man jetzt x=qb , so erhalten wir a= xr= xr ' , und
es folgt auch r=r '
Die Existenz läßt sich durch Induktion über a beweisen:
Induktionsbeginn a=0 :
Ist b∈ N beliebig, so gilt 0=0⋅b0 , d.h. es gibt eine entsprechende Darstellung von a .
Induktionsvoraussetzung: Für a∈ℕ0 gilt:
Zu gegebenem b∈ℕ gibt es q , r ∈ℕ0 mit rb und a=qbr .
Zu zeigen ist jetzt:
Auch a+1 besitzt eine entsprechende Darstellung.
Man erhält zunächst a1=qbr1 .
Wegen rb ist r1b1 , d.h. es gibt ein x∈ℕ mit r1 x=b1 .
Ist x=1 , so folgt r1=b , also a1=qbb=q1b0 .
Ist x≠1 , so gibt es ein y ∈ℕ mit y1= x , also r1 y1=b1 , also r1 y=b ,
also r1b .
In beiden Fällen erhalten wir daher eine Darstellung a1=q ' br ' mit r ' b .
Man wählt jetzt eine „Basis“ n∈ℕ
n2
m
Jedes k ∈ℕ0 besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung k =∑ a i ni mit 0a i n und
i=0
a m≠0 .
Die Eindeutigkeit zeigt man wieder zuerst.
Falls sie nicht gilt, gibt es eine kleinste natürliche Zahl k mit verschiedenen Darstellungen
m
m'

m
k =∑ a i ni , k =∑ bi ni . Damit ist k =∑ a i ni a 0=
i=0
i=0
i=1

m−1
∑ 
∑ ai1 ni na0=
i=0
m' −1
i=0
bi1 ni nb0
Die Eindeutigkeit der Division mit Rest erzwingt zunächst a 0=b0
und
m−1
m' −1
i=0
i=0
∑ a i1 ni = ∑ bi1 ni
. Diese Zahl ist aber kleiner als k , und die Darstellungen links und
rechts vom Gleichheitszeichen müssen verschieden sein: dies widerspricht der Wahl von k als
kleinster Zahl mit verschiedenen Darstellungen.
Die Existenz einer Darstellung erhalten wir ähnlich:
Wir nehmen an, es gäbe Zahlen, die keine solche besitzen.
m
Dann gibt es eine kleinste Zahl k, die sich nicht in der Form k =∑ a i ni darstellen läßt.
i=0
Nun läßt sich schreiben k =qna 0 .
m'
Man zeigt leicht, daß qk ; daher q=∑ bi n und
i=0
i
m ' 1
k = ∑ b i−1 ni a 0 .
i=1
Mit a i := bi−1 und m=m ' 1 haben wir k in der gewünschten Form.
m
1 Eine Summe
∑ si
i=n
mit mn setzt man gleich 0 .
1
.