Offene Systeme

Offene Systeme - Aufgaben
Offene Systeme
Fallende Kugel
3
Eine Bleikugel (Durchmesser 10 cm, Dichte 11.34 kg/dm ) fällt aus grosser Höhe in Luft (Dichte 1.2
3
kg/m ).
1. Welche Geschwindigkeit wird die Kugel erreichen?
2. Wie gross ist die Beschleunigung der Kugel, wenn sie die Hälfte der Endgeschwindigkeit
erreicht hat?
3
3. Welchen Durchmesser müsste eine Holzkugel (Dichte 0.756 kg/dm ) aufweisen, damit sie die
gleiche Endgeschwindigkeit wie die Bleikugel erreichen könnte?
Hinweis: Eine Kugel hat einen Widerstandsbeiwert von 0.4.
Sprung aus Flugzeug
Bei einem Fallschirmspringer (Masse 70 kg), der schon längere Zeit mit ungeöffnetem Schirm gefallen
3
ist, wird bei einer Luftdichte von 1 kg/m eine konstante Fallgeschwindigkeit von 216 km/h gemessen.
1. Wie gross ist die wirksame Querschnittfläche (Widerstandsbeiwert mal Querschnitt) bei
diesem Springer?
2. Wie tief muss der Springer etwa gefallen sein, bis er die Endgeschwindigkeit erreicht hat?
3. Wie lang dürfte diese Flugphase etwa dauern?
Hinweis: Erste Hinweise auf diese Fragen liefert das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Mit einem SDModell, das in wenigen Minuten erstellt werden kann, lassen sich die zwei letzten Fragen recht genau
beantworten.
Gleitflug
23. Juli 1983 ging einer Boeing 767-200 der Air Canada (Flug 143 von Montreal nach Edmonton)
während des Fluges auf halbem Weg in einer Höhe von 40.000 Fuss der Treibstoff aus. Anfangs
hoffte man noch bis Winnipeg gleiten zu können, was sich dann als nicht machbar erwies. Den Piloten
gelang eine sichere Notlandung im Gleitflug auf dem Gimli Industrial Park Airport. Die Ursache für den
Treibstoffmangel war eine falsche Umrechnung der Treibstoffmenge von Liter in Pfund. Alle 69
Passagiere und Besatzungsmitglieder haben diesen Notfall unverletzt überlebt. Die 132 Tonnen
schwere Boeing 767 verlor in den ersten 2.5 Minuten (150 s) auf 10 Meilen (18.52 km)
Horizontaldistanz bereits 5.000 ft (1524 m) Höhe, was eine Gleitzahl von annähernd 1:12 (0.0822)
ergibt.
1. Mit welcher Kraft hat die umgebende Luft während der ersten Phase des gleichförmigen
Gleitfluges auf das Flugzeug eingewirkt?
2. Wie gross sind bei diesem Gleitflug der Luftwiderstand und der dynamische Auftrieb
gewesen?
3. Welche Leistung ist in dieser Phase vom Flugzeug dissipiert worden?
4. Woher hat das Flugzeug diese Energie bezogen?
Steigflug
Ein Flugzeug (Masse 12 t) steigt mit einer Geschwindigkeit von 324 km/h und einer Rate von 10 m/s
auf.
1. Ist beim gleichförmigen Steigflug die Auftriebskraft grösser, kleiner oder gleich der
Gewichtskraft?
2. Wie gross ist der dynamische Auftrieb unter den gegebenen Bedingungen?
3. Die Schubkraft beträgt 25% der Gewichtskraft. Wie gross ist der Luftwiderstand?
1
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4. Die Luft hat bei gegebener Temperatur und gegebenem Druck eine Dichte von 1.1 kg/m . Wie
gross muss die Tragfläche bei einem Auftriebsbeiwert von 1.1 sein?
5. Wie gross ist der Widerstandsbeiwert?
Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass die Anströmung parallel zur Achse des Flugzeuges
erfolgt, dass Schubkraft und Luftwiderstand kollinear sind.
Energieumsatz bei Rohrleitung
In einer bestimmten Stelle einer Wasserleitung (Durchmesser 70 mm) beträgt der Druck 2.5 bar bei
einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit von 1.5 m/s. Zwei Meter tiefer fliesst das Wasser in einer
grösseren Leitung (Durchmesser 250 mm) bei einem Druck von 2.2 bar wieder zurück.
Wie viel Energie setzt das Wasser zwischen den zwei Querschnittflächen pro Sekunde um?
Lösungshinweis: Das Wasser führt drei Energieströme (Gravitationsenergie, Bewegungsenergie und
Druckenergie). Die Differenz des totalen Energiestromes zwischen Vor- und Rücklauf ergibt die
gesuchte Prozessleistung.
Jet d´Eau
Der Jet d'Eau (franz.= Wasserstrahl) ist ein bis zu 140 Meter hoher Springbrunnen und das
Wahrzeichen der Stadt Genf. Ursprünglich war die Fontäne nur wenige Meter hoch und diente als
Überdruckventil für die 1885 erbaute Druckwasserleitung der Genfer Juweliere, die damit ihre
Maschinen betrieben. Durch die Fontäne wurden unerwünschte Druckspitzen bei
Arbeitsunterbrechungen aufgefangen.
1891 beschloss die Stadt Genf, den Wasserdruck zu erhöhen und die Fontäne zu beleuchten. Mit
zwei Pumpaggregaten werden seitdem 500 Liter Wasser pro Sekunde ausgestossen.
1. Mit welcher Geschwindigkeit strömt das Wasser durch die Düse des Springbrunnens (der
Luftwiderstand ist zu vernachlässigen)?
2. Welchen Durchmesser weist die Düse auf?
3. Wie viel Wasser enthält der Wasserstrahl (Minimalwert abschätzen)?
4. Welche minimale Leistung müssen die beiden Pumpaggregate gemeinsam an das Wasser
abgeben?
Staurohr
Ein Pilot bekommt über seinen Fahrtmesser die indicated air speed (IAS) angezeigt. Diese wird mit
Hilfe eines Staurohres bestimmt.
1. Wie wird diese "Geschwindigkeit" ermittelt?
2. Welche Annahmen müssen zutreffen, damit die Formel, mit der die angezeigte
Geschwindigkeit gegen Luft berechnet wird, auch korrekt ist?
3. Wieso liefert die indicated air speed wichtige Hinweise auf die Flugeigenschaften.
Venturirohr
Das Venturirohr kommt bei langsameren Flugzeugen zum Einsatz, um die Geschwindigkeit des
Flugzeuges gegen die umgebende Luft zu bestimmen. Der Unterdruck im Venturirohr kann
betragsmässig bis zu dreimal grösser als der Überdruck bei einem Staurohr gemacht werden (bei
gleicher Anströmgeschwindigkeit).
1. Wie gross ist der Überdruck bei einem Staurohr, wenn sich das Flugzeug mit einer
3
Geschwindigkeit von 180 km/h gegen die Luft (Dichte 1.2, kg/m ) bewegt?
2. Um welchen Prozentsatz muss sich der Querschnitt bei einem Venturirohr verengen, damit
der Unterdruck gleich gross wie der Überdruck bei einem Staurohr ist?
2
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Wanne mit Abfluss
Im Boden einer grossen, flachen Wanne ist ein
vertikales, drei Meter langes Abflussrohr mit einem
Durchmesser von 5 cm angebracht, das sich zuunterst
auf 3 cm verjüngt. Die Wanne ist im Moment ein Meter
hoch mit Wasser gefüllt. Der Luftdruck beträgt 920
mbar.
1. Wie stark ist der abfliessende Volumenstrom,
wenn jeglich Rohrreibung vernachlässigt
werden kann?
2. Wie gross ist der Absolutdruck im fliessenden
Wasser zwei Meter oberhalb der
Ausflussöffnung, d.h ein Meter unterhalb des
Wannenbodens?
Lösungshinweis:
•
•
Die Energiebilanz (Ausflussgesetz von
Torricelli) und die Kontinuitätsgleichung für
das Volumen liefern die gesuchte
Stromstärke.
Indem man das Gesetz von Bernoulli auf
einen dritten Punkt (im Rohr zwei Meter
oberhalb der Ausflussöffnung) anwendet,
erhält man den gesuchten Druck.
Wasseruhr
Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche
Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. Wasseruhren sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr.
(Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra"
(Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns
erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus
einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnungen dicht über dem Boden. Die
Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels
die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.
Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus
der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei
der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der
untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel
gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand
angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein
gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser
Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende
ihrer Laufzeit erheblich nach.
Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des
Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die
Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet
man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit c, so gilt die Kontinuitätsgleichung für das Gebiet
zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius r) und Ausflussloch (Radisu r0)
3
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Die Geschwindigkeit v berechnet sich nach dem Ausflussgesetz von Torricelli
Löst man nun die Kontinuitätsgleichung nach der Höhe auf, erhält man
Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür
liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die
Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige
Energiebilanz nach dem Gesetz von Bernoulli bei
Wasserspiegel:
Ausfluss:
Setzt man die beiden Bernoulli-Terme gleich und löst nach v auf, erhält man eine gegenüber Torricelli
erweiterte Formel für den Ausfluss
Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach h aufgelöst ergibt
Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der
Parabel um die Systemkonstante
Torricelli.
tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von
[bearbeiten]
Aufgabenstellung
Eine Wasseruhr soll 24 Stunden laufen, bis sie leer ist. Die Ausflussöffnung, die sich auf der
Symmetrieachse des Gefässes befindet, hat einen Durchmesser von 5 mm (Radius 2.5 mm).
Anfänglich liegt der Wasserspiegel 864 mm über der Abflussöffnung.
1. Welchen Durchmesser weist der Wasserspiegel zu Beginn der Zeitmessung auf?
2. Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?
3. Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden?
Impulstransport im Rohr
In einem sich Rohr, das sich von 35 mm auf 25 mm verjüngt, strömt eine Flüssigkeit (Dichte 0.85
kg/Liter) mit einer Volumenstromstärke von 2 Liter/s in x-Richtung. Bei der ersten Querschnittsfläche
herrsche ein Absolutdruck von 15 kPa.
1.
2.
3.
4.
Wie gross sind die Strömungsgeschwindigkeiten bei den beiden Querschnittsflächen?
Wie gross ist der Druck bei der zweiten Fläche?
Wie viel x-Impuls wird gesamthaft durch die beiden Querschnittsflächen transportiert?
Wo geht der fehlende Impuls durch?
4
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Lösungshinweis: Der Druck bei der zweiten Fläche berechnet sich aus der Energiebilanz (Bernoulli).
Der Impuls wird leitungsartig und konvektiv durch den offenen Querschnitt transportiert.
Kraft auf Rohr
Aus einem um 180° gebogenen Rohrstück (Durchmesser am Anfang des Rohrstückes 10 cm) ergiesst
sich ein 5 cm dicker Wasserstrahl mit einer Austrittsgeschwindigkeit von 10 m/s ins Freie.
1. Wie gross ist der Überdruck bei der Eintrittsstelle zu diesem Rohrstück?
2. Mit welcher Kraft muss das Rohr fesgehalten werden?
Lösungshinweis: Die Energiebilanz (Bernoulli) liefert zusammen mit der Volumenbilanz
(Kontinuitätsgleichung) den Überdruck bei der Eintrittsfläche. Die Kraft ergibt sich aus der
Impulsbilanz.
Abfüllwaage
Aus einer grossen, flachen Wanne, die ein Meter hoch mit Wasser gefüllt ist, ergiesst
sich durch ein Loch im Boden ein Wasserstrahl in ein Becherglas (Innendurchmesser
10 cm, Masse 2 kg), das auf einer Waage steht. Der Strahl hat einen Durchmesser
von 2 cm (direkt beim Ausfluss gemessen) und der Wasserspiegel des Becherglases
liege im Moment vierzig Zentimeter unterhalb des Wannenbodens.
1. Was zeigt die Waage bei einem Füllstand von 20 cm an?
2. Der Boden des Becherglases weise ein Loch auf, das genau so gross ist, dass
der Wasserspiegel im Becherglas weder steigt noch fällt. Mit welcher Kraft
muss nun das Becherglas festgehalten werden?
Lösungshinweis: Ausflussgeschwindigkeit kann mit Hilfe der Energiebilanz
(Torricelli) berechnet werden. Kräfte sind Teil der Impulsbilanz.
Güterwagen beladen
Ein Güterwagen (Masse 15 t) wird in zwölf Sekunden mit 24 Tonnen Schüttgut beladen. Das
Schüttgut, das aus einem Silo senkrecht nach unten fällt, trifft mit einer mittleren Geschwindigkeit von
10 m/s auf der Ladefläche des Güterwagens auf. Die an den Rädern wirkende Reibkraft macht 4% der
Normalkraft aus.
Wie stark muss am Wagen gezogen werden, damit dieser mit einer Geschwindigkeit von einem Meter
pro Sekunde unter dem Silo durchfährt? Geben Sie den Verlauf der Kraft für die ganzen zwölf
Sekunden an.
Lösungshinweis: Impulsbilanz für die vertikale und horizontale Richtung aufstellen.
Rakete im Gravitationsfeld
Eine Rakete (momentane Masse 25 Tonnen) bewegt sich mit 5 km/s radial von der Erde weg. Die
Gravitationsfeldstärke beträgt am Ort der Rakete 9 N/kg. Die Gase strömen mit einer
Massenstromstärke von 200 kg/s und einer Geschwindigkeit von 3700 m/s zum Triebwerk hinaus.
1.
2.
3.
4.
Formulieren Sie die Impuls- und die Massenbilanz bezüglich des Systems Rakete.
Berechnen Sie die momentane Impulsänderungsrate der Rakete.
Wie gross ist die Beschleunigung der Rakete?
Wieso ist die Beschleunigung positiv, obwohl der Impulsinhalt abnimmt?
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Lösungshinweis: Die Rakete tauscht mit dem Gravitationsfeld und über das ausströmende Gas
Impuls aus. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes ist gleich Geschwindigkeit des Gases
bezüglich des Beobachters mal Massenstromstärke.
Mantelstromtriebwerk
3
Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 900 km/h durch die Luft (Dichte 0.85 kg/m ). Der
Eintrittsdurchmesser des Zweistrom-Strahltriebwerkes (Turbofan) beträgt 2 m und für das
Massenverhältnis der Mantel- zur Düsenströmung ist gleich 4:1. Die Austrittsgeschwindigkeit der
Mantelströmung liegt 25% höher als die Anströmgeschwindigkeit, die Austrittsgeschwindigkeit der
heissen Gase an der Düse ist doppelt so gross wie die Anströmgeschwindigkeit.
Wie gross ist die Schubkraft des Triebwerkes?
Lösungshinweis: Die resultierende Druckkraft auf das Triebwerk ist nicht zu berücksichtigen.
Hubschrauber auf Waage
Ein Modell-Hubschrauber (Masse 500 g), der sich in einem luftdichten Glaskasten befindet, hebt vom
Boden ab, fliegt hoch, bleibt einen Moment in der Luft schweben und landet dann wieder. Der
Glaskasten steht auf einer Waage mit elektronischer Anzeige. Die Waage ist so skaliert, dass sie das
Gewicht des Glaskastens nicht anzeigt (wie die Waage in der Mensa, die nur das Gewicht des Salates
ohne Teller misst)?
1. Was zeigt die Waage in den
verschiedenen Flugphasen
an? Argumentieren Sie mit
mehr, gleich oder weniger
als das Gewicht des
Hubschraubers.
2. Untenstehend das
hypothetische Höhen-ZeitDiagramm des
Hubschrauberfluges (weil in
bodennähe ein
Hubschrauber infolge des
Abwindes Probleme mit der
Stabilität hat, ist ein
dermassen ruhiges
Abheben kaum möglich).
Was zeigt die Waage zu
den Zeitpunkten 0.1 s, 0.5
s, 1 s, 1.5 s und 1.9 s an?
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Lösungen
Offene Systeme
Fallende Kugel
Der statische Auftrieb wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines
Stoffes schon berücksichtigt ist.
1. Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, falls der Impuls der Kugel nicht mehr zunimmt, falls der
gravitativ zufliessende Impuls vollständig an die Luft abgeleitet wird. Dann halten die
Gewichtskraft und der Strömungswiderstand die Kugel im Gleichgewicht
.
Ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der
Kugel und Gravitationsfeldstärke sowie den Luftwiderstand durch die entsprechenden
Einflussgrössen, gewinnt man eine Formel für die Endgeschwindigkeit:
=
175.8 m/s.
2. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der
Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die
2
Beschleunigung beträgt 7.36 m/s .
3. Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist,
muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden.
Sprung aus Flugzeug
Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, falls der Impuls des Springers nicht mehr zunimmt, falls der
gravitativ zufliessende Impuls vollständig an die Luft abgeleitet wird. Dann halten die Gewichtskraft
und der Strömungswiderstand den Springer im Gleichgewicht
.
•
•
2
Die Auflösung der Gleichgewichtsbedingung liefert
= 0.38 m .
Das nebenstehend abgebildete Systemdiagramm (flowchart) zeigt die Modellstruktur. Wie bei
allen Fragestellungen der Translationsmechanik bildet die Impulsbilanz das Rückgrat des
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Offene Systeme - Aufgaben
•
•
Modells. Der Quotient aus Impuls und (träger) Masse liefert die Geschwindigkeit, die zur
Falltiefe autintegriert werden kann.
Aus dem untenstehenden Diagramm kann man entnehmen, dass der Springer schon nach
zehn Sekunden über 90% seiner Endgeschwindigkeit erreicht hat. Nach etwa zwanzig
Sekunden und einer Fallstrecke von gut 900 m hat der Springer die Endgeschwindigkeit von
60 m/s praktisch erreicht. In dieser Zeit würde ein Körper in Vakuum eine Geschwindigkeit von
196 m/s (706 km/h) bei einer Fallstrecke von 1962 m erreichen. Weil die Dichte der Luft nach
unten zunimmt, wird ein frei fallender Mensch nach einer gewissen Zeit langsamer.
Falls sich der Fallschirm nicht öffnet, bietet eine neuseeländische Norfolk-Pinie gute
Überlebenschancen, falls man schön in die nach unten dicker werdenden Äste fällt. Einen
Sprung ins Wasser überlebt man bis etwa 120 km/h, falls man schwimmen kann.
Gleitflug
Im antriebslosen Zustand wirken nur das Gravitationsfeld und die umgebende Luft auf das Flugzeug
ein. Die Kraft der Luft lässt sich bezüglich der Anströmung in einen dynamischen Auftrieb und einen
Luftwiderstand zerlegen.
1. Die Kraft der Luft ist gleich der Gewichtskraft, also 1295 kN.
2. Auftrieb und Luftwiderstand stehen im Verhältnis der Gleitzahl zueinander. Folglich ist der
Auftrieb gleich Gewichtskraft mal Cosinus des Gleitwinkels (4.69°), also gleich 1291 kN und
der Luftwiderstand ist gleich Gewichtskraft mal Sinus des Gleitwinkels, also gleich 106 kN.
3. Die dissipierte Leistung ist gleich Luftwiderstand mal Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit
124 m/s (446 km/h) betrug, ist eine Leistung von 13.13 MW dissipiert worden.
4. Die dissipierte Energie entstammt dem Gravitationsfeld. Deshalb kann die zugehörige
Leistung auch mit Hilfe der Gewichtskraft (1295 kN) und der Sinkgeschwindigkeit (10.16 m/s)
berechnet werden. Die Leistung der Gewichtskraft P(FG) = 10.16 m/s * 1295 kN = 13.16 MW
und die Leistung des Luftwiderstandes P(FW) = 124 m/s * 106 kN sind beim Gleitflug
betragsmässig gleich gross.
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Steigflug
Das Flugzeug kann nur mit dem Gravitationsfeld und der umgebenden Luft Impuls austauschen. Die
Impulsstromstärke bezüglich der gesamten Flugzeugoberfläche kann in einen statischen sowie einen
dynamischen Auftrieb, einen Luftwiderstand und eine Schubkraft zerlegt werden. Den statischen
Auftrieb berücksichtigt man meistens nicht (mit einer Waage misst man immer die Differenz von
Gewichtskraft und statischem Auftrieb in Luft).
1. Gewichtskraft, Luftwiderstand, dynamischer Auftrieb und Schub halten hier das Flugzeug im
Gleichgewicht. Folglich muss der dynamische Auftrieb gleich der normal zur Anströmung
stehenden Komponente der Gewichtskraft, also kleiner als die Gewichtskraft, sein.
2. Der Auftrieb ist gleich
= 117 kN.
3. In Flugrichtung wirken die Tangentialkomponente des Gewichts, der Luftwiderstand und die
Schubkraft. Folglich ist der Luftwiderstand gleich
kN.
= 16.35
2
4. Aus der Formel für den dynamischen Auftrieb folgt
= 23.9 m .
5. Auftriebsbeiwert und Widerstandsbeiwert stehen im gleichen Verhältnis wie Auftriebskraft zu
Widerstandskraft, falls sich die Beiwerte - wie hier angenommen - auf die gleiche wirksame
Fläche beziehen. Also ist der Widerstandsbeiwert gleich 0.154.
Energieumsatz bei Rohrleitung
Der von einer Flüssigkeit transportierte Energiestrom setzt sich aus drei Teilen (ohne innere Energie)
zusammen:
Folglich ist die vom Wasser umgesetzte Prozessleistung gleich
= 293 W
Jet d´Eau
Die Ausströmgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli oder der speziellen
Formulierung von Torricelli gerechnet werden, falls die Wirkung der Luft vernachlässigt wird. Dann
enspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall aus 140 m
Höhe.
1.
= 53 m/s (190 km/h)
2
2. Der Querschnitt der Düse ist gleich
= 94.5 cm , was einem Durchmesser von 110
mm entspricht.
3. Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes benötigt der das Wasser 10.6 Sekunden, um die
Geschwindigkeit von 53 m/s auf -53 m/s zu verändern. Folglich befinden sich mindestens 5.25
t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der
wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
9
Offene Systeme - Aufgaben
4. Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke des vom Strahl beim Austritt
mitgeführten kinetischer Energie
wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.
. Der
Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der
Kontinuitätsgleichung nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der
umgebenden Luft, gilt
wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom Gesetz von Bernoulli geliefert wird
.
Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die Energiebilanz
nach Bernoulli die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese Betrachtung aber nicht
auf die Spitze treiben.
Staurohr
Der Druck an der Spitze und auf der Seite des Staurohres wird auf einen Messwandler geführt, der
direkt und skaliert die Druckdifferenz zwischen diesen beiden Punkten ermittelt. Vergleicht man den
Druck in diesem beiden Punkte mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli
kürzen sich die beiden Terme für die Gravitationsenergie und der Term für die kinetische Energie der
anströmenden Luft im Staupunkt (Punkt 1) fällt weg. Aus den verbleibenden drei Summanden folgt für
die Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft
10
Offene Systeme - Aufgaben
Damit dieser Zusammenhang gilt,
•
•
•
•
müssen die beiden Punkte auf dem gleichen Stromfaden oder in einer Potenzialströmung
liegen
darf zwischen den beiden Punkten keine Reibung auftreten
müssen beide Punkte auf gleicher Höhe liegen
darf die Luft nicht komprimiert werden
Die Flugzeugbauer haben dafür zu sorgen, dass die Strömung um das Staurohr möglichst wenig
gestört wird, so dass die Reibung und der Einfluss der Wirbel vernachlässigt werden kann. Der
Höhenunterschied fällt bei Luft kaum je ins Gewicht und ist bei horizontaler Ausrichtung des Rohres
kein Thema. Einzig die Änderung der Dichte zwischen den zwei Punkten könnte ein Problem sein. Um
diesen Einfluss abzuschätzen, kann man den Luftdruck mit dem Staudruck vergleichen. Nimmt man
eine Geschwindigkeit von 720 km/h und eine Dichte von einem Kilogramm pro Kubikmeter an, beträgt
der Staudruck 0.2 bar, was doch einem beachtlichen Teil des Absolutdruckes entspricht.
Das Staurohr misst die Dichte der kinetischen Energie der anströmenden Luft als Druckdifferenz. Und
genau dieser Term erscheint in der Formel für den dynamischen Auftrieb und den Luftwiderstand.
Deshalb steht die mit dem Staurohr gemessene Druckdifferenz unabhängig von der wahren Dichte der
Luft in direktem Zusammenhang mit dem dynamischen Verhalten des Flugzeuges.
Venturirohr
1. Der Staurdruck beträgt
= 1500 Pa.
2. Die Anströmgeschwindigkeit ist gleich der Stärke des Volumenstromes dividiert durch den
Querschnitt bei der Eintrittsöffnung . Löst man diese Gleichung nach der Druckdifferenz auf
, sieht man sofort, dass beim Venturirohr mit einer
Querschnittverengung von 30% (Faktor ) ein Unterdruck erzielt wird, der dem Überdruck
bei einem Staurohr unter sonst gleichen Bedingungen entspricht. Eine stärke Verengung
ergibt einen entsprechend grösseren Unterdruck.
Wanne mit Abfluss
Das Gesetz von Bernoulli erlaubt es uns, längs einer reibungsfreien, instationären Strömung eines
inkompessiblen Fluids die Summe aus drei Termen (Energiebeladungsmass des Volumenstromes)
gleich zu setzen. Folglich kann man für die drei Punkte Wasseroberfläche (1), Ausfluss (2) und zwei
Meter über dem Ausfluss (3) den Bernoulli-Term formulieren, die drei Terme wahlweise gleichsetzen
und nach der gesuchten Grösse auflösen. Für die drei Punkte gilt (h = 4 m, h3 = 2 m)
Wasseroberfläche:
Ausfluss:
im Rohr:
1. Setzt man die Terme in den Punkten 1 und 2 gleich, gewinnt man das Ausflussgesetz von
Torricelliund unter Beizug der Kontinuitätsgleichung die Stärke des Volumenstromes
= 6.26 l/s
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Offene Systeme - Aufgaben
2. Der Druck im Punkt 3 folgt aus der Gleichsetzung der Bernoulli-Terme von 2 und 3 sowie unter
Verwendung der Kontinuitätsgleichung für das Volumen.
= 1.065 bar
In der letzten Umformung ist nochmals der Bernoulli-Term von Punkt 1 verwendet worden. Im
zylindrischen Teil des Rohres nimmt der Druck nach oben wie in einem ruhenden Gefäss ab.
Wasseruhr
Der Wasserspiegel dieser Uhr sinkt in der Stunde um 36 mm, in der Minute um 0.6 mm und in der
-12
Sekunde um einen Hundertstel Millimeter ab. Die Systemkonstante beträgt demnach k = 5 10 m.
= 3.224 m.
1. Der obere Durchmesser der Wasseruhr beträgt
2. Auf halber Höhe hat der Behälter nur noch einen Durchmesser von 2.711 m.
3. Weil die Systemkonstante so klein ist, genügt die mit Torricelli hergeleitete Formel bei weitem
Impulstransport im Rohr
1. Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die Kontinuitätsgleichung gegeben:
.
Also ist v1 = 2.08 m/s und v2 = 4.075 m/s.
2. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert für den Druck im zweiten Querschnitt:
= 9.78 kPa.
3. Die Flüssigkeit transportiert den Impuls leitungsartig und konvektiv. Zählt man beide
Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche
Impulsstromstärken:
= 17.97 N und 11.73 N.
4. Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.24 N muss im konisch zulauffenden Teil
von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden.
Kraft auf Rohr
Bei dieser Problemstellung sollte man sowohl beim Aufstellen der Energiebilanz als auch der
Impulsbilanz mit dem Überdruck pe rechnen.
1. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli,
liefert Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung
den Druck beim Eintritt
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Offene Systeme - Aufgaben
= 46.9 kPa
2. Die Impulsbilanz verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die
beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine
Änderung erfährt:
= 368.2N + 49.1N + 196.3N
= 613.6 N
Der Massenstrom
hat eine Stärke von 19.63 kg/s.
Abfüllwaage
ohne Loch im Becherglas
Die Impulsbilanz bezüglich des Systems Becherglas lautet (positive Richtung nach unten)
Die Stärke des konvektiven Impulsstromes Ip ist gleich
Die Geschwindigkeiten beim Ausfluss v1 und beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche v2 ergeben
sich aus der Energiebilanz (Torricelli)
also gilt für den konvektiven Impulsstrom
= 7.29 N
Bei einer Gewichtskraft von total 35 N hat die Normalkraft einen momentanen Wert von
= 42.3 N
mit Loch im Becherglas
Die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases ist gleich
= -2.8 N
Damit ist die Festhaltekraft (oder Normalkraft) gleich
= 39.5 N
Güterwagen beladen
Impulsbilanz in vertikale Richtung:
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Offene Systeme - Aufgaben
Die Normalkraft steigt kontinuierlich von 167.2 kN auf 402.6 kN an.
Impulsbilanz in horizontale Richtung:
Die Beschleungigung des Wagens und die Horizontalgeschwindigkeit des auftreffenden Schüttgutes
sind gleich Null ist. Deshalb gilt
oder umgeformt (die Änderungsrate ist gleich der Stromstärke der zufliessenden Masse)
Die Zugkraft F steigt kontinuierlich von 8.69 kN auf 18.1 kN an.
Rakete im Gravitationsfeld
Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und
konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des
Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man
•
•
•
•
die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet,
die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige
Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt,
den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich
Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt: Lösung zu Frage 1
Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie
die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen
Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der
Änderungsrate der Masse ist
[bearbeiten]
Lösung zu Frage 2
Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen
Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete
(v) minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (c). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine
einfachere Form an
Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von
25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN
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Offene Systeme - Aufgaben
Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende
Gas Impuls mitnimmt.
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Lösung zu Frage 3
Setzt man die Massenbilanz
in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik
erinnert
Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln
= 20.6 m/s
2
Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse
abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.
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Lösung zu Frage 4
Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen
Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das
Produkt aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.
Mantelstromtriebwerk
Die Impulsbilanz bezüglich des Triebwerkes lautet unter Vernachlässigung der Druckkräfte
wobei der durchpumpte Massenstrom die folgende Stärke aufweist
= 667.6 kg/s
Die Impulsbilanz nimmt aus der Sicht der umgebenden Luft (positive Richtung nach vorn) die folgende
Gestalt an
Damit erhält man für die Schubkraft
= -66.76 kN
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Offene Systeme - Aufgaben
Die Kraft auf das Triebwerk F weist gegen hinten, die zugehörige Reaktionskraft auf das Flugzeug
gegen vorne. Weil sich der Impulsinhalt des Triebwerkes nicht ändert, könnte man die Bilanz auch aus
der Sicht des Triebwerkes formulieren
Beide Teilstrahlen tragen gleich viel zum Schub bei.
Hubschrauber auf Waage
Der Glaskasten bildet ein geschlossenes System und die Summe über alle leitungsartigen
Impulsströme (Oberflächenkräfte) plus die Stärke der Impulsquelle (Gewichtskraft) ist gleich der
Änderungsrate des Impulsinhaltes. Vernachlässigt man die Impuls-Speicherfähigkeit der bewegten
Luft, kann nur der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändern. Bezogen auf das System Glaskasten
lautet die Bilanzgleichung für die Vertikalkomponente des Impulses (z-Achse gegen oben,
Gravitationkraft als Impulsabfluss oder Impulssenke)
FN ist die Stärke des durch die Waage fliessenden Impulsstromes (bezogen auf das System
Glaskasten). Weil die Waage mit leerem Glaskasten auf Null eingestellt worden ist, steht m für die
Masse des Hubschraubers.
Weil die Waage FN in Gramm anzeigt, muss noch umgerechnet werden
1. Nach dem Start und und kurz vor der Landung zeigt die Waage mehr als 500 g an
(Impulsinhalt des Hubschraubers wird grösser). Kurz vor dem Erreichen des höchsten
Punktes und in der ersten Phase des Absinkens zeigt die Waage weniger als 500 g an
(Hubschrauber gibt Impuls ab).
2. Dem Geschwindigkeits-ZeitDiagramm des Hubschraubers
ist zu entnehmen, wann der
Impulsinhalt wie zu- oder
abnimmt (das v-t-Diagramm ist
das Höhen-Zeit-Diagramm im
Flüssigkeitsbild). In den ersten
0.2 s und den letzten 0.2 s
beträgt die Beschleunigung 1
2
m/s (0.1 g). Folglich zeigt die
Waage dann 550 g an.
Zwischen den Zeitpunkten 0.8 s
und 1.2 s beträgt die
2
Beschleunigung -1 m/s (-0.1 g)
und die Waage zeigt 450 g an.
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