Zahlentheorie I - Universität Regensburg

Zahlentheorie I
Schülerzirkel Mathematik
Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden?
✔Modulo-Rechnen✓
XII
I
XI
X
II
IX
III
VIII
IV
VII
Zahlentheorie I
VI
V
✔Die Mathematik ist die Königin der Wissensch
Königin der Mathematik.✓ (Carl Friedrich Gauß, 1
Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden? – Eine Antwort durch ModuloRechnen
Problem 1. Um 14 Uhr sollte der Zug abfahren. Lei
Verspätung. Wie viel Uhr wird es sein, wenn der Z
Thema vom 16. November 2012. Einsenden der Lösungen bis 1
und die Arithmetik ist die
Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften,
Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 93040 Re
Königin der Mathematik. (Carl Friedrich Gauß, 1777–1855)
http://www.mathematik.uni-r.de/szm, schueler.zirkel@mathem
Problem 1. Um 14 Uhr sollte der Zug abfahren. Leider hat der Zug hundert Stunden
Verspätung. Wie viel Uhr wird es sein, wenn der Zug kommt?
Auf diesem Themenblatt beschäftigen wir uns mit Zahlentheorie (früher auch
Arithmetik genannt). Das ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich dem Studium der
ganzen Zahlen widmet. In späteren Themenblättern (Zahlentheorie II, Zahlentheorie
III, . . . ) werden wir weitere Themen aus dieser Theorie behandeln.
Thema vom 16. November 2012. Einsenden der Lösungen bis 18. Januar 2013.
Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 93040 Regensburg
http://www.mathematik.uni-r.de/szm, [email protected]
1
Modulo-Rechnen
Wir rechnen im Alltag ständig modulo, hier zwei Beispiele:
1. Wochentage: Wenn heute Sonntag ist, welchen Wochentag werden wir in 22
Tagen haben? Da sich der Wochentag nach sieben Tagen wiederholt, haben
wir nach 7 + 7 + 7 = 21 Tagen wieder Sonntag. Deswegen ist nach 22 Tagen
Montag. Aus der Sicht eines Mathematikers wurde modulo 7 gerechnet.
2. Minuten: Klaras Bus fährt immer zur vollen Stunde direkt vor ihrer Haustür. Im
Momemt ist es Viertel nach. Wie lange wird sie auf ihren Bus warten müssen,
wenn sie zuerst noch eine DVD anschaut, die 202 Minuten dauert? Nach
60 + 60 + 60 = 180 Minuten ist es wieder Viertel nach. Wegen 202 = 180 + 22
ist es nach dem Anschauen der DVD 15 + 22 = 37 Minuten nach voller Stunde.
Klara muss also 60 − 37 = 23 Minuten auf den Bus warten. Hier wurde modulo
60 gerechnet.
Hinter solchen alltäglichen Rechnungen steckt ein mathematisches Konzept. Ordnen
wir im ersten Beispiel den Wochentagen Sonntag, Montag, Dienstag, . . . , Samstag
die Zahlen 0, 1, 2, . . . , 6 zu, so entspricht der gesuchte Wochentag gerade der Zahl,
die als Rest beim Teilen von 22 durch 7 übrig bleibt. Da 22 beim Teilen durch 7
den Rest 1 hat, ist der gesuchte Wochentag also Montag. Wir sagen, 22 ist gleich 1
modulo 7, und schreiben dafür 22 ≡ 1 (mod 7).
Allgemeiner sind zwei Zahlen gleich modulo 7, wenn Sie bei der Division durch
7 den gleichen Rest lassen. Z.B. ist 22 ≡ 71 (mod 7), denn beiden Zahlen lassen
den Rest 1. Eine Möglichkeit zu testen, ob zwei Zahlen gleich sind modulo 7, ist zu
überprüfen, ob ihre Differenz durch 7 teilbar ist.
Beispiel 1.
• 22 ≡ 8 (mod 7), da 22 − 8 = 14 durch 7 teilbar ist, oder weil 22 und
8 bei der Division durch 7 beide den Rest 1 lassen.
• 7 ≡ 0 (mod 7), weil 7 − 0 = 7 durch 7 teilbar ist.
• 86 ≡ 100 (mod 7), denn 86 − 100 = −14 ist durch 7 teilbar.
• −6 ≡ 8 (mod 7), weil (−6) − 8 = −14 durch 7 teilbar ist.
• 9 6≡ 17 (mod 7), weil 9 − 17 = −8 nicht durch 7 teilbar ist.
Wir können 7 durch beliebige positive natürliche Zahlen austauschen:
Beispiel 2.
• 1 ≡ −23 (mod 12), denn 1 − (−23) = 24 ist durch 12 teilbar.
2
• 13 ≡ 10 (mod 3), da 13 − 10 = 3 durch 3 teilbar ist oder weil 13 und 10 bei
der Division durch 3 beide den Rest 1 lassen.
• 4 6≡ 13 (mod 4), denn bei Division durch 4 lässt 4 den Rest 0 und 13 lässt den
Rest 1.
• x ≡ −x (mod 2) für jede ganze Zahl x, weil sich x − (−x) = 2x durch 2 teilen
lässt.
• Für jede positive ganze Zahl a gilt entweder a ≡ 0 (mod 2) oder a ≡ 1 (mod 2).
Das ist so, weil man bei Division durch 2 immer nur 0 oder 1 erhalten kann
(überlege dir das!). Ebenso gilt entweder a ≡ 0 (mod 3) oder a ≡ 1 (mod 3)
oder a ≡ 2 (mod 3). Welche Möglichkeiten gibt es bei modulo 5, modulo 6,
...?
• Wenn a = b für zwei ganze Zahlen a und b gilt, dann ist a ≡ b (mod 60).
Lasst uns mit der Modulo-Technik nochmal Klaras Wartezeit zum Bus nachrechnen. Da der Bus alle 60 Minuten fährt, rechnen wir modulo 60. Die gesuchte Zahl ist
die Wartezeit, welche wir mit x bezeichnen. Die Wartezeit ist die Zeit bis zur vollen
Stunde, also 15 + 202 + x ≡ 0 (mod 60), d. h. 217 + x ≡ 0 (mod 60). Umstellen liefert
x ≡ −217 ≡ 240 − 217 = 23
(mod 60).
Dabei haben wir beim Umformen die Zahl 240 hinzuaddiert, was ja beim Rechnen
modulo 60 nichts verändert, da 240 durch 60 teilbar ist, oder in modulo-Sprache: da
240 ≡ 0 (mod 60).
Außerdem haben wir bei der Lösung die modulo-Gleichung einfach nach x aufgelöst,
aber dürfen wir das? Schauen wir genauer: Was passiert beim Auflösen nach x? Auf
beiden Seiten der Gleichung wird die Zahl 217 abgezogen! Und das ist erlaubt, denn
wenn die Zahlen a und b den selben Rest bei Division durch 60 haben, dann haben
auch die Zahlen a − 217 und b − 217 densleben Rest bei Division durch 60. Genauso
dürfen wir natürlich jede andere ganze Zahl auf beiden Seiten einer modulo-Gleichung
subtrahieren oder addieren.
Wir können diese Tatsache sogar allgemeiner machen und nennen das dann einen
mathematischen Satz:
Satz 1. Sind a, b, c, d ganze Zahlen mit a ≡ b (mod 60) und c ≡ d (mod 60), so gelten
die folgenden Eigenschaften:
(A) a + c ≡ b + d (mod 60)
(M) ac ≡ bd (mod 60)
3
Beweis. (A) Wegen a ≡ b (mod 60) und c ≡ d (mod 60) wissen wir, dass a − b und
c − d durch 60 teilbar sind. Wir müssen zeigen, dass a + c ≡ b + d (mod 60)
gilt. Dafür müssen wir überprüfen, ob die Differenz durch 60 teilbar ist. Also:
(a + c) − (b + d) = a + c − b − d = (a − b) + (c − d) ist durch 60 teilbar, weil
a − b und c − d durch 60 teilbar sind. Wir mussten nur die Reihenfolge der
Variablen verändern!
(M) Wir testen wieder mit der Differenz: ac−bd = ac−bc+bc−bd = (a−b)c+b(c−d)
ist ebenfalls durch 60 teilbar, da auch alle Vielfachen von a − b und c − d durch
60 teilbar sind. Hier haben wir einen kleinen Trick bei der Umformung benutzt:
Wir haben den Term −bc + bc eingefügt, damit wir danach ausklammern
konnten.
Dieselbe Überlegung funktioniert natürlich auch mit jeder anderen positiven ganzen
Zahl anstelle von 60. Wir dürfen also mit modulo-Gleichungen auf beiden Seiten Additionen und Multiplikationen durchführen, wie wir es bei den normalen Gleichungen
gewohnt sind!
Beispiel 3. Wegen 10 ≡ 2 (mod 8) gilt 10 · 10 ≡ 2 · 2 (mod 8) (nach Eigenschaft (M))
und 10 · 2 ≡ 2 · 2 (mod 8). Damit haben wir 10 · 10 + 10 · 2 ≡ 2 · 2 + 2 · 2 (mod 8)
(nach Eigenschaft (A)). Addieren wir auf beiden Seiten 3 (wieder Eigenschaft (A)),
so erhalten wir 10 · 10 + 10 · 2 + 3 ≡ 2 · 2 + 2 · 2 + 3 (mod 8). Zusammen können wir
berechen: 123 ≡ 10 · 10 + 10 · 2 + 3 ≡ 2 · 2 + 2 · 2 + 3 ≡ 11 ≡ 3 (mod 8). Um dem Rest
von 123 bei Division durch 8 zu bestimmen, hat es also gereicht, die Reste von 10
und 11 zu kennen. Mit ähnlichen Tricks kann man auch den Rest sehr großer Zahlen
ermitteln, siehe Beispiel 5 und Aufgabe 3.
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Beispielaufgaben
Beispiel 4. Zeige, dass 9n − 2n für jede positive ganze Zahl n durch 7 teilbar ist.
Lösung. Es ist 9 ≡ 2 (mod 7). Mit Eigenschaft (M) folgt 9 · 9 ≡ 2 · 2 (mod 7).
Wiederholtes Anwenden von (M) liefert
9| · 9 ·{z. . . · 9} = |2 · 2 ·{z. . . · 2} (mod 7).
n-mal
n-mal
Nun addieren wir auf beiden Seiten −2n und bekommen 9n − 2n ≡ 2n − 2n ≡ 0
(mod 7).
Beispiel 5. Welchen Rest lässt 10237 bei der Division durch 5?
4
Lösung. Durch mehrfaches Anwenden der Regel (M) auf die Gleichung 102 ≡ 2
(mod 5) erhalten wir 10237 ≡ 237 (mod 5). Wir schreiben 237 aus:
237 = |2 · 2 ·{z. . . · 2} = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) · . . . · (2 · 2 · 2 · 2) ·2
|
{z
}
37-mal
9-mal
= |16 · 16{z
· . . . · 16} ·2 = 169 · 2.
9-mal
Wegen 16 ≡ 1 (mod 5) gilt nach Eigenschaft (M) 169 ≡ 19 ≡ 1 (mod 5). Zusammen
erhalten wir
10237 ≡ 237 ≡ 169 · 2 ≡ 1 · 2 ≡ 2 (mod 5).
Also ist 2 der Rest von 10237 bei Division durch 5.
Beispiel 6. Zeige, dass es keine ganze Zahl x gibt, die die Gleichung x3 − 4x + 2 = 0
löst.
Lösung. Hier wenden wir die Technik des Widerspruchsbeweises an (auch indirekter
Beweis genannt, siehe Hinweisblatt Wie beweise ich etwas? (Link auf der letzten
Seite)). Wir nehmen an, dass es doch eine Lösung der Gleichung in den ganzen Zahlen
gibt, nennen wir sie a. Dann gilt natürlich die Gleichung auch, wenn wir modulo
rechnen. Wir probieren es modulo 3, d. h. a3 − 4a + 2 ≡ 0 (mod 3). Da die Zahl a
gleich 0, 1 oder 2 ist, wenn wir modulo 3 rechnen (das sind die einzigen möglichen
Reste bei der Division), können wir durch Einsetzen in die modulo-Gleichung also
probieren, welcher Fall es sein kann.
a ≡ 0: Nach (M) und (A) gilt 03 − 4 · 0 + 2 ≡ 2 6≡ 0 (mod 3).
a ≡ 1: Nach (M) und (A) gilt 13 − 4 · 1 + 2 ≡ 2 6≡ 0 (mod 3).
a ≡ 2: Nach (M) und (A) gilt 23 − 4 · 2 + 2 ≡ 2 6≡ 0 (mod 3).
Wir sehen, dass es eine solche Zahl a nicht geben kann! Unsere Annahme war also
falsch! Die Gleichung hat keine Lösung modulo 3 und daher auch keine Lösung
insgesamt!
Beispiel 7. Wenn a ≡ b ≡ 1 (mod 2), dann ist a2 + b2 nicht das Quadrat einer
natürlichen Zahl, also nicht 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, . . .
Lösung. Wegen a ≡ 1 (mod 2) ist a−1 durch 2 teilbar, also ist auch a+1 = (a−1)+2
durch 2 teilbar. Daher ist (a + 1)(a − 1) = a2 − 1 durch 2 · 2 = 4 teilbar, was gerade
a2 ≡ 1 (mod 4) bedeutet. Selbe Argumentation liefert b2 ≡ 1 (mod 4). Ähnlich wie
in Beispiel 6 zeigen wir in einem Widerspruchsbeweis, dass es keine natürliche Zahl
x geben kann, für die die Gleichung x2 = a2 + b2 erfüllt ist. Gäbe es eine solche Zahl
x, so wäre die Gleichung auch modulo 4 richtig, das heißt es würde gelten:
x2 ≡ a2 + b2 ≡ 1 + 1 ≡ 2
5
(mod 4).
Da 0, 1, 2, 3 die einzigen möglichen Reste bei Division von x durch 4 sind, müsste
aber auch gelten:
02 ≡ 2 oder 12 ≡ 2 oder 22 ≡ 2 oder 32 ≡ 2
(mod 4) (Widerspruch !).
Also hat die Gleichung x2 = a2 + b2 keine Lösung.
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Übungsaufgaben
Aufgabe 1 (∗ ). Wenn heute Samstag ist, welchen Wochentag haben wir dann in 100
Tagen?
Aufgabe 2 (∗ ).
1. Entscheide und begründe jeweils, ob 22 ≡ −2 (mod 12), 7 ≡ 4
(mod 11) gilt.
2. Finde drei verschiedene positive natürliche Zahlen n, die 39 ≡ 4 (mod n)
erfüllen.
Aufgabe 3 (∗∗ ). Max sagt seinem Freund Philipp, dass er die letzte Ziffer von 107107
weiß. Daraufhin probiert es Philipp mit dem Taschenrechner aus und bekommt nur
eine Fehlermeldung, weil die Zahl zu groß ist. Hilf Philipp, indem du folgende Aufgabe
löst:
1. Für welche natürliche Zahl x zwischen 0 und 9 gilt 107107 ≡ x (mod 10)?
2. Begründe, warum x Max’ gesuchte Ziffer ist.
Aufgabe 4 (∗∗ ). Zeige, dass x5 − 6x + 3 = 0 keine Lösung x in den ganzen Zahlen hat.
Aufgabe 5 (∗∗∗ ). Anna soll prüfen, ob 100091 das Quadrat einer natürlichen Zahl
ist. Mit Modulo-Rechnen erkennt sie die Antwort sofort: Zeige, dass die Quersumme
einer Quadratzahl bei Division durch 3 nicht den Rest 2 lassen kann.
(Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, beispielsweise hat 234256
die Quersumme 2 + 3 + 4 + 2 + 5 + 6 = 22.)
Aufgabe 6 (∞∗ ). Auf jedem Schwimmbadausweis steht eine 10-stellige Nummer
(zum Beispiel 210010000(9)). Um Fälschungen schnell zu entdecken, haben sich die
Ingenieure eine Prüfziffer ausgedacht, welche an der zehnten Stelle der Nummer in
Klammern steht (in unserem Beipiel ist die Prüfziffer 9) und wie folgt mit den ersten
neune Ziffern zusammenhängt:
Man multipliziere die erste Ziffer mit 1, die zweite mit 2, die dritte mit 3 und so
fort bis zur neunten Ziffer, die mit 9 multipliziert wird. Man addiere die Produkte
und teile die Summe ganzzahlig mit Rest durch 11. Der Divisionsrest ist die Prüfziffer.
Falls der Rest 10 beträgt, ist die Prüf-ziffer ein X.
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1. Auf einem Ausweis steht die Nummer 470805978(1). Ist dieser Ausweis echt?
2. Welche Prüfziffer gehört zur Nummer 766987988(?)?
3. Gib eine Ausweisnummer mit Prüf-ziffer X an!
4. Zwei unterschiedliche Ziffern einer gültigen Ausweisnummer werden vertauscht.
Warum kann die neue Nummer zu keinem gültigen Ausweis gehören?
5. Die Nummern der Ausweise von Lisa und Hans unterscheiden sich genau durch
eine Ziffer. Warum ist einer der Ausweise gefälscht?
Weiterführende Links
Einführung in das Rechnen mit Resten:
http://www.informatik.uni-leipzig.de/˜graebe/skripte/reste.pdf
Ausführlicher, anschaulicher Artikel mit vielen Beispielen:
http://www.cevis.uni-bremen.de/Binaries/Binary1700/SkriptWiSe4.pdf
Sehr schöne Seite zu verschiedenen Themen in der Zahlentheorie mit vielen Videos:
http://wiki.zum.de/PH Heidelberg/Zahlentheorie
Tipps zum Bearbeiten einer Aufgabe/Wie beweise ich etwas?/Aktuelle Aufgaben:
http://www.mathematik.uni-r.de/schuelerzirkel/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.Aufgaben
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