FitzHugh-Nagumo

Modelle zur Beschreibung von
Schwellwertphänomenen in Nervenmembranen
Fitzhugh-Nagumo-Gleichungen
Katrin Schmietendorf
Vortrag im Rahmen der Veranstaltung
Numerische Methoden für Dynamische Systeme
SoSe 2008
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Aufbau und Funktionsweise von Neuronen
Aufbau einer Nervenzelle
Neuron: auf Erregungsleitung spezialisierte Zelle
Dendriten: Empfang von
Signalen anderer
Nervenzellen, Kontakt über
Synapsen
Abbildung: Aufbau einer
Nervenzelle
Katrin Schmietendorf
Axon: Übertragung des
Signals an Synapsen →
andere Zellen, einige µm bis
1m Länge
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Aufbau und Funktionsweise von Neuronen
Zur Funktionsweise einer Nervenzelle
Zelle hält über Zellmembran elektr. Spannungsdifferenz aufrecht,
Ruhezustand: Membranaußenseite (+), -innenseite (-)
Reiz oberhalb eines bestimmten Schwellwertes → Umkehrung
der Spannung, sog. Aktionspotential (∼ 100mV, ∼ 1ms)
Alles-oder-nichts-Verhalten
Ladungstransport via Ionenströmen (Na+ , K+ , Cl− , ...)
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Aufbau und Funktionsweise von Neuronen
Das Hodgkin-Huxley-Modell
Das Hodgkin-Huxley-Modell
Alan Lloyd Hogkin, Andrew Fielding
Huxley 1952
zentrales Modell der
Neurophysiologie
Basis: Experimente am Riesenaxon
des Tintenfisches
Abbildung: Tintenfisch [1]
1963 NP für Medizin
Elektrisches Modell, Kabelmodell
Ionenströme werden durch Membranpotential bestimmt
(Ionenkanäle)
Modellation der Ströme mithilfe spannungsabhängiger
Membranwiderstände
Membrankapazität ∼ Kondensator
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Aufbau und Funktionsweise von Neuronen
Das Hodgkin-Huxley-Modell
Hodgkin-Huxley-Gleichungen
I = C V̇ + gNa m3 h(V + 115) + gK n4 (V − 12) + gL (V + 10, 5989)
ṁ = (1 − m)αm (V ) − mβm (V )
ḣ = (1 − h)αh (V ) − hβh (V )
ṅ = (1 − n)αn (V ) − nβn (V )
V: Membranpotentialdifferenz
I: Membranstromdichte
C: Membrankapazität
m, h: Natriumaktivität bzw. Inaktivität
n: Kaliumaktivität
gi : elektr. Leitfähigkeiten
α, β: empirisch bestimmte Funktionen
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Das BVP- oder Fitzhugh-Nagumo-Modell
vereinfachte Version des HH-Modells:
Van-der-Pol-Oszillator:
ẍ + c(x 2 − 1)ẋ + x = 0
,
c>0
mithilfe Liénards-Transformation
y=
x3
ẋ
+
−x
c
3
folgt
ẋ = c(y + x −
Katrin Schmietendorf
x3
)
3
Fitzhugh-Nagumo
ẏ = −
x
c
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
BVP-Modell
ẋ = c(y + x −
x3
+ z)
3
1
ẏ = − (x − a + by )
c
1 − 23 b < a < 1,
0 < b < 1, b < c 2
x,y: Aktivität/Renitenz
z: Reizintensität ∼ I (HH-Glg.en)
BVP-Modell:
zwei Zustandsvariablen x,y anstelle von V,m,n,h im HH-Modell →
Verhalten im Phasenraum darstellbar
repräsentiert Klasse von nichtlinearen Systemen, welche
anregbares, oszillatorisches Verhalten und
Schwellwertphänomene zeigen können → Verständnis des
HH-Modells
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Phasenraumdiagramm des BVP-Modells
Abbildung: x-y-Phasenraumdiagramm BVP-Modell
Zustände im (x,y)-Phasenraum = physiologische Zustände einer
Nervmembran
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
x- und y-Nullklinen: aus ẋ = 0 bzw. ẏ = 0 folgt:
y = −x +
x3
−z
3
;
y=
a−x
b
Schnittpunkt der Nullklinen → stabiler Ruhepunkt P(1,2;-0,625)
Analysemethode: Betrachtung zweier Subsysteme
y verändert sich im Vergleich zu x wesentlich langsamer
y konstant gehalten → reduziertes System mit einer
Zustandsvariablen x
Phasenlinie durch Ruhepunkt: drei Schnittpunkte mit x-Nullkline
rechts: stabiler Ruhepunkt P
Mitte: instabil → Schwellwertphänomen
links: stabiler angeregter Punkt
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
QTP-(quasi threshold phenomena)Separatrix:, Phasenpunkt
wandert weder zu Activ noch direkt zu P, benachbarte Pfade
divergieren
∧
Anregung = Verschieben des Phasenpunktes über die Separatrix
von rechts nach links (kathodischer Schock)
Absolutely Refractory: Phasenpunkt über Separatrix →
Überqueren unmöglich
Relatively Refractory: benötigter Reiz z größer als für P
Enhanced/Depressed: → benötigtes z kleiner/größer als für P
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
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Das BVP-Modell
Abbildung: x-y-Phasenraumdiagramm BVP-Modell
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25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Zum Programm
Verfahren: Finite Differenzen
ẋ =
x3
xi+1 − xi
= c(yi + xi − i + zi )
∆t
3
⇒ xi+1 = xi + ∆tc(xi + yi −
xi3
+ zi )
3
entsprechend:
∆t
(xi − a + byi )
c
Grund: später Erweiterung der BVP-Gleichungen
yi+1 = yi −
Katrin Schmietendorf
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25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Spezialfall: Van-der-Pol-Oszillator
2
1.5
1
0.5
y
a=0.7 b=0.8 c=3
x(0)=0.5 y(0)=-11/24
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
-2
x
Abbildung: x-y-Phasendiagramm; a=b=z=0, c=1,5
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Spezialfall: Van-der-Pol-Oszillator
3
x(t)
2
x(t)
1
0
0
5
10
15
20
25
-1
-2
-3
t
Abbildung: x(t)-Diagramm; a=b=z=0, c=1,5
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Aktionspotenzial
1
0.5
a=0.7 b=0.8 c=3
y
x(0)=-0.6 y(0)=-0.625
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
x
Abbildung: x-y-Phasendiagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=-0,6 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Abbildung: x-y-Phasenraumdiagramm BVP-Modell
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Aktionspotenzial
x(t)
y(t)
2
1.5
1
x(t), y(t)
0.5
0
0
5
10
15
20
-0.5
-1
a=0.7 b=0.8 c=3
x(0)=-0.6 y(0)=-0,625
-1.5
-2
t
Abbildung: x(t),y(t)-Diagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=-0,6 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Anregung unterhalb des Schwellwertes
1
0.5
a=0.7 b=0.8 c=3
y
x(0)=0.9 y(0)=-0,625
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
x
Abbildung: x-y-Phasendiagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=0,9 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
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Das BVP-Modell
Zum Programm
Abbildung: x-y-Phasenraumdiagramm BVP-Modell
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Anregung unterhalb des Schwellwertes
x(t)
y(t)
2
1.5
1
x(t), y(t)
0.5
0
0
5
10
15
20
-0.5
-1
a=0.7 b=0.8 c=3
x(0)=0.9 y(0)=-0,625
-1.5
-2
t
Abbildung: x(t),y(t)-Diagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=0,9 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
1
0.5
a=0.7 b=0.8 c=3
y
x(0)=0.6 y(0)=-0,625
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
x
Abbildung: x-y-Phasendiagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=0,6 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Abbildung: x-y-Phasenraumdiagramm BVP-Modell
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
x(t)
y(t)
2
1.5
1
x(t), y(t)
0.5
0
0
5
10
15
20
-0.5
-1
a=0.7 b=0.8 c=3
x(0)=0.6 y(0)=-0,625
-1.5
-2
t
Abbildung: x(t),y(t)-Diagramm a=0,8 b=0,7 c=3 x(0)=0,6 y(0)=-0,625
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
Pulszüge
Anregung z=konst. → Ruhezustand instabil → Pulszüge
x(t)
y(t)
2
1.5
1
x(t), y(t)
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0.5
-1
a=0.7 b=0.8 c=3 z=-0.4
-1.5
-2
x(0)=-1 y(0)=0.8
t
Abbildung: x-y-Phasendiagramm a=0,8 b=0,7 c=3 z=-0,4
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Das BVP-Modell
Zum Programm
1.5
y
1
0.5
a=0.7 b=0.8 c=3 z=-0.4
x(0)=-1 y(0)=0.8
0
-2
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
Abbildung: x(t),y(t)-Diagramm a=0,8 b=0,7 c=3 z=-0,4
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Pulspropagation
1D
ut = uxx + (α − u)(u − 1)u − v = ∆u + f (x, y )
vt = (βu − γv + δ)
→ Reaktions-Diffusionsgleichungen
Kopplung von Anregbarkeit und Diffusion → viele
Propagationsphänomene
z. B. Herz besitzt als anregbares System travelling waves als
Lösungen
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Pulspropagation
Zum Programm
Zum Programm
1D:
∆u =
ui+1 − 2ui + ui−1
2∆x 2
uij = uij−1 + dt u̇
vij = vij−1 + dt v̇
u̇ = ∆ + (α − uij−1 )(uij−1 − 1) − vij−1
v̇ = (βuij−1 − γvij−1 + δ)
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Pulspropagation
Zum Programm
VIELEN DANK FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT!
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008
Pulspropagation
Zum Programm
Literaturangabe
Richard Fitzhugh: Impulses and Physiological States in
Theoretical Models of Nerve Membrane, Biophysical Journal Vol.
I, 1961 [Fitz 61]
Richard Fitzhugh: Mathematical Models of Threshold Phenomena
in the Nerve Membrane, Bullentin of Mathematical Biophysics Vol.
17, 1955
Richard Fitzhugh: Thresholds and Plateaus in the Hodgkin-Huxley
Nerve Equation, The Journal of General Physiology Vol. 43, 1960
www.sinnesphysiologie.de [1]
Katrin Schmietendorf
Fitzhugh-Nagumo
25. Juni 2008