1 2. Vorlesung Statistik II Letzte Änderung: 11. September 2001, 22

1
2. Vorlesung Statistik II
Letzte Änderung: 11. September 2001, 22 Seiten
Kapitel 12 Teil 2: Zweidimensionale stetige Zufallsvariable
Lernziele: die Begriffe: gemeinsame Wahrscheinlichkeiten, Rand-Wahrschein-lichkeiten,
gemeinsame Dichte, Randdichte, bedingte Dichte, bedingte Verteilung, Kovarianz,
Unabhängigkeit, Korrelation.
12.2 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen (X,Y)
Für stetige zweidimensionale Zufallsvariable wird aus Gründen der technischen
Schwierigkeiten (Integration statt Summierung) nur das Allernötigste vorgestellt. Die
formalen Erfordernisse werden anderenfalls schnell so groß, daß das erstrebte
pädagogische Anliegen für den Wirtschaftswissenschaftler verlorengeht. Der ein-fachste
Zugang ist die großzügige Übertragung der Ergebnisse der zweidimensionalen diskreten
Zufallsvariablen, indem man die Summation durch Integration ersetzt. Damit sind nicht
alle Ergebnisse übertragbar, wie schon der eindimensionale Vergleich zeigt (vgl. z.B. die
Zähldichte für ein diskretes Ereignis und die Dichte für einen speziellen Punkt), aber vieles
ist dennoch entsprechend verständlich.
Definition (Verteilung)
Das Integral
x y
f(u,v)dvdu
-∞ -∞
heißt gemeinsame Verteilung von X und Y, und
P[X≤x und Y≤ y] = F(x,y) =
f(x,y): Dx × Dy → R mit f(x,y) ≥ 0 und
f(x,y)dydx = 1
Dx
Dy
heißt gemeinsame Dichte von X und Y.
Die Interpretation ist wie im eindimensionalen Fall. Mit dem folgenden Begriff wird auf die
Ergebnisse des eindimensionalen Falles zurückgegriffen.
Definition (Randdichte)
Das Integral
Dy
f(x,y)dy = f(x,.) =: f(x)
wird als Randdichte der Zufallsvariablen X bezeichnet. Entsprechend heißt das Integral
Dx
f(x,y)dx =f(.,y) =:g(y)
Randdichte der Zufallsvariablen Y.
2
Definition (Kovarianz)
Der Ausdruck
Cov(X,Y):=
Dy
Dx
[x -E(X)][y - E(Y)]f(x,y)dxdy
heißt Kovarianz von X und Y.
Wie im diskreten Fall gibt es andere Darstellungen, die aus der Definition der
Randverteilungen und Randdichten und deren zugehöriger Momente folgen, so auch hier:
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
(siehe oben).
Der neue Ausdruck E(XY) ist dabei entsprechend dem zuvor vorgestellten allgemeinen
Bildungsgesetz für Erwartungswerte wie folgt definiert:
E(X . Y):=
x⋅y⋅f(x,y)dxdy
Dy
Dx
Definition (Unabhängigkeit)
Zwei Zufallsvariable X und Y heißen unabhängig, genau dann, falls
f(x,y) = f(x) . g(y).
(Die gemeinsame Dichte ist das Produkt der Randdichten.)
Beispiel 1 (Die Gleichverteilung über dem Einheitsquadrat)
Seien X und Y gemäß der zweidimensionalen Gleichverteilung verteilt, d.h.
f(x,y) = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ⇔ (x,y)∈([0,1] × [0,1]) ⇔ (im Einheitsquadrat)
Damit folgen für
die Randverteilungen
F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1 und G(y) = y, 0 ≤ y ≤ 1
sowie die Verteilung
F(x,y) = xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ⇔ (x,y)∈{[0,1] × [0,1]}.
f(x,y)
1
1
Die Gleichverteilung
auf dem
Einheitsquadrat
y
1
0
1
x
3
Die zugehörigen Bilder der Verteilung sind:
4
Bemerkung (Kovarianz unabhängiger Zufallsvariablen)
Falls die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, so ist die Kovarianz Null (s.o.).
Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition der Unabhängigkeit. Für
unabhängige X und Y gilt:
f(x,y) = f(x) . g(y) .
Damit folgt:
E(X⋅Y)=
=
Dy
Dx
Dx
xyf(x,y) dxdy =
x f(x) dx
Dy
Dy D x
xy f(x) g(y) dxdy
y g(y) dy = E(X)E(Y).
Bemerkung (Unabhängigkeit und Kovarianz)
Wie im diskreten Fall folgt aus der Beziehung
{Unabhängigkeit} ⇒ {Kovarianz=0} nicht der Umkehrschluß, d. h.
{Unabhängigkeit} ⇐
/ {Kovarianz=0}.
Auch hierfür gibt es Gegenbeispiele (Ferguson, 1969, S.112).
5
Beispiel 2 (Eine weitere Verteilung zweier unabhängiger Zufallsvariabler über dem
Einheitsquadrat)
Gegeben sei die gemeinsame Dichte zweier Zufallsvariablen X und Y
f(x,y) = 4xy, (x,y)∈([0,1] × [0,1])
6
Die Verteilung zu
f(x, y) = 4xy, (x, y)∈([0, 1]x[0, 1]) ist F(x, y) = y2x2, (x,y)∈{[0,1] × [0,1]}
7
Die zugehörigen Randdichten sind
f(x) = 2x, x∈[0, 1], g(y) = 2y, y∈[0, 1],
d.h. graphisch (jeweils nach links bzw. nach unten projiziert):
y
f(x,y) = 4xy
2
1
2y=g(y)
0
x
1
2x=f(x)
2
Beispiel 3 (nicht-unabhängige Zufallsvariable X und Y)
Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) hat die Dichte
1
(1 - xy)
-1< x<1 und -1< y<1
f(x,y) = 4
0
sonst
a) Bestimmen Sie die Kovarianz von X und Y.
b) Sind X und Y voneinander unabhängig?
Lösung
Als erstes sind die Randdichten g(y) und f(x) zu bestimmen (zwei Gleichverteilungen):
1
-1
f(x, y)dy =:f(x) =
1
1
1 1
1
(1-xy)dy = ,
f(x, y)dx =:g(y) = .
4 -1
2 -1
2
Die Randdichte g(y) für Y ist (aus Symmetriegründen) mit der für X identisch, ebenso für
1 1
die Erwartungswerte: E(X) =
xdx = 0 = E(Y)
2 -1
1
a) E(XY) =
4
1
-1
1
-1
(xy-x2y2)dxdy = -
1
∴ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X). E(Y) = E(XY) ≠ 0
9
b) X und Y sind nicht unabhängig, denn g(y) . f(x) ≠ f(x,y).
8
9
Aufgabe 4 (Bedingungen für den Definitionsbereich der Zufallsvariablen (X, Y))
2 (x + y)
0≤x≤y≤1
Es sei f(x, y) =
0
sonst
die gemeinsame Dichte der stetigen Zufallsvariablen (X, Y).
a) Berechnen Sie E(X), E(Y), E(X+Y), E(X.Y).
b) Berechnen Sie var(X), Cov(X, Y), var(X-Y)
Lösung
1
1
y2 1
x2
a) fX(x)= 2 (x + y) dy= 2 [xy+ ]x = 2 (x + - x2 )= 1 + 2x - 3x2
2
2
2
x
y
fY(y)= 2
0
5
1
2
3 1 1 2 3
(x + 2x2 –3x 3)dx= [ x 2 + x3 – x4] = + - =
2
3
4 0 2 3 4 12
1
E(X)=
0
5
3 5+9 7
3 1 3
3y3dy= [ y4] = , E(X + Y)= E(X) + E(Y) =
+ =
=
4 0 4
12 4
12
6
1
E(Y)=
y
x2
(x + y) dx= 2[ + xy]0 = y2 + 2y2= 3y2
2
0
1
y 2
x y+ xy 2)dxdy= 2
0
E(XY) = 2
0
1
2
0
1
1
( y4+ y4) dy = 2
3
2
b) E(X2)=
var(X) =
1
0
1
0
1
0
y
1
1
[ x 3y+ x 2y2] dy=
3
2
0
5 4
1 51 1
dy = [ y ] =
6y
3 0 3
1
1 –18 + 15 +10
7
1
1
3 1 3
(x 2 + 2x3 – 3x4) dx = [ x 3 + x4 – x 5] = - + + =
=
3
2
5 0 5
2
3
30
30
7
5 2 168 – 125
43
-(
) =
=
30 12
720
720
Cov(X,Y)
var(X - Y)
1 5 3
16 – 15
1
. =
=
3 12 4
48
48
= var(X) + var(Y) - 2Cov(X,Y)
= E(XY) - E(X) · E(Y) =
3
3
3 9
3
3y4 dy = [ y5] 10 = , var(Y) = =
5
5
5 16 80
0
43
3 2
43
27
30
40
1
var(X - Y) =
+
=
+
–
=
=
720 80 48
720 720 720 720 18
E(Y2) =
1
10
Die Bedingung im Definitionsbereich zwischen X und Y kann auch umgekehrt werden:
Aufgabe 4’
2(x+y); 0≤ y≤ x≤ 1
Die Funktion f(x, y) :=
0; sonst
{
sei die gemeinsame Dichte der stetigen Zufallsvariablen X und Y. Berechnen Sie
a) E(X+Y), b) E(X·Y), c) Cov(X, Y), d) var(X-Y-7), e) var(X+Y+3)
Lösung
1
3
3
E(X)
= 3x3 dx= [ x4 ]10 =
4
4
0
1
3
3 9
48– 45
3
var(X) = E(X2)-(E(X))2=
3x4 dx- ( )2= =
=
4
5 16
80
80
0
1
3
2
1
1 2
5
E(Y)
=
y (-3y2+ 2y+ 1) dy= [- y4+ y3+ y2 ]10 = - + =
4
3
2
4 3 12
0
1
5
3
1
1
25
var(Y) = E(Y2)-(E(Y))2=
(–3y4 +2y3+y2) dy- ( 12 )2 = [- y5+ y4+ y3 ]10 5
2
3
144
0
3 5 25
7 25
43
=- + =
=
5 6 144 30 144 720
a)E(X+Y)= E(X)+E(Y)=
1
x
b) E(X·Y)=
=
0
1
x y2(x+y) dy dx=
0
1
3
5
7
+
=
4 12 6
0
x3 x3
2x ( + ) dx=
2
3
0
1
0
x
2x
1
(x y+ y 2) dy dx=
0
2x [
0
x 2 1 3 x
y + y ]0 dx=
2
3
5 4
1
1
x dx= [ x5 ]10 =
3
3
3
1 3 5
16– 15
1
- ·
=
=
3 4 12
48
48
3
43 1
40
1
d) var(X-Y-7)= var(X)+ var(Y)- 2 Cov(X, Y)=
+
=
=
80 720 24 720 18
3
43
1
100
5
e) var(X+Y+3)= var(X)+ var(Y)+ 2 Cov(X, Y)=
+
+ =
=
80 720 24 720 36
c) Cov(X, Y)= E(X·Y)- E(X)·E(Y)=
11
Aufgabe 4”
Die Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Dichtefunktion
a(x +y) , 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
f(x,y) =
0
,
sonst
a) Bestimmen Sie a.
b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y.
c) Bestimmen Sie die bedingte Dichte fX(x|y).
d) Sind X und Y unabhängig?
e) Berechnen Sie E(X + Y), E(XY), Cov(X, Y), var(X - Y), var(X + Y + 2).
Lösung
1
X
1
a) 1 =
a(x + y) dy dx = a
0
0
1
[xy +
0.5y2 ]x0
0
1.5x2 dx = 0.5a[x3 ]10 = 0.5a ⇔ a= 2
dx = a
0
X
1
2(x + y)dx = 2[0.5x2 + xy ]1Y = -3y2 + 2y + 1
2(x + y) dy = 3x2, fY(y) =
b) f X(x) =
0
Y
fXY(x, y)
2(x + y)
c) fX(x|y) = f (y) =
, x∈[y, 1], y∈[0, 1]
– 3y2 + 2y+ 1
Y
2(x + y)
d) fX(x|y) =
≠ 3x2 = fX(x) ⇒ X, Y nicht unabhängig, bzw fX(x)fY(y)≠fXY (x, y)
– 3y2 + 2y+ 1
1
1
3x3 dx +
e) E(X + Y) = E(X) + E(Y) =
0
1
E(XY) =
0
0
X
1
2(x2y
+
xy2)
dy dx = 2
0
-3y3 + 2y2 + y dy =
0
7
6
1
1
[ x2y2 + xy3 ]X
0 dx = 2
2
3
1
0
5 4
5 1
x dx = [ x5 ]10 =
6
3 5
1
3
1 3 5
1
- ⋅
=
3 4 12
48
3
43
1
1
var(X - Y) = var(X) + var(Y) -2Cov(X, Y) =
+
=
80
720 24
18
3
43
1
5
var(X + Y + 2) = var(X) + var(Y) + 2Cov(X, Y) =
+
+
=
80
720
24
36
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =
12
Aufgabe 5 (eine konstante Dichte)
Seien X und Y Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichtefunktion
a ;für 0 < y< x < 1
f(x,y) =
0 ; sonst
a) Bestimmen Sie a.
b) Bestimmen Sie die Randdichte von X.
c) Bestimmen Sie die bedingte Dichtefunktion von Y, gegeben X = x.
d) Berechnen Sie E(X + Y), E(X . Y), E(X2 . Y).
e) Sind X und Y unabhängig? (Begründung)
Lösung
1
1
1
1
1
1 1
a) 1 =
adxdy =
a x 1y = a
(1 - y)dy = a y– y2 = a .
⇒a=2
2 0
2
0
y
0
0
x
b) fX(x) =
2dy = 2x; x∈(0,1)
0
f(x,y)
2
1
c) Für x∈(0,y) gilt fY(Y|X) =
=
= ; y∈(0,1)
fx(x)
2x
x
1
d) fY(y) =
2dx = 2(1-y); y∈(0,1)
y
E(Y) =
E(X) =
1
y2(1-y)dy =
0
1
x2xdx =
0
E(X . Y) =
=
1
1
0
y
y2
2
1
2 31
– y =1- =
3 0
3
3
2
2
1
2 31
x
= , E(X+Y) = E(X) + E(Y) = + = 1
3 0
3
3
3
xy2dxdy =
1
2y
0
1
1
1 1
1 21
x dy =
2y[ - y2]dy =
(y - y 3)dy
2 y
2
2
0
0
1
1 2 1 41 1 1
y – y
= =
2
4 0 2 4
4
1 31
2 1
x ] y dy =
y(1-y 3)dy
3
3 0
0
y
0
2 1
1
2 1 1
2
3
2
= [ y2 - y5]10 = ( - ) = .
=
3 2
5
3 2 5
3 10
10
e) Wären X, Y unabhängig, müßten X und Y unkorreliert sein; d.h. es müßte gelten:
1
2 . 1
2
E(X . Y) = E(X) . E(Y) = ≠
= ; also sind X und Y abhängig.
4
3 3
9
E(X2 . Y) =
1
1
x2y2dxdy =
1
2y[
13
Definition (Korrelationskoeffizient ρ)
Die Kovarianz zweier standardisierter Zufallsvariablen X*, Y* heißt wieder
Korrelationskoeffizient ρ
ρ = Cov(X*, Y*) =
Cov(X*, Y*) =
DY *
DY *
D X*
D X*
x*⋅y*⋅f*(x,y) dxdy ,
[x* -E(X*)] [y* - E(Y*)]f*(x,y) dxdy
wobei f*(x,y) die gemeinsame Dichte von X* und Y* bezeichnet.
Bemerkung (Korrelationskoeffizient und Linearität)
Für den Korrelationskoeffizienten gilt
(i)
-1 ≤ ρ ≤ 1
(ii)
ρ = ± 1 ⇔ Y = a + bX (a,b∈R).
Der Beweis zu ρ als Linearitätsmaß gilt für alle Zufallsvariable, also insbesondere auch für
stetige Zufallsvariable.
Definition (Bestimmtheitsmaß)
ρ 2 =: R2 wird als Bestimmtheitsmaß bezeichnet.
Offensichtlich ist 0 ≤ R2 ≤ 1.
14
Satz (Unabhängigkeit und Korrelation)
Für unabhängige Zufallsvariable X und Y gilt wieder ρ = 0 und R2 =0.
Der Beweis ist wieder eine unmittelbare Folgerung aus den Definitionen von Kovarianz
und Unabhängigkeit.
Bedingte Verteilungen
In Erweiterung zum eindimensionalen Fall erlaubt der Verteilungsbegriff folgende
Verallgemeinerung: Aus der Definition der Verteilung
F(x,y) = P[X≤x und Y≤y]
sowie der Möglichkeit Randdichten zu bestimmen, ist es offensichtlich, daß auch andere
Wahrscheinlichkeiten in entsprechender Weise bestimmt werden können:
Fall 1 Beliebig beschränkte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 1
P[X ist höchstens halb so groß wie Y] =
y=+∞
y/2
P[X ≤ 0.5 Y]=
f(x,y) dxdy.
y=-∞
x=-∞
Beispiel 2
P[ X+Y ≤ c] mit 0<c<1 bzw. c∈R
y=c
=
y=0
x=c-y
f(x,y) dxdy mit c∈R.
x=0
Ist z.B. f die Dichte der stetigen Gleichverteilung auf [0,1] x [0,1], dann entspricht dieser
Wahrscheinlichkeit die Fläche der linken unteren Ecke in der folgenden Abbildung:
y
1
c
0
1
y=c-x
c 1
x
15
Fall 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Analog zu den zuvor eingeführten bedingten Wahrscheinlichkeiten, d.h. mit den
Ereignissen A und B heißen
P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
P(A|B) =
, (P(B)> 0), bzw. P(B|A) =
, (P(A)> 0)
P(B)
P(A)
bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B, bzw. bedingte Wahrscheinlichkeit von B,
gegeben A, so können jetzt auch bedingte Verteilungen betrachtet werden.
Definition (Bedingte Dichte (Wahrscheinlichkeit))
Die bedingte Dichte fY|X =x(y) von Y gegeben X=x ist
f(x,y)
fY|X =x(y)=
für fX(x)> 0.
fX(x)
bzw. die Funktion
f(x,y)
fX|Y=y(x):=
fY(y)
heißt bedingte Dichtefunktion von X unter der Bedingung Y = y.
Zur Abkürzung werden auch die Bezeichnung f(x)= fX(x) bzw. g(y)= f Y(y) benutzt. Ebenso
geschieht das Aufführen beider Fälle nur zur Verdeutlichung; mit der Vertauschung von A
und B ist es ohnehin klar, s.u. ebenfalls.
Bemerkung (bedingte Dichten und Unabhängigkeit)
Offensichtlich erhält man für unabhängige Zufallsvariable X und Y
f(x,y) f(x)⋅g(y)
=
= g(y)
f(x)
f(x)
f(x,y) f(x)⋅g(y)
fX|Y=y(x) = fX|Y(x) =
=
= f(x)
g(y)
g(y)
d.h. bei Unabhängigkeit stimmen die Dichte von Y unter der Bedingung, daß X = x ist,
identisch mit der Randdichte g(y), bzw. die Dichte von X unter der Bedingung, daß
Y = y ist, identisch mit der Randdichte f(x) überein.
fY|X=x(y) = fY|X(y) =
Aufgabe 6
a
a
Sei
F(x,y) = y 1 x 2 (x,y)∈{[0,1] × [0,1]}
Für welche Parameter a1, a2 ist F eine Verteilungsfunktion über dem Einheitsquadrat?
16
Aufgabe 7 (Eine zweidimensionale Dichte, die sich leicht bearbeiten läßt)
Zeigen Sie, daß
f(x,y) = 3y, 0<x<y<1
eine Dichte ist.
Hinweis: das Bild der Dichte ist wie folgt:
Zeigen Sie daß die Randdichten
3
g(x) = (1-x2), 0<x<1 und h(y) = 3y2, 0<y<1
2
3
x2
x(1 ), 0<x<1, H(y) = y3, 0<y<1 sind, sowie die
2
3
3
3
Erwartungswerte der Randdichten E(Y) = bzw. E(X) = .
4
8
Verallgemeinern Sie auf f(x,y) = αy, 0<x<y<β. Wie hängen α und β zusammen?
und die Randverteilungen G(x) =
Lösung: Alle Integrationen gelingen direkt, z.B. für die Randverteilungen:
x=y
v=1
3
h(y) = 3
ydu = 3y2, g(x) = 3
vdv = (1-x2)
2
x=0
v=x
17
Die Dichte und Verteilung lauten allgemein:
f(x,y) = αy, 0<x<y<β,
y
0
y
0
αydx = αyx = αy2,
z.B. s.o. α = 3, β = 1,
β
0
3
αy 2dy = α
y3
3
|0 = αβ3
β
3
,
αβ 3
= 1,
3
3 ·1
=1
3
Eine weitere Ilustration ist
3
f(x,y) = y, 0<x<y<2 mit den Randdichten
8
3
1
3
g(x) = (2 - x2), 0<x<2 und h(y) = y2, 0<y<2
8
2
8
sowie den Randverteilungen
3
1
1
G(x) = x(2 - x2), 0<x<2, H(y) = y3, 0<y<2
8
6
8
und den Erwartungswerten der Randdichten E(X) =
Aufgabe 8
Zeigen Sie, daß
µ
3
3
bzw. E(Y) = .
4
2
(1-ρ)ρ yµe - x(µx)y
mit 0≤x; y=0,1,2,....; 0<ρ<1; µ>0
y!
eine Dichte ist, und daß die Randdichten geometrisch (mit dem Parameter ρ=λ/µ, d.h. ρ ist
Vielfaches des Erwartungswerts von X) bzw. exponential (mit dem Parameter µ)
verteilt sind. (Hinweis: Beachten Sie, daß für diese Dichte die eine Variable stetig und
die andere diskret ist. Benutzen Sie die Reihen-Entwicklung für ez, bzw. integrieren Sie
mehrfach partiell mit u'= e-µx) Diese Dichte spielt in der Warteschlangentheorie eine
bedeutsame Rolle; die empirische Bedeutung ist X = Wartezeit und Y = Zahl der
Personen im System.
f(x,y) =
18
Aufgabe 9 (Eine zweidimensionale Dichte, die sich leicht bearbeiten läßt)
Sei f(x,y) = xe-x(1+y), 0<x, 0<y eine Dichtefunktion.
1
Zeigen Sie daß die Randdichten f(x)= e-x und g(y) =
sind, und die Randverteilun(1+y)2
y
gen F(x) = 1 - e -x und G(y) =
.
1+y
Lösungshinweis:
Alle Integrationen gelingen entweder direkt oder durch Substitution, bzw partielle
Integration.
19
Aufgabe 10
Seien
f1(x,y) = 4xy mit (x,y)∈([0,1] × [0,1]) und
f (x,y) = λ λ e -λ 1x -λ 2y mit (x,y)∈([0,∞) × [0,∞)) zwei Dichtefunktionen.
2
1 2
Bestimmen Sie die jeweilige Verteilungsfunktion und die zugehörigen Randdichten sowie
die Kovarianzen.
Lösungshinweis:
Zu 1 s.o.; zu 2 beachte man die Unabhängigkeitsdefinition sowie λ 1>0, λ 2>0
Aufgabe 11
Die gemeinsame Dichte von X und Y sei gegeben durch
6
2 xy
f(x, y) = 7 ( x + 2 ), 0 < x < 1, 0 < y < 2
a) Man überprüfe, daß f tatsächlich eine Dichtefunktion ist.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von (X, Y).
1
1
c) Bestimmen Sie P(X > Y), d) Bestimmen Sie P(Y > |X < ), e) Bestimmen Sie E(X).
2
2
Lösung:
Das Bild der Dichte ist:
a ) Als erstes wird überprüft, ob eine Verteilung vorliegt:
1
6
7
0
6 1 2 1 2 2
6 1
1
(x2+ xy)dydx =
(x y+ xy ) dx =
(2x2+x)dx
2
7
4
7
0
0
0
0
2
6 2
1
= ( x3+ x2)
7 3
2
1
=
0
6 2 1
⋅( + ) = 1.
7 3 2
20
b) Die Bestimmung der Verteilung 0 < x < 1 und 0 < y < 2:
x
x
0
0
=
y
6
1
(u 2 + uv)dvdu = 7
2
0
2
1
2 y
6 x 2
1
(u v + uv ) 0 du =
(u y+ uy2)du =
4
7 0
4
2 3
3 2 2
x y+
x y = F(x,y), (Probe: F(0,0) = 0; F(1,2) = 4/7 + 12/28 = 1)
7
28
x
0 < x < 1 und y ≥ 2:
2
1
6 x 2
1
(u2 + uv)dvdu =
(u v+ uv2)20 du
2
7 0
4
0
0
6 x
6 2
1
4
3
(2u 2+u) du = ( u3+ u2) x0 = x 3+ x 2
7 0
7 3
2
7
7
x ≥ 1 und 0 < y < 2:
=
y
6
7
1
1
6 y 1 3 1 2 1
(u 2 + uv)dudv =
( u + u v)0 dv
2
7 0 3
4
0
0
=
6 1
1
2
3
1
3
6 y 1 1
( + v) dv = ( v+ v2)y0 = y + y2 = y(2 + y)
7 0 3 4
7 3
8
7
28
7
4
F(x,y) =
x ≤ 0 oder y ≤ 0
0
6 3
3
x y+ x2y2
21
28
4 3 3 2
x + x
7
7
2
3
y+ y2
7
28
1
0 < x <1 und 0 < y< 2
0 < x< 1 und y ≥ 2
x ≥ 1 und0 < y < 2
x ≥ 1 undy ≥ 2
1
6
6 1 x 2 xy
c) P(X>Y) =
(x + )dydx = 7
7 0 0
2
=
6 5 4 1 15
x 0 =
7 16
56
2
xy x
(x y+
) 0 dx = 6
4
7
2
0
1
(x 3 +
0
x3
)dx
4
21
d) P (Y> 0.5X<0.5) =
P(Y>0.5 und X <0.5)
P(A∩B)
=:
FX(0.5)
P(B)
0.5 2
6 2
(x + 0.5xy) dxdy
7 0.5 0
=
=
FX(0.5)
6 2 1
y
( + )dy
7 0.5 24 16
=
FX(0.5)
2
6
7
2
(
0.5
x3 x 2y 0.5
+
) 0 dy
3
4
FX(0.5)
6 1
1
6 1 1 1
1
2
( y+ y2) 0.5
( + )
7
7 24
32
7 12 8 48 128
=
=
=
8
FX(0.5)
1
3
+
14 28
2
6 2
xy 2 12 2 6
6
xy
) 0 = x + x = x(2x +1)
(x + ) dy = 7 (x y+
4
2
7
7
7
6
fX(x) =
7
2
0
x
FX(x) =
(
0
1
e) E(X) =
(
0
12 2 6
12 3 3 2 x 4 3 3 2
u + u) du = ( u + u ) 0 = x + x
7
7
7
7
21
7
3 4 2 3 1 3 2 5
12 3 6 2
x + x ) dx= ( x + x )  0 = + = .
7
7
7
7
7 7 7
22
Aufgabe 11 (Harry Hauptmann, ρ = 0)
Diese Aufgabe zeigt, daß zwischen X und Y ein Zusammenhang bestehen kann, aber
dennoch R2 = 0 ist. M.a.W. ein kleines Bestimmtheitsmaß sagt u.U. gar nichts über einen
ursächlichen Zusammenhang:
P[Y =X2] = 1
Seien die Beobachtungen genau auf einer Parabel gelegen:
{Xt} = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
{Yt} = {16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16} ,
Zeigen Sie, daß ρ = 0 und damit R2 = 0 ist.
Das Bild der Beobachtungen ist wie folgt:
Dieses Beispiel zeigt besonders deutlich, daß der Korrelationskoeffizient ρ keinen
beliebigen Zusammenhang, sondern nur einen linearen mißt.
(CORRELATION)