Zahlentheorie Beispiel 2 2. Finden Sie alle positiven ganzen Zahlen

Zahlentheorie
Beispiel 2
2. Finden Sie alle positiven ganzen Zahlen m mit der Eigenschaft, dass die vierte Potenz der
Anzahl der positiven Teiler von m gleich m ist.
Lösung. Wir schreiben wie üblich τ (k) für die Anzahl der positiven Teiler einer Zahl k. Wir suchen
daher alle ganzen Zahlen m, sodass
τ (m)4 = m.
Daher ist m eine vierte Potenz, es gibt also eine positive ganze Zahl n, sodass m = n4 . Wir ziehen
die vierte Wurzel und müssen daher die Gleichung
τ (n4 ) = n
lösen.
Sei n = pβ1 1 . . . pβr r die Primfaktorzerlegung von n, wobei wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
p1 < p2 < · · · < pr annehmen können. Dann gilt
(4β1 + 1)(4β2 + 1) . . . (4βr + 1) = τ (n4 ) = pβ1 1 . . . pβr r .
(1)
Die linke Seite ist als Produkt ungerader Zahlen ungerade, somit müssen alle Primfaktoren der
rechten Seite ungerade sein, also p1 ≥ 3.
Hilfssatz. Sei p eine ungerade Primzahl und β eine positive ganze Zahl. Dann gilt
pβ
> 2,
4β + 1
außer wenn (p, β) ∈ {(3, 1), (3, 2), (5, 1), (7, 1)}, für die sich (in dieser Reihenfolge) für pβ /(4β + 1)
die Werte 3/5, 1, 1, 7/5 ergeben.
Beweis. Die Aussage gilt trivialerweise für (p, β) mit p > 10 und β = 1. Wir überprüfen die
Gültigkeit ebenfalls für (p, β) ∈ {(7, 2), (5, 2), (3, 3)}.
Wenn pβ > 8β + 2 für ein Paar (p, β) gilt, so folgt für β ≥ 1 auch
pβ+1 > p(8β + 2) ≥ 3 · (8β + 2) = 24β + 6 > 8(β + 1) + 2,
also die Gültigkeit der Aussage für (p, β + 1). Damit ist der Beweis induktiv erbracht.
Wir schreiben (1) in der Form
1=
pβ2 2
pβ1 1
pβr r
·
···
.
4β1 + 1 4β2 + 1
4βr + 1
(2)
Aus dem Hilfssatz wissen wir, dass höchstens einer dieser Brüche kleiner als 1 ist. Wir unterscheiden
demnach zwei Fälle:
Fall 1: pβ1 1 = 3. Der erste Bruch in (2) ist 3/5. Die anderen Brüche sind laut dem Hilfssatz gleich
1, 7/5, oder größer als 2, das Produkt kann daher nicht 1 ergeben. Widerspruch.
Fall 2: Kein Bruch in (2) ist kleiner als 1. Somit müssen alle Faktoren gleich 1 sein; aus dem Hilfssatz folgt, dass dies nur für (pj , βj ) ∈ {(3, 2), (5, 1)} möglich ist. Wir erhalten daraus die Werte
1, 32 , 51 , 32 51 für n.
Die einzigen Lösungen für m sind daher 1, 94 , 54 und 454 .