Diskrete Standardverteilungen Inhalt: 1. Die diskrete

Universität Basel
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Diskrete Standardverteilungen
Dr. Thomas Zehrt
Inhalt:
1. Die diskrete Gleichverteilung
2. Die Einpunktverteilung
3. Die Zweipunktverteilung
4. Die Binomialverteilung
5. Die hypergeometrische Verteilung
2
Teil 1
Die diskrete Gleichverteilung
3
Eine diskrete Zufallsvariable X mit den
Ausprägungen x1, x2, . . . , xk heisst
gleichverteilt,
wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion
1
P(X = xi) =
k
für alle i = 1, 2, . . . , k gilt.
P
IR
4
1
P(X = xi) =
k
für x1, x2, . . . , xk
E(X)
k
1 X
=
xi
k
i=1
Var(X)
k
X
1
=
x2i − E(X)2
k
i=1
Aufgabe 1
Beweisen Sie die Gleichung für Var(X).
5
Teil 2
Die Einpunktverteilung
6
Eine diskrete Zufallsvariable X hat die
Einpunktverteilung,
wenn sie nur eine einzige Ausprägung a
mit P(X = a) = 1 besitzt.
P
1
IR
a
7
P(X = a) = 1
E(X)
= ?
Var(X)
= ?
8
Teil 3
Die Zweipunktverteilung
9
Eine diskrete Zufallsvariable X mit nur
zwei Ausprägungen x1 und x2 heisst
zweipunktverteilt.
Für ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt
dann
p
für i = 1
P(X = xi) =
1−p
für i = 2
P
1−p
p
IR
x1
x2
10
P(X = xi) =
p
1−p
für i = 1
für i = 2
für x1, x2
E(X)
= ?
Var(X)
= ?
Aufgabe 2
Ergänzen Sie die fehlenden Einträge.
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Teil 4
Die Binomialverteilung
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Eine diskrete Zufallsvariable X mit den
Ausprägungen 0, 1, . . . , n heisst
binomialverteilt,
mit den Parametern n und p, wenn für
ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion
n
px (1 − p)n−x
P(X = x) =
x
für alle x = 0, 1, . . . , n gilt.
P
IR
13
n
P(X = x) =
px (1 − p)n−x
x
=: fBi(x; n, p)
für x = 0, 1, 2, . . . , n
E(X)
= np
Var(X)
= np(1 − p)
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Verteilung (rot) und Verteilungsfunktion (blau) der Binomialverteilung für n = 10 und p = 0.5 bzw. 0.25
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10
6
8
10
x
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
x
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Wann tritt die Binomialverteilung auf ?
• Ein Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse: E (Erfolg) und Ē (Misserfolg).
• Das Experiment wird eine feste Anzahl
n mal durchgeführt.
• Die Durchführungen erfolgen unabhängig
voneinander.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelexperiment ist konstant.
X = Anzahl Erfolge in den n Versuchen
Dann ist X binomialverteilt.
Bezeichnung: X ∼ B(n; p)
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Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, beim
10-maligen Werfen einer fairen Münze,
• genau,
• mindestens oder
• höchstens
7-mal ,,Zahl“ zu erhalten.
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Aufgabe 4
Aus statistischen Untersuchungen sei bekannt,
dass die Aktie der Firma ,,SehrVerlässlich,, an
jedem Tag mit der Wahrscheinlichkeit von p um
2, − steigt bzw. mit der Wahrscheinlichkeit von
q = 1 − p um 1.− fällt.
0
p
+2
q
−1
Sie kaufen diese Aktie. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie nach 50 Tagen einen Verlust
zu beklagen, falls
1. p = 12 oder
2. p = 13 .
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Teil 5
Die hypergeometrische Verteilung
19
Eine diskrete Zufallsvariable X mit den
Ausprägungen 0, 1, 2, . . . , n heisst
hypergeometrisch verteilt,
mit den Parameter n, S, N (wobei n ≤ S
und n ≤ N − S), wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = x) =
S N−S
x n−x
N
n
für alle x = 0, 1, 2, . . . , n gilt.
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P(X = x) =
S N−S
x n−x
N
n
=: fHy (x; N, S, n)
für 0 ≤ x ≤ n
E(X)
S
= n
N
Var(X)
S
N−n
S
1−
= n
N
N
N−1
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Verteilung der hypergeometrischen Verteilung für
• S = 10, W = 15, n = 7;
• S = 15, W = 15, n = 8;
• S = 25, W = 15, n = 8
0,3
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0
2
4
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
6
x
x
2
4
6
x
8
8
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Wann tritt die hypergeometrische Verteilung auf ?
Von N Elementen seien S vom Typ E und
W = N − S vom Typ E.
Eine Stichprobe vom Umfang n wird gezogen (ohne zurücklegen).
X = Anzahl Elemente vom Typ E
in dieser Stichprobe.
Dann ist X hypergeometrisch verteilt.
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Aufgabe 5
In einer Urne befinden sich 10 schwarze und
15 weisse Kugeln. Es werden 7 Kugeln gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlicheit befinden sich unter diesen 7 Kugeln genau 5 schwarze (und 2
weisse)?