19 Vektorpotenzial und Biot-Savart
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Magnetostatik 1. Permanentmagnete 2. Magnetfeld stationärer Ströme i. Elektromagnetismus Phänomenologie ii. Magnetischer Fluss Amperesches Gesetz iii. Feldberechnungen mit Amperschen Gesetz iv. Das Vektorpotenzial v. Biot-Savartsches Gesetz und Anwendungen 3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 4. Materie im Magnetfeld Feldberechnungen Elektrostatik Wie kann aus einer vorgegebenen Ladungsverteilung das elektrische Feld berechnet werden? Magentostatik Wie kann aus einer vorgegebenen Stromverteilung das magnetische Feld berechnet werden? Superpositionsprinzip Superpositionsprinzip Gauß‘scher Satz Feld durch Hüllfläche gleich der eingeschlossenen Ladung, gilt immer, aber Feldberechnung nur für Anordnungen mit Symmetrien möglich Amperesches Gesetz Ringintegral über geschlossene Kurve gleich dem Strom, Feldberechnung nur für Anordnungen mit Symmetrien möglich Feldberechung aus Potenzial Überlagerung der Potenziale der Teilladungen und Bildung des Gradienten, für beliebige Anordnungen mit endlichem Aufwand lösbar (Lösung der Poissongleichung) ??? Hat ein magnetisches Feld ein Potenzial? Wenn ja, kann es zur Feldberechnung verwendet werden? 1 Das Vektorpotenzial 1 Allgemeinste (und einfachste) Methode zur Feldberechnung in Elektrostatik Berechnung des Potenzials ϕ Feld E Gradient des Potenzials ρ (2) ϕ (1) ∝ ∫ dV r12 V r E = −gradϕ = −∇ϕ Gibt es auch für das Magnetfeld ein „Potenzial“, das die Feldberechnung ermöglicht? Annahme B als Gradient eines skalaren Potenzials darstellbar r B = −gradφmagn Einsetzen in Amperesches Gesetz: rot B = µ0 I v v r rot B = rot (− gradφmagn ) = −∇ × ∇φmagn ≡ 0 Widerspruch B nicht als Gradient eines skalaren Potenzials darstellbar Das Vektorpotenzial 2 Definition A(r) = vektorielle Feldgröße gegeben durch Relation r v v B (r ) = rot A(r ) = ∇ × A(r ) A(r) = Vektorpotenzial Allerdings Vektorpotenzial nicht eindeutig bestimmt, muss dazu noch Zusatzbedingung erfüllen: v div A(r ) = 0 Coulombeichung gilt nur im stationären Fall 2 Magnetfeld beliebiger Stromverteilungen Strategie: Berechnung des Vektorpotenzials A B durch Bildung von rot A berechnen Wie kann ich das Vektorpotenzial einer beliebigen Stromverteilung bestimmen? r v B = rot A r r rot B = µ0 j v v v v ⇒ rot rot A = grad div A − div grad A = ∆ A r v ∆ A = − µ0 j Vektorpotenzial aus Stromverteilung bestimmbar: Lösen von DGL für drei Komponenten (x,y,z) sonst äquivalent zu Poissongleichung für elektrostatisches Feld Hoffnung: Lösungen können übernommen werden Vektorpotenzial einer Stromverteilung v j dV r r2 Volumen V r r12 r A (r1 ) r r1 Stromdichte im Volumselement dV an Stelle r2 erzeugt Vektorpotenzial dA in r1; für gesamtes Vektorpotenzial in A(r1) Integration über Volumen r v r µ0 j (r2 ) A(r1 ) = dV2 ∫ 4π Volumen r12 v r v v v r µ j (r2 ) B(r1 ) = rot A(r1 ) = 0 ∫ ∇ × dV2 Berechnung von B aus A 4π Volumen r12 v r r v v µ0 j (r2 ) × e12 e12 Einheitsvektor in Richtung r12 B(r1 ) = dV2 ∫ 4π Volumen r122 3 Vektorpotenzial Feldgleichungen r v r µ0 j (r2 ) A(r1 ) = dV2 4π ∫ r12 v r r v v µ0 j (r2 ) × e12 B (r1 ) = dV2 4π ∫ r122 Integral für 3 Komponenten lösen Integral für 3 Komponenten lösen Hilft es überhaupt das Vektorpotenzial einzuführen? Im Prinzip Integration für A leichter (kein Kreuzprodukt) Für einfache Problem meist nicht: Lösen von Integral, dann noch rot-Bildung Symmetrien B: nur in Symmetriepunkt, A auch in Umgebung berechnen, damit Ableitung gebildet werden kann A hat physikalische Bedeutung: Bereich B null, aber nicht A (lange Spule) Quantenmechanische Beeinflussung von Teilchen Gesetz von Biot-Savart Stromfluss in einem dünnen Draht: r r v r r j dV = j dAds = Ids Volumsintegral zu Linienintegral r r v v µ e × ds dB(r1 ) = − 0 I 12 2 2 4π r12 Biot-Savart Gesetz r r v v µ0 e12 × ds2 B(r1 ) = − I ∫ 4π Leiter r122 Jedes Leiterstück mit Länge ds und Strom I erzeugt Feld dB Leiter mit Länge L und Strom I erzeugt Feld B v v A(r1 ) r ds v j v r12 Punkt P(r1) r v dB(r1 ) B normal auf Ebene aufgespannt von ds und r12 Draht in Bildebene B in Bildebene hinein 4 Magnetfeld einer Leiterschleife Leiterschleife mit Radius R von Strom I durchflossen Gesucht: Magnetfeld B entlang der z- Achse Als Funktion von z Vereinfachung Schleife symmetrisch zu Ursprung in x-y Ebene Aus Symmetriebedingungen B(z)= Bz(z) nur Komponenten in z- Richtung Bz (z ) = ( µ0IR 2 2 z2 + R 2 ) 3/2 1/z3 Magnetfeld einer Leiterschleife: Allgemein Integral ohne Symmetrie nicht exakt lösbar z r r Für Annahme r r >> R ⇒ r r r r µ B(r ) ∝ I 0 3 (2cos(θ ) ⋅ er + sin(θ ) ⋅ eθ ) 4π r r r B(r ) R Feld vergleichbar mit dem eines kurzen Stabmagneten I Stromschleife = magnetischer Dipol r r r r Fläche A = π R 2ez Magnetisches Dipolmoment pm = I ⋅ A v pvm Daraus ergibt sich B ∝ r3 r v pel El. Dipol E∝ 3 r 5 Magnetische Felder Feld einer Leiterschleife Feld eines kurzen Stabmagneten Magnetischer Dipol Zylinderspule endlicher Länge Länge L B Ampereschen Gesetz: B = µ0 N I/ L Annahmen sehr lang und dünn B im Inneren homogen Durchmesser 2R Exakte Rechnung mit Biot-Savart ⎤ z + L/2 z − L/2 µI⎡ B (z ) = N 0 ⎢ − 2 2 ⎥ 2 2 2L ⎣ R + (z + L / 2 ) R + (z − L / 2 ) ⎦ Mittelpunkt der Spule z = 0, L>>R L µI B(z = 0 ) = N 0 2 2L R + L2 / 4 µI ≈ N 0 L >> R L Ende der Spule z = L/2 (L>>R) µI B(z = L / 2 ) = N 0 2L 6 Beispiel Biot-Savart Magnetfeld im Inneren einer Leiterschleife mit mehreren Windungen Strom I = 10A Radius der Schleife R = 9.5 cm Windungszahl N = 32 Inneres der Leiterschleife z = 0 B(z = 0 ) = N µ0 I 2 1 R 2 + L2 / 4 L ≈ 1cm ⇒R>>L: B(z =0) ≈ 2mT L ≈ 10 cm ⇒ B(z =0) ≈ 1,8 mT ⇒ B(z =L/2) ≈ 0,9 mT Überprüfung durch Messung Helmholtz Spulenpaar B(z) d (auf Achse) R z HelmholtzSpulenpaar z Optimale Homogenität im Spulenzentrum Theorie: B(z) homogen, wenn Helmholtzbedingung erfüllt d = R Anwendung: Erzeugung von homogenen Magnetfeldern 3 Spulenpaare: Kompensation von Magnetfeldern (Erdmagnetfeld) 7
