Übung 1
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Dr. Christian Săcărea “Babeş–Bolyai” Universität, Cluj-Napoca Fachbereich Mathematik und Informatik Wintersemester 2016/2017 1. Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker Gruppenübungen: (G 1)Induktion Behauptung: Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, sind alle n Tiere Elefanten. “Beweis”: Wir wenden die Methode der vollständigen Induktion an. Für den Induktionsanfang betrachten wir den Fall n = 1: Ist in einer Menge von einem Tier ein Elefant enthalten, so sind alle Tiere der Menge Elefanten. Dies ist offensichtlich wahr. Als Induktionsannahme nehmen wir an, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen kleiner n+1 bereits bewiesen sei. Wir müssen nun zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 zutrifft. Gegeben sei also eine Menge von n + 1 Tieren, unter denen sich ein Elefant befindet. Wir stellen die Tiere in einer Reihe auf, so dass der Elefant vorne als erstes in der Reihe steht. Dann nehmen wir das letzte Tier der Reihe beiseite. Es bleiben also n Tiere stehen, von denen eines, nämlich das erste, ein Elefant ist. Da nach Induktionsannahme unsere Behauptung für n Tiere gilt, sind alle diese n Tiere Elefanten. Nun nehmen wir einen dieser n Elefanten beiseite, und stellen stattdessen das Tier wieder dazu, das wir zuerst weggenommen hatten. Wieder stehen nun n Tiere da, von denen, wie wir gerade gezeigt haben, alle bis auf höchstens eines, Elefanten sind. Insbesondere enthält diese Menge von n Tieren einen Elefanten, also sind wiederum nach Induktionsannahme alle Tiere Elefanten, auch das Tier, das zuerst ausgesondert wurde. Ist die Behauptung tatsächlich wahr oder ist an diesem Induktionsbeweis etwas faul? (G 2)Induktion Eine Folge a0 , a1 , . . . von natürlichen Zahlen sei wie folgt definiert: a0 , a1 , a2 = 1, . . . , an = 1 a + 32 an−2 + 21 an−1 für n ≥ 3. 2 n−3 Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt an = f ib(n), wobei f ib die Fibonacci Folge beschreibt. (G 3)Strukturelle Induktion Ein voller, vollständiger Binärbaum ist ein Baum G(V, E), so dass alle inneren Knoten von G den Verzweigungsgrad 2 haben und alle Blätter haben dieselbe Höhe. Man beweise, dass jeder volle, vollständige Binärbaum der Höhe n ∈ N genau 2n−1 − 1 innere Knoten besitzt. (G 4)Strukturelle Induktion Ein Binärbaum T heißt Unterbaum eines Binärbaums T 0 genau dann, wenn T = T 0 oder T Unterbaum eines (linken oder rechten) Teilbaums von T 0 ist. Die Höhe h(T ) eines Binärbaums T ist folgendermaßen definiert: • Für den leeren Binärbaum T ist h(T ) = 0. • Für den Binärbaum T = [T1 , T2 ] ist h(T ) = 1 + max(h(T1 ), h(T2 )). Zeigen Sie: Die Anzahl der Unterbäume eines Binärbaums T ist 2h(T )+1 − 1. Hausübungen: (H 1)Kleine Logelei Die Schlümpfe erwarten Besuch in ihrem Dorf und machen dementsprechend viel Radau. Zwirni, Hefti, Schlaubi, Clumsy, Torti, Handy, Toulousy, Harmony und natürlich Schlumpfine treffen sich vor Papa-Schlumpfs Haus und reden alle durcheinander. Es ist von Dodo, Bauchi, Knirps und Schnuffi die Rede. Papa-Schlumpf hört eine Weile zu und findet heraus, dass die erwarteten Gäste eine kleine Fee, ein Zwerg, ein kleiner Junge und ein Häschen sind. Da will Papa-Schlumpf natürlich erfahren, wer was ist. Schlaubi-Schlumpf, als persönlicher Assistent von Papa-Schlumpf, versucht es ihm zu erklären: Wenn Dodo nicht der Zwerg ist und Bauchi nicht die kleine Fee, dann ist Knirps der kleine Junge. Wenn Schnuffi nicht das Häschen ist, dann ist, falls Dodo nicht die kleine Fee ist, Bauchi der kleine Junge. Mindestens eine der folgenden drei Angaben ist richtig: Knirps ist das Häschen, Schnuffi ist der Zwerg, Dodo ist der kleine Junge. Wenn weder Knirps noch Schnuffi die kleine Fee ist, dann ist Bauchi der kleine Junge. Und wenn... Genug Schlaubi, diese Angaben reichen mir schon, unterbrach ihn Papa-Schlumpf. Wie heißen der Zwerg, die kleine Fee, der kleine Junge und das Häschen? (H 2) Sei n ∈ N. Zeigen Sie mit Hilfe eines a) direkten Beweises, b) Beweis durch Kontraposition, c) Beweises durch Widerspruch, dass gilt: Falls n gerade, dann ist auch n2 gerade. (H 3) Sei n ∈ N. Zeigen Sie mit Hilfe von Induktion über die natürlichen Zahlen, dass die folgenden Aussagen gelten: a) n3 + 2n ist durch 3 teilbar b) n3 − n ist durch 6 teilbar c) 3n − 3 ist durch 6 teilbar (H 4) Zeigen Sie mit Hilfe eines Beweises durch Widerspruch, dass √ 3∈ / Q. (H 5) Sei n ∈ N und F (n) die Fibonacci-Zahl von n, die wie folgt definiert ist: wenn n = 0 0 F (n) = 1 wenn n = 1 F (n − 1) + F (n − 2) wenn n ≥ 2 Zeigen Sie mit Hilfe von verallgemeinerter vollständiger Induktion über die natürlichen Zahlen, dass die folgende Aussage gilt: Wenn n durch 3 teilbar ist, ist F (n) durch 2 teilbar.
