Lineare Algebra: Das Gaußsche

Lineare Algebra: Das Gaußsche
Eliminationsverfahren
Von Florian Modler
Definition:
Unter einer „linearen Gleichung mit n Variablen“ versteht man eine Gleichung, die durch
Äquivalenzumformungen auf die Form
a1 x1  a2 x2  ...  an xn  r (a1 , a2 ,..., an ; r  )
gebracht werden kann.
Die Zahlen a1, a2, ..., a2 nennt man Koeffizienten, die Zahl r heißt absolutes Glied.
Definition:
Unter einem „linearen Gleichungssystem“ versteht man eine Aussageform, in der m lineare
Gleichungssystem mit n Variablen konjunktiv mit einander verknüpft sind.
Allgemein schreibt man ein Gleichungssystem wie folgt auf:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  r1
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  r2
...
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  rn
Die Untersuchung von Vektoren a1 , a2 ,..., an auf lineare Abhängigkeit führt jeweils auf ein
Gleichungssystem, bei dem das absolute Glied 0 ist: r1=r2=...=rn=0.
Dies ist ein homogenes Gleichungssystem. Gilt dagegen für wenigstens eine Zahl auf der
rechten Seite rk  0 , so spricht man von einem inhomogenen Gleichungssystem.
Bei einem Linearen Gleichungssystem sind folgende Umformungen stets
Äquivalenzumformungen:
1) Vertauschen von Gleichungen
2) Multiplizieren einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl
3) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus dieser und einer anderen Gleichung
Das Gaußsche Eliminationsverfahren:
Wir führen ein Beispiel eines aufgelösten LGS an:
x  2 y  4 z  6
 3 y  11z  17
59 z  59
Man sagt dieses LGS hat Dreiecksform. Diese Form ist dadurch gekennzeichnet, dass die
Koeffizienten unterhalb der sogenannten Hauptdiagonalen sämtlich den Wert 0 haben.
x  2 y  4 z  6
 3 y  11z  17
59 z  59
Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahren ist es also, ein geeignetes LGS auf diese
Dreiecksform zu bringen. Man erreicht dieses in der Regel dadurch, dass man die
Gleichungen mit geeigneten Zahlen multipliziert und dann addiert:
Beispiel:
 x  y  3z  1
2 x  2 y  7 z  0
3x  2 y  2 z  5
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und addieren diese zu der zweiten Gleichung.
Danach multiplizieren wir die erste Gleichung mit –3 und addieren dieser zur dritten
Gleichung. So haben wir das LGS auf Dreiecksform gebracht. Dies schreibt man wie folgt:
 x  y  3 z  1| 2
2 x  2 y  7 z  0 | 1
3x  2 y  2 z  5
| ( 3)
| 1

 x  y  3z  1
z2
5 y  11z  2
Wir müssen die beiden letzten Gleichungen nur noch vertauschen und schon haben wir die
gewünschte Dreiecksform:
 x  y  3z  1
5 y  11z  2
z2
Einsetzen von z in II: 5 y  22  2  y  4
Einsetzen von y und z in I: x  4  6  1  x  3
Übungen zu Lineare Algebra: „Das Gaußsche Eliminationsverfahren“
Buch Seite 104 Nr. 4 a, d
4. Löse das folgende LGS mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.
a)
4 x  3 y  3z  6
x  3y  z  4
4 x  2 y  3z  1
b)
3 x  2 y  5 z  1
x  3y  z  5
2 x  y  3z  0
Lösungen:
4.
a)
4 x  3 y  3z  6
x  3y  z  4
4 x  2 y  3z  1
Der Koeffizient von x hat in der zweiten Gleichung den Wert 1, daher ist es zweckmäßig
die beiden ersten Gleichungen zu vertauschen:
x  3 y  z  4 | (4)
| (4)
4 x  3 y  3 z  6 | 1
4 x  2 y  3z  1
| 1

x  3y  z  4
 9 y  7 z  10 | (
10
)
9
10 y  7 z  15 | 1

x  3y  z  4
 9 y  7 z  10
7
35
 z  z5
9
9
y  4; x  6
b)
3 x  2 y  5 z  1
x  3y  z  5
2 x  y  3z  0
Der Koeffizient von x hat in der zweiten Gleichung den Wert 1, daher ist es zweckmäßig
die beiden ersten Gleichungen zu vertauschen:
 x  3 y  z  5 | 3
| 2
3 x  2 y  5 z  1| 1
2 x  y  3z  0
| 1

x  3y  z  5
 7 y  8 z  14 | (5)
5 y  z  15 | 7

x  3y  z  5
 7 y  8 z  14
 45 z  20  z 
y  4; x  6
Florian Modler
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