Formelsammlung Technische Mechanik

Formelsammlung Technische Mechanik
Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck
Gegenkathete
Hypothenuse
Ankathete
cos  
Hypothenuse
Gegenkathete
tan  
Ankathete
sin  
Zweipunktgleichung
y2  y1
x2  x1
Beziehungen für resultierende Kräfte in Ebenen
tan  
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
FRX   Fix   ( Fi  cos  i )
FRY   Fiy   ( Fi  sin  i )
Betrag:

FR  FRx2  FRy2
Richtung
cos  R 
sin  R 
FRx
FR
FRy
FR
arctan  R 
FRy
FRx
Gleichgewichtsbeziehungen der ebenen zentralen Kräftegruppe
n
n
x


  Fix   Fi  cos   0
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
 y   Fiy   Fi  sin   0
Resultierendes Moment
n
M R   ( Fiy  xi  Fix  yi )  FR  aR  FRy  xR  FRx  y R
i 1
Wirkungslinie
FRy
M
y R ( xR ) 
 xR  R
FRx
FRy
Ort des maximalen Biegemoment
M B max für Fq  0
Sind Tragwerke statisch bestimmt oder unbestimmt?
 w  2  g  3 n
i
erfüllt, dann bestimmt
w = Wertigkeit des Lagers
g = Anzahl der Gelenke
n = Anzahl der Tragwerkselemente
Linienkräfte: konstante Belastung
- FR  q0  l
Schwerpunkt bei ½ l
Dreiecksbelastung
q l
- FR  0
Schwerpunkt bei 2/3 l
2
Schwerpunkt
Koordinaten des Körperschwerpunkt
n
1
xs 
  mi  xi ,
mGes i 1
n
1
ys 
  mi  yi
mGes i 1
n
1
zs 
  mi  zi
mGes i 1
m = Masse des Körpers,
Flächenschwerpunkt : siehe Folie Flächenschwerpunkt
i
Ai
xi
yi
Ai  xi

i
Ai
xi
yi
= Nummer der Teilfläche
= Flächeninhalt der Teilfläche
= x – Koordinate von Schwerpunkt in Teilfläche
= y – Koordinate von Schwerpunkt in Teilfläche
xs , ys = Schwerpunkte der Gesamtfläche, Ermittlung siehe Folie
Ai  yi
Flächenträgheitsmoment
Tabellenkopf bei Berechnung von Trägheitsmomenten
i
Ai / a 2 xsi / a ysi / a I xxi / a 4 I yyi / a 4 x 2 si  Ai y 2 si  Ai
I xx
I
Ai
xsi , ysi
I xx , I yy
= Flächennummer
= Fläche der Teilflächen
= Schwerpunkte in x und y-Richtung der einzelnen Flächen
= Trägheitsmomente
I xy
= Deviationsmoment
Festigkeitslehre
Spannungen und Verzerrungen
dF
 N
Normalspannung:
dA
FN  Kraft normal zur Bezugsfläche
A = Bezugsfläche
  G 
Schubspannung:
G = Schubmodul
  Schubverzerrung , Gleitung
dl

Normaldehnung:
l
dl = Verlängerung des Stabes
l = Ausgangslänge des Stabes
d d
 q  1 0 , d = Dicke
Querdehnung
d0
Materialgesetz für linear – elastisches Materialverhalten
  E *
  Normalspannung
l

l0
E = E-Modul
Zusammenhang zwischen E-Modul und Schubmodul
E
G
2(1   )
Hookesches Gesetz
I yy
Zug und Druck in Stäben
Spannung:  z 
Dehnung :  z 
FL
A
FL =Längskraft
A = Fläche
z
  th  T
E
 th = thermischer Ausdehnungskoeffizient
T = Temperaturänderung
Biegung von Achsen und Wellen
Biegespannung
z 
M bx
*y
I xx
 z max 
M res max
F l
F l
 r  res  r = res
I
I
Wb
 b max 
M bx
= max. Biegespannung
Wbx
Wb 
I
r
=Widerstandsmoment gegen Biegung
Zusammenstellung wichtiger Querschnittskennwerte zur Biegung
A
Querschnittsfläche
I
Flächenträgheitsmoment
Wb
Widerstandsmoment gegen Biegung
Vollwelle

 D2
4
 4

D
64


32
D3
Hohlwelle

 (D2  d 2 )
4

 (D4  d 4 )
64


32
(D3  d 3 )
Differentialgleichung der elastischen Linie
E I v’’ =  M b
E
I
E*I
Mb
v
= E – Modul
= Trägheitsmoment
= Biegefestigkeit
= Moment
= Verformung
Torsion
Torsionsmoment
M t  G * I p *
Torsionsspannung

Mt
M
*r  t
Ip
Wt
  Verdrillun g
Wt  Widerstandsmoment gegen Torsion
Wt 
Querschnittskennwerte Vollkreis
I p  It 
Wt 

2

2
* R4
* R3
restliche Kennwerte siehe Folie
Ip
rmax