Skript zur SDT

1 Einführung
1.1 Motivation
SDT in der Psychologie
• Mensch als Detektor/Entscheidungsträger
– Empfindlichkeit/Entdeckbarkeit des Reizes
– Antworttendenz
• Psychophysisches Modell
– Beschreibung nicht beobachtbarer Prozesse
– Verhaltensvorhersage
Anwendungsbeispiele
• Psychophysik: 1000 Hz-Ton aus weißem Rauschen
• Diagnostik: bestimmter Befund vorhanden?
• Seismologie: Steht Erdbeben bevor?
• Zeugenaussagen: Person vor Ort?
Bsp. Detektion von Tönen im Rauschen
• 2 VPn sollen reagieren, wenn Töne anwesend sind
• Je 100 Durchgänge reines Rauschen, 100 Durchgänge Signale mit Rauschen
• VP1 detektiert 90, VP2 60 Signale
• Hört VP1 besser?
• VP1 sagt in 40 Fällen, in denen kein Ton da war (Rauschdurchgänge, Catch-Trials)
„Ja“ es war ein Ton da VP2 irrt sich nur bei 10 Rauschdurchgängen
• Wer ist jetzt besser?
1.2 Terminologie
Terminologie
• „Rauschdurchgänge“ (noise trials): Nur Zufallsrauschen
– Versuchsdurchgänge (trials) ohne Signal
• Signaldurchgänge (signal trials)
– Versuchsdurchgänge mit Signal und Rauschen
• Antwort „ja“ auf Signaldurchgang = Treffer (hit)
trial type
Rauschen
Signal
Antwort
Nein
Ja
korrekte Ablehnung falscher Alarm
Auslassung (miss)
Treffer (hit)
1.3 Beispiel Goldstein
Zusammenfassung der VPn im Bsp. von Goldstein
• Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit Signal
• VP 1 tendiert zum „Ja“-Sagen
VP 1
N
S
VP 2
Nein
60
10
Ja
40
90
N
S
Nein
90
40
Ja
10
60
Änderung der Antworttendenz
• VP2 mit Geld/Abzug für richtige/falsche Antworten. Höhere Belohnung/Strafe bei
„Ja“ (hits/f.A) ⇒ liberalere Antworten
• Höhere Belohnung von korrekter Zurückweisung ⇒ konservative Antworten (wenig
„Ja“)
• Neutrale Antworten, wenn alles gleich belohnt.
N
S
N
S
N
S
Payoff-Matrix
Nein
Ja
+20e
-20e
-200e +200e
+200e
-20e
-20e
+20e
+20e
-20e
-20e
+20e
VP2-Antwort Gewinn
Nein
Ja
10
90
02
98 17600e
99
1
90
10 18180e
80
20
25
75
2200e
2
Falscher Alarm vs. Treffer
1
● ●
●
VP1 neut
PH
●
●
VP2 neut VP1 lib
●
VP2 kons
VP1 kons
0
0
PF
2. Beispiel: 1000 Hz-Ton
• Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit Signal
• 1. Durchgang: Treffer wichtig (Belohnung für hit)
3
1
• 2. Durchgang: kein falscher Alarm (Belohnung für correct rejection)
1. Durchgang
Nein
54
18
N
S
2. Durchgang
Ja
46
82
N
S
Nein
81
45
Ja
19
55
Rauschen Auch wenn in diesem Beispiel ein „echtes akustisches Rauschen“ verwendet
wird ist der Begriff Rauschen oder Noise in der SDT allgemeiner zu sehen. Er bezeichnet
alles was das eigentliche Signal verdeckt. Im Beispiel Wahrnehmung kann dies z. B.
auch das neuronale Rauschen und im Beispiel der Erdbebenvorhersage können es alle
Parameter, die die Genauigkeit der Vorhersage einschränken, sein.
Relative Häufigkeiten
• Überführung in rel. Häufigkeiten
• Trefferrate (hit rate): h =
Anz. Treffer
Anz. Signaldurchgänge
• falscher Alarm Rate (false-alarm rate): f =
N
S
Nein
54
18
Ja
46
82
und N
S
Nein
81
45
Ja
19
55
⇒
1. Durchg.
2. Durchg.
Anz. false alarm
Anz. Rauschdurchgänge
h
0.82
0.55
f
0.46
0.19
[.5cm] Redundante Werte:
• Auslassungsrate, Fehlerrate (miss rate)= 1 − h
• Rate der korr. Zurückweisungen (corr. rej. rate)= 1 − f
1.4 Einfaches Modell
Modell der Entscheidung
Signal
Noise
x
[0cm]
• Verteilung der Zufallsvariablen X
– bei Rauschdurchgängen (Xn )
– und Signaldurchgängen (Xs )
4
Setzen des Kriteriums
Nein
Ja
λ
Signal
Noise
• Zufallsvar. x > λ ⇒ Entscheidung „Ja“
• false-alarm rate:PF
• hit rate:PF
R
= P (Ja|noise) = P (X > λ|noise) = P (Xn > λ) = λ∞ fn (x)dx = 1 − Fn (λ)
R
= P (Ja|signal) = P (X > λ|signal) = P (Xs > λ) = λ∞ fs (x)dx = 1 − Fs (λ)
Variation von λ
λk
λl
λ
Signal
Noise
• Veränderung von λ wirkt auf h und f gemeinsam
– λk : (konservativ) Vermeidung von false alarm, aber wenig Treffer
– λl : Viele Treffer, aber auch viele false alarm
• Geringere Überlappung der Dichtefunktionen fn und fs ⇒ höhere Trennschärfe
Einheiten der x- und y-Achse Auf der y-Achse ist die Wahrscheinlichkeitsdichte aufgetragen. D. h. die Fläche unter jeder Kurve muss 1 sein, da die Wahrscheinlichkeit, dass
irgendein Wert auftritt sicher (=1) ist. Die Einheit der x-Achse lässt sich nicht so einfach
fassen. Im Falle von Tönen könnte hier die Lautheit stehen, was aber nicht allgemein
genug ist. Einige Autoren sagen hier, es ist die subjektive „Sicherheit“ – wie sicher ist
der Beobachter, dass ein Signal vorlag.
5
Modell der statistischen Entscheidung
• Modell zur Bestimmung interpretierbarer Variablen
• 3 Voraussetzungen
– Gesamte Information in einer Zahl repräsentiert
– Diese Zahl ist Zufallsvariable
– Überschreiten einer festen Schwelle ⇒ Entscheidung ja
• Analogie zur NHST (Nullhypothesensignifikanztest)
Information in einer Zahl repräsentiert Dieser theoretisch klingende Ausdruch meint,
dass alle vorhandene Information in einer Zahl zusammengefasst wird. Dies kennt man
z. B. aus Tests in Zeitschriften, bei denen verschieden Informationen (Preis, Bedienbarkeit, technische Eigenschaften, etc.) eines Produktes zu einer Gesamtnote zusammen
gefasst werden.
2 Univariates Gaußsches Modell
2.1 Allgemeines Modell
Das Gaußsche Modell
• Xn ∼ N (µn , σn ) und Xs ∼ N (µs , σs )
• Skalierung: µn = 0, σn = 1
• Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (µs , σs )
• Rechtfertigung für Normalverteilungsannahme
– Gut untersuchte Eigenschaften
– Zentraler Grenzwertsatz
– Empirische Befunde
• Bei speziellen Fragestellungen andere Verteilung
Die Normalverteilung
2
x−µ
1
• Dichte an der Stelle x :φ(x) = σ√12π e− 2 ·( σ )
Rx
• Akkumulierte Dichte: Φ(x) = −∞ φ(t) dt
• mit µ Erwartungswert und σ Standardabweichung der Verteilung
• Im univariaten Modell µ = 0 ; σ = 1 ; φ(x) =
6
1 2
√1 e− 2 x
2π
2.2 Univariates Modell
Das univariate Gaußsche Modell
• Problem
– Ein Experiment → 2 Meßwerte (f, h)
– aber 3 unbekannte Variablen (λ, µs , σs )
• Setze σs = σn = 1, µs wird zu d0
• Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (d0 , 1)
• Vorsicht: Echte Einschränkung, sollte überprüft werden.
2.3 Berechnung Kriterium und d0
Beispiel zur Berechnung von d0 und λ
Nein
54
2. Beispiel oben, 1. Durchg. N
S
18
Ja
46
82
f = 0.46
h = 0.82
1. PF = 0.46 = 1 − Fn (λ) = 1 − Φ(λ) ⇒ Φ(λ) = 1 − 0.46 = 0.54 ⇒ λ = Z(1 − 0.46) =
Z(0.54) = 0.10
2. Xs ∼ N (d0 , 1) ⇒ λ − d0 = Z(1 − 0.82) = Z(0.18) = −0.92
3. Kombination: d0 = λ − (λ − d0 ) = 0.10 + 0.92 = 1.02
7
Schätzer für d0 und λ
symm.
1. Z(1 − f ) = λ̂ ⇒ λ̂ = −Z(f )
2. Z(1 − h) = λ̂ − d̂0 ⇒ Z(h) = d̂0 − λ̂
3. d̂0 = Z(h) − Z(f )
! Vorsicht! Vorzeichen überprüfen!
Fortsetzung 2. Beispiel
• Beispiel oben, rel. H. 1. Durchg.
2. Durchg.
h
0.82
0.55
f
0.46
0.19
• 1. Durchgang: d̂0 = 1.02; λ̂ = 0.10
• 2. Durchgang: d̂0 = 1.00; λ̂ = 0.88
– λ̂ = −Z(f ) = −Z(0.19) = 0.88
– d̂0 = Z(h) − Z(f ) = Z(0.55) − Z(0.19) = 0.12 − (−0.88) = 1.00
⇒
1. Durchg.
2. Durchg.
d̂0
1.02
1.00
λ̂
0.10
0.88
Erhöhung der Entdeckbarkeit
8
• Weniger Überlappung der Verteilungen durch
– Erhöhung von d0
– Verringerung der Varianz σ 2
2.4 Bias und Likelihood
Messung des „Bias“ (Tendenz/Neigung)
• „Ja-Sage-Tendenz“ von Kriterium λ und d0 abhängig.
• zentriertes Kriterium: λcenter = λ − 12 d0 = − 21 [Z(f ) + Z(h)]
• Wahrscheinlichkeitsverhältnis (likelihood ratio): β =
=
0 2
1
φ(λ−d0 ) µ=0;σ=1 e− 2 (λ−d )
=
1
2
φ(λ)
e− 2 λ
1
0 2 +λ2 ]
= e− 2 [(λ−d )
0
fs (λ)
fn (λ)
1 0
= ed (λ− 2 d )
Bedeutung von λcenter : λ und λcenter liegen in der Graphik an der gleichen Stelle. Es
sind nur 2 unterschiedliche Zahlenwerte für das gleiche Kriterium. Während die Größe
von λ relativ zum Mittelpunkt der Rauschverteilung gemessen wird, ist der Bezugspunkt
(die „Null“) bei λcenter die Mitte zwischen den beiden Verteilungen. Der Vorteil von
λcenter liegt darin, dass in einem Zahlenwert der Bias der VP klar wird, während man
bei λ auch d0 kennen muss.
9
Verlauf von β
• Asymmetrisch von 0 . . . ∞
• 1 am Schnittpunkt von fs und fn
h
i
• log(β) = log ffns (λ)
(λ) = log(fs (λ)) − log(fn (λ))
2.5 Idealer Beobachter
Der ideale Beobachter
• Maximierung der Wahrscheinlichkeit richtiger Antwort
• s Wahrscheinlichkeit für Signaltrial⇒ 1 − s = Wahrscheinlichk. für Noisetrial
• PC = P (signal)·P (Ja|signal)+P (noise)·P (Nein|noise) = s[1−Fs (λ)]+(1−s)Fn (λ)
1.0
0.8
Pc
0.6
0.4
0.2
λ*
0.0
−3
−1
1
Kriterium λ
10
3
5
Optimales Kriterium
• Optimales Krit. λ∗ für β ∗ =
• s=
1
2
fs (λ∗ )
fn (λ∗ )
=
1−s
s :
Wettchance (odds)
⇒ fs (λ∗ ) = fn (λ∗ ) Schnittpunkt der Kurven.
∗
∗
• Mehr Signaltrials: s > 12 ⇒ 1−s
s < 1 ⇒ fs (λ ) < fn (λ ) Das Kriterium verschiebt
sich nach links (wird liberaler)
Pay-off Matrix
• Kosten und Nutzen der Verschiedenen Möglichkeiten ungleich
⇒ Optimierung des Erwartungswertes des „Gesamtwerts“
E(V ) = P (Signal + Ja)V (hit) + P (Signal + Nein)V (miss)
+P (Noise + Ja)V (false alarm)
+P (Noise + Nein)V (cor. rej.)
V (miss) und V (f. a.) meist negativ
3 ROC
3.1 Graphische Darstellung
Graph zu 2. Bespiel
• 2. Bsp.: 1. Durchg.
2. Durchg.
h
0.82
0.55
f
0.46
0.19
d̂0
1.02
1.00
λ̂
0.10
0.88
λ1
λ2
d'
−4
−2
0
11
2
4
Umsetzung in ROC-Graph
• Trefferrate gegen Falschen Alarm auftragen
• Punkte auf einer Linie, weil d0 gleich groß
1
S1
S2
PH
●
●
0
0
3.2 Isosensitivitätskurven
1
PF
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Eine Isosensitivitätskurve
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3.3 Univar. Gaußsches Modell
ROC im univ. Gaußschen Modell
• Es gilt PF =
R∞
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fn (x)dx und PH =
R∞
λ
fs (x)dx
• im univariaten Fall also PF = 1−Φ(λ) = Φ(−λ) und PH = 1−Φ(λ−d0 ) = Φ(d0 −λ)
• Durch einsetzen gewinnt man die Kurve: PH = Φ(d0 + Φ−1 (PF ))
• Nur durch Tabellen oder Computerprogramme errechenbar
4 Ausblick
4.1 Weiterführende Themen
Weitere Themen
* ROC-Gerade mit Gaußschen Koordinaten
* Ungleiche Varianzen σn2 und σs2
• Verschiedene Alternativen zu d0
• Anwendung SDT auf
– Vertrauensskalen
– forced-choice Paradigma
– Diskrimination, bzw. Identifikation
• Likelihoods und Bayesscher Beobachter
*Vordiplomsrelevant
4.2 Literatur
Literatur
• Goldstein, E. B. (1997) Wahrnehmungspsychologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, erste Auflage.
• Macmillan, N. A. (2002) Signal detection theory. In: Pashler, H. (Hrsg.), Stevens’
Handbook of Experimental Psychology, Band 1, Kapitel 2, Seiten 43–91. Wiley,
New York, dritte Auflage.
• Wickens, T. D. (2002) Elementary Signal Detection Theory. Oxford University
Press, New York, New York.
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