Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. Dr. Ulrich

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Ulrich Horst
Dipl.-Math. Jana Bielagk
Dipl.-Math. Paulwin Graewe
Dipl.-Wirtsch.-Math. Oliver Janke
Stochastik (BA)
Übungsblatt 10
Wintersemester 2015/16
Aufgabe 1. Seien X, Y zwei voneinander unabhängige standard-normalverteilte
Zufallsvaria
1
2
2
blen. Zeigen Sie, dass X + Y Gamma-verteilt ist zu den Parametern 1, 2 .
Zusatz: Verallgemeinern Sie das Ergebnis für n standard-normalverteilte unabhängige Zufallsvariablen.
Aufgabe 2. Sei V = (V1 , V2 ) ein Zufallsvektor. Der Erwartungsvektor ist definiert durch
µ1
E (V1 )
=
µ = E (V ) =
∈ R2
E (V2 )
µ2
und die Kovarianzmatrix durch
E ((V1 − µ1 )(V1 − µ1 )) E ((V1 − µ1 )(V2 − µ2 ))
∈ R2×2 .
C =
E ((V2 − µ2 )(V1 − µ1 )) E ((V2 − µ2 )(V2 − µ2 ))
Man nennt V normalverteilt mit Erwartungvektor µ und Kovarianz C (det C > 0), falls die
Dichte von V gegeben ist durch
1
1
x1
T
−1
√
fV (x) =
x =
· exp − (x − µ) C (x − µ) ,
∈ R2 .
x2
2
2π det C
Zeigen Sie, dass für einen normalverteilten Zufallsvektor aus Unkorreliertheit (C ist eine Diagonalmatrix) Unabhängigkeit folgt.
Aufgabe 3. Betrachten Sie einen Kreis vom Radius R. Ein Punkt im Kreis werde zufällig
gewählt, so dass die Wahrscheinlichkeit, ihn in einem Gebiet zu finden, proportional zu dessen
Fläche sei. Das Zentrum des Kreises sei der Ursprung (0, 0). Weiter seien (X, Y ) die kartesischen
Koordinaten des Punktes. Dann gilt für das Gebiet A = [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ] im Kreis
Z x2 Z y2
P((X, Y ) ∈ A) = c · |A| = c · (x2 − x1 ) · (y2 − y1 ) = c ·
dy dx,
x1
y1
d.h. (X, Y ) ist absolutstetig verteilt mit Dichte
(
c,
falls x2 + y 2 ≤ R2 ,
f (x, y) =
0,
sonst.
−→ bitte wenden
Bestimmen Sie
(a) die Konstante c;
(b) die marginalen Dichten fX und fY ;
(c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Distanz D von (X, Y ) zu (0, 0) kleiner oder gleich a ist,
für ein a ≥ 0;
(d) E(D).
Besprechung: ab 25. Januar in den Übungen