THEORIE DER ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPER UNENDLICHEN

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THEORIE DER ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPER
UNENDLICHEN GRADES.
Moriya, Mikao
Journal of the Faculty of Science, Hokkaido Imperial
University. Ser. 1, Mathematics = 北海道帝國大學理學部紀
要, 03(3-4): 107-190
1935
DOI
Doc URL
http://hdl.handle.net/2115/55913
Right
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bulletin (article)
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JFSHIU_03_N3-4_107-190.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
THEORIE DER ALGEBRAISCHEN ZAHLK\"ORPER
UNENDLICHEN GRADES.
Von
Mikao MORIYA
INHALT
Einleitung
\S 1. Bewertung der K\"orper
\S 2. Algebraische Erweiterung 1. Art \"uber einem perfekten
.
K\"orper
.
\S 3. Perfekte K\"orper in bezug auf eine diskrete Bewertung
\S 4. Unendliche algebraische Erweiterung 1. Art \"uber einem
perfekten K\"orper
SEITE
107
111
123
135
145
\S 5. Endliche normale Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber einem
bewerteten K\"orper
.
Bewertung von algebraischen Zahlk\"orpern unendlichen
Grades
.
.
\S 7. Galoissche Zahlk\"orper von endlichem Grade \"uber einem
unendlichen Zahlk\"orper
\S 8. -adische Zahlk\"orper der algebraischen Zahlk\"orper unend-
154
\S 6.
162
176
$\mathfrak{p}$
lichen Grades
185
EINLEITUN G.
M. Moriya
108
Primideale darstellbar– in algebraischen Zahlk\"orpern unendlichen Grades
nicht mehr allgemein gilt. Vielmehr hat Herr KRULL nachher gezeigt,
dass sich ein beliebiges ganzes Ideal aus einem algebraischen Zahlk\"orper
unendlichen Grades als ein kleinstes gemeinsames Vielfach aller Prim\"arkomponenten des Ideals darstellen lasst. F\"ur Untersuchung \"uber die
Prim\"arkomponenten hat er den Begriﬀ der Werte von Prim\"aridealen
eingef\"uhrt. Dieser Begriﬀ der Werte, wie Herr KRULL selber in einer
anderen Arbeit gezeigt hat, hat enge Beziehung mit der Bewertungstheorie der K\"orper.
Endlich ist die galoissche Theorie der algebraischen Zahlk\"orper
unendlichen Grades von HERBRAND arithmetisch behandelt. Und zwar
l\"auft seine Untersuchung in zwei Richtung.en. Die eine ist die galoissche Theorie der algebraischen Zahlk\"orper von endlichem Grade \"uber
einem algebraischen Zahlk\"orper unendlichen Grades, und die andere
die galoissche Theorie der algebraischen Zahlk\"orper unendlichen Grades
\"uber einem beliebigen algebraischen Zahlk\"orper.
die Existenz der,, unendlichen Ideale
Dabei bietet in beiden
oft Schwierigkeiten dar, und sie zeigt uns noch, dass die Menge aller
Ideale (ausser dem Nullideal) aus einem algebraischen Zahlk\"orper unendlichen Grades keine multiplikative Gruppe bildet. Aus dieser
Tatsache folgt ohne weiteres, dass die heutige Klassenk\"orpertheorie
im Grossen auf algebraische Zahlk\"orper unendlichen Grades nicht mehr
in originaler Form ubertragbar ist. Ob aber die Klassenk\"orpertheorie
im Kleinen f\"ur algebraische Zahlk\"orper unendlichen Grades gilt oder
nicht, ist noch eine Frage.
Um dieses Problem zu beantworten, werde ich zuerst in der vorliegenden Arbeit den -adischen Zahlk\"orper eines Primideals aus einem
algebraischen Zahlk\"orper unendlichen Grades untersuchen. Was ist
aber der -adische Zahlk\"orper eines algebraischen Zahlk\"orpers ? Wenn
der betrachtete Zahlk\"orper von endlichem Grade ist, dann ist der
-adische Zahlk\"orper bekanntlich der K\"orper aller -adischen Zahlen,
welche von den Zahlen des betrachteten K\"orpers erzeugt sind. Wenn
aber der betrachtete K\"orper von unendlichem Grade ist, dann verlieren
‘ ‘
$F\dot{a}1len$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
(1)
Siehe Fussnote (2) von S. 107.
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
109
die -adischen Zahlen allgemein ihre Bedeutung. Wir m\"ussen also in
diesem Fall den -adischen Zahlk\"orper auf andere Weise deﬁnieren.
Wir f\"uhren n\"amlich fur ein Primideal eine zugeh\"orige Bewertung
des betrachteten K\"orpers ein. Wenn man nach KURSCH\’AK in bezug
auf eine zugehorige Bewertung den derivierten K\"orper des betrachteten K\"orpers bildet, dann nennt man diesen derivierten K\"orper den
-adischen Zahlk\"orper. Wenn insbesondere der betrachtete K\"orper von
endlichem Grade ist, dann wird eine zugeh\"orige Bewertung diskret,
und daraus folgt bekanntlich, dass der derivierte K\"orper $eIn$ K\"orper
ist, welcher aus den -adischen Zahlen besteht.
In \S 1 dieser Arbeit will ich die Deﬁnition der Bewertung (Exponentenbewertung) voranstellen und anschliessend an diese Deﬁnition
die Begriﬀe der Konvergenz, Fundamentalreihen und perfekten K\"orper
einf\"uhren. In \S 2 will ich zeigen, wie man eine Bewertung eines
K\"orpers in seinem algebraischen Erweiter\‘ungsk\"orper 1. Art (endlichen
oder unendlichen Grades) erweitern kann. Diese Frage hat schon Herr
OSTROWSKI in einer vor kurzem erschienenen
beantwortet.
Satz 5 und Satz 6 sind auch schon von Herrn OSTBOWSKI bewiesen,
und meine Beweise f\"ur die beiden S\"atze sind wesentlich gar nicht
neu. Als \’Ubergang zu allgemeiner Bewertung entwickle ich in \S 3
die Theorie der diskret bewerteten K\"orper. Mit Hilfe von \S 3 untersuche ich in \S 4 unendliche algebraische Erweiterungsk\"orper 1. Art
\"uber einem bez\"uglich einer diskreten Bewertung perfekten K\"orper
.
Dabei verstehe ich unter einem unendlichen algebraischen Erweiterungsk\"orper 1. Art
\"uber
denjenigen K\"orper, der als ein Vereinigungsk\"orper von abzahlbar unendlich vielen K\"orpern $ k_{1}Ck_{2}C\ldots Ck_{n}C\ldots$ .
deﬁniert ist, deren jeder aber endlicher algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber
ist. Ferner betrachte ich in \S 5 \"uber einem in
\S 4 betrachteten unendlichen algebraischen Erweiterungsk\"orper 1. Art
einen endlichen galoisschen Erweiterungsk\"orper 1. Art $K$. Ich werde
zwischen $K$ und die HILBERTsche Theorie der galoisschen Zahlk\"orper
entwickeln.
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$Arbeit^{\langle 1)}$
$k$
$k_{0}$
$k$
$k_{0}$
$k_{0}$
$k$
$k$
(1)
OSTROWSKI, Untersuchungen
Math. Zeitschr., 39 (1934).
zur arithmetischen Theorie der K\"orper, Teil I,
M. Moriya
110
Die bisherige Theorie kann man auf allgemeine K\"orper anwenden.
Von \S 6 an beschr\"anke ich die K\"orper auf algebraische Zahlk\"orper.
In \S 6 f\"uhre ich wie Herr KRULL den Begriﬀ der Werte von Idealen
in diesem Paragraphen ﬁndet man schon in einer
ein. Manche
. In \S 7 untersuche ich ganz unabh\"angig
Arbeit von Herrn
von der Bewertung der K\"orper galoissche Zahlk\"orper endlichen Grades
\"uber einem unendlichen algebraischen Zahlk\"orper. Diese Untersuchung
ist von HERBRAND ziemlich weit entwickelt. Aber \"uber die Arbeit von
HERBRAND hinaus behandle ich hier Zerlegungs- und Tr\"agheitsk\"orper.
Ferner deﬁniere ich die Verzweigungsgruppe etwas anders als HERletzten Paragraphen deﬁniere ich erst den -adischen
BRAND.
Zahlk\"orper eines algebraischen Zahlk\"orpers unendlichen Grades. Ich
will in diesem Paragraphen klar machen, wie weit man die Theorie
der -adischen Zahlk\"orper der algebraischen Zahlk\"orper unendlichen
Grades parallel der der \"ublichen -adischen Zahlk\"orper entwickeln kann.
Am Ende m\"ochte ich noch darauf aufmerksam machen, dass meine
vorliegende Arbeit in manchen Stellen mit den Arbeiten von Herrn
und OSTROWSKI(4) inhaltlich \"ubereinstimmt, und
sogar, dass ich f\"ur einige schon bekannte Satze ihre Beweise hier
wiedergebe. Trotzdem ﬁndet man doch anderseits manche auf feinere
Einzelheiten eingehende Satze in dieser Arbeit, weil in ihr, wie in \S 4,
5 und 7, Korper von spezieller Struktur behandelt werden.
Anschliessend an diese Arbeit beabsichtige ich eine Abhandlung
\"uber die Klassenk\"orpertheorie im Kleinen f\"ur algebraische Zahlk\"orper
unendlichen Grades zu ver\"offentlichen. Wie man wohl sich denken
kann, treten dabei viele methodische Schwierigkeiten auf, denen man
in der Klassenk\"orpertheorie im Kleinen f\"ur algebraische Zahlk\"orper
endlichen Grades nie begegnet. Die Ursache dieser Schwierigkeiten
besteht darin, dass in -adischen Zahlk\"orpern von unendlichen algebraischen Zahlk\"orpern die Bewertung nicht mehr allgemein diskret ist.
$S\dot{a}tze$
$KRULL^{\langle 1)}$
${\rm Im}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$DEURING^{\langle 2)},$
$KRULL^{\langle 3)}$
$\mathfrak{p}$
Siehe Fussnote (2) in Seite 107, und noch KRULL, galoissche Theorie bewerteter
K\"orper, Sitzungsber. . bayr. Ak. . W., Math.-Naturw. Abt., 1930.
(2) DEURING, Verzweigungstheorie bewerteter K\"orper, Math. Ann., 105 (1931).
(4) Siehe Fussnote in Seite 109.
(1), (3)
$d$
$d$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
111
Verzeichnis einiger inhaltlich verwandter, hauﬁg
zitierter Arbeit.
HASSE, \"Uber -adische Schiefk\"orper und ihre Bedeutung f\"ur die Arithmetik
hyperkomplexer Zahlsysteme, Math. Ann., $1O4$ (1931). Zitiert mit Ha.
HERBRAND, Th\’eorie arithm\’etique des corps de nombres de degr\’e inﬁni, I, Extensions alg\’ebriques de degr\’e ﬁni, Math. Ann., 106 (1932). Zitiert mit He.
KRULL, Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlk\"orpern I, Math. Zeitschr., 29 (1929), und II, Math. Zeitschr., 31 (1930). Die erste Arbeit zitiere
ich mit K. I, und die zweite mit K. II.
OSTROWSKI, Fragen der allgemeinen K\"orpertheorie, Jour. . Math., 143 (1913).
Zltiert mit . I.
Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der K\"orper, Teil I, Math.
Zeitschr., 39 (1934). Zitiert mit . II.
$\wp$
$f$
$0$
$0$
\S 1. BEWERTUNG DER K\"ORPER.
Bewertung. Wir verstehen unter einer Bewertung eines (kommutativen) K\"orpers
eine eindeutige Funktion
der Elemente aus
, die vier folgenden Postulaten gen\"ugt:
1.
ist eine reelle Zahl f\"ur ein Element aus , und
dem Nullelement ordnen wir
zu. Dies bedeutet aber, dass die
Bewertung des Nullelementes gr\"osser ist als Bewertungen aller
anderen K\"orperelemente.
$k$
$\varphi$
$k$
$\varphi(a)$
$a$
$k$
$\infty$
2.
$a$
und
$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)+\varphi(b)$
$b$
.
f\"ur zwei beliebige K\"orperelemente
3.
.
4. Es gibt mindestens ein K\"orperelement , dessen Bewertung
eine von Null verschiedene reelle Zahl ist.
Aus diesen vier Bewertungspostulaten folgen sofort:
(a) $\varphi(1)=0$ f\"ur das Einselement
aus ,
(b)
, wenn
ist.
$\varphi(a+b)\geqq{\rm Min}(\varphi ta),$
$\varphi(b))$
$a$
$1^{\langle 2)}$
$\varphi(a+b)={\rm Min}(\varphi(a), \varphi(b))$
$k$
$\varphi(a)\neq\varphi(b)$
Gegen\"uber der Bewertung, die von KiiRscH\’A deﬁniert ist, nennt man auch
diese Bewertung die Exponentenbewertung. Wir k\"onnen aber von unserer
Bewertung zu der von KURSCHAK und von der Kursch\’akschen Bewertung zu
unserer \"ubergehen. Die S\"atze, welche unter der K\"ursch\’akschen Bewertung
gelten, bleiben durch kleine Modiﬁkation bei unserer Bewertung auch g\"ultig.
(2) Wenn kein Missverst\"andnis m\"oglich, gebrauche ich im folgenden immer 1 als
Symbol des Einselementes.
(1)
$K$
M. Moriya
112
Ein K\"orper, dessen jedem Elemente eine Bewertung angegeben
, und wir nennen
auch Bewertung
ist, heisst ein bewerteter
$\varphi$
$K\dot{o}rper$
$\varphi$
des K\"orpers.
Die Frage, ob man einem gegebenen K\"orper immer eine Bewertung
geben kann, lasse ich hier unber\"uhrt. Da ich aber sp\"ater die algebraischen $K\dot{0}rper$ \"uber einem K\"orper behandle, so will ich hier eine
folgende Bemerkung voranschicken.
Es kann \"uber einem K\"orper ein algebraischer bewerteter Korper
ein Element, dessen Bewertung
nur dann existieren, wenn in
aus
nicht Null ist, existiert. Denn ein beliebiges Element
gen\"ugt einer irreduziblen Gleichung
$k$
$k$
$L$
$L$
$\gamma\neq 0$
$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots.+a_{n}=0$
mit Koeﬃzienten aus
, so ist
$k$
.
Bezeichnet man mit
die Bewertung von
$\varphi$
$L$
$\varphi(\gamma^{n}-\vdash a_{1}\gamma^{n- 1}+\ldots.+a_{n})\geqq{\rm Min}(\varphi(\gamma^{n}), \varphi(a_{1}\gamma^{n- 1})$
Haben alle Elemente aus
$k$
,
....
,
$\varphi(a_{n}))$
.
die Bewertungen Null, dann muss
$\varphi(\gamma^{n}+a_{1}\gamma^{n-1}+\ldots.+a_{n})\geqq{\rm Min}(n\varphi(\gamma), \varphi^{(}a_{n}))$
bedeutet dies einerseits, dass
gleich
sein muss, was aber unm\"oglich ist, weil
oder
wird.
anderseits
Nach dieser Bemerkung kann man behaupten: Ein absoluter algebraischer K\"orper von der Primzahlcharakteristik kann nicht bewertet
sein. Denn der genannte K\"orper ist bekanntlich algebraisch \"uber
seinem Primk\"orper. Da dieser Primk\"orper endlich viele verschiedene
Elemente enthalt, so besitzen alle vom Nullelement verschiedenen
Elemente aus dem Primk\"orper Bewetung Null, ist also er nicht beHieraus folgt die Behauptung.
wertet
sein. Fiir
$\varphi(_{\gamma^{n}}+a_{1}\gamma^{n- 1}\ldots.+a_{n})$
$\varphi(\gamma)\neq 0$
$n\varphi(\gamma)$
$\varphi(a_{n})$
$\varphi(\gamma^{n}+a_{1}\gamma^{n-1}\ldots.+a_{n})$
$\infty$
$.$
Ganze Elemente aus einem bewerteten Korper. Ein Element aus
einem bewerteten $K\dot{o}rperk$ heisst ganz, wenn seine Bewertung nicht
(1)
O. II.
S. 286.
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
negativ ist, und insbesondere,
113
wenn seine Bewertung Null ist, dann
heisst es Einheit.
Die Menge aller ganzen Elemente aus bildet eine Maximalordnung
(oder Bewertungsring) , und die Menge aller Elemente mit positiver
Bewertung bildet ein Primideal
heisse
in
. Dieses
zugeh\"orige Primideal.
das
Zwei ganze Elemente und heissen ,, kongruent in bezug auf
eine Bewertung , wenn $\varphi(a-b)>0$ ist, oder wir gebrauchen dabei
auch Ausdruck ,, a und sind kongruent mod “. Die ganzen Elemente aus , welche
zueinander kongruent sind, bilden eine
Klasse. Diese Klassen gen\"ugen oﬀenbar der \"Aquivalenzrelation. Wir
nennen diese Klassen die Restklassen
.
Ist nun bzw. ein Element, welches zur Restklasse $A$ bzw.
geh\"ort, dann deﬁnieren wir die Restklasse
, zu welcher $a+b$
geh\"ort, als die Summe.von $A$ und $B-A+B-$ , und die Restklasse
, zu welcher $ab$ geh\"ort, das Produkt $AB$ von $A$ mit B. Dass
die Summe und das Produkt zweier Restklassen $A,$ $B$ nur von den
Restklassen $A$ und $B$ , aber nicht von der Wahl der Elemente
abh\"angig sind, kann man wie \"ublich beweisen.
Die Restklasse, zu welcher das Nullelement des K\"orpers geh\"ort,
heisst die Nullklasse, und die Restklasse, welcher das Einselement des
K\"orpers angeh\"ort, die Einsklasse.
Durch diese Deﬁnition kann man leicht veriﬁzieren, dass die Glei$k$
$P$
$\mathfrak{p}$
$PrImideal\mathfrak{p}$
$P^{(1)}$
$\varphi$
$a$
“
$b$
$\varphi$
$b$
$\mathfrak{p}$
$k$
$mod \mathfrak{p}$
$mod \mathfrak{p}$
$a$
$B$
$b$
$mod \mathfrak{p}$
$mod \mathfrak{p}$
$a,$
$b$
chungen
$A+X=B$
und
$A$
$Y=B$
letzten Fall ist $A$ keine Nullklasse) immer l\"osbar sind, d.h. wir
k\"onnen immer die Klassen $X,$ $Y$ eindeutig aufsuchen, derart dass die
obigen Gleichungen erf\"ullt werden.
Also bilden die. s\"amtlichen verschiedenen Restklassen
einen
K\"orper. Dabei wird die Nullklasse das Nullelement und die Einsklasse
das Einselement. Diesen K\"orper nennen wir den Restklassenk\"orper
. Spater gebrauchen wir oft einen Ausdruck ,, eine durch ein
(im
$mod \mathfrak{p}$
$mod \mathfrak{p}$
(1)
K. II. S. 534.
114
M. Moriya
$K\dot{0}rperelement$
klasse
$mod \mathfrak{p}$
,
a repr\"asentierte Klasse ‘. Dies bedeutet diejenige Restin der vorkommt.
‘
$a$
ein bewerteter K\"orper. Dann sagen
Perfekte K\"orper. Es sei
wir, dass eine Korperelementfolge
,
, .. .. ,
, .... zu einem
K\"orperelement a konvergiert, wenn f\"ur eine beliebige positive Zahl $M$
und eine geeignete (von $M$ abhangige) nat\"urlich Zahl $N\varphi(a-a_{m})>M$
wird, falls $m\geq N$ ist. Dieses Element
nennt man das Grenzelement
,
, . .. . ,
, ....
der Folge
,
, .. . . ,
, ... . heisse FundaEine K\"orperelementfolge
mentalreihe, wenn f\"ur eine beliebige positive Zahl $M$ und eine geeignete
(von $M$ abh\"angige) nat\"urliche Zahl $N$ immer
$k$
$a_{2}$
$a_{1}$
$a_{n}$
$a$
$a_{1}$
$0_{2}$
$a_{n}$
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{n}$
$\varphi(a_{m_{1}}-a_{m_{2}})>M$
wird, falls
$m_{1}$
,
$m_{2}\geqq N$
sind.
Nach Deﬁnition ist eine konvergente Folge sicher eine Fundamentalreihe, aber die Umkehrung dieser Tatsache ist nicht mehr
allgemein richtig $d.h$ . eine Fundamentalreihe in
braucht kein Grenzelement in zu besitzen.
Ein K\"orper, in dem alle Fundamentalreihen ihre Grenzelemente
besitzen, heisse perfekter Korper.
Nach KURSCH\’AK(1) k\"onnen wir
einen bewerteten K\"orper so erweitern, dass der Erweiterungsk\"orper
die Bewertung von beibehalten ist,
bewertet ist, derart dass in
folgenden verstehen wir unter
perfekt wird.
und der K\"orper
einem perfekten Korper eines bewerteten K\"orpers durchweg einen
oben erw\"ahnten perfekten K\"orper.
Insbesondere diejenigen perfekten K\"orper, welche zwischen und
sich selbst keine perfekten K\"orper mehr besitzen, heissen derivierte
Korper von . Nach Deﬁnition muss jeder derivierte K\"orper von
die Grenzelemente aller Fundamentalreihen aus enthalten. Wenn es
aber einen perfekten K\"orper gibt, in welchen erst die Grenzelemente
eintreten, dann ist er sicher ein derialler Fundamentalreihen aus
$k$
$k$
$k$
$L$
$L$
$L$
$k$
${\rm Im}$
$k$
$k$
$k$
$k$
$k$
(1)
KURSCH\’Ak, \"Uber die Limesbildung und allgemeine
Math., 142 (1913).
S. 225-228.
K\"orpertheorie, Journ.
$f$
.
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
115
vierter K\"orper von . F\"ur den Beweis, dass ein bewerteter K\"orper
wirklich zu einem perfekten K\"orper, in den erst die Grenzelemente
aller Fundamentalreihen aus eintreten, erweitert werden kann, verweise ich auf die Arbeit von K\"URSCHA’.
Nach Struktur der derivierten K\"orper sind sie immer zueinander
isomorph und sie sind folgenderweise charakterisiert: In einem deri$k$
$k$
$K^{\langle 1)}$
vierten Korper und sogar erst in diesem Korper besitzen alle Fundamentalreihen aus
ihre Grenzelemente. Deshalb wollen wir immer
annehmen, dass die derivierten K\"orper zueinander gleich sind. In
diesem Sinne gibt es also nur einen einzigen derivierten K\"orper eines
bewerteten K\"orpers , und wir bezeichnen ihn mit .
$k$
$\overline{k}$
$k$
Bewertung eines derivierten K\"orpers.
Weil die Bewertung von die von beibeh\"alt, so wolleIf wir die
Bewertung von
auch mit
bezeichnen. Da jedes Element aus
aus
durch eine Fundamentalreihe aus
deﬁniert ist, so sei
,
, .. .. ,
das Grenzelement einer Fundamentalreihe
. aus
. Dann existiert f\"ur eine beliebige positive Zahl $M$ eine nat\"urliche
Zahl , derart, dass f\"ur jede nat\"urliche Zahl $i\geqq N$
$k$
$\overline{k}$
$\overline{k}$
$\overline{k}$
$\varphi$
$\overline{k}$
$\gamma\neq 0$
$k$
$a_{1}$
$a_{n},$
$a_{2}$
$\ldots$
$k$
$1V$
$\varphi(\gamma-a_{i})>M$
wird. Hieraus folgt f\"ur
$\gamma\neq 0$
, dass
$\varphi(\gamma)=\varphi(a_{j})$
ist, falls
ist, wobei
eine geeignete positive Zahl ist.
, so gibt es sicher eine feste positive Zahl $G$ ,
$j\geqq N^{\prime}\geqq N$
Denn ist n\"amlich
derart dass jedes
$N^{\prime}$
$\gamma\neq 0$
$={\rm Min}(\varphi(\gamma), \varphi(a_{j}))<G$
spruch, weil
$M$
mit
$j$
kleiner ist als
.
Also ist
, wenn
ist. Dies ist aber Wider\"uber alle Grenzen wachsen kann.
$\varphi(a_{j})(j\geqq N^{\prime})$
$G$
$\varphi(\gamma-a_{j})$
$\varphi(\gamma)\neq_{\varphi}(a_{j})$
Diskrete Bewertung. Wenn unter den Bewertungen der Elemente
aus die kleinste positive existiert, dann spricht man von der diskreten
Bewertung. In diesem Fall gibt es sicher ein K\"orperelement , dessen
Bewertung positiv, aber nicht gr\"osser ist als die Bewertungen aller
anderen K\"orperelemente. Wenn
ein beliebiges Element aus mit
$k$
$a$
$b$
(1)
Siehe Fussnote von S. 114.
$k$
116
M. Moriya
positiver Bewertung ist, dann ist f\"ur eine geeignete nat\"urliche Zahl
$\varphi(a^{\nu})=\varphi(b)$
d.h.
ist eine Einheit.
$a^{\nu}b$
eine nat\"urliche Zahl
und
$n$
,
Denn da
$n+1$
$\nu$
ist,
$\varphi(b)\geqq_{\varphi}(a)$
so kann man
so wahlen, dass
$n\varphi(a)<\varphi(b)\leqq(n+1)\varphi(a)$
wird. Wir wollen zeigen, dass wirklich
$\varphi(b)<(n+1)_{\varphi}(a)$
$\varphi(b)=(n+1)_{\varphi}(a)$
ist. W\"are
so w\"urde
,
$0<\varphi(\frac{a^{n+1}}{b})<\varphi(a)$
sein, was aber Widerspruch w\"are, weil in
eine kleinere Bewertung
als
eine Einheit aus . Hieraus folgt
exitierte. Also ist
sofort, dass jedes Element aus
als ein Produkt einer ganzen Potenz
von mit einer Einheit aus eindeutig darstellbar ist. Wir nennen
die Elemente aus , welche die kleinste positive Bewertung besitzen,
Primelemente.
$k$
$k$
$\frac{b}{a^{n+1}}$
$\varphi(a)$
$k$
$k$
$a$
$k$
Polynome in einem bewerteten K\"orper
$k$
.
Es sei $f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots.+a_{0}$ ein Polynom, dessen Koeﬃzienten
alle die Elemente aus
sind. Dann wollen wir dieses Polynom kurz
Polynom in
nennen. Unter
versteht man die kleinste
Bewertung der Koeﬃzienten aus $f(x)$ . Dann gilt f\"ur zwei Polynome
;
$f(x)$ und $g(x)=b_{m}x^{m}+\ldots.+bo$ in
$k$
$k$
$\varphi(f(x))$
$k$
1.
$\varphi(f(x)+g(x))\geqq{\rm Min}(\varphi(f(x)), \varphi(g(x)))$
2.
$\varphi(f(x)\cdot g(x))\geqq\varphi(f^{(X))+\varphi(g(X))}$
Insbesondere, wenn
$\varphi(f(x))\neq\varphi(g(x))$
.
ist, dann ist
$\varphi(f(x)+g(x))={\rm Min}(\varphi(f(x)), \varphi(g(x)))$
und f\"ur ein Element
$a$
aus
$k$
.
ist
$\varphi(af(x))=\varphi(a)+\varphi(f(x))$
.
,
117
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Zum Beweis k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung der Allgemeinheit
annehmen, dass $n\geqq m$ ist. Dann ist
,
$f(x)+g(x)=(a_{n}+b_{n})x^{n}+\ldots.+(a_{0}+b_{0})$
worin aber $b_{n}=b_{n-1}=\ldots.=b_{m+1}=0$ verstanden werden soll, wenn
$n>m$ ist. Also folgt nach Deﬁnition
$\varphi(f(x)+g(x))=MIn(\varphi(a_{n}+b_{n}), .
.
.
.
$\geqq{\rm Min}(\varphi(a_{n}), \varphi(b_{n})$
, \varphi(a_{0}+b_{0}))$
,
....
,
$\varphi(a_{0}),$
$\varphi(b_{0}))$
Aus dem letzten geht hervor, dass
${\rm Min}$
$(\varphi(a_{n}), \varphi(b_{n}),$
Also ist
.
$\varphi(a_{0}),$
$\varphi(b_{0}))={\rm Min}(\varphi(f(x)), \varphi(g(x)))$
,
....
$\varphi(g(x))=\varphi(b_{i})$
,
,
. .. .
,
$\varphi(b_{0}))$
$\varphi(f(x))$
.
so ist
,
$(\varphi(a_{n}+b_{n}), .
$\varphi(a_{i}+b_{i})=\varphi(b_{i})$
Bewertung als
$\varphi(a_{0}))>{\rm Min}(\varphi(b_{n})$
.
.
ist, dann ist $\varphi(f(x))>\varphi(g(x))$ , oder
F\"ur den ersten Fall folgt ohne weiteres
${\rm Min}$
weil
,
$\varphi(f(x))\neq\varphi(g(x))$
${\rm Min}$ $(\varphi(a_{n})$
Ist
.
$\varphi(f(x)+g(x))\geqq{\rm Min}(\varphi(f(x)), \varphi(g(x)))$
Wenn
$<\varphi((x))$
$\ldots$
.
.
.
, \varphi(a_{0}+b_{0}))=\varphi(b_{i})=\varphi(g(x))$
,
ist, und folglich jedes Glied keine kleinere
$\varphi(a_{i}+b_{i})$
besitzt. Also ist
$\varphi(g(x))=\varphi(f(x)+g(x))$
.
Ebenso kann man f\"ur den zweiten Fall zeigen, dass
$\varphi(f(x))=\varphi(f(x)+g(x))$
ist. Daher ist jedenfalls
$\varphi(f(x)+g(x))={\rm Min}(\varphi(f(x)), \varphi(g(x)))$
Um nun
den Koeﬃzienten von
.
zu zeigen, betrachten wir
in $f(x)g(x)(0\leqq_{\mu+\nu}\leqq n+m)$ . Er ist aber
$\varphi(f(x)\cdot g(x))\geqq_{\varphi}(f(x))+\varphi(g(x))$
$x^{\mu+\nu}$
$a_{\mu+\nu}b_{0}+a_{\mu+\nu-1}b_{1}+\ldots.+a_{0}b_{\mu+\nu}$
wobei man die
$a_{j}$
bzw.
$b_{i}$
,
gleich Null setzen soll, wenn $i>n$ bzw.
118
M. Moriya
$i>m$ ist.
Also ist
$\varphi(a_{\mu+\nu}b_{0}+a_{\mu+\nu-1}b_{1}+\ldots.+a_{0}b_{\mu+\nu})$
$\geqq{\rm Min}(\varphi(a_{\mu+\nu})+\varphi(b_{0}), \ldots.
Wenn
, \varphi(a_{0})+\varphi(b_{\mu+v}))$
.
bzw.
eine kleinste Bewertung der Koeﬃzienten
$g(x)$
$f(x)$
von
ist, dann sind die Bewertungen der Koeﬃzienten
bzw.
von $f(x)\cdot g(x)$ nicht kleiner als
$\varphi(a_{k})$
$\varphi(b_{l})$
$\varphi(a_{k})+\varphi(b_{l})$
Also ist
.
.
$\varphi(f(x)\cdot g(x))\geqq\varphi(f(x))+\varphi(g(x))$
Ist besonders
gleich einem K\"orperelement
$g(x)$
$\varphi(af(x))={\rm Min}(\varphi(aa_{n}), .
.
.
.
$a$
,
so ist
, \varphi(aa_{0}))$
$={\rm Min}(\varphi(a)+\varphi(a_{n}), .
.
.
.
, \varphi(a)+\varphi(a_{0}))$
.
$=\varphi(a)+\varphi(f(x))$
Nun deﬁnieren wir die Kongruenz zwischen den Polynomen in .
Zwei Polynome $f(x)$ und
mit ganzen Koeﬃzienten aus heissen
kongruent in bezug auf , wenn
$k$
$g(\mathfrak{r})$
$k$
$\varphi$
$\varphi(f(x)-g(x))>0$
ist. Wir bezeichnen dies durch
$f(x)\equiv g(x)(\varphi)$
.
Nach Deﬁninition kann man leicht beweisen:
Wenn
$\equiv f_{3}(x)(\varphi)$
Wenn
$f_{1}(\mathfrak{r})\equiv f_{2}(x)$
,
$f_{2}(x)\equiv f_{3}(x)$
sind, dann ist auch
$(\varphi)$
$fi(x)$
.
$g_{1}(x)\equiv g_{2}(x),$
$g_{3}(x)----g_{4}(x)(\varphi)$
sind, dann ist
$g_{1}(x)g_{3}(x)\equiv g_{2}(x)g_{4}(x)(\varphi)$
.
Konvergenz der Polynomreihen. Es seien
$(i=1,2, . . . .)$
Polynome in einem bewerteten Korper
$f^{(i)}(x)=a_{n}^{\langle i)}x^{n}+a_{n-1}^{(i)}x^{n-1}$
$+\ldots+a_{0}^{\langle i)}$
$k$
.
119
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Wenn die Folgen
gieren, und die Grenzelemente
reihe
$a_{j}^{\langle 1)},$
$a_{j}^{(2)}\ldots.,$
$f^{\langle 1)}(x),$
,, konvergent
‘ ‘
$a_{J}^{(m)},$
$f^{\langle 2)}(x)$
,
$a_{j}$
$\ldots.(j=1,2, \ldots, n)$
in
$k$
konver-
besitzen, dann heisst die Polynom-
....
,
$f^{(m)}(x)$
in bezug auf die Bewertung
,
....
von .
$k$
$\varphi$
Das Polynom $f(x)=a,x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots.+a_{0}$ nennt man das
Grenzpolynom der obigen Polynomreihe. Aus Deﬁnition sieht man
sofort ein, dass f\"ur eine beliebige positive Zahl $M$ immer
$\varphi(f(x)-f^{\langle i)}(x))>M$
ist, wenn
ist als eine geeignete nat\"urliche Zahl. Man kann
gr\"osser
$i$
, . . .. ,
ferner leicht folgende Tatsache beweisen: Wenn
. bzw.
.,
. eine Polynomreihe mit
dem Grenzpolynom $g(x)$ bzw. $h(x)$ ist, dann konvergiert die Polynomreihe
$g_{1}(x),$
$g_{m}(x),$
$h_{1}(x),$
$\ldots$
$g_{1}(x)h_{1}(x),$
zu
$g(x)h(x)$
$h_{2}(x),$
$g_{2}(x)h_{2}(x)$
$\ldots$
,
....
$h_{m}(x),$
,
$g_{2}(x)$
$\ldots$
$g_{m}(x)h_{m}(x)$
,
....
.
folgenden betrachten wir einen perfekten K\"orper
in bezug
auf eine Bewertung , und wir verstehen unter Polynomen in immer
Polynome von
mit ganzen Koeﬃzienten aus . Dann gilt
$k$
${\rm Im}$
$k$
$\varphi$
$k$
$x$
Hilfssatz 1. Es seien $g(x),$ $h(x)$ zwei Polynome in , deren Grade
sind, und die Bewertung der Resultante $R(g, h)$ von $g(x),$ $h(x)$
resp.
sei gleich einer nicht negativen Zahl. Ferner sei $f(x)$ ein Polynom in ,
dessen $Grad$ nicht gr\"osser ist als $r+s-1$ . Dann kann man in zwei
Polynome $u(x)$ vom kleineren Grade als und $v(x)$ vom kleineren Grade
als ﬁnden, derart dass
$k$
$r,$
$s$
$k$
$k$
$r$
$s$
$g(x)v(x)+h(x)u(x)=R(h, g)f(x)$
wird.(1)
Beweis. Wir setzen
$g(x)=a_{r}x^{r}+\ldots.+a_{0}$
(1)
F\"ur Hilfssatz 1 ist
,
$h(x)=b_{s}x^{s}+\ldots.+b_{0}$
es nicht notwendig, dass
$k$
nur ein beliebiger bewerteter K\"orper zu seIn.
,
perfekt ist, sondem
$k$
braucht
120
M. Moriya
und
$f(x)=c_{r+s- 1}x^{r+s-1}+\ldots.+c_{0}$
,
eventuell Nullelement sein kann.
F\"ur zwei noch zu bestimmende Polynome
wobei
$c_{r+s- 1}$
und
$u(x)=p_{r-1}x^{r- 1}+\ldots.+p_{0}$
in
$v(x)=q_{\epsilon- 1}x^{s- 1}+\ldots.+q_{s}$
gilt folgende Identit\"at
$k$
$g(x)v(x)+h(x)u(x)=R(h, g)f(x)$
dann und nur dann, wenn das lineare Gleichungssytem in
$\gamma+S$
$\left\{\begin{array}{ll}a_{r}q_{s- 1} & +b_{s}p_{r- 1} =R(h, g)c_{r+s-1}\\a_{r-1}q_{s-1}+a_{r}q_{s- 2} & +b_{s- 1}p_{r-1}+b_{s}p_{s- 2} =R(h, g)c_{r+r- 2}\\.
.
.
.
$p,$
$q$
& \\a_{0}q_{0} & +b_{0}p_{0}=R(h, g)c_{0}\end{array}\right.$
.
l\"osbar ist.
Wir erhalten aus diesem System
$R(h, g)p_{i}=R(h, g)m_{i}$
$(i=0, .
.
.
.
, r-1)$
,
$R(h, g)q_{j}=R(h, g)n_{j}$
$(j=0, .
.
.
.
, s-1)$
,
, .... ,
resp. lineare Formen von
mit ganzen
wobei
ganze Elemente
,
Koeﬃzienten aus sind. Also k\"onnen wir in
ﬁnden.
$m_{i},$
$c_{r+s-1}$
$n_{i}$
$c_{0}$
$k$
$k$
$p_{i}$
$q_{j}$
in
Hilfssatz 2. Es sei $f(x)$ ein Polynom vom Grade
und
zwei Polynome(1) mit folgender Eigenschaft:
ist gleich .
1. Der $Grad$ von
ist gleich dem von $f(x)$ .
2. Der h\"ochste Koeﬃzient von
und
von
3. Die Bewertung der Resultante
ist gleich einer nicht negativen Zahl .
eine positive Zahl und
4. $\varphi(f(x)-go(x)h_{0}(x))\geqq 2p+c$ , wo
eine Bewertung eines Elementes aus ist.
$n$
$g_{0}(x),$
$k$
$h_{0}(x)$
$g_{0}(x)h_{0}(x)$
$n$
$g_{0}(x)h_{0}(x)$
$R(g_{0} , h_{0})$
$g_{0}(x)$
$p$
$c$
$k$
Dann gibt es in
(1)
Dabei sind.
$k$
$q_{0}(x),$
zwei Polynome
$h_{0}(x)$
$g(x),$ $h(x)$
, derart dass
keine trivialen Polynome.
$h_{0}(x)$
121
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
$f(x)=g(x)h(x)$
mit
$g(x)\equiv g_{0}(x),$
$h(x)\equiv h_{0}(x)(\varphi)$
wird.(1)
Beweis. Wir wollen zeigen, dass in nach Voraussetzung zwei
Polynome
mit folgender Eigenschaft existieren:
1. Der $Grad$ von
ist gleich .
ist gleich dem
2. Der h\"ochste Koeﬃzient von
von $f(x)$ .
ist gleich .
3. Die Bewertung der Resultante von
4. $\varphi(f(x)-g_{1}(x)h_{1}(x))\geqq 2\rho+2c$ .
$k$
$g_{1}(x),$
$h_{1}(x)$
$g_{1}(x)h_{1}(x)$
$n$
$g_{1}(x)h_{1}(x)$
$g_{1}(x),$
Wir nehmen n\"amlich aus
bilden zwei Polynome
$k$
$g_{0}(x)+a_{1}u_{1}(x)$
wobei
ist
$u_{1}(x)$
und
$v_{1}(x)$
ein Element
und
$a_{1}$
mit
$h_{1}(x)$
$\varphi(a_{1})=\rho+c$
$p$
heraus und
,
$h_{0}(x)+a_{1}v_{1}(x)$
noch zu bestimmende Polynome in
$k$
sind.
Dann
$f(x)-(g_{0}(x)+a_{1}u_{1}(x))(h_{0}(x)+a_{1}v_{1}(x))$
$=f(x)-g_{0}(x)h_{0}(x)-a_{1}(g_{0}(x)v_{1}(x)+h_{0}(x)u_{1}(x))-a_{1}^{2}u_{1}(x)v_{1}(x)$
Da
$\varphi(\frac{f(x)-g_{0}(x)h_{0}(x)}{a_{1}})=\varphi(f(x)-g_{0}(x)h_{0}(x))-\varphi(\alpha_{1})\geqq 2p+c-(p+c)\geqq p$
ist,
so kann man nach Hilfssatz 1 zwei Polynome
$u(x),$ $v(x)$
in
$k$
ﬁnden,
derart dass
$g_{0}(x)v_{1}(x)+h_{0}(x)u_{1}(x)=\frac{f(x)-g_{0}(x)h_{0}(x)}{a_{1}}$
wird, wobei der
von
$g_{0}(x)$
$u_{1}(x)$
und
und
$h_{0}(x)$
$v_{1}(x)$
$=h_{0}(x)+a_{1}v_{1}(x)$
Denn weil
resp. kleiner sind als der
und
von
. Wenn man also die oben bestimmten Polynome
$Grad$
$u_{1}(x)$
$v_{1}(x)$
nimmt, dann sind $g_{1}(x)=g_{0}(x)+a_{1}u_{1}(x)$ und
die gesuchten Polynome.
$\varphi(f(x)-g_{1}(x)h_{1}(x))\geqq 2\varphi(a_{1})=2\rho+2c$
(1)
ist,
$\varphi(f(x)-g_{1}(x)h_{1}(x))=\varphi(a_{1}^{2}u_{1}(x)v_{1}(x))$
so ist
.
RYCHLIK, Zur Bewertungstheorie der algebraischen K\"orper, Jour.
153 (1924). S. 100-101.
$h_{1}(x)$
$f$
.
Math.,
122
M. Moriya
Ferner sind der
von
resp. gleich dem
und der von
, und der h\"ochste Koeﬃzient von $g_{1}(x)h_{1}(x)$ gleich
von
und
resp. kleiner
dem von $f(x)$ , weil der $Grad$ von
und der von
sind als der von
und
. Die Bewertung der Resultante von
, weil $\varphi(a_{1})=p+c$ ist.
und
ist gleich
Wir k\"onnen dieses Verfahren weiter fortsetzen und allgemein erhalten wir zwei Polynome
$g_{0}(x)$
$Grad$
$g_{1}(x)$
$h_{1}(x)$
$h_{0}(x)$
$u_{1}(x)$
$g_{0}(x)$
$g_{1}(x)$
$v_{1}(x)$
$h_{0}(x)$
$h_{1}(x)$
$R(f_{0} , g_{0})$
$g_{\nu}(x)=g_{0}(x)+a_{1}u_{1}(x)+a_{2}u_{2}(x)+\ldots.+a_{\nu}u_{\nu}(x)$
,
$h_{v}(x)=h_{0}(x)+a_{1}v1(x)+a2v_{2}(x)+\ldots.+a_{\nu}v_{\nu}(x)$
, .... ,
in . Dabei sind die Grade von
alle kleiner als
$(x)$
, . . .. ,
der von
und die Grade von
alle kleiner als
$Grad$
der von
und der h\"ochste Koeﬃzient von
. Also sind der
resp. gleich dem von
, und $\varphi(f(x)-g_{\nu}(x)h_{\nu}(x))$
mit
. Ferner ist die Resultante von
$k$
$u_{1}(x)$
$g_{0}(x)$
$u_{\nu}(x)$
$v_{1}(x)$
$v,$
$h_{0}(x)$
$g_{\nu}(x),$
$g_{0}(x),$
$h_{d}\backslash (x)$
$\geqq 2\varphi(a_{\nu})$
$g_{\nu}(x),$
$\varphi(a_{\nu})\geqq p+2^{d-1}\backslash c$
$h_{\nu}(x)$
F\"ur
$h_{0}(x)$
gleich
$R(g_{0} , h_{0})$
.
ist
$ i<j\leqq\nu$
$\varphi(g_{j}(x)-g_{i}(x))\geqq\varphi(a_{i+1})\geqq p+2^{i}c$
.
Bildet man also eine Polynomreihe
$g_{0}(x),$
$g_{1}(x)$
...
,
,
$g_{\nu}(x)$
,
....
(1),
so bilden die Koeﬃzienten einer bestimmten Potenz von
der Poly, .... ,
. eine Fundamentalreihe in . Da
nomreihe
ein perfekter K\"orper ist, so besitzt sie ein Grenzelement in . Es
,
gibt also in
das Grenzpolynom $g(x)$ der Polynomreihe
.... ,
. Ebenso gibt es in ein Polynom $h(x)$ , zu dem die
$k$
$ g_{\nu}(x)\ldots$
$g_{0}(x)$
$x$
$k$
$k$
$g_{0}(x),$
$k$
$g_{1}(x)$
$k$
$g_{\nu}(x),$
$\ldots.$
Polynomreihe
$h_{0}(x),$
$h_{1}(x),$
$\ldots$
.
,
$h_{d}\backslash (x),$
$\ldots$
.
konvergiert.
Da oﬀenbar die Polynomreihe.$q_{0}(x)h_{0}(x),$
$g(x)h(x)$ konvergiert, so ist
$\ldots$
.,
$g\backslash ’(x)h_{\nu}(x),$
$\ldots$
. zu
$f(x)=g(x)h(x)$ ,
und
$g(x)\equiv g_{0}(x)$
(1)
,
$h(x)\equiv h_{0}(x)$
Wenn f\"ur einen passenden Index
$a_{d+1}\backslash =a_{\nu*2}=\ldots.=0$
setzen.
$(\varphi)$
.
$vf(x)=g_{\nu}(x)h_{\nu}(x)$
ist, dann kann man
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
123
Damit ist der Beweis beendet.
Hilfssatz 3. Es sei $f(x)=a_{n-1}x^{n}+a,x^{n-1}+\ldots.+a_{0}$ ein Polynom
in . Dann ist $f(x)$ in reduzibel, wenn es unter
,
eine Einheit gibt, aber mindestens eines von
und
keine Einheit
ist.
Beweis. Es sei
keine Einheit und
die erste Einheit in der
Folge
,
,
,
.
. . . . , $a,-1$ . Dann ist
$k$
$k$
$a_{n-1}$
$a_{n}$
$a_{0}$
$a_{1}$
$a_{2},$
$a_{n-2},$
$\ldots.,$
$a_{1}$
$a_{0}$
$a_{i}$
$a_{i}$
$\ldots$
$f(x)\equiv(a_{n}x^{n-i}+\ldots.+a_{i})x^{i}$
$(\varphi)$
.
Einheit ist, so kann man aus der Determinantendarstellung der
$x^{n-i}+\ldots.+a_{i}$
Resultante von
und
leicht einsehen, dass die
Bewertung der genannten Resultante gleich Null ist. Nach Hilfssatz
2 ist also $f(x)$ in reduzibel.
Wenn aber
Einheit ist, dann ist nach Voraussetzung
keine
Einheit. Betrachtet man also ein Polynom
Da
$a_{i}$
$x^{i}$
$a,$
$k$
$a_{0}$
$a_{n}$
$g(X)=a_{0}X^{n}+\ldots.+a_{n}$
so ist nach dem obigen Beweis
setzt und
reduzibel in .
$g(X)X=\frac{1}{x}$
$f(x)$
$g(\frac{1}{x})$
$g(X)$
mit
$x^{n}$
in
$k$
,
reduzibel. Wenn man in
multipliziert, so wird oﬀenbar
$k$
\S 2. ALGEBRAISCHE ERWEITERUNG 1. ART
\"UBER EINEM PERFEKTEN K\"ORPER.
In diesem Paragraphen untersuchen wir algebraische Erweiterungskorper 1. Art \"uber einem perfekten K\"orper. Wir bezeichnen
dabei mit einen perfekten K\"orper und durch $K$ einen algebraischen
Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber . Die Elemente aus
bezeichnen
wir immer durch die lateinischen Buchstaben und die Elemente aus
$K$ durch die griechischen.
Unsere erste Frage ist folgende: Wie kann man den K\"orper $K$
bewerten, derart dass dabei f\"ur die Elemente aus
die urspr\"unglichen
Bewertungen von
beibehalten sind ? Wir nennen diese Bewertung
von $K$ der Einfachheit halber eine erweiterte Bewertung von . Um
$k$
$k$
$k$
$k$
$k$
$k$
M. Moriya
124
die obige Frage zu beantworten, untersuchen wir zun\"achst, wie sich
$K$
die oben genannte erweiterte Bewertung verhalten soll, falls
wirklich so bewertet wird. Diese erweiterte Bewertung von wollen
wir nun mit bezeichnen. Dann ist f\"ur ein beliebiges Elementa aus
$k$
$\varphi$
von vornherein angegeben.
Wir nennen diejenigen Elemente aus
$k\varphi(a)$
welche nicht negative
Bewertungen besitzen, ganz, und insbesondere die Elemente, deren
Bewertungen gleich Null sind, heissen Einheiten aus K. Dass diese
Deﬁnition eine Erweiterung der Deﬁnition der ganzen Elemente und
$K$
,
Einheiten aus ist, wird man sofort einsehen.
$K$
Satz 1. Kriterium der Ganzheit der Elemente aus .
Ein Element aus $K$ ist dann und nur dann ganz, wenn es einer
irreduziblen Gleichung gen\"ugt, welche die ganzen Koeﬃzienten aus
besitzen, und deren hochster Koeﬃzient 1 ist.
ein Element aus $K$, welches einer irreduziblen
Beweis. Es sei
$k$
$k$
$\gamma$
Gleichung
$f(x)=x^{n}+a_{n- 1}x^{n- 1}+\ldots.+a_{0}=0$
wobei
gen\"ugt,
$a_{n-1},$
$a_{n-2},$
$\ldots$
.,
$a_{0}$
ganze Elemente
Dann ist
$f(\gamma)=\gamma^{n}+a_{n-1}\gamma^{n-1}+\ldots.+a_{0}=0$
aus
$k$
bedeuten.
.
Hieraus folgt
$\varphi(\gamma^{n}+a_{n- 1}\gamma^{n-1}+\ldots.+a_{0})=\infty$
Da aber
$\varphi(\gamma^{n}+a_{n- 1}\gamma^{n- 1}+\ldots.+a_{0})\geqq{\rm Min}(n\varphi(\gamma), \varphi(a_{n-1})$
$+(n-1)\varphi(\gamma),$
ist, so
muss
$\varphi(\gamma)\geqq 0$
$\ldots.$
,
$\varphi(a_{0}))$
sein. Denn sonst w\"urde
$\varphi(f(\gamma))=n\varphi(\gamma)<0$
,
sind. Insbesondere, wenn
.,
sein, weil
.
. . , $\varphi(a_{0})>0$ sind, dann ist
Umgekehrt gen\"uge ein ganzes Element aus $K$ einer irreduziblen
Gleichung mit ganzen Koeﬃzienten aus :
$\varphi(a_{n-1}),$
. .
$\varphi(a_{n-1})$
$\varphi(a_{0})\geqq 0$
$\ldots$
$\varphi(\gamma)>0$
$\gamma$
$k$
Theorie der Algebrais chen Zahlkorper Unendlichen Grades
$f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots.+a_{0}=0$
125
.
Dann kann man ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit annehmen,
dass $f(x)$ ein primitives irreduzibles Polynom in ist. Ich behaupte,
dass
nicht zugleich eintreten k\"onnen. Denn w\"are
dies der Fall, so m\"ussten
s\"amtlich positiv sein,
, .... ,
weil sonst nach Hilfssatz 3 in \S 1 $f(x)$ in reduzibel w\"urde. W\"aren
aber
.,
alle positiv, so w\"are $f(x)$ nicht mehr primitiv
in . Also muss eines von
Null sein.
Wenn aber
ist, so gen\"ugt
und
einer irreduziblen Gleichung
$k$
$\varphi(a_{0})>0,$ $\varphi(a_{n})>0$
$\varphi(a_{n-1})$
$\varphi(\alpha_{1})$
$k$
$\varphi(a_{n-1}),$
$\ldots$
$\varphi(a_{1})$
$k$
$\varphi(a_{0}),$
$\varphi(a_{0})=0$
$\varphi(a_{n})$
$\varphi(a_{n})>0$
$\frac{11}{\gamma}$
$g(x)=x^{n}+x^{n-1}+\ldots.+\underline{a_{1}}\underline{a^{n}}=0$
$a_{0}$
in
$a_{0}$
.
Diese Gleichung besitzt oﬀenbar die ganzen Koeﬃzienten aus
ist, so m\"ussen nach
. Da aber $g(x)$ in irreduzibel und
Hilfssatz 3 in \S 1
$k$
$k$
$k$
$\varphi(\frac{a_{1}}{a_{0}})$
$\varphi(\frac{a_{n}}{a_{0}})>0$
,
....
,
$\varphi(\frac{a_{n-1}}{a_{0}})>0$
sein. Hieraus folgt wie in der ersten Halfte dieses Beweises, dass
, also
ist. Aber dies ist Widerspruch, weil
sein, falls
ganzes Element ist.
Ist. Also muss
Aus $f(x)$ kann man ein Polynom
$\varphi(_{\cap}\underline{1}/)>0$
$\varphi(\gamma)\geqq 0$
$-\varphi(\gamma)>0$
$\varphi(a_{n})=0$
$\gamma$
$h(x)=x^{n}+\frac{a_{n- 1}}{\alpha_{n}}x^{n-1}+\ldots.+\frac{a_{0}}{a_{n}}$
bilden. Dabei besitzt $h(x)$ ganze Koeﬃzienten und sogar sein h\"ochster
Koeﬃzient ist gleich 1. Es ist auch klar, dass der Gleichung $h(x)=0$
gen\"ugt. Damit ist der Beweis beendet.
Aus dem obigen Beweis folgt
Zusatz. Ein Element aus $K$ ist dann und nur dann Einheit, wenn
$\gamma$
(1)
Ein Polynom mit ganzen Koeﬃzienten aus heisst ,, primitiv in “, wenn seine
Koeﬃzienten bis auf die Einheiten keine gemeinsamen Teiler besitzen.
$k$
$k$
M. Moriya
126
es einer irreduziblen Gleichung mit ganzen Koeﬃzienten aus
$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots.+a_{0}=0$
$k$
,
deren letzter Koeﬃzient Einheit ist, gen\"ugt.
Jetzt wollen wir annehmen, dass
Satz 2. Ein Element
aus
$a$
$K$
$K$
\"uber
normal ist.
$k$
Dann gilt
gen\"uge einer irreduziblen Gleichung
$x^{n}+a_{n-1}x^{n- 1}+\ldots.+a_{0}=0$
mit
zu
Koeﬃzienten aus . Dann sind die Bewertungen aller Konjugierten
$k$
a (einschliesslich a) gleich
Beweis. Es sei
$a^{(i)}$
$\frac{1}{n}\varphi(a_{0})$
.
eine beliebige konjugierte Wurzel zu
$a$
.
Dann
ist. Daf\"ur betrachten wir den
bekanntlich normal
K\"orper
. Dann ist
gleich , so
und
\"uber . Setzt man ein ganzes Element aus
erh\"alt man aus
durch Anwendung aller Automorphismen von
\"uber
. Bildet man dann ein
.,
die Elemente
wollen wir zeigen, dass
$\varphi(a)=\varphi(a^{(i)})$
$K^{\prime}=k(a, a^{\prime}, \ldots.
, a^{(n-1)})$
$K^{\prime}$
$k$
$\beta$
$\frac{a^{(i)}}{a}$
$\frac{a}{a^{(i)}}$
$K^{\prime}$
$\beta$
$k$
$\beta,$
$\beta^{\prime},$
$\ldots$
$\beta^{m-1)}(m\geqq n)$
Polynom
$F(x)=(x-\beta)(x-\beta^{\prime})\ldots.(x-\beta^{(m-1)})$
,
oﬀenbar ein Polynom in und daher ist $F(x)$ eine bestimmte
Potenz eines irreduziblen Polynoms $f(x)$ in , welches als seine Nullein ganzes
stelle und den h\"ochsten Koeﬃzienten 1 besitzt. Da
Element ist, so muss nach Satz 1 $f(x)$ ein Polynom mit ganzen Koefeine bestimmte
.
sein. Weil aber
ﬁzienten aus
ist, so besitzt in $f(x)$ das von
freie
Potenz von
eine
Glied den Koeﬃzienten 1, muss also nach Zusatz des Satzes 1
.
. Es ist also
Einheit sein, . .
ist, so ist
.
. Da aber
so ist
$k$
$F(x)$
$k$
$\beta$
$\beta$
$k$
$\beta\cdot\beta^{\prime}\cdot\ldots$
$\cdot$
$\beta^{m- 1)}$
$\frac{a...\cdot..a^{(n- 1)}}{a..a^{(n-1)}}=1$
$x$
$\beta$
$d$
$=\varphi(a^{(n- 1)})$
$h$
$\varphi(a)=\varphi(a^{\prime})=\ldots$
$\varphi(a)=\varphi(a^{(i)})$
$(-1)^{n}a\cdot\ldots.\cdot a^{(n-1)}=\sigma_{0}$
Wenn man umgekehrt einem Element
irreduziblen Gleichung in
$k$
$x^{n}+a_{n-1}x^{n- 1}+\ldots.+a_{0}=0$
$\varphi(a)=\frac{1}{n}\varphi(a_{0})$
$a$
aus
, welches
$K$
einer
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
gen\"ugt,
als seine Bewertung angibt, dann
$\frac{1}{n}\varphi(a_{0})$
Bewertungsvorschriften.
von Herrn
gen\"ugt
127
$\frac{1}{n}\varphi(a_{0})$
den
F\"ur den Beweis weise ich aber auf die Arbeit
hin. Damit hat man mit Satz 2 zusammen
bewiesen, dass die oben bestimmte Bewertung in $K$ eine einzige erweiterte Bewertung von ist.
Wir sind jetzt im Stande, einen beliebigen algebraischen Erweiterungsk\"orper 1. Art uber einem bewerteten (aber nicht notwendig
perfekten) K\"orper zu bewerten. Es sei
ein bewerteter K\"orper, und
$K$ sein algebraischer Erweiterungsk\"orper
1. Art. Dann sind die Ele$K$
mente aus
alle Nullstellen der bestimmten Polynome 1. Art in .
Wir wollen mit $M$ die Menge aller solchen irreduziblen Polynome in
bezeichnen. Bildet man zun\"achst einen perfekten Korper (etwa
den derivierten K\"orper)
von , und dann \"uber einen Normalk\"orper 1. Art
, derart dass sich die Polynome aus $M$ alle in
in
lauter verschiedene Linearfaktoren zerlegen, so enth\"alt einen K\"orper
, welcher
enth\"alt und zu $K$ isomorph ist. Dabei soll beim Isomorphismus von $K$ zu
jedes Element aus
sich selbst zugeordnet
werden. Da
normal \"uber ist, so kann man
so bewerten, dass
dabei die Bewertung von
(folglich auch die von k) beibehalten ist.
Gibt man also einem Element
aus $K$ die Bewertung eines
zugeordneten Elementes
aus , so wird sicher der K\"orper $K$ bewertet,
und sogar ist die Bewertung von beibehalten.
Es gilt also:
Ein algebraischer Korper $K$ von der ersten Art uber einem bewerteten K\"orper l\"asst sich immer bewerten, derart dass die Bewertung
von dabei beibehalten ist.
$OsTBOWSKI(1)$
$k$
$k$
$k$
$k$
$k$
$f$
$f$
$\mathfrak{N}$
$\mathfrak{N}$
$\mathfrak{N}$
$K^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
$k$
$\mathfrak{N}$
$f$
$\mathfrak{N}$
$\mathfrak{k}$
$a$
$a^{\prime}$
$a$
$K^{\prime}$
$k$
$k$
$k$
Es sei
ein endlicher algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art
\"uber einem perfekten K\"orper
und $K$ sei bewertet wie oben. Dann
kann man \"uber einen Normalk\"orper $N$ von endlichem Grade bilden,
der von der ersten Art \"uber ist und $K$ enth\"alt. Ferner kann man
$N$ so bewerten,
dass die Bewertung von $K$ beibehalten ist. Diese
erweiterte Bewertung von bezeichne ich mit .
$K$
$k$
$k$
$k$
$k$
$\varphi$
(1)
O. II. S. 297.
M. Moriya
128
Da $K$ von der ersten Art \"uber ist, so gibt es in $K$ ein primitives
als ein ganzes
Element , so dass $K=k(\theta)$ wird. Dabei kann man
(in bezug auf ) Element aus $Kannehmen^{\langle 1)}$ . Dann besitzt jedes Element aus $K$ die Gestalt
$k$
$\theta$
$\theta$
$\varphi$
$\gamma=a_{0}+a_{1}\theta+\ldots.+a_{n-1}\theta^{n-1}$
,
Elemente aus
.,
wobei den $Grad$ von $K$ nach , und
bedeuten. Bildet man in $N$ die samtlichen Konjugierten zu , so
$k$
$n$
$a_{0},$
$k$
$a_{n-1}$
$ a_{1}\ldots$
$\gamma$
erh\"alt
man
$\gamma_{1}$
$=a_{0}+a_{1}\theta_{1}+\ldots.+a_{n-1}\theta_{1}^{n-1}$
$\gamma_{n-1}=a_{0}+a_{1}\theta_{n-1}+\ldots.+a_{n-1}\theta_{n-1}^{n-1}$
,
die konjugierten Elemente zu sind.
worin , . . . . ,
ein ganzes Element aus $K$ ist, dann ist es in $N$ auch
Wenn
ganz, und folglich sind alle seiner Konjugierten ganz in $N$ (nach Satz 2).
. .
Bezeichnet man die Diskriminante von
$\theta$
$\theta_{n-1}$
$\theta_{1}$
$\gamma$
$\theta,$
$d$
$h$
$\left|\begin{array}{lll}1\theta & \cdots & \theta^{n-1}\\1\theta_{1} & \cdots & \theta_{1}^{n- 1}\\i_{\theta_{n-1}} & \cdots & \theta_{n- 1}^{n- 1}\end{array}\right|$
, dann ist bekanntlich diese ein Element aus
durch
auch ganz
, und da jedes
in $N$ ganz ist, so ist
in . Oﬀenbar erh\"alt man
$J(1, \theta, \ldots.
$k$
, \theta^{n-1})$
$\theta_{i}$
$Ai(1, \theta, \ldots.
, \theta^{n-1})$
$k$
$o_{i}=\frac{|_{i}^{1.\cdot.\cdot.\cdot.\cdot.\cdot.\cdot\theta^{n-1}}\theta_{n- 1}^{n-1}|..\left|\begin{array}{lllll}1 & \cdots & \gamma & \cdots & \theta^{n-1}\\\vdots & \gamma_{1} & & & \vdots\\i & \gamma_{n-1} & & & \theta_{n- 1}^{n- 1}\end{array}\right|}{\Delta(1,..,\theta^{n-1})}$
$(i=0,1, \ldots., n-1)$ ,
wo
$\gamma$
$|1i$
$.\theta^{n-1}\gamma_{1}\theta_{1}^{n-1}\gamma_{n-1}\theta_{n-1}^{n-1}|$
aus der Determinante
$\left|\begin{array}{lll}1 & \cdots & \theta^{n-1}\\\vdots & & \vdots\\i & \cdots & \theta_{n- 1}^{n- 1}\end{array}\right|$
.
(1)
Denn sonst wird durch Multiplikation eines passenden ganzen Elementes
ganz. Es ist aber $k(\theta)=k(a\theta)$ .
$k$
$\theta$
$a$
$a$
aus
129
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
, .... ,
durch Ersetzung der $(i+1)$ -ten Spalte durch
ganz in $N$, und weil
Also ist der Zahler von
auch ganz.
ist, so ist der Nenner von
Element aus
von der Form
jedes ganze Element aus
$\gamma,$
$\gamma_{n-1}$
$\gamma_{1}$
$A(1, \ldots.
$a_{i}$
$k$
entsteht.
, \theta^{n-1})$
$a_{i}$
ganzes
Daher ist
$k$
$\gamma$
$\frac{1}{\Delta(1,\ldots.,\theta^{n-1})}(b_{0}+b_{1}\theta+\ldots.+b_{n-1}\theta^{n-1})$
....
,
alle ganze Elemente aus sind.
Satz 3. Es sei $K$ ein endlicher algebraischer Erweiterungskorper
ein ganzes
1. Art \"uber einem perfekten Kbrper . Ferner sei
primitives Element von $K$ \"uber . Dann ist jedes ganze Element aus $K$
von der Form
wo
$b_{0}$
,
$b_{1}$
,
,
$k$
$b_{n-1}$
$k$
$\theta$
$k$
$a_{0}+a_{1}\theta+\ldots.+a_{n-1}\theta^{n-1}$
worin
$a_{0}$
,
$a_{0}$
.... ,
,
....
$a_{n-1}$
,
und die Bewertungen von
Elemente aus
immer nach unten beschrankt sind.
,
$k$
$a_{n-1}$
Aus Satz 3 folgt
Zusatz. Es habe ein ganzes Element
$\gamma$
aus
$K$
die Gestalt wie in
Satz 3:
$\gamma=a_{0}+a_{1}\theta+\ldots.+a_{n-1}\theta^{n-1}$
Dann m\"ussen
.,
hinreichend gross wird.
$\varphi(a, ),$
$\varphi(a_{n-1})$
$\varphi(a_{1}),$
$\ldots$
.
hinreichend gross werden, wenn
$\varphi(\gamma)$
Beweis. Nach Satz 3 ist
sind nach unten beschr\"ankt.
annehmen. Dann gibt es in
, .... ,
ganz in $K$, und
als keine Einheit
Ferner kann man
ein ganzes Element , derart dass
$\varphi(a_{0})$
$\theta$
$\varphi(a_{n-1})$
$\gamma$
$k$
$a$
$\varphi(a^{m})\leqq\varphi(\gamma)<\varphi(a^{m+1})$
wird. Bildet man nun
$\frac{\gamma}{a^{m}}$
so ist
$\frac{\gamma}{a^{m}}$
ganz in
$K$
, weil
$\varphi(\gamma)-\varphi(a^{m})\geqq 0$
ist. Also ist
$\frac{\gamma}{a^{m}}=b_{0}+b_{1}\theta+\ldots.+b_{n-1}\theta^{n-1}$
wobei
$\varphi(b_{0})$
,
...
,
$\varphi(b,-1)$
,
auch nach unten beschr\"ankt sind.
Da
180
M. Moriya
$(a_{0}-b_{0}a^{m})+(a_{1}-b_{1}a^{m})\theta+\ldots.+(a_{n-1}-b_{n-1}a^{m})\theta^{n-1}=0$
ist,
so mussen
$a_{0}-b_{0}a^{m}=0$
,
....
,
$a_{n-1}-b_{n- 1}a^{m}=0$
sein. Hieraus folgen
$\varphi(a_{0})=\varphi(b_{0})+rn\varphi(a)$
Weil aber
$\varphi(a_{0}),$
$\ldots$
.
....
,
$\varphi(a_{n-1})=\varphi(b_{n-1})+m\varphi(a)$
.
nach unten beschr\"ankt sind, so werden
hinreichend gross, wenn
und folglich
$\varphi(b_{0}),$
$\ldots.,$
,
,
$\varphi(a_{n-1})$
$\varphi(b_{n-1})$
$\varphi(\gamma)$
$\varphi(a^{m})$
hinreichend gross wird.
Es sei nun $K$ besonders diskret bewertet. Dann stellen wir nach
Satz 3 alle ganzen Elemente aus $K$ in der Form
$\frac{1}{\Delta(1,\ldots,\theta^{n-1})}(a_{0}+a_{1}\theta+\ldots.+a_{n-1}\theta^{n- 1})$
dar, wobei
,
, .
,
ein ganzes primitives Element von $K$ \"uber , und
ganze Elemente aus
...
bedeuten. Wir betrachten
nun in dieser Darstellung die Koeﬃzienten von
. Da $\underline{a_{n- 1}}$
$a_{0}$
$a_{1}$
$\theta$
$k$
$k$
$a_{n- 1}$
$\theta^{n-1}$
$\Delta(1, \ldots, \theta^{n-1})$
nach unten beschrankt und die Bewertung von $K$ diskret ist, so muss es
unter allen
ein kleinstes geben. Bezeichnet man
mit ein beliebiges ganzes Element aus $K$, dessen Koeﬃzient von
unter allen
die kleinste Bewertung besitzt, so kann
$\varphi$
$\varphi(\frac{a_{n.- 1}}{AJ(1,..,\theta^{n-1})})$
$\theta^{n- 1}$
$\omega_{1}$
$\varphi(\frac{a}{\lrcorner(1}n\frac{- 1}{\theta^{n- 1})})$
man ein beliebiges ganzes Element
$\gamma$
in der Form
$\gamma=\frac{1}{\Delta(1,\ldots,\theta^{n-1})}(b_{0}+b_{1}\theta+\ldots.+b_{n-2}\theta^{n-2})+b_{n-1}\omega_{1}$
darstellen, wobei
....
ganze Elemente aus
trachten wir weiter die s\"amtlichen ganzen Elemente
$b_{0}$
,
,
$b_{n-1}$
$\frac{1}{\Delta(1,\ldots,\theta^{n-1})}(b_{0}+b_{1}\theta+\ldots.+b_{n-2}\theta^{n-2})$
.
Dann gibt es unter ihnen ein Element
, dessen Koeﬃzient von
unter allen
die kleinste Bewertung besitzt.
$\omega 2$
$\theta^{n-2}$
sind. Nun bevon der Gestalt
$k$
$\varphi(\frac{b_{n-2}}{\Delta(1,\ldots,\theta^{n-1})})$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Dann kann man ein beliebiges ganzes Element
$\gamma$
aus
$K$
131
in der Form
$\frac{1}{\Delta(1,\ldots.,\theta^{n-1})}(c_{0}+c_{1}\theta+\ldots.+c_{n-3}\theta^{n\rightarrow})+c_{n-2}\omega_{2}+b_{n-1}\omega_{1}$
darstellen. Wir k\"onnen dieses Verfahren weiter fortsetzen. Endlich
erhalten wir ein System der ganzen Elemente
$\omega 1,$
$\omega_{2},$
$\ldots.,$
$\omega_{n}$
,
derart dass jedes ganze Element aus $K$ als eine lineare Form von
,
, .. . . ,
mit ganzen Koeﬃzienten aus eindeutig darstellbar
ist. Wir nennen
. , eine Minimalbasis von $K$ nach in
$\omega_{1}$
$\omega_{2}$
$k$
$\omega_{n}$
$\omega_{1},$
bezug auf
$\varphi$
$\omega_{2},$
$\ldots$
$k$
$\omega_{n}$
.
Satz 4. Unter der Voraussetzung in Satz 3 sei $K$ noch diskret
bewertet. Dann existieren in K Minimalbasen von $K$ nach in bezug
$k$
auf
$\varphi$
.
Wir haben schon gezeigt, dass man einem algebraischen Erweiterungsk\"orper $K1$ . Art \"uber einem perfekten K\"orper eine Bewertung angeben kann, welche gerade eine Erweiterung der Bewertung
von ist. Wenn $K$ insbesondere \"uber endlich ist, dann kann man
noch folgenden Satz beweisen.
$k$
$k$
$k$
Satz 5.
Wenn $K$ ein endlicher algebraischer Erweiterungskorper
1. Art \"uber einem perfekten Korper , dann ist $K$ auch perfekt in
bezug auf eine erweiter Bewertung von
$k$
$k^{(1)}$
$te$
Beweis. Da $K$ \"uber von der ersten Art ist, so gibt es in
primitives Element , derart dass
$k$
$K$
ein
$\theta$
$K=k(\theta)$
wird. Dabei kann man
als ein ganzes Element aus $K$ annehmen.
Wir bezeichnen mit
die Bewertung von $K$, die eine Erweiterung
der Bewertung von
,
ist. Wenn
. eine Funda.,
$K$
ist, welche nicht zur Null konvergiert, dann miissen
mentalreihe aus
von einem passenden Index $N$ an alle
ﬁir $i\geqq N$ gleich sein.
$\theta$
$\varphi$
$k$
$a_{1}$
$a_{2},$
$\ldots$
$\varphi(a_{i})$
(1)
O. I.
S. 275.
$\alpha_{m},$
$\ldots$
M. Moriya
132
ein
Wenn also $\varphi(a_{i})<0(i\geqq N)$ sind, dann existiert sicher in
sind $(j=1, \ldots. , m, \ldots.)$ .
ganzes Element , derart dass
,
, .. .. ,
,
Beweist man daher, dass die Fundamentalreihe
. . $ihr$ Grenzelement in $K$ besitzt, dann besitzt die urspr\"ungliche
Fundamentalreihe auch ihr Grenzelement in $K$.
$k$
$\varphi(aa_{j})\geqq 0$
$a$
$aa_{1}$
$aa_{m}$
$aa_{2}$
.
es bestehe also die Fundamentalreihe
aus ganzen Elementen in $K$. Dann kann man nach Satz 3
Angenommen,
$a1,$
$a_{i}=a_{0}^{\langle:)}+a_{1}^{(i)}\theta+\ldots.+a_{n-1}^{\langle i)}\theta^{\eta-1}$
setzen, wobei
$n$
Elemente aus
schr\"ankt sind.
.,
$a_{\cup}^{(1)},$
$ a_{0}^{(2)}\ldots$
.
.
$a_{m},$
$\ldots$
.)$
.
, ... ,
die
, und
bedeuten, deren Bewertungen alle nach unten beAlso folgt aus Zusatz des Satzes 3, dass in
,
, .
,
. ; .. ;
, ,
;
, ..
den
$k$
$(i=1, \ldots.m , .
,
$\ldots$
$Grad$
von
nach
$K$
$k$
$a_{1}^{(:)}$
$a_{0}^{(;)},$
$a_{n- 1}^{\langle i)}$
$k$
$a_{0}^{\langle m)}$
..
$a_{1}^{(1)},$
$a_{1}^{(2)}$
$a_{1}^{(m)}$
$\cdot$
..
.. .
$a_{n-1}^{\langle 1)},$
$a_{n-1}^{\{2)}$
...
, ....
, .... ,
,
Fundamentalreihen bilden, wenn
perfekt ist, so besitzt jede
Fundamentalreihe ist. Da der K\"orper
Fundamentalreihe
$a_{n-1}^{(m)}$
,
....
$a_{1}$
$a2$
$a_{m}$
$k$
$a_{j}^{(1)},$
$a_{j}^{(2)}$
ihr Grenzelement in
....
,
$k$
,
$a_{j}^{(m)}$
,
....
$(0\leqq j\leqq n-1)$
. Bezeichnet man dieses Grenzelement mit
$a_{j}$
,
,
sicher das Grenzelement von
, und dieses geh\"ort zum K\"orper $K$. Also ist $K$ perfekt.
.. .. ,
Um die unendlichen algebraischen Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber
einem perfekten K\"orper zu untersuchen, betrachten wir zuerst einen
Normalk\"orper 1. Art $N$ \"uber . Dann kann man nach Satz 2 in $N$ eine
erweiterte Bewertung von ﬁnden. Diese erweiterte Bewertung will
ich mit
bezeichnen.
Dann gilt folgender Hilfssatz.
so ist
$a=a_{0}+a_{1}\theta+\ldots.+a_{n- 1}\theta^{n-1}$
$a_{m},$
$a1$
$\ldots.$
$k$
$k$
$k$
$\varphi$
das Grenzelement (in bezug auf ) einer Elementfolge
. , , . .. . aus $N$, und gen\"uge einer irreduziblen
. , , .. . zu
Gleichung $f(x)=0$ in . Dann konvergiert
. , , . . . . bzw.
zu , wobei
einer konjugierten Wurzel
durch Anwendung eines Automorphismus von $N$ \"uber aus , ... . ,
. bzw. entsteht.
Hilfssatz. Es sei
$a_{1},$
$a_{2},$
$\ldots$
$a$
$\varphi$
$a$
$a_{n}$
$k$
$a_{1}^{\prime},$
$ a_{2}^{\prime}\ldots$
$a^{\prime}$
$a^{\prime}$
$a$
$a_{n}^{\prime}$
$a_{1}^{\prime},$
$\ldots$
$k$
$a_{n},$
$\ldots$
$a$
$a_{n}^{\prime}$
$a_{1}$
133
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
eine konjugierte Wurzel zu ist, ist wohl beBeweis. Dass
, ist, so ist nach
eine konjugierte Wurzel zu
kannt. Da
Satz 2
$a^{\prime}$
$a$
$a^{-a}$
$a^{\prime}-a_{n}^{\prime}$
$\varphi(a^{\prime}-a_{n}^{\prime})=\varphi(a-a_{n})$
.
mit dem Index zusammen \"uber alle Grenzen w\"achst,
Weil
, ... . konvergiert zu .
, . .. . ,
, d.h.
so tut es auch
Satz 6. Es sei $ K_{1}CK_{2}C\cdots\cdot CK_{n}C\cdots$ . eine Korperfolge, deren
jeder von endlichem Grade und von der ersten Art \"uber einem
perfekten Korper
ist. Dann ist der Vereinigungsk\"orper $K$ von
. , , .... nimmer perfekt in bezug auf eine erweiterte Bewertung
von
, .... ,
,
. von der ersten Art \"uber
Beweis. Da
,
sind, so besitzen sie primitive Elemente \"uber . Es seien
ein ganzes primi. , wobei
.,
einen
\"uber bedeutet. Dann kann man \"uber
tives Element von
$\varphi(a-a_{n})$
$n$
$a^{\prime}$
$a_{1}^{\prime},$
$\varphi(a^{\prime}-a_{n}^{\prime})$
$a_{n}^{\prime}$
$a_{2}^{\prime}$
$k$
$K_{1},$
$K_{n}$
$\ldots$
$k^{(1)}$
$\varphi$
$K_{1}$
$k$
$K_{n},$
$K_{2}$
$\ldots$
$K_{1}=k(\theta_{1})$
$k$
$K_{2}=k(\theta_{2}),$
$\ldots$
$\theta_{n}(n\geqq 1)$
$K_{n}=k(\theta_{n}),$
$K_{n}$
$\ldots$
$k$
$k$
.
als
Art bilden, derart dass
$\cdot CN_{n}C\cdots$ . , deren jeder
der Vereinigungsk\"orper von $N_{1}CN_{2}C$
\"uber
von endlichem Grade und normal ist, deﬁniert ist. Nun kann
von $K$ beiman
so bewerten, dass die urspr\"ungliche Bewertung
,
ein ganzes Element
behalten ist. Man bestimme in jedem
derart dass
$K$
enthaltenden Normalk\"orper
$\mathfrak{N}1$
$\mathfrak{N}$
$k$
$\mathfrak{N}$
$\varphi$
$\delta_{n}$
$K_{n}$
$\varphi(\delta_{n})>Max(\varphi(\theta_{n}^{\langle i)}-\theta_{n}^{(j)}),$
$(i\neq j)$
$\varphi(\theta_{n}^{\langle i)}))$
alle verschiedenen konjugierten Wurzeln zu ,
durchlaufen k\"onnen. Da in nach den Bewertungsvorschriften ein
ganzes Element
mit $\varphi(a)>0$ existiert, so bilden wir f\"ur noch zu
, .... ,
. eine Elementfolge
bestimmende nat\"urliche Zahlen
ist, wobei
$\theta$
$\theta_{n}^{(i)},$
$\theta_{n}^{(j)}$
$k$
$a$
$e_{1},$
$a_{1}=a^{e_{1}}\theta_{1},$
aus
$a_{2}=a^{e_{1}}\theta_{1}+a^{e_{2}}\theta_{2}$
.
,
....
$e_{2}$
,
$e_{n},$
$a_{n}=a^{e_{1}}\theta_{1}+\ldots.+a^{e_{n}}\theta_{n}$
Hier soll man die nat\"urlichen Zahlen
bestimmen, dass
(1)
$K$
O. I. S. 276.
$\ldots$
$e,$
,
....
$(n=1,2, \ldots.)$
so
134
M. Moriya
$\varphi(a^{e_{n}})>\varphi(a^{e_{n-l}})+\delta_{n-1}$
ist. Also ist
,
. . , , . . . . eine monoton wachsende Zahlfolge.
Wir behaupten zun\"achst, dass
, .... ,
,
, . . . . eine Funda$K$
mentalreihe aus
ist. Denn es ist
$e_{1},$
$e_{2}$
$e_{n}$
$a_{1}$
$\alpha_{2}$
$a_{n}$
$\varphi(a_{n+j}-a_{n})=\varphi(a^{e_{n+1}}\theta_{n+1}+\ldots.+a^{e_{n+j}}\theta_{n+j})$
$\geqq{\rm Min}(\varphi(a^{e_{n+1}})+\varphi(\theta_{n+1})$
$=\varphi(a^{e_{n\vdash 1}}\theta_{n+1})$
,
....
,
$\varphi(a^{e_{n+j}})+\varphi(\theta_{n+j}))$
,
weil
ist. Da
ist, und
mit
Grenzen gross wird, so folgt die Behauptung.
$\varphi(a^{e_{n+1}})+\varphi(\theta_{n+1})<\varphi(a^{e_{n+2}})+\varphi(\theta_{n+2})<\ldots.<\varphi(a^{e_{n+j}})+\varphi(\theta_{n+j})$
$\varphi(a^{e_{n+1}}\theta,+1)\geqq e_{n+1}\varphi(a)$
$e_{n+1}$
zusammen \"uber alle
$n$
Wendet man jetzt auf die Fundamentalreihe , , .. . . ,
.
zwei verschiedene Automorphismen
von \"uber an, welche
irgendein
,
aus
.,
. zu zwei verschiedenen konjugierten Wurzeln
und
\"uberf\"uhren, so erh\"alt man in
zwei
verschiedene Fundamentalreihen
$a_{1}$
$P^{\prime\prime}$
$P^{\prime},$
$\theta_{i}$
$\theta_{1}$
$\theta_{2},$
$a_{1}^{\prime}=a^{e_{1}}\theta_{1}^{\prime}$
,
$\ldots$
$\mathfrak{N}$
$\theta_{i}^{\prime\prime}$
$\alpha_{2}^{\prime}=a^{e_{1}}\theta_{1}^{\prime}+a^{e_{2}}\theta_{2}^{\prime}$
$\ldots$
$k$
$\mathfrak{N}$
$\theta_{n},$
$\ldots$
$\theta_{i}^{\prime}$
$a_{n},$
$a_{2}$
,
....
,
$a_{n}^{\prime}=a^{e_{1}}\theta_{1}^{\prime}+\ldots.+a^{e_{n}}\theta_{n}^{\prime}$
,
...
,
und
$a_{1}^{\prime\prime}=a^{e_{1}}\theta_{2}^{\prime\prime},$
$a_{2^{\prime}}^{\prime}=a^{e_{1}}\theta_{1}^{\prime\prime}+a^{e_{\underline{0}}}\theta_{l}^{\prime\prime}$
,
....
,
$a_{n}^{\prime\prime}=a^{e_{1}}\theta_{1}^{J/}+\ldots.+a^{e_{n}}\theta_{n}^{\prime/},$
$\ldots$
,
$r$
wobei
,
$\theta_{1}^{\prime}$
,
$\theta_{2}^{\prime}$
....
,
,
.... ,
, ....
$\theta_{n}^{\prime}$
,
....
bzw.
$\theta_{1}^{\prime\prime},$
$\theta_{2}^{\prime\prime}$
....
,
,
$\theta_{n}^{\prime/}$
....
,
aus
durch Anwendung von
bzw.
entsteht.
N\"amlich
ist oﬀenbar eine konjugierte Wurzel von $a,+J-a_{n}$ ,
ist also
. Daher w\"achst
mit zusammen \"uber alle Grenzen, weil
so ist. Also ist
,
, .. . . ,
, . . . . eine Fundamentalreihe in
. Ebenso bildet
. eine Fundamentalreihe in .
$\ldots.,$
$\theta_{1}$
$\theta_{2}$
,
$P^{\prime}$
$\theta_{n}$
$I^{1^{\prime\prime}}$
$t\text{ノ_{}n+j^{-\alpha_{n}^{\prime}}}^{\prime}$
$\varphi(a_{n+j}-a_{n})=\varphi(a_{n+j}^{\prime}-a_{n}^{\prime})(j\grave{\grave{x}}_{\underline{-}-}1)$
$n$
$a_{1}^{\prime}$
$a_{1}^{\prime/},$
$a_{2}^{\prime}$
$a_{2}^{\prime/},$
$\varphi(a_{n+j}^{\prime}-a_{n}^{J})$
$\varphi(a_{n+J^{-a,)}}$
$a_{n}^{J}$
$\mathfrak{N}$
$a_{n}^{\prime/},$
$\mathfrak{N}$
$\ldots$
F\"ur jedes
$m\geq i$
ist
$\varphi(a_{m}^{\prime}-a_{m}^{\prime\prime})\leqq\varphi(a^{e_{i}})+\varphi(\theta_{i}^{\prime}-\theta_{i}^{\prime\prime})$
,
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
135
weil f\"ur
ist.
die beiden obigen Fundamentalreihen gleich, dann m\"usste
mit $m$ \"uber alle Grenzen wachsen, was aber unm\"oglich ist.
$\theta_{l}^{\prime}\neq\theta_{i}^{\prime\prime}\varphi(a^{e_{i}})+\varphi(\theta_{i}^{\prime}-\theta_{i^{\prime}}^{\prime})<\varphi(a^{e_{j}})+\varphi(\theta_{j}^{\prime}-\theta_{j}^{\prime\prime})(j>i)$
$W\dot{a}ren$
$\varphi(a_{m}^{\prime}-a_{m}^{\prime/})$
Nun will ich zeigen, dass in
.,
die Fundamentalreihe ,
. kein Grenzelement besitzt, umsomehr in $K$. Denn ist aus
das Grenzelement von ,
.,
. , so muss eine Wurzel einer
irreduziblen Gleichung vom endlichen Grade in sein. Es habe nun
ein Teilk\"orper $K$, von $K$ den $Gradt>f$ \"uber . Dann ist $K$, in
enthalten, welcher ein Teilk\"orper
einem geeigneten Normalk\"orper
von ist. Dann gibt es in
und infolgedessen in
verschiedene
Automorphismen
, welche , aus
.,
zu seinen Konjugierten
, . . .. ,
. Daher entstehen nach dem
, .... ,
oben gezeigten aus der Fundamentalreihe
. durch
Anwendung von
. , $P^{(t-1)}t$ verschiedene Fundamentalreihen
in . Diese verschiedenen Fundamentalreihen m\"ussen nach Hilfssatz
verschiedene Wurzeln einer irreduziblen Gleichung -ten Grades in
deﬁnieren. Dies ist aber Widerspruch, weil $t>f$ ist.
$\mathfrak{N}$
$a_{i}$
$a_{n},$
$a_{2},$
$\ldots$
$\mathfrak{N}$
$a$
$\ldots$
$a_{1}$
$a_{2},$
$\ldots$
$a_{n},$
$a$
$\ldots$
$k$
$f$
$k$
$N_{m}$
$\mathfrak{N}$
$\mathfrak{N}t$
$N_{m}$
$P,$
$\theta,$
$P^{(t-1)}$
$P^{\prime},$
$K_{n}$
$\theta$
$\ldots$
$\theta_{n}^{\langle t-1)}\ddot{u}berf\ddot{u}hren^{\{1)}$
$\theta_{n}^{\prime}$
$,$
$a_{1},$
$P,$
$\mathfrak{N}$
$a_{n},$
$a_{2}$
$\ldots$
$P^{\prime},$
$\ldots$
$t$
$k$
$f$
$t$
Also besitzt der K\"orper $K$ eine Fundamentalreihe, welche kein
Grenzelement in $K$ besitzt. $K$ ist daher nicht perfekt.
\S 3. PERFEKTE K\"ORPER IN BEZUG AUF EINE
DISKRETE BEWERTUNG.
Es sei ein perfekter K\"orper in bezug auf eine diskrete Bewertung
. Ferner sei $K$ ein endlicher algebraischer Erweiterungskorper 1. Art
\"uber . Dann kann man nach \S 2 $K$ so bewerten, dass die Bewertung
von beibehalten ist. Diese Bewertung von $K$ kann man ohne Missverstandnis mit bezeichnen. Dann ist der K\"orper $K$ nach Satz 5
ein perfekter K\"orper in bezug auf . Wie diese Bewertung von $K$
durch den K\"orper bestimmt wird, hat man in S. 126-127 gesehen.
Dadurch sieht man sofort ein, dass die Bewertung von $K$ auch diskret ist.
$k$
$\varphi$
$k$
$k$
$\varphi$
$\varphi$
$\varphi$
$k$
$\varphi$
(1)
$0$
. HAUPT,
Einfuhrung in die Algebra, 2. Bd., Anhang von W. Krull. S. 613.
136
M. Moriya
ganzen Elemente
In \S 1 haben wir gesehen, dass die bez\"uglich
aus $K$ eine Maximalordnung bilden und die Gesamtheit aller ganzen
Elemente mit positiver Bewertungen darin ein Primideal bildet. Wir
verstehen im folgenden unter den ganzen Elementen aus $K$ immer
die ganzen Elemente in bezug auf . Bezeichnet man das Primideal
mit auch ein Primideal in allen
mit , so ist der Durchschnit von
geh\"orige Primideal in . Wir
ganzen Elementen aus , d.h. das zu
wollen dieses Primideal in mit bezeichnen.
$\varphi$
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$k$
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{p}$
in endlich viele verschiedene
Wenn der Restklassenk\"orper
Elemente-etwa verschiedene Elemente-besitzt, und in $K$ genau
gleich
, so ist der $Gradn$ von $K$ nach
durch
teilbar
in $K$ \"uber
Dabei ist der Relativgrad des Restklassenk\"orpers
in . Wir nennen die Verzweigungsdem Restklassenk\"orper
ordnung und
ein
den Restklassengrad von $K$ uber . Wenn
ist, und der Restklassengrad, die VerzweiTeilk\"orper von $K$ uber
\"uber
sind, dann folgt aus Deﬁnigungsordnung von
resp.
tion, dass durch
resp. der
,
teilbar ist, und
und durch
$k$
$mod \mathfrak{p}$
$q$
$\mathfrak{p}$
$k$
$ist^{\langle 1)}$
$\mathfrak{P}^{e}$
$f$
$ef^{(2)}$
$mod \mathfrak{P}$
$k$
$mod \mathfrak{p}$
$e$
$k$
$f$
$K^{\prime}$
$k$
$k$
$K^{\prime}$
$f$
$f^{\prime},$
$e^{\prime}$
$e^{\prime}$
$f^{\prime}$
$e$
$\frac{f}{f}$
Restklassengrad, die Verzweigungsordnung
von
$K$
\’uber
$\frac{e}{e’}$
$K^{\prime}$
sind.
in ein endlicher K\"orper ist, so
Da der Restklassenk\"orper
besitzt er die Primzahlcharakteristik. Wir wollen diese Charakteristik
mit bezeichnen. Wenn genau durch
teilbar ist, so nennt man
$mod \mathfrak{p}$
$p^{m}$
$e$
$p$
$e_{0}=\frac{e}{p^{m}}$
$k$
die reduzierte Verzweigungsordnung von
$K$
\"uber
$k$
.
Ferner
gelten nach Herrn HASSE zwei folgende S\"atze.
eine primitive
enthalt e’inen $K\dot{o}rperW=k(\omega),$
$(q^{f}-1)- te$ Einheitswurzel(4) ist.
zugleich eine primitive
Dabei ist
und die Verden Restklassengrad
Wurzel mod . $W$ hat iiber
$W$
$K$
zweigungsordnung 1.
hat \"uber
den Restklassengrad 1 und die
Satz 7.
$K$
$ wo\omega$
$\omega$
$k$
$\mathfrak{P}$
$f$
.
Dies bedeutet, dass , betrachtet als ein Ideal aus der Maximalordnung in $K$
gleich ist. Dass in $K$ solche Verzweigung stattﬁndet, sieht
dem Ideal
man dadurch ein, dass die Bewertung von $K$ diskret ist. K. II, S. 538.
(2) Ha. S. 506.
(3) Ha. S. 507-508.
(4)
ist eine bestimmte Potenz der Charakteristik des Restklassenk\"orpers
in .
(1)
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{P}^{e}$
$mod \mathfrak{p}$
$q$
$k$
137
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Verzweigungsordnung
$e$
.
Es ist ferner
$K=W(\Pi)=k(\omega, \Pi)$
.
teilbares Element aus
ein genau durch
Dabei bedeutet
liefert einen primitiven
Satz 8. $W$ ist zyklisch \"uber , und
Automorphismus von $W$ \"uber .
Wir nennen den K\"orper $W$ den Tr\"agheitskorper von $K$ \"uber .
F\"ur den Tr\"agheitsk\"orper $W$ beweisen wir
rper von
Satz 9. Der $Tr\ddot{a}gheitsk\dot{o}rperW$ ist der maximale
mit der
von $K$ \"uber
$K$ \"uber
, derart dass alle Teilkorper
$K^{(1)}$
$\Pi$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\omega\rightarrow\omega^{q}$
$k$
$k$
$Teilk\dot{0}$
$k$
$W^{\prime}$
$k$
Verzweigungsordnung1 in
$W$
enthalten sind.
\"uber , ist Produkt des Restklassenvon
Beweis. Der
\"uber . Also ist
grades
mit der Verzweigungsordnung 1 von
ein Teil. Da aber ein Teiler von ist, so folgt, dass
durch
aus
k\"orper von $W$ ist. Denn nach Satz 7 entsteht
-ten EInheitswurzel . Da aber
Adjunktion einer primitiven
-ten Einheitswurzeln alle durch bestimmte Potenzen einer
darstellbar sind
beliebigen primitiven $(q^{f}-1)$ -ten Einheitswurzel
ein Teilk\"orper von $W$.
(weil durch
teilbar ist !), so ist
normal ist. Wir
Nun betrachten wir den Fall, dass $K$ \"uber
$K$
nach . Wie in
die galoissche Gruppe von
bezeichnen dabei mit
der gew\"ohnlichen galoisschen Theorie deﬁnieren wir hier die Zerlegungs-,
aus
Tr\"agheits-und Verzweigungsgruppe in bezug auf das Primideal
folgenden verstehen wir unter den oben genannten Gruppen
K.
immer die Gruppen in bezug auf das Primideal . Da aber in $K$
nur ein Primideal in bezug auf existiert, so kann man ohne Missfortlassen.
verstandnis das Wort ,, in bezug auf
inZerlegungsgruppe. Diejenigen Automorphismen, welche
. Hier ist
variant lassen, bilden die sogenannte Zerlegungsgruppe
gleich der ganzen Gruppe . Denn jedes Element aus
aber
besitzt eine positive Bewertung. Durch Anwendung eines Automorist zu einem Konjugierten \"ubergef\"uhrt. Da nach
phismus aus
$Gradn^{\prime}$
$k$
$W^{\prime}$
$k$
$W^{\prime}$
$f^{\prime}$
$W^{\prime}$
$f$
$f^{\prime}$
$n^{\prime}=f^{\prime}$
$k$
$W^{\prime}$
$\omega^{\prime}$
$(q^{f^{\prime}}-1)$
$(q^{f^{\prime}}-1)$
$\omega$
$f$
$W^{\prime}$
$f^{\prime}$
$k$
$k$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{P}$
${\rm Im}$
$\mathfrak{P}$
$\varphi$
“
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}z$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}z$
$\gamma$
$\mathfrak{G}$
$\gamma$
(1)
Dabei versteht man unter einem genau durch
ment aus
.
$K$
$\mathfrak{P}$
teilbaren Element ein Primele-
138
M. Moriya
Satz 2 dieses konjugierte Element zu
die gleiche Bewertung mit
besitzt, so geh\"ort es auch zu
Also lassen alle Automorphismen
aus
das Primideal invariant.
Tr\"agheitsgruppe. Diejenigen Automorphismen aus , welche jede
Restklasse
invariant lassen, bilden oﬀenbar eine Gruppe
.
Diese Gruppe
heisst die Tr\"agheitsgruppe.
Es sei
eine primitive Wurzel modulo
in $K$. Dann gen\"ugt
modulo
einer irreduziblen Kongruenz vom Grade
$\gamma$
$\gamma$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}$
$mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}$
$\omega 0$
$f$
$\mathfrak{P}$
$\omega 0$
$mod$
$g(x)\equiv 0$
mit Koeﬃzienten aus
$k$
,
wenn
$K$
\"uber
$\mathfrak{p}$
$k$
den Restklassengrad
$f$
Da jede von der Nullklasse verschiedene Restklasse
eine bestimmte Potenz von
repr\"asentiert wird, so besteht
allen derjenigen Automorphismen aus , f\"ur welche
besitzt.
$mod \mathfrak{P}$
$\omega 0$
durch
$\mathfrak{G}_{T}$
aus
$\mathfrak{G}$
$\prime r$
$mod$
$7\omega_{0}\equiv\omega_{0}$
ist.
Nun sei
oﬀenbar
$\sigma$
ein beliebiger Automorphismus aus
$\sigma^{-1}\tau\sigma\omega_{0}\equiv\omega 0$
Also ist
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}$
$mod$
.
Dann ist
.
$\mathfrak{P}$
eine invariante Untergruppe von
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}$
.
Wir wollen jetzt die Faktorgruppe
untersuchen. Da die
Automorphismen aus
jede Restklasse
unver\"andert lassen,
so entsteht durch Anwendung der Automorphismen aus einer Nebengruppe von
nach
eine und dieselbe Permutation der Restklassen
, und aus verschiedenen Nebengruppen entstehen verschiedene
Permutationen der Restklassen. Aber elne solche Permutation ist
dadurch charakterisiert, dass dabei die durch
repr\"asentierte Restklasse
einer bestimmten Restklasse
zugeordnet wird.
Wendet man also einen Automorphismus aus
auf die Kongruenz
an, dann erh\"alt man
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}$
$mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}\tau$
$mod \mathfrak{P}$
$\omega 0$
$mod \mathfrak{P}$
$mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$\sigma$
$g(\omega_{0})\equiv 0mod \mathfrak{P}$
$\sigma g(\omega 0)\equiv g(\sigma\omega 0)\equiv 0$
Daher ist
$\sigma\omega_{0}$
eine Wurzel von
$mod$
$\mathfrak{P}$
$g(x)\equiv 0mod \mathfrak{P}$
.
Da aber
$g(x)$
vom
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
und
.,
alle Wurzeln von
(nach Satz 8), so ist
kongruent einem von
gibt also h\"ochstens
verschiedene Nebengruppen
nach
ist h\"ochstens
Grade
$\omega_{0}^{q^{f- 1}}$
$f$
$\omega_{0},$
$\omega_{0}^{q},$
$\ldots$
$\omega_{0},$
$\sigma\omega_{0}$
$f$
$\mathfrak{G}$
139
sind
Es
$g(x)\equiv 0mod \mathfrak{p}$
$\omega_{0}^{q},$
$\ldots$
$d.h$
.
.,
$\omega_{0}^{q^{f- 1}}$
der Index von
$f$
$\mathfrak{G}_{2’}$
Es sei nun $h(x)=0$ eine irreduzible Gleichung mit ganzen Koeﬃzigen\"ugt. Dann ist der $Grad$ von $h(x)$ nicht
enten aus , welcher
,
kleiner als der von $g(x)$ , weil $g(x)$ modulo irreduzibel ist und
sind. Hieraus folgt sofort, dass $g(x)$ , modulo betrachtet, ein Faktor von $h(x)$ ist. Nach dem Hauptsatz der galoisschen
denjenigen Automorphismus
Theorie weiss man aber, dass es in
gibt, der eine Wurzel
von $h(x)=0$ zu einer beliebigen anderen
Wurzel von $h(x)=0$ \"uberf\"uhrt. Hiernach sieht man sofort, dass es
in
einen Automorphismus gibt, derart dass
$k$
$\omega 0$
$h(\omega_{0})\equiv 0$
$\mathfrak{p}$
$g(\omega_{0})\equiv 0mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{G}$
$\omega 0$
$\mathfrak{G}$
$\sigma$
$mod$
$\sigma\omega_{0}\equiv\omega_{0}^{q}$
wird. Also existieren genau
, und es folgt auch leicht
$f$
$\mathfrak{P}$
verschiedene Nebengruppen von
$\mathfrak{G}$
nach
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}=\mathfrak{G}\tau+\sigma \mathfrak{G}_{T}+\ldots.+\sigma^{f-1}\mathfrak{G}\tau$
$d.h$
. die Faktorgruppe von
Ordnung
$\mathfrak{G}$
nach
$\mathfrak{G}_{T}$
,
ist zyklisch und von der
.
$f$
Daher erhalt man
ist eine invariante Untergruppe
Satz 10. Die Tr\"agheitsgruppe
ist zykhsch und von der Ordnung
von , und die Faktorgruppe
. Dabei ist der Restklassengrad von $K$ \"uber .
$\mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}$
$k$
$f$
$f$
Satz 11. Der Tr\"agheitskorper
korper der Tr\"agheitsgruppe
.
$W$
von
$K$
\"uber
$k$
ist der Invarianten-
$\mathfrak{G}\tau$
Beweis. Nach Satz 7 entsteht der K\"orper $W$ aus durch Adjunktion einer primitiven $(q^{f}-1)$ -ten Einheitswurzel , welche auch als eine
angenommen werden kann. Die galoissche
primitive Wurzel modulo
, weil
Gruppe
von $K$ nach $W$ ist sicher eine Untergruppe von
bei Anwendung jedes Automorphismus aus
invariant ist. Da
$k$
$\omega$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}_{W}$
$\omega$
aber
$\mathfrak{G}_{W}$
M. Moriya
140
$[\mathfrak{G};\mathfrak{G}w1^{(1)}=[W ; k]^{(A)}=f=[\mathfrak{G} ; \mathfrak{G}_{T}]$
ist,
so
folgt
$\mathfrak{G}w=\mathfrak{G}_{T}$
.
Verzweigungsgruppe.
Unter allen Automorphismen aus bildet die Gesamtheit derjenigen
Automorphismen , die fur jedes ganze Element aus $K$
$\mathfrak{G}$
$v$
$a$
$mod$
$ Va\equiv\alpha$
$\mathfrak{P}^{2}$
gelten lassen, die sogenannte Verzweigungsgruppe
$\mathfrak{G}_{V}$
.
eine Untergruppe und sogar eine invariante Untergruppe
von ist, kann man leicht beweisen. Es gilt nun
Satz 12. Es sei die Charakteristik des Restklassenk\"orpers mod
in $K$, und $e=e_{0}p^{m}$ mit $(p, e_{0})=1$ . Dann ist die Faktorgruppe von
zyklisch und von der Ordnung .
nach
Beweis. Es sei ein primitives Element von $K$ \"uber $W;K=W(\Pi)$ ,
teilbar (nach Satz 7). Wendet man auf
und
sei genau durch
an, so erh\"alt man f\"ur die in Satz 7
einen Automorphismus aus
bestimmte primitive $(q^{f}-1)- te$ Einheitswurzel
Dass
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{P}$
$p$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}\tau$
$e_{0}$
$\Pi$
$\Pi$
$\Pi$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\tau$
$\omega$
$mod$
$\tau\Pi\equiv\omega^{b}\Pi$
$\mathfrak{P}^{2}$
ist, also
, wenn
Dann und nur dann geh\"ort zu
ist. Wir
durch $q^{f}-1$ teilbar ist, weil eine primitive Wurzel
zyklisch ist. N\"amlich
beweisen nun, dass die Faktorgruppe
fur welchen der Exponent von
sei ein Automorphismus aus
in der Kongruenz
$b$
$\omega^{b}\equiv 1mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\prime r$
$mod \mathfrak{P}$
$\omega$
$\mathfrak{G}\tau/\mathfrak{G}_{V}$
$\tau$
$b$
$\mathfrak{G}\tau$
$mod$
$r\Pi\equiv\omega^{b}1I$
$\omega$
$\mathfrak{P}^{2}$
die kleinste positive Zahl ist. (Bekanntlich k\"onnen wir alle Exponenten
von
immer positiv annehmen.) Ferner sei f\"ur einen anderen
$b$
$\omega^{b}$
Automorphismus
$\tau^{\prime}$
aus
$\mathfrak{G}_{T}$
$mod$
$\tau^{\prime}\Pi\equiv\omega^{b^{\prime}}\Pi$
(1)
(2)
$\lfloor \mathfrak{G}$
:
nach
bezeichnet den Index von
bedeutet den Relativgrad von $W$ nach
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{W}\rfloor$
$[W:k]$
$\mathfrak{G}W$
$\mathfrak{P}^{2}$
.
$k$
.
,
141
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
wobei
rationale Zahlen
Dann kann man sicher zwei ganze
so ﬁnden, dass
$b^{\prime}\not\equiv 0mod q^{f}-1$
$t,$
$r$
ist.
$b^{\prime}=tb+r$
ist, wobei
$0\leqq r<b$
ist. Also ist
$mod$
$\tau^{-t}\tau^{\prime}\Pi\equiv\omega^{r}\Pi$
$\mathfrak{P}^{2}$
so f\"uhrte dies zu Widerspruch. Also muss $r=0$
sein. Daher geh\"ort
zur Nebengruppe
. Es ﬁndet also die
folgende Zerlegung statt:
W\"are
$r\neq 0$ ,
$\tau^{\prime}$
$\tau^{t}\mathfrak{G}_{V}$
.
$\mathfrak{G}\tau=\mathfrak{G}_{V}+\tau \mathfrak{G}_{V}+\ldots.+\tau^{i-1}\mathfrak{G}_{V}$
ist, so ist
Da
eine invariante Untergruppe von
zyklisch.
Nun behaupte ich, dass die Ordnung von
eine Potenz von
ist. Dafur gen\"ugt zu zeigen, dass die Ordnung jedes Elementes aus
eine bestimmte Potenz von
ist. F\"ur einen Automorphismus
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p$
$\mathfrak{G}_{V}$
$v$
$p$
aus
$\mathfrak{G}_{V}$
sei
$mod$
$vlI\equiv\Pi+\Gamma_{0}\Pi^{2}$
ein ganzes Element aus
dung von entsteht
worin
$\Gamma_{0}$
$K$
$\mathfrak{P}^{3}$
,
Durch p-malige Anwen-
bedeutet.
$v$
$mod$
$v^{p}\Pi\equiv\Pi+p_{l_{0}^{\urcorner}\Pi^{2}}$
$\mathfrak{P}^{3}$
die Charakteristik des Restklassenk\"orpers
und
ganzes Element aus $K$ ist, so geh\"ort
Also ist
zu
Da
$mod \mathfrak{P}$
$p$
$p\Gamma_{0}$
$ v^{p}\Pi\equiv\Pi$
$d.h$
.
$mod$
$v^{p}\Pi\equiv\Pi+\Gamma_{1}II^{3}$
Allgemein erh\"alt
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}^{3}$
$mod$
,
$\mathfrak{P}^{4}$
man fur eine nat\"urliche Zahl
$v^{p^{n}}\Pi=\Pi+\Gamma,\Pi^{n+2}$
Hieraus folgt, dass die Bewertung
$\varphi(v^{p^{n}}\Pi-\Pi)$
$mod$
.
$n$
$\mathfrak{P}^{n+3}$
$1_{0}^{\urcorner}$
ein
M. Moriya
142
f\"ur $n=0,1,$
$\ldots$
.
\"uber alle Grenzen wachsen kann.
endlich viele verschiedene Potenzen von
es endlich viele verschiedene
$\alpha$
$v$
ll–lI
ein Automorphismus aus
aus
existieren k\"onnen, so gibt
$v$
$n_{0}$
$v^{\gamma_{\text{ノ^{}\eta}}0}$
Da
$\mathfrak{G}_{V}$
.
$\varphi(v^{p^{n}}l1-II)$
Es ist also f\"ur ein passendes
Da aber in
$\mathfrak{G}_{T}$
$=0$
.
so ist f\"ur ein beliebiges Element
ist,
$W$
$va=a$
.
Also ist jedes Element aus $K=W(/1)$ durch Anwendung eines Autoinvariant, $d.h$ .
ist der identische Automorphismus.
morphismus
eine Potenz von
. Wir wollen noch
Daher ist die Ordnung von
genau
zeigen, dass die Ordnung von
ist. Daf\"ur beweise ich
, dessen Ordnung eine
zunachst, dass ein beliebiges Element
aus
ist, zu
geh\"ort. Ist
mod
bestimmte Potenz von
. Also geh\"ort
, so ist sicher
zu
. Da $(q^{f}-1, p)=1$ ist, so gibt es bekanntlich zwei ganze ra, derart dass
tionale Zahlen
$v^{p^{n_{0}}}$
$v^{p^{n_{0}}}$
$p^{(1)}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\tau$
$\tau lI\equiv\omega^{b\Pi}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p$
$\tau^{q^{f}- 1}$
$\tau^{q^{f}- 1}1I\equiv\omega^{b(q^{f}- 1)_{\Pi\equiv}}\Pi mod \mathfrak{P}^{2}$
$\mathfrak{P}^{2}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$x,$
$y$
$(q^{f}-1)x+p^{s}y=1$
wird.
Dabei bedeutet
$p^{s}$
die Ordnung von
$\prime r$
. Dies zeigt
aber, dass
$\tau=\tau^{(q^{f}-1)x+p^{s}y}=\tau^{(q^{f}-1)x}$
schon ein Element aus
$\mathfrak{G}_{V}$
ist.
sicher eine Untergruppe
Nach dem Satz von SYLOW gibt es in
\"ubervon der Ordnung . Aber diese Untergruppe muss mit
einstimmen. Denn zun\"achst ist die SYLowsche Gruppe nach dem eben
. Da die Ordnung von
Bewiesenen eine Untergruppe von
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
(1)
Die Ordnung von
$\mathfrak{G}V$
ist also h\"ochstens
$p^{m}$
.
143
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
h\"ochstens
die Ordung
ist,
$p^{m}$
von
so wird die
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
gleich
Ordnung
$e_{0}$
von
auch
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m(1)}$
. Also ist
.
Der Invariantenk\"orper von
heisst der Verzweigungsk\"orper.
Wir bezeichnen ihn mit $V$. Oﬀenbar ist der $Grad[V;W]$ von $V$ nach
$W$ gleich
und dieser $Grade_{0}$ ist Produkt des Restklassengrades mit
der Verzweigungsordnung von $V$ \"uber $W$. Da der Restklassengrad
von $K$ \"uber gleich und der von $W$ \"uber auch ist, so ist der
$d.h$ . der Restklassengrad von $V$
Restklassengrad von $V$ \"uber gleich
\"uber $W$ ist gleich 1. Hieraus folgt also, dass die Verzweigungsordnung
von $V$ \"uber $W$ gleich
ist. Weil aber der K\"orper $W$ die Verzweigungsordnung 1 \"uber
besitzt, so ist die Verzweigungsordnung von
$V$ \"uber
auch .
Nun betrachten wir einen Zwischenk\"orper
zwischen $K$ und .
Bezeichnet man die galoissche Gruppe von $K$ nach
mit
so ist
$\mathfrak{G}_{V}$
$e_{0}$
$k$
$k$
$f$
$k$
$f$
$f,$
$e_{0}$
$k$
$k$
$e_{0}$
$K^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
1.
2.
3.
$\mathfrak{H}$
$\mathfrak{H}$
,
\"uber
die Zerlegungspruppe von
,
\"uber
die Tragheitsgruppe von
\"uber
die Verzweigungsgruppe von
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{\tau^{(2)}}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{V}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
.
Es sei nun
ein Teilk\"orper von $K$, dessen Verzweigungsordnung
\"uber
zu prim ist. Dann ist oﬀenbar die Verzweigungsordnung
von $K$ \"uber
durch
teilbar. Da nach 3 die Verzweigungsgruppe
von $K$ \"uber die Verzweigungsgruppe
von $K$ \"uber
ist, so ist
enthalten muss, und die Ordnung von
identisch
mit
. Also ist die Verzweigungsgruppe
eine Untergruppe der
galoisschen Gruppe von $K$ nach
ein Teilk\"orper
. Es ist also
$V^{\prime}$
$k$
$p$
$V^{\prime}$
$p^{m}$
$k$
$\mathfrak{G}_{V}$
$V^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{V^{\prime}}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V^{\prime}}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$V^{\prime}$
$V^{\prime}$
von
$V$
.
Hieraus folgt
Satz 13. Der $Verzweigungsk\dot{o}$rper $V$ ist der maximale Teilkorper
von $K$ mit der Verzweigungdordnung
\"uber
, derart dass alle
$K$
Teilkorper von mit der zu
primen Verzweigungsordnung \"uber
in
$V$
enthalten sind. Dabei ist
die reduzierte Verzweigungsordnung
$k$
$e_{0}$
$k$
$p$
$e_{0}$
von
(1)
$K$
\"uber
$k$
.
Die SYLowsche Gruppe von
zweigungsgruppe
(2)
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}_{V}$
.
$\mathfrak{G}_{T}$
hinsichtlich der Primzah
bedeutet den Durchschnitt von
$\mathfrak{H}$
mit
$\mathfrak{G}\tau$
.
$p$
ist gerade die Ver-
M. Moriya
144
Fur einen beliebigen galoisschen Teilk\"orper
zwischen $K$ und
gilt folgender Satz
(auf die
das Primideal in
Satz 14. Bezeichnet man mit
Bewertung
von $K$ bezogen), so ist
1.) die Zerlegungsgruppe von
,
nach isomorph
2.) die $Tr\dot{a}gheitsgruppe$ von
,
nach isomorph zu
3.) die Verzweigungsgruppe von
nach isomorph zu
.
Beweis. Die Behauptung 1.) folgt aus Deﬁnition der Zerlegungsgruppe. Um die Behauptung 2.) zu beweisen, benutzen wir Satz 9
und 11. Der Tragheitsk\"orper von
besitzt die Verzweigungsordnung
1 \"uber , ist also nach Satz 9 ein Teilk\"orper von $W$, und er ist auch
\"uber
ein Teilkorper von
. Daher ist der Tr\"agheitsk\"orper von
. Betrachtet
invariant bei Anwendung aller Automorphismen aus
, so ist er oﬀenbar ein Teilk\"orper
man den Invariantenk\"orper von
von
und , besitzt also die Verzweigungsordnung 1 iiber . Nach
Satz 9 muss also der Invariantenk\"orper von
ein Teilk\"orper des
\"uber
Tragheitsk\"orpers von
sein. Damit ist es gezeigt, dass der
Tr\"agheitsk\"orper von
ist.
uber
der Invariantenk\"orper von
Daraus folgt sofort die Behauptung 2.).
Die Behauptung 3.) beweist man ebenso wie fur 2.). Dabei soll
man statt des Satzes 9 und 11 den Satz 13 benutzen.
Nun sei wieder ein perfekter K\"orper in bezug auf eine diskrete
zugeh\"orige Primideal aus . Ferner sei
Bewertung , und
das
ein endlicher Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber . Dann kann man in
ﬁnden. Diese
immer eine erweiterte diskrete Bewertung von
erweiterte Bewertung von kann ich ohne Missverstandnis mit bezwei verschiedene Zwischenk\"orper zwischen
zeichnen. Sind $K$ und
und in dem Kompositum
und , so gibt es in $K,$
von $K$
zugeh\"orige Primideal
resp. das
und
. Ferner nehmen
in nur endlich viele verwir an, dass der Restklassenk\"orper
\"uber
schiedene Elemente besitzt. Dann ist der Restklassengrad von
auch endlich, ist also der Restklassengrad eines Teilk\"orpers von
\"uber
auch endlich. Wir bezeichnen die Charakteristik des Restklassenk\"orpers
mit .
$k$
$K_{1}$
$K_{1}$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{P}_{1}$
$zc\iota \mathfrak{G}/\mathfrak{H}$
$k$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{H}$
$k$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{V}/\mathfrak{H}$
$\mathfrak{P}_{1}$
$k$
$K_{1}$
$k$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$K_{1}$
$k$
$Tl^{\Gamma}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{P}1$
$k$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$L$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$\varphi$
$k$
$L$
$\varphi$
$L$
$\varphi$
$K^{\prime}$
$L$
$k$
$KK^{\prime}$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P},$
$\mathfrak{P}^{\prime},\overline{\mathfrak{P}}$
$\varphi$
$mod \mathfrak{p}$
$k$
$L$
$L$
$k$
$k$
$mod \mathfrak{p}$
$p$
145
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
seien bzw. der Restklassengrad, die reduzierte Ver,
zweigungsordnung, die Verzweigungsordnung von $K$ \"uber
seien bzw. der Restklassengrad, die reduzierte Verzweigungs$fe_{0},$
$e=e_{0}p^{m}$
$k;f^{\prime},$
$e_{0}^{\prime}$
$e^{\prime}=e_{0}^{\prime}p^{?n^{\prime}}$
$E=E_{0}p^{M}$
ordnung, die Verzweigungsordnung von
\"uber $k;F,$
seien bzw. der Restklassengrad, die reduzierte Verzweigungsordnung,
\"uber
die Verzweigungsordnung von
.
$K^{\prime}$
$KK^{\prime}$
$E_{0},$
$K^{\prime}$
Dann gilt folgender Satz.
Satz 15.
ist durch
1.
$e$
2.
$F=_{\frac{f}{(f,f^{\prime})}}^{11)}$
3.
$E$
teilbar.
$E_{0}=\frac{e_{0}}{(e,e_{0}^{\prime})}$
Beweis. Bekanntlich kann man \"uber dem K\"orper einen enthaltenden kleinsten normalen K\"orper
bilden. Nach Satz 2 kann
man
so bewerten, dass die Bewertung
beibehalten ist.
von
zugeh\"orige Primideal aus
Ferner bezeichnen wir mit
das
Dann sind oﬀenbar die Primideale
in
enthalten.
Unter Benutzung von Satz 14 und des K\"orpers
kann man
diesen Satz genau so wie in der Arbeit von
beweisen. F\"ur
ausf\"uhrlichen Beweis weise ich aber auf die Arbeit von HERBRAND hin.
$L$
$k$
$L^{\frac{\backslash \prime}{\prime}}$
$L$
$L^{96}$
$\varphi$
$L^{v_{-}}\overline{J}\backslash $
$\mathfrak{P}^{96}$
$\varphi$
$\mathfrak{P},$
$\mathfrak{P}^{\prime},$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\mathfrak{P}^{*}$
$L^{*}$
$HERBRAND^{\langle 2)}$
\S 4. UNENDLICHE ALGEBRAISCHE ERWEITERUNG
1. ART
$\ddot{U}$
BER EINEM PERFEKTEN
$K\ddot{O}$
RPER.
, welcher in bezug
folgenden betrachten wir einen K\"orper
perfekt ist. Ferner nehmen wir an,
auf eine diskrete Bewertung
$ko$
${\rm Im}$
$\varphi$
zugeh\"origen Primideals
dass in
der Restklassenk\"orper des
endlich viele verschiedene Elemente besitzt.
Es seien $ k_{1}Ck_{2}(\ldots.Ck_{n}C\cdots\cdot$ algebraische Erweiterungsk\"orper 1. Art und von endlichem Grade \"uber
. Dann deﬁniert die
$k_{0}$
$\mathfrak{p}_{0}$
$\varphi$
$ko$
(1)
(2)
bedeutet den gr\"ossten gemeinsamen Teiler von
He. S. 489.
$(f, f^{/})$
$f$
und
$f^{/}$
.
146
M. Moriya
Vereinigungsmenge der K\"orper
, .. .. ,
,
. einen K\"orper .
Der K\"orper ist von der ersten Art \"uber . Deshalb k\"onnen wir nach
\S 2 so bewerten, dass die Bewertung von die Bewertung von
beibehalt. Wir k\"onnen daher ohne Missverstandnis die Bewertung von
auch mit
bezeichnen.
$k_{2}$
$k_{1}$
$k$
$k_{n},$
$\ldots$
$k$
$k_{0}$
$k$
$k$
$k_{0}$
$\varphi$
$k$
$\varphi$
Da jeder
von endlichem Grade \"uber , und perfekt
ist, so ist
nach Satz 5 auch perfekt in bezug auf , und in
besitzt der Restklassenk\"orper des zugeh\"origen Primideals
endlich
viele verschiedene Elemente. Aber wie wir schon in Satz 6 bewiesen
haben, ist der K\"orper
nicht mehr perfekt in bezug auf .
Nun betrachten wir einen endlichen algebraischen Erweiterungsk\"orper 1. Art $K$ \"uber dem Korper . Nach \S 2 kann man den K\"orper
$K$ so bewerten, dass die Bewertung
von dabei beibehalten ist.
Wir bezeichnen daher die Bewertung von $K$ auch mit . Da $K$ endlich
ist, so existiert in $K$ ein primitives
und von der ersten Art \"uber
Element , derart dass $K=k(\theta)$ ist. Dieses Element gen\"ugt einer
irreduziblen Gleichung von endlichem Grade mit Koeﬃzienten aus .
Da diese Koeﬃzienten alle schon in einem passenden Teilk\"orper
von
enthalten sind, so besitzt
immer denselben $Grad$ \"uber jedem
K\"orper $k_{j}(j\geqq i)$ . Bezeichnet man
, so ist $K$ oﬀenbar
durch
, .. . . ,
ein Vereinigungskorper von
,
. Nach Satz 5
rper
ist der
ein perfekter K\"orper in bezug auf . Nach Deﬁni,
, . . .. sieht man sofort, dass der $Grad$ von $K$ nach
tion von
gleich dem von
nach $k_{j}(j\geqq i)$ ist. Den $Grad$ von $K$ nach will
ich im folgenden mit bezeichnen.
, $K_{j+1}(j\geqq i)$ , so folgt
Betrachtet man die K\"orper
leicht aus Satz 15
$K\dot{0}rperk_{i}$
$k_{0}$
$k_{0}$
$k_{i}$
$k_{i}$
$\varphi$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\varphi$
$k$
$\varphi$
$k$
$k$
$\varphi$
$\varphi$
$k$
$\theta$
$\theta$
$k$
$k_{i}$
$k$
$\theta$
$k_{j}(\theta)$
$K_{i}$
$K\dot{o}$
$K_{j}$
$K_{m},$
$K_{\mathfrak{i}+1}$
$\ldots.$
$K_{j}$
$\varphi$
$K_{i}$
$K_{i+1}$
$k$
$k$
$K_{j}$
$n$
$k_{j},$
$e_{j+1}|e_{j}$
wo
.
$e_{\gamma}$
\"uber
(1)
$k$
,
)(
und
$K_{j},$
$k_{j+1}$
$ f_{j+1}|f_{j}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
(1)
,
bzw. der Restklassengrad, die Verzweigungsordnung von
sind $(\kappa=j, j+1)$ . Da aber
$f_{\gamma}$
$K_{)C}$
\"uber
ein algebraisches Element vom Grade
ist, so ist
und
. Also kann man auf den K\"orper $Kj+1$ \"uber Satz 15
anwenden.
Da
$\theta$
$K_{j+1}=k_{j\vdash 1}(\theta)=k_{j\vdash 1}Kj$
$n$
$kj$
$k_{j+1}$
$k_{j}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
$]47$
$e_{j}f_{j}=n=e_{j+}Jf_{j+1}$
so folgt aus
ist,
(1)
$e_{j}=e_{j+1}$
,
und
$f_{j}=f_{j+1}$
.
Dies bedeutet aber, dass in jedem K\"orper $K_{j}(j\geqq i)$ der Restklassen$grad$ bzw. die Verzweigungsordnung \"uber
immer einer bestimmten
nat\"urlichen Zahl gleich ist. Diesen Restklassengrad bzw. die Verbezeichnen, und wir
zweigungsordnung wollen wir also mit
bzw.
nennen ferner den Restklassengrad und die Verzweigungsordnung
von $K$ \"uber . Dass diese Deﬁnition des Restklassengrades und der
,
Verzweigungsordnung von der Wahl der K\"orperreihen
, . .. . ,
, .. .. und
, .... ,
. unabhangig ist, kann man
leicht beweisen.
Es sei
seien resp. der
ein Teilkorper von $K$ iiber , und
\"uber . Dann
Restklassengrad, die Verzweigungsordnung von
$k_{j}$
$f$
$e$
$f$
$e$
$k$
$k_{1}$
$k_{m}$
$K_{i},$
$K_{i+1}$
$K_{m},$
$\ldots$
$k$
$K^{\prime}$
$f^{\prime},$
$e^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
$fbzw$
.
$e$
durch
$f^{\prime}bzw$
.
$e^{\prime}$
$k_{l}$
teilbar, und
$\frac{\gamma}{f}$
klassengrad, die Verzweigungsordnung von
,
$K$
$\dot{\tau}st$
sind resp. der Rest-
$\frac{e}{e’}$
\"uber
$K^{\prime(1)}$
.
den
Wir haben schon in Satz 7 gesehen, dass es im K\"orper
sogenannten Tr\"agheitsk\"orper
gibt, welcher aus
\"uber
durch
Adjunktion eines Elementes
entsteht:
vom Grade \"uber
. Wir wollen nun zeigen, dass der Tr\"agheitsk\"orper
von
\"uber
mit dem K\"orper
identisch ist.
Daf\"ur betrachten wir die Restklassengrade von
\"uber
und
, so
\"uber
. Bezeichnet man den Restklassengrad von
mit
ist bekanntlich
$K_{j}$
$W_{j}$
$k_{j}$
$k_{j}$
$f$
$\omega$
$W_{j}$
$k_{j}$
$=k_{j}(\omega)$
$K_{j+1}$
$W_{j+1}$
$k_{j+1}$
$k_{j+1}(\omega)$
$K_{j+1}$
$k_{j}$
$k_{j+1}$
$f_{j}|m_{j}f_{j+1}$
(1)
$K_{j}$
$k_{j}$
$m_{j}$
,
ﬁnden, derart dass $K$ bzw. $K/$ der VerOﬀenbar k\"onnen wir einen Index
einigungsk\"orper von
, $K_{i+1},$ $\ldots..K_{m},$
.
.,
. bzw.
ist, wobei
\"uber
Erweiterungsk\"orper
ein endlicher algebraischer
1. Art
und
ein Teilk\"orper von
uber ist, und $[K_{j} ; k_{j}]=[K;k],$ $[K_{j}^{/} ; kj]=[K^{/};k]$
sind $(j\geqq i)$ . Nach Deﬁnition des Restklassengrades und der Verzweigungsordnung sind
resp. der Bestklassengrad, die Verzweigungsordnung von
\"uber
, und $f/,$ $e/resp$ . der Restklassengrad, die Verzweigungsordnung
\"uber
von
. Da \"uber von endlichem Grade ist, so folgt die Behauptung aus \S 3.
$i$
$K_{i}$
$K_{i}^{/},$
$\ldots$
$K_{j}$
$K_{j}^{\prime}$
$f,$
$K_{j}$
$k_{j}$
$e$
$k_{j}$
$K_{j}^{/}$
$K_{i+1}^{\prime}$
.
$K_{m}^{\prime},$
$\ldots$
$\ldots$
$k_{j}$
$K_{j}$
$kj$
$K_{j}$
$k_{j}$
148
M. Moriya
weil
grad
$K_{j}$
ein Teilk\"orper von
von
\"uber
$K_{j+1}$
$K_{j+1}$
\"uber
$k_{j}$
ist, und
$m_{j}f_{j+1}$
der Restklassen-
ist. Da aber nach Satz 15
$k_{j}$
$f_{j+1}=---f_{j}$
$(m_{j}, J_{j})$
ist, so ist $(m_{j}, f_{j})=1$ , weil $f_{j}=f_{j+1}=f$ ist. Also haben der Tr\"agheitsk\"orper von
\"uber
und
ausser keine Oberk\"orper von gemeinsam. Wir k\"onnen weiter zeigen, dass der Durchschnitt von
mit
ist. Denn der Durchschnitt muss als ein Teilk\"orper von
von
der Verzweigungsordnung 1 sein, ist also nach Satz 9 ein Teilk\"orper des
$d.h$ .
\"uber
Tr\"agheitskorpers von
. Das Kompositum
. Oﬀenbar enth\"alt
besitzt also den $Gradf$ \"uber
von
und
\"uber
den Tragheitsk\"orper von
der Tr\"agheitskorper von
\"uber
\"uber
den Tr\"agheitsk\"orper von
. Da
und
enthalt(1), so enth\"alt
den K\"orper
. Also ist
in
\"uber
und
enthalten. Da aber
vom Grade $f$ sind, so
$k_{j+1}$
$W_{j}$
$k_{j}$
$k_{j}$
$k_{j}$
$W_{j}$
$k_{j+1}k_{j}$
$W_{j}$
$k_{j},$
$k_{j+1}$
$k_{j+1}W_{j}$
$k_{j}$
$k_{j+1}$
$W_{j}$
$k_{j+1}$
$K_{j+1}$
$W_{j+1}$
$W_{j}$
$k_{j}$
$k_{j+1}$
$k_{j}$
$K_{j+1}$
$W_{j+1}$
$W_{j*1}$
$k_{j+1}W_{j}$
$W_{j}$
$k_{j+1}W_{j}$
$k_{j}$
$W_{j+1}$
$k_{j+1}$
folgt ohne weiteres
$W_{j+1}=k_{j+1}(\omega)$
,
, $W_{i+1},$
Wenn man also den Vereinigungsk\"orper $W$ von
.,
.. .. bildet, dann ist IV $=k(\omega)$ , und $W=k(\omega)$ ist ein algebraischer
\"uber
K\"orper 1. Art vom Grade \"uber . Denn w\"are der $Grad$ von
kleiner als , so m\"usste einer irreduziblen Gleichung in mit dem
kleineren Grade als gen\"ugen. Da die Koeﬃzienten dieser irreduziblen
Gleichung schon in einem Teilk\"orper $k_{m}(m\geqq i)$ enthalten w\"aren, so
\"uber
f\"uhrte dies zu Widerspruch, weil
den $Gradf$ besitzt.
$W_{i}$
$k$
$f$
$k$
$f$
$W_{m}$
$\ldots$
$\omega$
$k$
$\omega$
$f$
$\omega$
$k_{m}$
und die VerDa jeder K\"orper $W_{j}(j\geqq i)$ den Restklassengrad
besitzt, so ist nach Deﬁnition der Restzweigungsordnung 1 \"uber
klassengrad bzw. die Verzweigungsordnung von $W$ \"uber $kf$ bzw. 1.
$f$
$k_{j}$
(1)
ist gleich
und sein Restklassengrad \"uber
ist ein Teilk\"orper von
den Restklassengrad $f$
enthalt und \"uber
weil
den K\"orper
\"uber
vom Grade $mjf$ .
besitzt. Also ist der Tr\"agheitskorper von
\"uber
mit dem von
Nach Satz 9 muss der Tr\"agheitskorper von
\"uber
\"uber
\"ubereinstimmen, weil der $Grad$ des Tr\"agheitsk\"orpers von
gleich $mjf$ ist.
$W_{j+1}$
$K_{j+1}$
$mjf$ ,
$Wj\vdash 1$
$k_{j}$
$k_{j+1}$
$k_{j+1}$
$W_{j+1}$
$W_{j+1}$
$k_{j}$
$k_{j}$
$k_{j}$
$kj$
$K_{j\succ 1}$
$K_{j\vdash 1}$
149
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Den K\"orper
wollen wir den Tr\"agheitskorper von
$W$
\"uber
$K$
$k$
nennen.
Satz 16. Der Tr\"agheitskorper $W$ ist der maximale Teilk\"orper
von $K$ \"uber , derart $dass\cdot jeder$ Teilkorper
von $K$ \"uber mit der
Verzweigungsordnung 1 in $W$ enth.alten ist.
ein
Beweis. Da
ein Teilk\"orper von $K$ ist, so gibt es in
primitives Element
\"uber , derart dass von einem Index an
\"uber
ist und die Verzweigungsordnung von
gleich 1 ist. Wenn man also den Index
hinreichend gross nimmt,
dann muss jeder K\"orper
nach Satz 9 in
enthalten sein. Hieraus
folgt der Satz, weil
der Vereinigungsk\"orper von
ist.
Betrachtet man nun $K$ als einen Erweiterungsk\"orper von $W$, dann
(ein primitives Element von $K$ \"uber k) einer irreduziblen
muss
Gleichung vom Grade
genugen. Die Koeﬃzienten dieser irrein
, weil
duziblen Gleichung geh\"oren aber schon zum K\"orper
den
$Grade$ \"uber
besitzt. Daher ist
vom Grade \"uber $W_{j}(j\geqq i)$ .
zugeh\"orige Primideal aus
Bezeichnet man mit
das
und durch
, dann gen\"ugt
ein genau durch
teilbares Element aus
einer
irreduziblen Gleichung vom Grade in
. Denn nach Satz 7 erzeugen
, $d.h$ . $K_{j}=k_{J}(\omega, \Pi_{j})=W_{j}(\Pi_{j})$ . Da
\"uber
und den K\"orper
den Restklassengrad
\"uber
und die Verzweigungsordnung
besitzt, und
den Restklassengrad
und die Verzweigungsordnung
1 \"uber
besitzt, so ist der Restklassengrad bzw. die Verzweigungsordnung von
\"uber $W_{j}1$ bzw. . Dies gilt aber fur alle $j>i=$ .
Damit ist der folgende Satz bewiessen:
Satz 17. Der Korper $K$ ist durch zwei geeignete Elemente und
\"uber
erzeugt: $K=k(\omega, \Pi)$ . Der Grad
ist
von $K$ nach
Produkt aus dem Restklassengrad
und der Verzweigungsordnung
von $K$ \"uber . Ferner besitzt der Tr\"agheitskorper $W=k(\omega)$ von $K$
\"uber
den Restklassengrad und die Verzweigungsordnung 1 \"uber
und es ist noch $[W;k]=f$. Der K\"orper $K=W(\Pi)$ besitzt den Restklassengrad 1 und die Verzweigungsordnung uber $W$.
Wir benutzen weiter die obigen Bezeichnungen. Wie wir schon
gesehen haben, besitzt im K\"orper
nach
der Restklassenk\"orper
$k$
$k$
$W^{\prime}$
$W^{\prime}$
$W^{\prime}$
$I$
$k$
$\theta^{\prime}$
$=k_{l}(\theta^{\prime})(l\geqq I)$
$W_{l}^{\prime}$
$k$
$W_{l}^{\prime}$
$I$
$W_{l}$
$W_{l}^{\prime}$
$W^{\prime}$
$W_{I}^{\prime},$
$\ldots W_{l}^{\prime},$
$\ldots$
$\theta$
$k$
$e$
$W_{i}$
$W_{i}$
$K_{j}$
$e$
$K_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\varphi$
$\Pi_{j}$
$W_{j}$
$e$
$K_{j}$
$\omega$
$K_{j}$
$\Pi_{j}$
$K_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\Pi_{j}$
$\theta$
$k_{j}$
$f$
$k_{j}$
$e$
$W_{j}$
$f$
$k_{j}$
$K_{j}$
$e$
$\omega$
$\Pi$
$k$
$k$
$n$
$f$
$e$
$k$
$k$
$k$
$f$
$e$
$K_{j}$
$R_{j}$
150
M. Moriya
dem zugeh\"origen Primideal
endlich viele verschiedene Elemente.
von
Aber in jedem Teilk\"orper
kann man den Restklassenk\"orper
zugeh\"origen Primideal
nach dem
als einen Teilk\"orper von
diejenigen
annehmen. Dabei versteht man unter den Elementen aus
Restklassen $mod \mathfrak{P}_{j}-Elemente$ aus $R_{j}-$ , die durch die Elemente aus
repr\"asentiert sind. Also deﬁnieren die K\"orper $R_{i}CR_{i+1}\ldots.C$
$ R_{j}C\ldots$ .
den Vereinigungsk\"orper $R$ . Der K\"orper $R$ ist aber der
Restklassenk\"orper
in K. Denn, dass in $K$ die Restklassen mod
einen K\"orper bilden, hat man schon in \S 1 gezeigt. Es sei $A$ ein
Element aus R. Dann ist $A$ durch ein K\"orperelement
aus einem
passendem Teilk\"orper
von $K$ repr\"asentiert, $d.h.$ $A$ ist ein Element
aus . Umgekehrt ist jedes Element aus
ersichtlich ein Element
$\mathfrak{P}_{i}$
$\varphi$
$K_{t}$
$K_{j}$
$R_{t}$
$R_{j}$
$\mathfrak{P}t$
$\varphi$
$R_{t}$
$K_{t}$
$mod \mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$a_{j}$
$K_{j}$
$R_{j}$
aus
$R$
$R_{j}$
.
,
, .. .. ,
Ebenso deﬁnieren wir die Restklassenk\"orper
.
in . Dabei bedeutet
den Restklassenk\"orper in
nach dem
zugeh\"origen Primideal
. Dann ist der Vereinigungsk\"orper von
.,
. der Restklassenk\"orper
in . Wie wir
fruher gesehen haben, ist f\"ur eine geeignete nat\"urliche Zahl
der
Relativgrad von
ist, weil der
nach
immer gleich , wenn
Relativgrad den Restklassengrad von
\"uber
bedeutet. Hiernach
behaupte ich, dass der Restklassenk\"orper $R$ ein endlicher algebraischer
Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber ist. Denn jedes
ist ein endlicher
algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber
, weil
und
(1)
endlich viele verschiede Elemente besitzen
Also ist $R$ ein algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber . Da jedes Element aus $R$
h\"ochstens vom Grade \"uber
ist, so besitzt $R$ ein primitives Element
\"uber , dessen $Grad$ nach
h\"ochstens ist. Wir k\"onnen aber zeigen,
dass gerade $[R:r]=f$ ist. Denn wir haben schon bewiesen, dass der
Relativgrad
prim zu ist. Also besitzt das Komnach
von
positum
und
den Relativgrad $fm_{i}$ \"uber , weil
von
$r_{1}$
$k$
$r_{2}$
$r_{j},$
$\ldots$
$k_{j}$
$r_{j}$
$\varphi$
$\mathfrak{p}_{j}$
$r_{1},$
$r_{2},$
$\ldots$
$r_{j},$
$\gamma mod \mathfrak{p}$
$\ldots$
$k$
$i$
$R_{j}$
$j\geqq i$
$f$
$r_{j}$
$f$
$K_{j}$
$k_{j}$
$R_{j}$
$r$
$R_{j}$
$r_{j}$
$r_{j}$
$r$
$f$
$r$
$f$
$r$
$m_{i}$
$r_{i+1}R_{i}^{(2)}$
(1)
$r$
$\gamma_{i+1}$
$f$
$r_{i}$
$R_{i}$
$r_{i+1}$
$r_{i}$
algebraisch \"uber
. Hieraus
ein vollkommener K\"orper und
\"uber
algebraisch und von der ersten Art ist.
folgt ohne weiteres, dass
Siehe Steinitz, Algebraische Theorie der K\"orper, Jour. . Math., 137 (1910).
\S 12 und 13.
Wir k\"onnen dieses Kompositum bilden, weil
und $ri+1$ in $Ri+1$ enthalten sind.
Oﬀenbar ist
$R_{j}$
$rj$
$R_{j}$
$rj$
$rj$
$f$
(2)
$R_{i}$
151
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
, also durch
teilbar
ein primitives Element
sein muss. Daher ist $R_{i+1}=r_{i+1}R_{i}$ . Ist
,‘ so ist eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung -ten
\"uber
von
Grades in . Also folgt aus $R_{i+1}=r_{i+1}R_{i}=r_{i+1}(p)$ , dass vom Grade
\"uber
ist. Wir k\"onnen durch vollst\"andige Induktion leicht beweisen, dass allgemein
$[r_{i+1}R_{i} :
r_{i}](\leqq[R_{i+1} :
r_{i}]=m_{i}f)$
durch
$f$
und
$m_{i}$
$m_{i}f$
$p$
$R_{i}$
$f$
$p$
$r_{i}$
$p$
$r_{i}$
$f$
$r_{i+1}$
$R_{j+1}=R_{j}r_{j+1}=r_{j+1}(p)$
ist, und vom Grade \"uber
ist
tives Element von $R$ und vom Grade
$f$
$p$
$(j\geqq i)$
$r_{j+1}$
Damit haben wir bewiesen:
Der Restklassenk\"orper modulo
in
dem Restklassenkorper modulo
dem Restklassengrad von $K$ \"uber .
$\mathfrak{p}$
$(i\geqq i)$
$f$
$r$
ein primi-
$p$
.
\"uber
in $K$ ist vom Grade
ist gleich
und dieser Grad
$f$
$\mathfrak{P}$
$k$
\"uber
. Daher ist
,
$f$
$k$
Durch diesen Satz ist die Deﬁnition des Restklassengrades von
\"uber
$K$
berechtigt.
$k$
Wie ich schon gezeigt habe, ist der K\"orper $K$ und nicht mehr
zugeh\"origen
perfekt in bezug auf . Deshalb kann man \"uber $K$ den
zugeh\"origen
auch den
derivierten K\"orper
bilden. Dann enth\"alt
derivierten K\"orper
von . Es sei ein primitives Element von $K$
\"uber , und
gen\"uge einer irreduziblen Gleichung
$k$
$\varphi$
$\varphi$
$\overline{K}$
$\overline{K}$
$\varphi$
$\overline{\overline{k}}$
$k$
$k$
$\theta$
$\theta$
$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x’- 1+\ldots.+a_{0}=0$
mit ganzen Koeﬃzienten aus . Dann ist nach Satz 5
der derivierte K\"orper von
fekter K\"orper \"uber $K$. Da
in
enthalten ist, so muss oﬀenbar
ein per$K$ ist und
$\overline{k}(\theta)$
$k$
$\overline{K}$
$\overline{K}$
$\overline{k}(\theta)$
$\overline{k}(\theta)=\overline{K}$
sein,
$d$
.
.
$h.\overline{K}=\overline{k}K$
Wir wollen nun beweisen, dass das Polynom $f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots.+a_{0}$
in
auch irreduzibel ist. Daf\"ur genugt zu zeigen, dass das Polynom
$a_{n}^{n-1}f(x)=(a,x)^{n}+a,- 1(a_{n}x)^{n- 1}+\ldots.+a_{n}^{n- 1}a_{0}$ in
irreduzibel ist. Wir
betrachten also ein irreduzibles Polynom mit ganzen Koeﬃzienten aus
$\overline{k}$
$\overline{k}$
$k$
M. Moriya
152
$f^{*}(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots.+a_{n}^{n-1}a_{0}$
und beweisen, dass
$f^{-\}-}’(x)$
in
$\overline{k}$
irreduzibel ist.
Ist f\"ur nicht triviale Polynome
$f^{*}(x)=\overline{g}(x)\overline{h}(x)$
so kann man
annehmen, dass
in
$\overline{g}(x),\overline{h}(x)$
$\overline{h}(x)$
$\overline{g}(x),$
$\overline{k}$
,
ganze Koeﬃzienten aus
$\overline{k}$
und
sogar die h\"ochsten Koeﬃzienten 1 besitzen. Da die Koeﬃzienten von
alle als Grenzelemente von Fundamentalreihen aus
und
mit
zwei Polynome
deﬁniert sind, so kann man in
folgender Eigenschaft ﬁnden:
$k$
$\overline{h}(x)$
$\overline{g}(x)$
$g_{0}(x),$
$k$
$h_{0}(x)$
und sogar
besitzen ganze Koeﬃzienten aus
sind ihre h\"ochsten Koeﬃzienten gleich 1.
ist gleich dem von
bzw.
2. Der $Grad$ von
.
bzw.
,
,
3.
1.
$g_{0}(x),$
$k$
$h_{0}(x)$
$g_{0}(x)$
$\overline{g}(x)$
$h_{0}(x)$
$\overline{h}(x)$
$\varphi(\overline{g}(x)-g_{0}(x))>M$
wobei
$\varphi(\overline{h}(x)-h_{0}(x))>M$
eine noch nachher zu bestimmende positive Zahl ist.
$M$
Aus 3 folgt sofort
$f^{*}(x)-g_{0}(x)h_{0}(x)=\overline{g}(x)\overline{h}(x)-g_{0}(x)h_{0}(x)$
$=\overline{h}(x)(\overline{g}(x)-g_{0}(x))+g_{0}(x)(\overline{h}(x)-h_{0}(x))$
.
Also ist
$\varphi(f^{*}(x)-g_{0}(x)h_{0}(x))_{-}>{\rm Min}(\varphi(\overline{h}(x))+\varphi(\overline{g}(x)-g_{0}(x)),$
$+\varphi(\overline{h}(x)-h_{0}(x)))>M$
$\varphi(g_{0}(x))$
.
von der ersten Art \"uber ist, so ist $f(x)$ ein Polynom 1.
$d.h$ . $f(x)$ besitzt lauter verschiedene Nullstellen.
Also besitzt
Art in
auch keine mehrfachen Nullstellen. Daher ist die Resultante
ein ganzes
nicht gleich Null. Da
und
von
gleich einer nicht
Element aus ist, so ist die Bewertung von
negativen Zahl . W\"ahlt man als $M$ eine beliebige positive Zahl,
welche grosser ist als , so ist die Bewertung der Resultante
Da
$K$
$k$
$k,$
$f^{x_{\backslash }}(x)$
$R(\overline{g}, \overline{h})$
$R(\overline{g},\overline{h})$
$\overline{h}(x)$
$\overline{g}(x)$
$R(\overline{g},\overline{h})$
$\overline{k}$
$p$
$R(g_{0}, h_{0})$
$2p$
von
$g_{0}(x)$
und
$h_{0}(x)$
nach 3 gleich
$p$
.
F\"ur die Polynome
$g_{0}(x)$
und
$h_{0}(x)$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
153
gilt also folgende Tatsache:
I. Der $Grad$ von
ist gleich dem von
.
II. Der hochste Koeﬃzient von
ist gleich dem
$g_{0}(x)h_{0}(x)$
$f^{*}(x)$
$g_{0}(x)h_{0}(x)$
von
$f^{\star}(x)$
III.
IV.
.
$\varphi(R(g_{0} , h_{0}))=\rho$
.
$\varphi(f^{*}(x)-g_{0}(x)h_{0}(x))>2p$
.
Da die Koeﬃzienten von $f^{*}(x),$
und
schon in einem passenden Teilk\"orper
von
in bezug auf
enthalten sind, und
perfekt ist, so kann man nach Voraussetzungen I–IV Hilfssatz 2
in \S 1 auf diesen Fall anwenden. Also gibt es in
zwei Polynome
$g(x),$ $h(x)$ ,
derart dass
$g_{0}(x)$
$h_{0}(x)$
$k$
$k_{l}$
$k_{l}$
$\varphi$
$k_{l}$
$f^{*}(x)=g(x)h(x)$
mit
ist.
Daher ist
reduzibel in
, umsomehr in
. Dies ist aber Widerspruch, weil
in
irreduzibel ist. Also muss $f(x)$ in irreduzibel sein.
ist, so ist
Da
ein algebraischer Erweiterungsk\"orper
1. Art vom Grade \"uber .
Betrachtet man nun einen Zwischenk\"orper
zwischen und $K$,
so ist
ein endlicher algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber
. Ferner ist
ein Vereinigungsk\"orper von unendlich vielen perfekten K\"orpern von endlichem Grade \"uber
. Oﬀenbar ist $K$ ein
endlicher algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber
. Wir bezeichnen den $Grad$ von $K$ nach
mit . Dann kann man leicht
best\"atigen, dass
ist, wobei
den zugeh\"origen derivierten
K\"orper von
bedeutet. Ferner kann man genau so wie f\"ur den
Fall von beweisen, dass
\"uber dem derivierten K\"orper
von
vom Grade
ist.
Also erh\"alt man
Satz 18. Der derivierte Korper
von $K$ ist vom Grade \"uber
dem derivierten Korper
von . Dabei ist der Grad von $K$ nach
. Es ist noch
ischenkorper zwischen
. Ferner sei
$K$
, und
und
sein derivierter Korper. Dann ist
und
$g(x)\equiv g_{0}(x),$
$h(x)-\equiv h_{0}(x)(\varphi)$
$k$
$k_{l}$
$f^{\prime}-\{\sim(x)$
$f^{-X-}(x)$
$k$
$k$
$\overline{K}=\overline{k}(\theta)$
$\overline{K}$
$\overline{k}$
$n$
$k$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
$ko$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\overline{K}^{\prime}(\theta)=\overline{K}$
$n^{\prime}$
$\overline{K}^{\prime}$
$\varphi$
$K^{\prime}$
$\overline{k}$
$\overline{K}$
$\overline{K}^{\prime}$
$K^{\prime}$
$n^{\prime}$
$\overline{K}$
$n$
$\overline{k}$
$k$
$\overline{K}=\overline{k}K$
$k$
$\overline{K}^{\prime}$
$[K;K^{\prime}]=[\overline{K};\overline{K}^{\prime}]$
.
$k$
$n$
$K^{\prime}e\prime inZw$
$\overline{K}^{\prime}K=\overline{K}$
M. Moriya
154
\S 5. ENDLICHE NORMALE ERWEITERUNGSKORPER
1. ART UBER EINEM BEWERTETEN KORPER.
einen bewerteten K\"orper,
In diesem Paragraphen bedeutet
welcher als ein Vereinigungsk\"orper von unendlich (abzahlbar) vielen
,
algebraischen Erweiterungsk\"orpern 1. Art $k_{1}Ck_{2}C$ . . $($ $k_{m}C$
deren jeder \"uber von endlichem $Grad$ ist, deﬁniert ist. Dabei ist noch
jeder K\"orper $k_{m}(m\geqq 0)$ ein perfekter K\"orper in bezug auf die Bewerdas zugeh\"orige
tung von . Wir bezeichnen in $k_{m}(m\geqq 0)$ bzw.
bzw. . Ferner nehmen wir an, dass in jedem
Primideal mit
ein endlicher K\"orper ist.
K\"orper
der Restklassenk\"orper
Es sei $K$ ein Normalk\"orper 1. Art, welcher \"uber vom endlichen
Grade ist. Dann besitzt $K$ ein primitives Element \"uber ;
$k$
$k_{0}$
$k$
$k$
$\varphi$
$\varphi$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}_{m}$
$mod \mathfrak{p}_{m}$
$k_{m}$
$k$
$k$
$\theta$
$n$
$K=k(\theta)$
.
die konjugierten Wurzeln zu ,
.,
Bezeichnet man mit
durch dieso sind bekanntlich alle Automorphismen von $K$ \"uber
jenigen Operationen realisiert, die durch seine Konjugierten ersetzen.
Ferner haben wir im vorigen Paragraphen gesehen, dass $K$ ein Verist. Dabei ist
einigungskorper von $K_{i}(K_{i+1}C\ldots.CK_{m}C$
$K_{j}(j\geqq i)$
ein algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art vom Grade
\"uber
. Man kann noch ohne Einschrankung der
und
\"uber
Allgemeinheit annehmen, dass
normal ist $(j\geqq i)$ . Dann
\"uber
durch diejenigen Operationen
sind alle Automorphismen von
ein
realisiert, die
zu seinen Konjugierten \"uberf\"uhren. Da aber
die AutoTeilk\"orper von $K$ ist, so kann man auf die Elemente aus
anwenden.
von $K$ nach
morphismen aus der galoisschen Gruppe
Dabei bleibt oﬀenbar jedes Element aus invariant, und der K\"orper
wird dadurch auf sich selbst abgebildet. Also kann man einfach sagen,
auch die Automorphismen von
dass die Automorphismen aus
ist die
\"uber
verschiedene Automorphismen aus
sind. Da
, auch
angewandt auf
Ordnung von
verschiedene Automorergeben, so kann man ohne Missverst\"andnis
\"uber
phismen von
ist.
nach
annehmen, dass
auch die galoissche Gruppe von
$\theta,$
$\theta$
$\theta^{\langle n-1)}$
$\theta^{\prime},$
$\ldots$
$k$
$\theta$
$n$
$k_{j}$
$K_{j}=k_{j}(\theta)$
$K_{j}$
$k_{j}$
$K_{j}$
$\theta$
$k_{j}$
$K_{j}$
$n$
$K_{j}$
$k$
$\mathfrak{G}$
$K_{j}$
$k_{j}$
$K_{j}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}-n$
$n$
$k_{j}$
$K_{j}$
$\mathfrak{G}-,$
$n$
$k_{j}$
$K_{J}$
$\mathfrak{G}$
$K_{J}$
$k_{j}$
Theorie der
Al9ebraischen Zahlkorper
Unendlichen Grades
155
Nun will ich nach \S 2 den Korper $K$ so bewerten, dass die Bewertung
von beibehalten ist.
F\"ur das
zugeh\"orige Primideal aus $K$ bzw.
bedienen wir uns
der Bezeichnung
.
bzw.
Zuerst deﬁniere ich wie in \S 3 die Zerlegungsgruppe von
nach .
, welche
Zerlegungsgruppe. Alle Automorphismen aus
invariant lassen, bilden die sogenannte Zerlegungsgruppe von nach .
Wir sprechen aber im folgenden schlechthin von der Zerlegungsgruppe.
, . .. . ,
. enth\"alt
Da nach Deﬁnition
alle Primideale
ist,
und umgekehrt der Durchschnitt von
mit
das Primideal
,
, ... . ,
so ist oﬀenbar ein Vereinigungsideal von
.
Da das Primideal
nach \S 3 bei Anwendung aller Automorphismen
auch invariant bei Anwendung aller
aus
invariant bleibt, so ist
Automorphismen aus . Die Zerlegungsgruppe ist daher die galoissche
Gruppe von $K$ nach .
Tragheitsgruppe. Die Gesamtheit derjenigen Automorphismen
ganze Element
aus , die f\"ur jedes in bezug auf
aus $K$ die
$k$
$\varphi$
$K_{j}$
$\varphi$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{i},$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{j}\cdots$
$\mathfrak{P}_{i+1}$
$K_{j}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}\cdots\cdot$
$\mathfrak{P}_{i+1}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$k$
$\tau$
$\mathfrak{G}$
$a$
$\varphi$
Kongruenz
$\tau a\equiv a$
$mod$
$\mathfrak{P}$
gelten lassen, bildet die sogenannte Tragheitsgruppe
auch kurz die Tr\"agheitsgruppe.
. Wir nennen
Deﬁnition gilt fur eine beliebige naturliche Zahl $j\geqq i$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\tau a_{j}\equiv a_{j}$
$mod$
$\mathfrak{P}_{j}$
von
nach
Nach dieser
$\mathfrak{P}$
,
ist und 7 alle Autoein beliebiges ganzes Element aus
morphismen aus
durchlaufen kann.
nach ,
die Tr\"agheitsgruppe von
Bezeichnet man durch
. In \S 3 haben wir bewiesen,
und
so ist
der Verzweigungsdem Restklassengrad und
dass
ordnung
von \"uber gleich ist, und \"uberdies $e_{j}f_{j}=n$ ist. Ferner
haben wir in \S 4 auch gezeigt, dass $f_{i}=f_{i+1}=\cdots\cdot=f$ und
$=\ldots.=e$ ist. Dies bedeutet aber, dass
$=\ldots$ .
ist $(j\geqq i)$ . Ist
ist. Wir behaupten nun, dass
wobei
$K_{j}$
$a_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(j)}$
$\mathfrak{G}_{2^{t}}^{(j)}\supseteqq \mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(j+1)}\subseteqq \mathfrak{G}_{T}^{(j)}(j\geqq i)$
$[\mathfrak{G};\mathfrak{G}_{T}^{(j)}]$
$e_{j}$
$f_{j}$
$K_{j}$
$k_{j}$
$[\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)} ; E]$
$k_{j}$
$e_{i}=e_{i+1}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(i)}=\mathfrak{G}_{T}^{\langle i+1)}=\ldots..=\mathfrak{G}_{T}^{(m)}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}=\mathfrak{G}_{T}$
M. Moriya
156
n\"amlich
$\tau$
ein beliebiger Automorphismus aus
ganze Element
$\beta$
aus
,
so ist f\"ur jedes
$K$
$mod$
$\tau\beta\equiv\beta$
$\mathfrak{P}$
geh\"ort schon zu einem K\"orper
ist, so gilt in
Automorphismus aus
Denn
$\mathfrak{G}_{T}^{(i)}$
$K_{j}(j\geqq i)$
$\beta$
$mod$
$\tau\beta\equiv\beta$
$mod$
und da
,
auch ein
$\tau$
$K_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(j)}$
$\tau\beta\equiv\beta$
.
,
$\mathfrak{P}_{j}$
ist also
und
$\tau$
gehort zu
$\mathfrak{G}_{T}$
.
$\mathfrak{P}$
,
Hieraus folgt
$\mathfrak{G}_{2}^{(j)}=\mathfrak{G}\tau$
$(j\geqq i)$
.
zyklisch ist, so kann man ohne weiteres schliessen, dass
Da
auch zyklisch ist. Es ist sogar
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_{1’}^{(j)}$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_{T}$
$[\mathfrak{G} :
und
\mathfrak{G}_{T}]=f$
$[\mathfrak{G}_{T} :
.
E]=e$
Also erhalt man folgenden Satz:
Satz 19. Die Tr\"agheitsgruppe
von $K$ nach ist eine invariante
Unlergruppe von , und es ist
zyklisch. Die Ordnung von
ist gleich dem Restklassengrad von $K$ \"uber , und die von
ist gleich der Verzweigungsordnung von $K$ \"uber .
Wir betrachten nun einen Teilk\"orper
von $K$ \"uber , welcher
als die Tr\"agder Invariantenk\"orper von
ist. Da nach Satz 11
(Tr\"agheitskorper
heitsgruppe von
nach
alle Elemente aus
\"uber ) invariant l\"asst, so ist
von
in
enthalten. Da $W$ der
, .. .. , $W_{m},$
Vereinigungsk\"orper von
. ist, so ist $W$ in
schon
enthalten. Umgekehrt ist ein beliebiges Element aus
, welcher der Durchschnitt
in einem passenden Teilk\"orper
von
von $W$ ‘ mit ist, enthalten. Da die Elemente aus
bei Anwendung
aller Automorphismen aus
. Also
invariant sind, so ist
$W=W^{\prime}$
ist Tt” in $W$ enthalten. Wir k\"onnen daher schliessen, dass
ist.
$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$k$
$W^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$K_{j}$
$W_{j}$
$k_{j}$
$W^{\prime}$
$W_{j}$
$k_{j}$
$W_{i},$
$W_{i+1}$
$\ldots$
$W^{\prime}$
$W^{\prime}$
$W_{j}^{\prime}$
$K_{j}$
$W^{\prime}$
$W_{j}^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$W_{j}^{\prime}\subseteqq W_{j}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Also erhalt man
Satz 20. Der Tr\"agheitskorper
$W$
157
von $K$ \"uber ist der Invarianten$k$
korper von
in $K$.
Verzweigungsgruppe. Die Verzweigungsgruppe von
nach
kann man in diesem Fall nicht mehr allgemein wie in \S 3 durch Kongruenz deﬁnieren. Denn wir k\"onnen nicht immer behaupten, dass
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}\neq \mathfrak{P}^{2}$
ist. Vielmehr kann der Fall eintreten, dass
ist. Deshalb wollen
folgenden
wir die Verzweigungsgruppe auf andere Weise deﬁnieren.
die Charakteristik des Restklassenk\"orpers
bezeichnet
in $K$,
ist also
eine Primzahl, weil der Restklassenk\"orper nach \S 4 einen
endlichen K\"orper als seinen Teilk\"orper enth\"alt. Wenn die Verzweigungsordnung von $K$ \"uber
genau durch
teilbar ist, dann setze
$\mathfrak{P}=\mathfrak{P}^{2}$
${\rm Im}$
$mod \mathfrak{P}$
$p$
$p$
$k$
$e$
$p^{m}$
ich
$e=e_{0}p^{m}$
Hier nenne ich
die reduzierte Verzweigungsordnung(2) von $K$ \"uber
gleich ist, so gibt es nach
. Da nach Satz 19 die Ordnung von
dem Satz von SYLOW in der Tr\"agheitsgruppe
eine Untergruppe
mit der Ordnung , und alle anderen Untergruppen von der Ordnung
sind konjugierte Gruppen zu
.
Nun betrachten wir
. Da die
als eine Untergruppe von
Ordnung von
gleich $e=e_{0}p^{m}$ und $(e_{0} , p)=1$ ist, so ist bekanntlich
die Verzweigungsgruppe von
nach
ist also eine in.
variante Untergruppe von
und
. Ferner ist nach Satz 12
zyklisch, und
.
Hieraus folgt ohne weiteres, dass
eine invariante Untergruppe
, und
zyklisch ist, wenn man
und
von
die
$e_{0}$
$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$e$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(i)}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle i)}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$k_{i}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(\eta)}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(i)}/\mathfrak{G}_{V}$
$[\mathfrak{G}_{V} ; E]=p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{\mathcal{I}^{\prime}}$
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G},$
$\mathfrak{G}_{T},$
$\mathfrak{G}_{V}$
Diese Deﬁnition ist anscheinend etwas k\"unstlich, wenn man sie mit der gew\"ohnlichen Deﬁnition der Verzweigungsgruppe vergleicht. Aber wie ich nachher
zeigen kann, besitzt der Invariantenk\"orper der so deﬁnierten Verzweigungsgruppe zu den gew\"ohnlichen Verzweigungsk\"orpern \"ahnliche Eigenschaft.
(2) Diese Deﬁnition der reduzierten Verzweigungsordnung betriﬀt nicht nur
normale Erweiterungsk\"orper \"uber , sondern allgemein endliche algebraische
Erweiterungsk\"orper 1. Art \"uber .
(1)
$k$
$k$
M. Moriya
158
betrachtet. Nach Deﬁnition
Automorphismengruppen von $K$ nach
nur eine einzige Unterist
von der Ordnung , und es gibt in
, weil
eine invariante Untergruppe von
gruppe von der Ordnung
will ich die Verzweigungsgruppe von
ist. Diese Gruppe
. Es gilt also folgender Satz:
nach
ist eine invariante UnterSatz 21. Die Verzweigungsgruppe
nach
von
gruppe von
. Die Faktorgruppe
und
ist eine zyklische Gruppe und ihre Ordnung ist gleich der reduzierten
Verzweigungsordnung von $K$ \"ubcr .
heisst der
Verzweigungsk\"orper. Der Invariantenk\"orper $V$ von
Verzweigungskorper von $K$ \"uber . Wir wollen zun\"achst zeigen, dass
der Verzweigungsk\"orper $V$ \"uber den Restklassengrad $f$ und die Ver$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}$
$knennen^{\langle 1)}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{G}_{V}$
$k$
$k$
zweigungsordnung
besitzt. Betrachtet man namlich in $K_{j}(J\geqq i)$
, so ist
\"uber
der Invariantenk\"orper
den Verzweigungsk\"orper
\"uber
in $V$ enthalten. Umgekehrt ist
in
. Also ist
von
$c_{0}$
$k$
$V_{j}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$K_{j}$
$V_{j}$
$V_{j}$
$k_{j}$
, wenn
aus $V$ schon ein Element aus
ein beliebiges Element
hinreichend gross ist. Da bei Anwendung aller Automorphismen aus
. Also ist $V$ der Vereinigungsinvariant ist, so geh\"ort es zu
, .... ,
,
k\"orper von
. Nach Satz 13 weiss man, dass
$V_{j}(j\geqq i)$ \"uber
den Restklassengrad und die Verzweigungsordnung
\"uber
den Restbesitzt. Hieraus folgt nach Deﬁnition, dass
besitzt.
klassengrad und die Verzweigungsordnung
ein Zwischenkorper zwischen $K$ und , dessen VerEs sei nun
ein Teilk\"orper
prim zu
zweigungsordnung \"uber
ist. Dann ist
, . . .. ,
,
von $V$. Denn
ist ein Vereinigungsk\"orper von
(2)
mit
bedeutet.
,
den Durchschnitt von
wobei
Dann gibt es nach Deﬁnition der Verzweigungsordnung einen Index
prime Verzwei, derart dass jeder K\"orper
eine zu
Verzweigungsgungsordnung besitzt. Daher ist nach Satz 13
, weil
der
\"uber
korper
enthalten. Also ist
von
. ist.
Vereinigungsk\"orper von
.,
$j$
$K_{j}$
$\alpha$
$a$
$V_{j}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$V_{i}$
$V_{j}\ldots.$
$V_{i+1}$
$f$
$k_{j}$
$k$
$V$
$e_{0}$
$f$
$e_{0}$
$k$
$V^{\prime}$
$V^{\prime}$
$k$
$p$
$V_{i}^{\prime}$
$V^{\prime}$
$V^{\prime}$
$V_{j}^{\prime}(j\geqq i)$
$V_{j}^{\prime}$
$V_{j}^{\prime}(j\geqq l\geqq i)$
$l$
$V_{i+1}^{\prime}$
$K_{j}$
$p$
$V_{j}^{\prime}im$
$V_{j}$
$K_{j}$
$V^{\prime}\leqq V$
$k_{j}$
$V_{i},$
$V_{i+1},$
$\ldots$
$V_{j},$
$V$
$\ldots$
Oﬀenbar stimmt die hier deﬁnierte Verzweigungsgruppe mit der in \S 3 deﬁ$K$ beide \"uber
endliche Grade
nierten Verzweigungsgruppe \"uberein, wenn
besitzen.
(2) F\"ur den Beweis weise ich auf den Hilfssatz im \"ubern\"achsten Parapraphen hin.
(1)
$k,$
$k_{0}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
159
Satz 22. Der Verzweigungskorper $V$ von $K$ \"uber
besitzt den
Restklassengrad und die Verzweigungsordnung
\"uber . Er ist der
maximale Teilkorper von $K$ \’uber , derart dass alle Teilkorper von
$K$ mit der zu
primen Verzweigungsordnung in $ihm$ enthalten sind.
Nun betrachten wir einen beliebigen Teilk\"orper
von $K$ \"uber ,
welcher der Invariantenk\"orper einer Untergruppe
von ist. Dann
$k$
$f$
$k$
$e_{0}$
$k$
$p$
$k$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{H}$
gilt
Satz 23.
,
ist die Zerlegungsgruppe von
nach
2.) der Durchschnitt
von mit
ist die Tr\"agheitsgruppe
von nach ,
3.)
ist die Verzweigungsgruppe
von
nach
.
Beweis. 1.) und 2.) folgen sofort aus der DePnition. 3.) beweist
man folgendermassen. Nach Deﬁnition und dem Satz von SYLOW ist
die Verzweigungsgruppe
die maximale p-Gruppe
von
nach
in
mit der Eigenschaft, dass alle anderen -Gruppen aus. zu
gehoren. Also muss
sein, weil
eine Untergruppe von
eine p-Gruppe aus
ist. Umgekehrt, da
eine p-Gruppe
in
ist, so ist nach dem Satz von SYLOW
und infolgedessen in
und der Deﬁnition von
die Gruppe
eine Untergruppe von
, ist also
eine Untergruppe von
. Hieraus folgt
1.)
$K^{\prime}$
$\mathfrak{H}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{H}\leftrightarrow \mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{H}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{H}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{H}_{V}$
$\mathfrak{H}_{V}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{H}_{T}$
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{H}_{V}$
$\mathfrak{H}_{V}$
$\mathfrak{H}_{T}$
$\mathfrak{H}_{T}$
$\mathfrak{H}_{V}$
$\mathfrak{H}\tau$
$r$
$\mathfrak{H}^{r\backslash \mathfrak{G}_{V}}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\check{\backslash }Dv$
$\mathfrak{H}_{V}$
$\mathfrak{H}\leftrightarrow \mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{H}_{V}=\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{V}$
.
Nach der Eigenschaft des Tragheits- und Verzweigungsk\"orpers
beweist man folgenden Satz.
Satz 24. Es sei
ein normaler Zwischenkorper zwischen $K$ und
, und
zugeordnete Untergruppe der galoisschen Gruppe
die
von $K$ nach . Bezeichnet man dann die Tr\"agh eits- und Verzweigungsgruppe von
, so ist
nach resp. mit
und
1.)
isomorph zur Zerlegungsgruppe von
nach ,
2.)
isomorph zur Tr\"agheitsgruppe von
nach ,
3.)
isomorph zur Verzweigungsgruppe von
nach .
Dabei bedeutet
das durch
teilbare Primideal aus
.
$K^{\prime}$
$k$
$\mathfrak{H}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{G}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{H}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{\mathcal{T}}/\mathfrak{H}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{V}/\cdot \mathfrak{H}$
$K^{;(1)}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}^{/}$
ist also das
$\varphi$
(der
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
(1)
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
Bewertung von
$K$ )
zugeh\"orige Primideal
aus
$K^{/}$
.
M. Moriya
160
isomorph zu
nach
Beweis. Da die galoissche Gruppe von
ist, so ist die Zerlegungsgruppe von
nach isomorph zu
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{H}$
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{G}/\mathfrak{H}$
(nach Eigenschaft der Zerlegungsgruppe).
\"uber
Der Tr\"agheitsk\"orper
von
besitzt die Verzweigungsordnung 1, ist also
ein Teilk\"orper des Tr\"agheitsk\"orpers von $K$ \"uber
\"uber
(nach Satz 16). Also ist der Tr\"agheitsk\"orper von
bei
Anwendung aller Automorphismen aus
elementweise invariant.
, so
zugeordnete Untergruppe von
die
Bezeichnet man mit
. Ferner ist der Invariantenk\"orper
ist
eine Untergruppe von
und des Tr\"agheitsk\"orpers von $K$ \"uber
ein Teilk\"orper von
von.
. Dieser Tr\"agheitsk\"orper besitzt aber die Verzweigungsordnung 1
\"uber . Daher muss der Invariantenk\"oper von
die Verzweigungsordnung 1 \"uber
besitzen. Also ist der Invariantenkorper von
(nach Satz 16), d.h.
ein Teilk\"orper von
eine Untergruppe von
. Daraus folgt:
$K^{\prime}$
$T^{\prime}$
$k$
$T^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
$k$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}_{\tau^{\prime}}$
$T^{\prime}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{\tau^{\prime}}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$K^{\prime}$
$\check{|_{G}\tau}\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$k$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$T^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{T^{J}}$
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{T}$
$\check{\backslash _{c}}\tau \mathfrak{G}_{T}=\mathfrak{G}\tau^{\prime}$
Hieraus folgt sofort 2.).
Man kann 3.) ebenso wie 2.) beweisen, indem man im Beweis von
2.) die Tr\"agheitsgruppe durch die Verzweigungsgruppe, den Tr\"agheitsk\"orper durch den Verzweigungsk\"orper, und die Verzweigungsordnung
1 durch die zu prime Verzweigungsordnung ersetzt.
Hier will ich noch bemerken, dass Satz 15 auch richtig bleibt,
wenn man im genannten Satz den in diesem Paragraphen deﬁnierten
K\"orper
als den Grundkorper nimmt.
von $K$ und
von
Nun betrachten wir den derivierten K\"orper
. Dann ist normal \"uber . Denn ist ein primitives Element
von $K$ \"uber , welches einer normalen Gleichung 1. Art $f(x)=0$
vom Grade in gen\"ugt, so ist diese Gleichung in auch irreduzibel
. Also ist die
und normal (nach Satz 18). Es ist
, weil $f(x)=0$ auch
isomorph zu
galoissche Gruppe von
nach
\"uber
ist. Zur Vereinfachung
eine deﬁnierende Gleichung von
nach
kann ich ohne Missverst\"andnis die galoissche Gruppe von
$p$
$k$
$\overline{k}$
$\overline{K}$
$\overline{k}$
$\overline{K}$
$k$
$\theta$
$k$
$\overline{\overline{k}}$
$n$
$k$
$\overline{K}=\overline{k}(\theta)=K\overline{k}$
$\overline{K}$
$\overline{k}$
$\mathfrak{G}$
$\overline{K}$
$\overline{k}$
$\overline{K}$
mit
$\mathfrak{G}$
bezeichnen.
$\overline{k}$
Theorie der Algebraischen
$Zahlk\delta rper$
161
Unendlichen Grades
Da die Bewertung von
eine ErweiterTng von ist, so will ich
die Bewertung von
schlechthin mit
bezeichnen. Nach \S 1 kann
zugeh\"orige PrimIdeal
man in
das
ﬁnden. Oﬀenbar enthalt
das Primideal
aus $K$.
Nun deﬁnieren wir drei folgende Gruppen:
Zerlegungsgruppe. Die Gesamtheit derjenigen Automorphismen
aus , welche invariant lassen, heisse die Zerlegungsgruppe von
nach .
Dann behaupte ich, dass
nach
die Zerlegungsgruppe von
ist. Denn ist
ein beliebiger Automorphismus aus , so ist nach
Satz 2 fur ein beliebiges Element aus
$\overline{K}$
$\varphi$
$\overline{K}$
$\varphi$
$\overline{K}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\varphi$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\overline{k}$
$\overline{k}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}$
$\sigma$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$a$
.
$\varphi(\sigma\overline{a})=\varphi(\overline{a})>0$
$w$ .
Also geh\"ort
zu
. . $w$ .
Tr\"agheitsgruppe. Die Gesamtheit derjenigen Automorphismen
aus , f\"ur welche die Kongruenz
$\sigma\overline{a}$
$\overline{\mathfrak{P}},$
$z$
$b$
$’\tau$
$\mathfrak{G}$
mod
$\tau\overline{a}\equiv\overline{a}$
f\"ur alle ganzen Elemente
nach .
Wenn also
aus
$\overline{K}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
gilt, heisse die Tr\"agheitsgruppe
von
$\overline{k}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$a$
ein ganzes Element aus
$\tau a\equiv a$
. .
$mod$
$\mathfrak{P}$
$K$
ist, dann ist
,
ist ein Automorphismus aus der Tr\"agheitsgruppe
von
nach . Ist umgekehrt
ein beliebiger Automorphismus aus
und
ein ganzes Element aus , so gibt es in $K$ ein ganzes Element ,
derart dass
$d$
$h$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\tau$
$k$
$\tau^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\overline{K}$
$\overline{a}$
$a$
$\varphi(\overline{a}-a)>0$
$d$
,
. .
$h$
$\overline{a}\equiv a$
ist, weil
mod
$\overline{\mathfrak{P}}$
als das Grenzelement einer Fundamentalreihe aus
ist. Es. ist also
$\overline{a}$
$\tau^{\prime}\overline{a}\equiv\tau^{\prime}a$
$mod$
$\tau^{\prime}\overline{\mathfrak{P}}$
.
$K$
deﬁniert
162
M. Moriya
Da aber 7’
$\overline{\mathfrak{P}}=\overline{\mathfrak{P}}$
und
,
$\prime r^{\prime}a\equiv a$
$mod \mathfrak{P}$
$\tau^{\prime}\overline{a}\equiv a\equiv\overline{a}$
$\tau^{\prime}$
mod
ist,
$\overline{{}^{t}\{;}$
so ist
.
ist daher ein Automorphismus aus der Tragheitsgruppe von
gerade die Tr\"agheitsgruppe
. Damit ist es bewiesen, dass
nach ist.
$\overline{\mathfrak{P}}$
nach
von
$\overline{k}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\overline{k}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
Bildet man nun den derivierten K\"orper
von $W$, so ist die
galoissche Gruppe von
isomorph der von $K$ nach $W$ (nach
nach
\"uber . Diesen
der Invariantenk\"orper von
Satz 18). Also ist
K\"orper
\"uber .
will ich auch den Tr\"agheitskorper von
$\overline{W}$
$\overline{K}$
$\overline{W}$
$\overline{W}$
$k$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\overline{K}$
$\overline{W}$
$\overline{k}$
, so ist die
Bildet man den derivierten K\"orper $V$ von
zugeordnete Untergruppe von
die Verzweigungsgruppe
von nach
(nach Satz 18). Die Gruppe
ist nach Deﬁnition eine invariante
, und ihre Ordnung eine bestimmte Potenz von
Untergruppe von
, aber der Index von
nach
ist prim zu . Ich will
die
Verzweigungsgruppe von
nach , und dementsprechend den K\"orper
\"uber
V den Verzweigungskorper von
nennen.
$\overline{V}$
$\overline{V}$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$p$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p$
$\overline{k}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\overline{K}$
$\overline{k}$
\S 6. BEWERTUNG VON ALGEBRAISCHEN ZAHL,
K\"ORPERN UNENDLICHEN GRADES.
folgenden bedeutet
einen algebraischen Zahlk\"orper, welcher
als der Vereinigungsk\"orper von unendlich (abzahlbar) vielen algebraischen Zahlk\"orpern $ k_{1}(k_{2}C\cdots$ . $Ck_{i}C\ldots$ . deﬁniert ist, deren jeder
$k$
${\rm Im}$
\"uber dem K\"orper der rationalen Zahlen von endlichem Grade ist. Wir
wollen kurz einen unendlichen Zahlk\"orper nennen, und die Bezeichnung
$k=\{k_{i}\}$
gebrauchen. Ferner bezeichnen wir mit
die Menge aller
ganzen algebraischen Zahlen aus
und mit
die Menge aller ganzen
algebraischen Zahlen aus
Dann ist
ist die Vereinigungsmenge von
,
.,
. , –und der Durchschnitt von mit
$k$
$0$
$k$
$0=\{0_{i}\}-\mathfrak{o}$
$k_{i}.$
$0_{1}$
ist gleich
\langle 1)
$0_{i}$
.
$0_{2},$
$\ldots$
$0_{i},$
$0_{i}$
$0$
$\ldots$
Bezeichnet man nun mit
$\mathfrak{p}$
ein Primideal aus
$k$
$k_{i}$
und mit
Diese K\"orper wollen wir schlechthin die Korper von endlichem Grade oder
die endlichen Zahlk\"orper nennen.
163
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
$\mathfrak{p}_{i}$
$\mathfrak{p}_{1},$
den Durchschnitt von mit , so ist
.,
. –in Bezeichnung ist
$k_{i}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}_{i},$
$\ldots$
das Vereinigungsideal von
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{i}\}^{\{1)}$
$\ldots$
.
bewertet sei,
Nun wollen wir noch annehmen, dass der K\"orper
diese Bewertung von . Da $\varphi(1)=0$ ist,
und wir bezeichnen mit
so kann man durch vollstandige Induktion beweisen, dass f\"ur eine
beliebige ganze rationale Zahl
ist. Es sei $\mu(\neq 0)$ eine
ganze algebraische Zahl aus . Dann ist
eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung
$k$
$k$
$\varphi$
$a$
$\varphi(a)\geqq 0$
$k$
$\mu$
$x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots.+a_{0}=0$
im K\"orper der rationalen Zahlen, wo
$a_{m- 1}$
,
....,
$a_{0}$
s\"amtlich ganze
Es gilt also
rationale Zahlen sind.
$\mu^{m}+a_{n-1}\mu^{m-1}+\ldots.+a_{0}=0$
,
und hieraus folgt
$\infty=\varphi(\mu^{m}+a_{m-1}\mu^{m-1}+\ldots.+a_{0})$
$\geqq{\rm Min}$
Da
sonst
$(m\varphi(\mu), (m-1)\varphi(\mu)+\varphi(a_{m-l})$
$\varphi(a_{m-1})\ldots.,\cdot\varphi(a_{0})$
$\infty=m\varphi(\mu)<0$
nicht negativ sind, so muss
sein w\"urde. Also gilt:
,
....
.
$\varphi(a_{0}))$
$\varphi(\mu)\geqq 0$
.
sein, weil
Die Bewertung jeder ganzen algebraischen Zahl ist nicht negativ.
Nach \S 1 bildet die Menge aller Zahlen aus , deren Bewertungen
nicht negativ sind, eine Maximalordnung
in . Wir zeigen jetzt,
dass es in eine ganze algebraische Zahl gibt, deren Bewertung positiv
ist. Denn nach der Bewertungsvorschrift gibt es in eine Zahl mit
. Diese Zahl kann man als einen Quotienten zweier ganzen
Zahlen
aus
darstellen. Wir k\"onnen ohne Einschr\"ankung der
$k$
$P$
$k$
$k$
$k$
$\gamma$
$\varphi(\gamma)\neq 0$
$\gamma$
$a,$
$\beta$
$k$
Allgemeinheit annehmen, dass
Also ist
$\varphi(a)-\varphi(\beta)>0$
.
Da
$\varphi(a)>0$
(1)
K. I.
S. 44.
$\varphi(\frac{a}{\beta})>0$
$\varphi(a)\geqq 0,$
,
-sonst
$\varphi(\beta)\geqq 0$
$w.z.b.w$
.
$\varphi(\frac{\beta}{a})>0-$
sind,
so folgt
ist.
164
M. Moriya
Betrachtet man die Menge
von allen Zahlen, deren Bewertungen
positiv sind, so ist
ein Primideal aus . Wir wollen nun folgenden
Satz beweisen.
Satz 25. Der Durchschnitt von mit
ist ein Primideal in
(oder in o).
(der
Beweis. Es sei f\"ur zwei Zahlen
aus
Durchschnitt von mit M). Dann ist $\varphi--()+\varphi(\beta)>0$ , weil
eine Zahl aus
ist. Weil aber
beide ganze Zahlen sind, so ist
$d.h$ .
und
. Hieraus folgt $\varphi(a)>0$ oder
geh\"ort zu
oder
.
Es seien
zwei beliebige ganze Zahlen aus . Dann sind
, und fur zwei beliebige Zahlen
aus
ist
$\mathfrak{M}$
$\mathfrak{M}$
$1^{J}$
$k$
$\mathfrak{M}$
$\mathfrak{o}$
$a,$
$oa\beta Co\cap \mathfrak{M}$
$\beta$
$0$
$ a\beta$
$\mathfrak{M}$
$\beta$
$a,$
$\varphi(a)\geqq 0$
$\varphi(a)$
$\varphi(\beta)\geqq 0$
$\varphi(\beta)^{\backslash }/^{\prime}0,$
$0\cap \mathfrak{M}$
$\varphi(\beta)$
$\mu,$
$\varphi(\mu)\geqq 0,$
$k$
$\nu$
$\varphi(\nu)\geqq 0$
$a,$
$\varphi(\mu a+\nu\beta)\geqq{\rm Min}(\varphi(a\mu),$
$\varphi(\iota’\beta))>0$
$0\cap \mathfrak{M}$
$\beta$
.
Oﬀenbar ist
weder das Einsideal noch das Nullideal, weil
eine von Null verschiedene Zahl enthalt, deren Bewertung positiv
ist. Also ist
ein Primideal aus .
} ist die Bewertung jeder zu
Nach Struktur von
und
primen ganzen Zahl aus
gleich Null. Hieraus folgt ohne weiteres
Zusatz. Eine Bewertung von bestimmt eindeutig ein Primideal
in . Es ist die Menge aller ganzen Zahlen aus , deren Bewertungen
bez\"uglich
positiv sind.
Wir wollen im folgenden von einer Bewertung bezuglich eines
Primideals sprechen, wenn unter allen ganzen Zahlen aus die Zahlen
aus diesem Primideal unﬂ nur diese positive Bewertungen besitzen.
Dann gilt die Umkehrung des obigen Zusatzes.
Satz 26. $Ec:n$ Primideal . aus
bestimmt eine Bewertung in
$\mathfrak{o}\cap \mathfrak{M}$
$0^{r\backslash }\mathfrak{M}$
$k$
$0\cap \mathfrak{M}$
$0\cap \mathfrak{U}$
$\mathfrak{M}$
$\downarrow$
)
$\cap \mathfrak{M}$
$k$
$k$
$\varphi$
$k$
$k$
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{p}$
bezug
$k$
auf .
$\mathfrak{p}$
wirklich eine Bewertung in bezug auf
Beweis. Ich will in
, so ist
. Es gehe
herstellen. Bezeichnet man
mit
nun das Primideal ; in die zugehorige Primzahl mit dem genauen
Exponenten
auf. Dann deﬁnieren wir
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}\cap k_{i}$
$0$
$\mathfrak{p}$
$u_{i}$
$\varphi(a)=\frac{a_{i}}{u_{i}}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{i}\}$
$p$
165
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
als die Bewertung von
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$a$
wenn eine Zahl
,
aus
$a$
genau durch
$k_{i}$
teilbar ist. Wir wollen zun\"achst zeigen, dass die Zahlen
$\underline{a_{i}}$
in
$u_{i}$
allen K\"orpern von endlichem Grade, welche enthalten, gleich sind.
Es seien $k_{l}Ck_{m}$ zwei Teilk\"orper(2) von endlichem Grade \"uber , die
enthalten. Dann ist
$a$
$k$
$a$
.
$\frac{a_{l}}{u_{l}}=u_{m}^{-}a_{m}$
Denn in
$\mathfrak{p}_{m}^{a_{l}e_{m}}$
$k_{l}$
ist
teilbar,
kanntlich
$a$
genau durch
wenn
$e_{m}=\frac{u_{m}}{u_{l}}$
$\mathfrak{p}_{l}$
in
teilbar, ist also in
$\mathfrak{p}_{l}^{a_{l}}$
genau durch
$k_{m}$
$\mathfrak{p}_{m}^{e_{m}}$
genau durch
$k_{m}$
teilbar ist. Da aber be-
so ist
ist,
$\frac{a}{u}mm=\frac{a_{l}e_{m}}{u_{m}}=\overline{u}_{m}^{-}a_{l}$
.
$u_{\underline{m}}\overline{u}_{l}=\frac{a_{l}}{u_{l}}$
.
in zwei beliebige Teilk\"orper von endlichem
und
Wenn nun
Grade, welche enthalten, sind, dann enth\"alt der Durchschnitt
mit
wirklich , und
sind Erweiterungsk\"orper von
von
sind nach dem oben
und
. Die Bewertungen von in
gezeigten gleich der Bewertung von in
. Damit ist die Zahl
durch eine Zahl und ein Primideal eindeutig bestimmt.
F\"ur eine Zahl aus , welche zu
prim ist, ist oﬀenbar
.
wirklich den BewertungsDass die so deﬁnierten Zahlen
postulaten gen\"ugen, veriﬁziert man auf folgende Weise:
1. Nach Deﬁnition gibt es in sicher eine Zahl , deren Bewertung
als ihre Benicht Null ist. Der Zahl Null kann man das Symbol
wertung zuordnen, weil Null in
enthaltell und durch beliebige hohe
Potenzen von
teilbar ist.
2. Es seien und zwei Zahlen aus . Dann gehoren und
zu einem Teilk\"orper
von endlichem Grade, wenn man den Index
$k$
$k_{m}$
$k_{l}$
$k_{l}\cap k_{m}$
$a$
$k_{m}$
$k_{l}$
$k_{m},$
$a$
$k_{l}\cap k_{m}$
$k_{l}$
$k_{m}$
$a$
$a$
$\varphi(a)$
$a$
$k_{l}$
$k_{l}\cap k_{m}$
$\mathfrak{p}$
$k$
$\varphi(\gamma)=0$
$\mathfrak{p}$
$\varphi(a)$
$k$
$a$
$\infty$
$k_{1}$
$\mathfrak{p}_{1}$
$k$
$\beta$
$a$
$\beta$
$a$
$i$
$k_{i}$
(1)
Ein Hauptideal
aus
kann sich als ein Potenzprodukt (mit positiven und
darstellen lassen.
negativen Exponenten) der verschiedenen Primideale aus
Wenn
ein Faktor ist, welcher in diesem Potenzprodukt den gr\"ossten
$(\alpha)$
$k_{i}$
$k_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
genau durch
besitzt, so heisse
Exponenten in bezug auf
Ersichtlich brauchen
nicht notwendig die K\"orper aus
.... zu sein.
$\mathfrak{p}_{i}$
(2)
$k_{l},$
$k_{m}$
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$\alpha$
$k_{1},$
$k_{2},$
teilbar.
$\ldots.k_{i}$
,
166
M. Moriya
hinreichend gross nimmt. Es seien
den genauen Exponenten von
in , und
Exponenten von
in bzw. bedeutet.
$u_{i}$
$p$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
Dann ist
man schliessen
$ a+\beta$
$a$
mindestens durch
,
$\mathfrak{p}_{i}^{{\rm Min}(a_{i},b_{i})}$
bzw.
$b_{i}$
$k_{i}$
teilbar.
$\varphi(\beta))$
$\frac{b_{i}}{u_{i}})={\rm Min}(\varphi(a),$
3. Wenn man den Korper
ganze Zahlen
aus
$\beta$
$a_{i}$
$\varphi(\beta)=\frac{b_{i}}{u_{i}}$
,
wobei
den genauen
$\beta$
$\varphi(a+\beta)\geqq{\rm Min}(_{u_{i}}^{a_{i}}$
$a,$
und
$\varphi(a)=\frac{a_{i}}{u_{i}}$
Also kann
.
wie in 2 nimmt, dann ist f\"ur zwei
$k$
$\varphi(a\beta)=a_{i}+b_{i}=\varphi(a)+\varphi(\mathcal{B})$
.
$u_{i}$
f\"ur alle Zahlen aus
Also gibt die Funktion
wirklich eine Bewertung
an.
Zwei Bewertungen und
von heissen \"ahnlich, wenn f\"ur jede
ist, wobei
Zahl
aus
eine bestimmte positive Zahl
bedeutet.
Nun wollen wir f\"ur die Bewertungen in bezug auf ein Primideal
aus folgenden Satz beweisen.
Satz 27. Die Bewertungen in bezug auf ein Primideal sind alle
ahnlich.
Beweis. Es seien
und
zwei Bewertungen in bezug auf .
Dann ist $\varphi(p)=p$ eine bestimmte positive Zahl, wenn die durch
$k$
$\varphi$
$k$
$\varphi^{\prime}$
$\varphi$
$k\varphi(a)=p\varphi^{\prime}(’\prime_{-)}$
$a$
$p$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\varphi^{\prime}$
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$\varphi(p)$
$p$
$\mathfrak{p}$
teilbare Primzahl ist. Wir wollen nun beweisen, dass f\"ur eine beliebige
ist, $d.h$ . die beiden Bewertungen
Zahl
aus
auch
\"ahnlich sind.
Es sei
eine Zahl aus
und
das durch teilbare Primideal
aus . Dann gibt es in
eine genau durch
.
teilbare Zahl
genau durch
Wenn in
teilbar ist, dann ist sicher
$k$
$a$
$a$
$k_{i}$
$\varphi(a)=p\varphi^{\prime}(a)$
$k_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$k_{i}$
$k_{i}$
$p$
$\frac{\pi_{i}^{l/i}}{p}$
zu
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\pi_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{u_{i}}$
$\varphi(\frac{\pi_{i}^{u_{i}}}{p})=0$
weil
$\mathfrak{p}$
,
prim ist. Also ist
$\varphi^{\prime}(\frac{\pi_{i}^{u_{i}}}{p})=0$
$\varphi(\pi_{i}u_{i})=\varphi(p)$
, und
$\varphi^{\prime}(\pi_{i}u_{i})=\varphi^{\prime}(p)$
.
167
Theorie der Algebraischen $ZahMrper$ Unendlichen Grades
Hieraus folgt
$\rho=\frac{\varphi(p)}{\varphi(p)}=\frac{\varphi(\pi^{u_{i}})}{\varphi’(\pi^{u_{i}})}=\frac{\varphi(\pi_{i})}{\varphi’(\pi_{i})}$
Da es f\"ur eine Zahl
die Zahl
$\frac{a}{\pi_{i}^{a_{i}}}$
zu
$\mathfrak{p}$
aus
.
eine ganze rationale Zahl gibt, derart dass
.
und
prim wird, so ist also
$a$
$k_{i}$
$a_{i}$
$cp^{\prime}(\frac{a}{\pi_{i}^{\sigma_{i}}})=0$
$\varphi(\frac{a}{\pi_{i}^{a_{i}}})=0$
Daraus folgen ohne weiteres
$\varphi(a)=a_{i}\varphi(\pi_{i}),$
$\varphi^{\prime}(a)=a_{i}\varphi^{\prime}(\pi_{i})$
d.h.
$\varphi(a)=\rho\varphi^{\prime}(a)$
.
Nach dem obigen Satz erh\"alt man alle Bewertungen in bezug auf
mit allen positiven
ein Primideal , indem man eine Bewertung
Zahlen multipliziert.
Unter allen zu
ahnlichen Bewertungen gibt es sicher die eine,
welche f\"ur die durch teilbare Primzahl (also f\"ur alle genau durch
teilbaren rationalen Zahlen) Bewertung 1 angibt. Solche Bewertung
nenne ich die normierte Bewertzeng in bezug auf oder von . Die
im Beweis von Satz 26 konstruierte Bewertung ist eine solche. Es
gibt oﬀenbar nach Satz 27 nur eine einzige normierte Bewertung in
bezug auf ein $PrImideal$ .
Wert eines Ideals.
Wir legen im folgenden die normierte Bewertung eines beliebigen
fest. Dann heisst die untere Grenze der Menge
Primideals
aus
der Wert
von Bewertungen aller Zahlen aus einem beliebigen Ideal
. Wir bezeichnen den Wert von
von in bezug auf das Primideal
in bezug auf mit
. Weil ich im folgenden immer Werte in
betrachte, so will ich schlechthin vom Wert
bezug auf das Primideal
gebrauchen. Nach
eines Ideals sprechen, und die Bezeichnung
$DePnition$ ist der Wert eines Hauptideals
in gleich der Bewertung
. Die vom Nullideal verschiedenen ganzen Ideale aus besitzen
nicht negative endliche Werte in bezug auf alle Primideale aus , weil
sie nur ganze Zahlen enthalten und die Bewertungen der ganzen Zahlen
‘nicht negativ, also nach unten beschr\"ankt sind. Die gebrochenen Ideale
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$\varphi$
$p$
$\mathfrak{p}$
$p$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{p}^{\langle 1)}$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{p}$
$w_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$
$\mathfrak{p}$
$w(\mathfrak{a})$
$\mathfrak{a}$
$(a)$
$\varphi(a)$
$k$
$k$
$k$
(1)
Herr KRULL hat f\"ur die Prim\"arideale den Begriﬀ der Werte eingef\"uhrt. Ich
will aber hier Wert eines beliebigen Ideals deﬁnieren.
168
M. Moriya
k\"onnen negative Werte besitzen, aber sie sind immer endliche Zahl.
Denn sei ein gebrochenes Ideals aus , so kann man immer eine
$k$
$b$
Der Wert von
, wobei
eine Zahl aus
bedeutet, und diese untere Grenze ist eine nicht negative endliche
Zahl. Also ist der Wert $w(b)$ von gleich
. Daher besitzt
ein vom Nullideal verschiedenes Ideal jedenfalls einen bestimmten Wert.
so dass
ist die untere Grenze von
ganze Zahl
ﬁnden,
$\beta$
ganzes Ideal wird.
$\beta b$
$\beta b$
$\varphi(\beta p)=\varphi(\beta)+\varphi(p)$
$b$
$\mathfrak{b}$
$p$
$w(b\beta)-\varphi(\beta)$
Satz 28. Der Wert des Produktes zweier Ideale
der Werte der beiden Ideale.
$\mathfrak{b}$
$\mathfrak{a},$
Beweis. Eine Zahl aus
ist von der Gestalt
bzw.
die Zahlen aus bzw. sind. Da
$\mathfrak{a}b$
$\beta_{i}$
.
.
.
.
.
.
$\sigma_{i}$
, \varphi(a_{r})+\varphi(\beta_{r}))\geqq w(\mathfrak{a})+w(b)$
so sind die Bewertungen der Zahlen aus
$\mathfrak{a}b$
nicht kleiner als
.
Nun sei eine beliebige positive Zahl. Dann kann man in
eine Zahl bzw. ﬁnden, derart dass
$\epsilon$
$b$
, wobei
, \varphi(a_{\gamma}\beta_{r}))$
$\geq{\rm Min}$ $(\varphi(a_{1})+\varphi(\beta_{1}), .
$w(a)+w(b)$
$\sum_{i=1}^{r}m\beta_{i}$
$b$
$\mathfrak{a}$
$\varphi(\sum_{i=1}^{r}ai\beta_{i})\geq{\rm Min}(\varphi(a_{1}\beta_{1}) , .
ist,
ist die Summe
$0$
bzw.
$\beta$
$a$
und
$\varphi(a)-w(\mathfrak{a})<\frac{\epsilon}{2}$
$\varphi(\beta)-w(\mathfrak{d})<\frac{\epsilon}{2}$
wird. Hieraus folgt
$\varphi(a\beta)$
$(w(a)+w(b))<e$
ist.
die untere Grenze der Zahlen aus
Es sei
ein beliebiges (ganzes oder gebrochenes) Ideal aus .
Dann ist der Durchschnitt (
von mit ein Ideal aus .
Denn seien und zwei ganze Zahlen aus , so ist f\"ur zwei beliebige
Zahlen
und
aus
Dies zeigt aber, dass
$w(\mathfrak{a})+w(b)$
$\mathfrak{a}b$
$k$
$a$
$t_{i}=\mathfrak{a}\cap k_{i}$
$\mathfrak{a}$
$k_{i}$
$k_{i}$
$k_{i}$
$\lambda$
$\mu$
$a_{i}$
$\beta_{i}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\lambda a_{i}+\mu\beta_{i}$
eine Zahl aus
(
$t$
und
$k_{i}$
,
ist also
$\lambda a_{i}+\mu\beta_{i}$
eine Zahl aus
$\mathfrak{a}_{i}$
ein ganzes Ideal aus
Wenn f\"ur eine ganze Zahl
kann man eine ganze rationale Zahl , welche durch
$\beta \mathfrak{a}\beta$
$b$
.
$k$
$\beta$
wird, dann
teilbar ist,
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
ein ganzes Ideal aus wird.
. Also ist ein Ideal aus
Oﬀenbar ist das Ideal
ein Vereinigungsideal
. Betrachtet man die Zahlfolge
so ist ihre untere Grenze gleich dem Wert von .
ﬁnden, derart dass
ein ganzes Ideal aus
$k$
$b\mathfrak{a}$
$k_{i}$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{a},$
$w(\mathfrak{a}_{1}),$
$\ldots.$
$,$
Dann ist
$k_{i}$
$\mathfrak{a}_{i}$
169
.
von
$w(\mathfrak{a}_{2}),$
$\ldots$
$\mathfrak{a}_{1}$
.
,
,
$\mathfrak{a}_{2},$
Dann gibt es in
$\ldots$
.
,
.
,
Denn es sei eine
eine Zahl , derart dass
$\epsilon$
$\alpha$
..........................
$\varphi(a)-w(\mathfrak{a})<\epsilon$
ist, weil
$\mathfrak{a}$
$\ldots$
$w(\mathfrak{a}_{n}),$
$\mathfrak{a}$
beliebige positive Zahl.
auch
$b\mathfrak{a}_{i}$
(1)
die untere Grenze der Bewertungen aller Zahlen aus a
ist. Da
schon in einem Ideal von
.,
. enthalten
sein muss, so sei
. Da
eine Zahl aus . Dann ist
(
ist, so ist
$w(\mathfrak{a})$
$a$
$\mathfrak{a}_{1},$
$a$
$a_{i}$
$\mathfrak{a}_{2},$
$\ldots$
$\mathfrak{a},$
$\ldots$
$,$
$\varphi(tl)\geqq w(\mathfrak{a}_{i})$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{a}$
$\varphi(a)\geqq w(\mathfrak{a}_{i})\geqq w(\mathfrak{a})\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
Hieraus folgt nach
.
(2)
(1)
$w(\mathfrak{a}_{i})-w(\mathfrak{a})<\epsilon\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots..(3)$
Also ist nach (2) und (3)
....
$w(\mathfrak{a}_{n}),$
$\ldots.$
$w(\mathfrak{a})$
die untere Grenze von
$w(\mathfrak{a}_{1}),$
$w(\mathfrak{a}_{1})$
,
.
Nun wollen wir untersuchen, welchen Wert jedes
besitzt.
, und
Es sei
sei genau durch
teilbar. Dann sind alle
Zahlen aus
durch
eine Zahl, die
teilbar und sogar gibt es in
genau durch
genau durch
teilbar ist. Wenn in
teilbar ist,
dann ist
sicher gleich
enthalten
in
Da alle Zahlen aus
ist, so ist
$w(\mathfrak{a}_{i})$
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{i}\}$
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i_{\langle 1)}}}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$w(a_{i})$
$\mathfrak{p}_{i}^{u_{i}}$
$k_{i}$
$p$
$w(a_{i})\geqq w(\mathfrak{a}_{i+1}),$
$d$
. .
$h$
$\underline{a_{i}}\geqq\underline{a_{i+1}}$
$u_{i+1}$
$u_{i}$
Daher ist die Zahlfolge
$\mathfrak{a}_{i+1}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\frac{a_{i}}{u_{i}}$
,
$\frac{a_{1}}{u_{1}}\frac{a_{2}}{u_{2}}$
abnehmend, aber
$\frac{a_{n}}{u_{n}}$
, und sogar besitzt
jedes Glied dieser Zahlfolge ist nicht kleiner als
diese Zahlfolge
als ihre untere Grenze. Also gilt folgender Satz.
$w(\mathfrak{a})$
$w(\mathfrak{a})$
(1)
kann man
als ein Potenzprodukt von endlich vielen Primidealen einmit dem genauen Exponenten
Wenn das Primideal
genau durch
in diesem Potenzprodukt auf’tritt, dann sagt man, dass
teilbar ist.
prim, oder
teilbar. Sonst sagt man, dass
durch
zu
In
$k_{i}$
$\alpha_{i}$
deutig darstellen.
$\mathfrak{p}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}}$
$ei$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}^{0}$
$\mathfrak{a}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\mathfrak{a}_{i}$
170
M. Moriya
Satz 29. Es sei
Wenn man mit
$a$
ein beliebiges Ideal aus
.
den Wert von a
$w(\mathfrak{a})bzw$
$w(\mathfrak{a}_{i})$
$k$
und
$bzw$
.
$\mathfrak{a}_{i}=a\cap k_{i}$
$\mathfrak{a}_{i}$
.
bezeichnet,
dann ist
$w(\mathfrak{a}_{1}),$
$w(a_{2})$
....
,
eine abnehmende Zahlfolge und
,
$ihr$
$w(\mathfrak{a}_{n})$
,
....
Grenzwert ist gleich
$w(a)$
.
Endliche und unendliche Ideale.
Wir wollen hier wieder die normierte Bewertung eines Primideals
festlegen, und den dadurch bestimmten Wert eines Ideals
aus
betrachten. Wenn der Wert eines Ideals der Bewertung einer Zahl
aus diesem Ideal gleich ist, dann heisst dieses Ideal endlich, sonst
unendlich. Es sei
ein endliches Ideal und f\"ur eine Zahl
aus sei
. Weil eine Zahl aus einem geeigneten Ideal
ist, so ist nach Satz 29
$\varphi$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{a}=\{a_{i}\}$
$\varphi(a)=w(\mathfrak{a})$
$a$
$a$
$a$
$c\iota_{i}$
$w(\mathfrak{a}_{i})=w(\mathfrak{a}_{i+1})=\ldots.=w(\mathfrak{a},)=\ldots.=w(\mathfrak{a})$
$d$
. . von einem
$h$
geeigneten Index an sind alle Ideale von gleichem Wert.
wenn
eine Zahl mit
.
Diese Deﬁnition triﬀt auch f\"ur das Primideal
Umgekehrt,
dann gibt es in
,
$xo(\mathfrak{a}_{i})=w(\mathfrak{a}_{i+1})=\ldots.=w(a_{n})=\ldots.=w(\mathfrak{a})$
$\varphi(a)=w(\mathfrak{a})$
$a$
$\mathfrak{a}_{i}$
ist,
$\mathfrak{p}$
zu. N\"amlich heisse
ein Primideal endlich in bezug auf die durch deﬁnierte normierte
Bewertung, wenn von einem hinreichend grossen Index an immer
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$i$
$w(\mathfrak{p}_{i})=w(\mathfrak{p}_{i+l})=\ldots.=w(\mathfrak{p})$
ist, und sonst heisse
es unendlich.
Zur Vereinfachung spreche ich im folgenden immer ohne Erw\"ahnung von endlichem oder unendlichem Primideal. Dabei meine
ich immer endliches oder unendliches Primideal in bezug auf die durch
das Primideal selber deﬁnierte normierte Bewertung.
Wenn ein Primideal
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{i}\}$
endlich ist, dann ist nach dem oben
gezeigten
$w(\mathfrak{p}_{i})=w(\mathfrak{p}_{i+1})=\ldots.=w(\mathfrak{p})$
wenn
$i$
hinreichend gross ist.
Ist die durch
$\mathfrak{p}$
,
teilbare Primzahl
$p$
in
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
$k_{j}$
genau durch
$\mathfrak{p}_{j}^{u_{j}}$
teilbar,
so ist
$w(\mathfrak{p}_{j})=\frac{1}{u_{j}}$
..
$\underline{1}=\underline{1}=$
. . von einem
geeigneten Index
$h$
$=w(\mathfrak{p})$
Also ist
,
$u_{i+1}$
$u_{i}$
$d$
.
171
an ist jedes
$i$
$\mathfrak{p}_{j}$
genau durch
$\mathfrak{p}_{j+1}$
teilbar
.
\"uber alle
unendliches Primideal ist, dann muss
Wenn aber
Grenzen wachsen, . .
. Es gilt also:
Dann und nur dann ist ein Primideal unendlich, wenn sein Wert
$(j\geqq i)$
$u_{j}$
$\mathfrak{p}$
$d$
$h$
$w(\mathfrak{p})=0$
ist.
die normierte
Wir bezeichnen nun mit ein Primideal und mit
Bewertung von . Dann besitzen die Zahlen aus positive Bewertungen
in bezug auf . Wenn
endliches Primideal ist, dann gibt es nach
dem oben gezeigten einen Index , derart dass
$0$
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$i$
$w(\mathfrak{p}_{i})=w(\mathfrak{p}_{i+1})=\ldots.=w(\mathfrak{p})$
.
gibt, deren Bewertung
eine Zahl
Dies bedeutet aber, dass es in
gleich dem Wert
. Wir behaupten nun,
von ist:
eine kleinste positive Bewertung unter allen positiven Bewerdass
tungen der Zahlen aus
ist. Denn ist eine Zahl aus , deren Be, so ist
wertung positiv und nicht grosser ist als
eine Zahl aus einem Teilk\"orper
von , und in gibt es sicher
$a$
$\mathfrak{p}_{i}$
$w(\mathfrak{p})$
$\varphi(\alpha)=w(\mathfrak{p})$
$\mathfrak{p}$
$\varphi(a)$
$k$
$k$
$\beta$
$\varphi(a);0<\varphi(\beta)\leqq\varphi(a)$
$k$
$k_{i}$
$\beta$
eine ganze Zahl
$\gamma$
,
$\frac{\beta}{\gamma}$
zu
$\mathfrak{p}$
prim wird.
Also ist
$\varphi(\beta)$
. Da eine ganze Zahl aus ist, und positive Bewertung
so ist eine Zahl aus . Also muss
sein.
$k$
$=\varphi(\gamma)\leqq\varphi(a)$
besitzt,
derart dass
$k_{i}$
$\gamma$
$\varphi(\gamma)\geqq w(P)=\varphi(a)$
$\mathfrak{p}$
$\gamma$
Hieraus folgt
$\varphi(\gamma)=\varphi(a)$
$d$
. .
$h$
$\varphi(\beta)=\varphi(a)$
,
$w$
,
. $z.b$ . .
$w$
f\"ur eine Zahl
die kleinste positive BewerDa die Bewertung
tung angibt, so ist die Bewertung
diskret.
Umgekehrt, wenn eine Bewertung
diskret ist, dann kann man
leicht zeigen, dass das zugeh\"orige Primideal endlich ist. Denn wenn
$a$
$\varphi$
$\varphi$
$\varphi$
$\varphi$
M. Moriya
172
eine diskrete Bewertung ist, dann gibt es nach dem oben Bewiesenen
eine ganze Zahl aus , deren Bewertung unter allen positiven Bewertungen der Zahlen aus
am kleinsten ist. Diese ganze Zahl ist eine
zugeh\"origen Primideal aus , $w.z.b.w$ .
Zahl aus dem
und $q_{i}=q\cap k_{i}$ sei der
ein ganzes Primarideal aus
Es sei
, und
ein Ideal aus
. Dann ist
mit
Durchschnitt von
$q=\{q_{i}\}$ .
ein ganzes Primarideal aus
Wir wollen zeigen, dass
zwei ganze Zahlen aus , f\"ur welche
ist. Denn es seien
$\varphi$
$k$
$k$
$k$
$\varphi$
$k$
$q$
$k_{i}$
$k_{i}$
$q$
$q_{j}$
$k_{i}$
$q_{i}$
$\sigma_{i},$
$k_{i}$
$\beta_{i}$
mod
$a_{i}\beta_{i}\equiv 0$
und
,
$q_{i}$
$a_{i}\frac{\pm}{1}0$
mod
$a_{i}\beta_{i}\equiv 0$
$q$
,
und
$a_{i}\not\equiv 0$
Hieraus folgt f\"ur eine nat\"urliche Zahl
mod
$\beta_{i}^{P}\equiv 0$
eine Zahl aus
$\beta_{i}^{P}$
$k_{i}$
ist,
. .
$h$
$q_{i}$
ein
Prini\"arideal aus
mod
$q$
.
$\rho$
$q$
.
so ist
mod
$\beta_{i}^{P}\equiv 0$
$d$
$q_{i}$
Dann ist
gelten.
Da
mod
$k_{i}$
$q_{i}$
,
.
ein algebraischer Zahlk\"orper von endlichem Grade ist, so
Weil
,
:
eine bestimmte Potenz eines Primideals
ist
sind, so muss
,
). Da $q_{i}Cq_{i+1}$ und
.... ,
teilbar sein. Es folgt also
durch
$k_{i}$
$q_{i}=\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}(i=1,2$
$\mathfrak{p}_{i}$
$q_{i}$
$q_{i}=\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$n,$
$q_{i+1}=\mathfrak{p}_{i+1}^{a_{i+1}}$
$\ldots.$
$\mathfrak{p}_{i+1}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$q=\{\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}\}$
,
teilbar.
ist nur durch ein einziges Primideal
Umgekehrt k\"onnen wir auch leicht beweisen:
Wenn ein ganzes Ideal aus nur durch ein einziges Primideal
teilbar ist, dann ist ein Primarideal.
zugehoriges Prim\"arideal aus
ein dem Primideal
Wir nennen
, wenn
durch teilbar ist.
ein ganzes Prim\"arideal in , welches zu einem
Satz 30. Es
Primideal gehort, und ein beliebiges ganzes Ideal aus . Ferner
und
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{i}\}$
$q$
$q$
$k$
$q$
$\mathfrak{p}$
$q$
$k$
$\mathfrak{p}$
$q$
$k$
$s^{\rho}.iq$
$\mathfrak{p}$
$a$
$k$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
173
die normierte Bewertung von , und $w(q)bzw$ . $w(a)$ der
$qbzw$ .
in bezug auf . Dann ist a durch $qteilba7^{(1)}$ ,
$w(q)<w(a)$ ist.
und
Beweis. Wir bezeichnen wie fr\"uher
,
mit
und
. Dann wollen wir zeigen, dass nach
jede Zahl aus
zugleich zu geh\"ort. N\"amlich aus Deﬁnition
sei
von
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$a$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}\cap k_{i}.’
$\mathfrak{p}_{i}$
$q_{i}$
$\mathfrak{a}\cap k_{i}$
\mathfrak{q}\cap k_{i}$
$\mathfrak{a}$
$q$
resp.
$\varphi(a)>w(q)$
folgt
,
$\varphi(a)\geqq w(\mathfrak{a})$
und hieraus
wenn
$w(\mathfrak{q})<w(\mathfrak{a})$
$\mathfrak{a}_{i}$
$a$
Wert
.
, und $w(q)$ der
Da ﬁir eine geeignete nat\"urliche Zahl
, . . . . ist, so wird nach
, .... ,
Grenzwert der Zahlfolge
von einem passenden Index an immer
$a_{i}q_{i}=\mathfrak{p}_{i}^{a_{i}}$
$w(\mathfrak{p}_{n}^{a_{n}})$
$w(\mathfrak{p}_{1}^{a_{1}})$
$i$
$\varphi(\mathfrak{a})>w(q)$
$(j\geqq i)$
$\varphi(a)>w(\mathfrak{p}_{j}^{a_{j}})\geqq w(q)$
.
Wenn man ferner gen\"ugend gross w\"ahlt, dann wird eine Zahl
in mit
beaus . Wenn man den genauen Exponenten von
zeichnet, dann ist
. Dann
. Wir setzen hier
$j$
$a$
$k_{j}$
aus
$u_{j}$
$\varphi(a)=\frac{a}{u_{j}}$
$w(\mathfrak{p}_{j}^{a_{j}})=\frac{a_{j}}{u_{j}}$
folgt
$p$
$\mathfrak{p}_{j}$
$\varphi(a)>w(\mathfrak{p}_{j}^{a_{j}})$
$\frac{a}{u_{j}}>\frac{a_{j}}{u_{j}}$
,
.
Daher ist durch
teilbar. Also geh\"ort
jede Zahl aus zu , ist also durch teilbar.
Wir k\"onnen diesen Satz noch pr\"azisieren.
Zusatz. Unter den Voraussetzungen von Satz 30 ist:
teilbar, wenn
1.)
und
beide undurch
endliche Ideale sind.
, und
teilbar, wenn
2.)
endliches
durch
Ideal ist.
Beweis. Wir haben schon in Satz 30 gezeigt, dass immer durch
teilbar ist, wenn $w(q)<w(\mathfrak{a})$ ist. Deshalb bleibt noch der Satz im
Fall zu beweisen, dass $w(q)=w(a)$ ist.
$d.h.$
$a$
ist
gr\"osser
$\mathfrak{a}$
$0$
$\mathfrak{a}$
als
$a_{j}$
$q$
$\mathfrak{p}_{j}^{a_{j}}$
$a$
$\mathfrak{a}$
$q$
$w(q)\leqq w(\mathfrak{a})$
$q$
$q,$
$w(q)\leqq w(\mathfrak{a})$
$q$
$\mathfrak{a}$
$q$
$\mathfrak{a}$
$q$
(1)
Hier meine ich unter dem Ausdruck, dass
in enthalten ist.
$\mathfrak{a}$
$q$
$\mathfrak{a}$
durch
$\mathfrak{q}$
teilbar ist, wie \"ublich, dass
174
M. Moriya
1.)
$a,$
$q$
sind beide unendliche Ideale.
In diesem Fall gibt es in
nur diejenigen ganzen Zahlen, deren
Bewertungen gr\"osser sind als $w(\mathfrak{a})=w(q)$ . Dann k\"onnen wir aus dem
geh\"ort.
Beweis von Satz 30 schliessen, dass jede Zahl
zu
aus
Also ist durch teilbar.
$\mathfrak{a}$
$a$
$a$
2.)
$q$
$\mathfrak{a}$
$q$
$q$
ist endliches Ideal.
ist unendliches Ideal.
Dann kann man nach dem Beweis
von 1.) schliessen, dass
teilbar ist, weil jede Zahl aus
durch
gr\"ossere Bewertung als $w(\mathfrak{a})=w(q)$ besitzt.
$a.)$
$a$
$a$
$a$
$q$
ist endliches Ideal. In diesem Fall gibt es in wirklich eine
gleich
Zahl , deren Bewertung
ist. Da auch endliches
ﬁnden, derart dass f\"ur jede
Ideal ist, so kann man einen Index
$b.)\mathfrak{a}$
$\mathfrak{a}$
$\varphi(a)$
$\alpha$
$w(\mathfrak{a})$
$q$
$i$
nat\"urliche Zahl
$j\geqq i$
$w(\mathfrak{p}_{j^{j}}^{a})=w(q)=w(\mathfrak{a})=\varphi(a)$
,
eine ganze Zahl aus
ist.
in , so
den genauen Exponenten von
Bezeichnet man mit
, weil
ist
ist. Dies bedeutet aber nach Deﬁnigenau durch
teilbar
, dass eine ganze Zahl
tion der Bewertung
ist. Also ist eine Zahl aus . Dies triﬀt aber f\"ur alle Zahlen aus
und
$k_{j}$
$a$
$\varphi(a)=\frac{\sigma_{j}}{u_{j}}$
$p$
$\mathfrak{p}_{j}$
$u_{j}$
$w(\mathfrak{p}_{j}^{\alpha_{j}})=\frac{o_{j}}{u_{j}}$
$\mathfrak{p}_{j}^{o_{j}}$
$\varphi(a)$
$\alpha$
$a$
$\mathfrak{a}$
$q$
zu, deren Bewertungen gleich
$w(\mathfrak{a})=w(q)$
sind.
Die Zahlen aus , deren Bewertungen gr\"osser sind als
wie in ) zu . Also ist durch teilbar.
$a$
$a.$
$q$
$w(q)$ ,
geh\"oren
$q$
$\mathfrak{a}$
zugehorige
Satz 31. Es seien und
zwei einem Primideal
resp. die Werte von
ganze Prim\"arideale aus , und $w(q)$ .
, wenn $w(q)=w(q^{\prime})$
in bezug auf . Dann und nur dann ist
und die beiden Ideale zugleich endlich oder unendlich sind.
Beweis. Nach dem vorigen Zusatz kann man beweisen, dass
durch , und
durch teilbar ist, wenn $w(q)=w(q^{\prime})$ ist und
zugleich endlich oder unendlich sind. Also ist
.
ist, dann folgt ohne weiteres die BeUmgekehrt, wenn
$q^{\prime}$
$q$
$k$
$\mathfrak{p}$
$w(q^{\prime})$
$q,$
$q^{\prime}$
$q=q^{\prime}$
$\mathfrak{p}$
$q$
$q^{\prime}$
$q^{\prime}$
$q,$
$q$
$q=q^{\prime}$
$q=q^{\prime}$
hauptung.
$q^{\prime}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlich en Grades
175
Zusatz. Ein ganzes Prim\"arideal ist durch seinen Wert und die
Angabe, ob endlich oder unendlich, eindeutig bestimmt.
Nach Herrn KRULL ist jedes ganze Ideal in als das kleinste
gemeinschaftliche Vielfach seiner s\"amtlichen Prim\"arkomponenten darstellbar. Dabei ist eine Prim\"arkomponente folgenderweise deﬁniert:
Wir betrachten zuerst ein Primideal aus und bezeichnen mit die
Menge aller Zahlen aus , welche, als Quotienten zweier ganzen Zahlen
dargestellt, keine durch teilbaren Nenner besitzen. Der Durchschnitt
(Produkt eines Ideals
von
mit ) mit der Menge aller ganzen
Zahlen aus ist die Prim\"arkomponente von in bezug auf . Nach
Struktur sieht man sofort ein, dass die nicht triviale Prim\"arkomponente
von in bezug auf ein zugeh\"origes Prim\"arideal aus ist.
$k$
$\mathfrak{a}$
$k$
$\mathfrak{p}$
$P$
$k$
$\mathfrak{p}$
$P$
$\mathfrak{a}P$
$\mathfrak{a}$
$k$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{p}$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}$
Wir bezeichnen nun mit
die normierte Bewertung von . Fur
, weil der Nenner von Hauptideal
eine Zahl aus ist
in
nicht durch teilbar ist. Jede Zahl aus
ist von der Form
$\mathfrak{p}$
$\varphi$
$P$
$p$
$k$
$\varphi(\rho)\geqq 0$
$(p)$
$\mathfrak{a}P$
$\mathfrak{p}$
$a_{1}\rho_{1}+\sigma_{2}\rho_{2}+\ldots.+\alpha_{r}\rho_{r}$
,
worin
.. ,
bedeuten. Da
$a_{1},$
$a_{2}$
$a_{r}$
bzw.
$p_{1},$
$p_{2},$
$\varphi(a_{1}p_{1}+\ldots.+a_{r}p_{r})\geqq{\rm Min}(\varphi(a_{1}p_{1}), .
ist, so ist die untere Grenze der
kleiner als der Wert
von
die Prim\"arkomponente
von
alle Zahlen aus a enth\"alt, so ist
$w(\mathfrak{a})$
$\mathfrak{a}$
$q$
$\mathfrak{a}$
die Zahlen aus
$p_{r}$
$\ldots.$
$\geqq{\rm Min}(\varphi(a_{1})$
,
.
.
.
$P$
\varphi(a_{r}p_{r}))$
....
,
bzw.
$a$
,
$\varphi(a_{r}))$
Bewertungen der Zahlen aus
nicht
in bezug auf . Dies triﬀt auch fur
in bezug auf zu. Da aber auch
$\mathfrak{a}P$
$\mathfrak{p}$
$q$
$\mathfrak{p}$
der Wert
$w(q)$
von
$q$
gleich
$w(a)$
.
Ferner kann man noch beweisen, dass endlich ist, falls endlich
ist, und umgekehrt. Denn wir wissen schon, dass $w(\mathfrak{a})=w(q)$ und
durch teilbar ist. Wenn aber
endlich ist, dann gibt es in eine
Zahl , deren Bewertung
gleich $w(a)$ ist. Da aber
zu geh\"ort, so ist $\varphi(a)=w(\mathfrak{a})=w(q)$ . Daher ist endlich.
$\mathfrak{a}$
$q$
$\mathfrak{a}$
$q$
$a$
$\mathfrak{a}$
$\mathfrak{a}$
$\varphi(a)$
$a$
$q$
(1)
K. I. S. 47.
$q$
M. Moriya
176
endlich ist, dann gibt es in eine ganze Zahl
nicht
. Da nach dem oben gezeigten
mit
kleiner ist als die Bewertung einer passenden Zahl aus , so existiert
in eine Zahl mit $\varphi(a)=w(a)$ .
Es ist also bewiesen:
Satz 32. Der Wert einer Prim\"arkomponente eines ganzen Ideals
und seine Primarkomponente sind
ist gleich dem Wert von .
beide zugleich endlich oder unendhch.
Nach der Prim\"arkomponentendarstellung eines ganzen Ideals, dem
Zusatz von Satz 31, und Satz 32 kann man behaupten:
Satz 33. Ein ganzes Ideal aus ist eindeutig bestimmt durch
und durch die
aus
seinen Wert in bezug auf jedes Primideal
Angabe,
in bezug auf endlich oder unendlich ist.
Umgekehrt,
wenn
$q$
$q$
$\varphi(\beta)=w(q)=w(\mathfrak{a})$
$\beta$
$\varphi(\beta)$
$a$
$\mathfrak{a}$
$a$
$\mathfrak{a}$
$0$
$a$
$\mathfrak{a}$
$k$
$\mathfrak{a}$
$k$
$\mathfrak{p}$
$ob$
$a$
$\mathfrak{p}$
\S 7. GALOISSCHE ZAHLK\"ORPER VON ENDLICHEM
GRADE \"UBER EINEM UNENDLICHEN
ZAHLKORPER.
folgenden bedeutet
wie im vorigen Paragraphen einen algebraischen Zahlk\"orper, welcher als der Vereinigungsk\"orper von unendlich
vielen algebraischen Zahlk\"orpem $ k_{1}Ck_{2}(\ldots.Ck_{m\acute{L}}\ldots$ . deﬁniert
ist, deren jeder \"uber dem rationalen Zahlenk\"orper endlichen $Grad$
$k$
${\rm Im}$
besitzt.
Wir betrachten nun \"uber einen algebraischen Zahlk\"orper $K$ von
endlichem Grade. Also gibt es eine algebraische Zahl , welche
ein primitives Element von $K$ \"uber ist: $K=k(\theta)$ .
Gen\"ugt
einer irreduziblen Gleichung n-ten Grades $f(x)=0$ in
, so geh\"oren die Koeﬃzienten der Gleichung schon zu einem Teil, wenn man einen hinreichend grossen Index nimmt. Also
k\"orper
ist $f(x)$ irreduzibel in jedem K\"orper $k_{j}(j\geqq i)$ .
, $k_{i+1}(\theta)=K_{i+1}$ , .. . . ,
Wir bilden nun die K\"orper
,
$k_{m}(\theta)=K_{m}$ ,
. .. . , dann erh\"alt man folgende K\"orperfolge ,
$k$
$\theta$
$k$
$\theta$
$k$
$i$
$k_{i}$
$k_{i}(\theta)=K_{i}$
$K_{i}$
(1)
$K_{i+1}$
Ich setze dabei die Existenz von $K$ voraus. Wenn algebraisch abgeschlossen
ist, dann existiert kein algebraischer Erweiterungsk\"orper ‘uber .
$k$
$k$
177
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
....
....
Um die folgenden Auseinandersetzungen einfach zu
machen, k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung der Allgemeinheit annehmen,
sind. Also
dass alle Koeﬃzienten von $f(x)$ schon die Zahlen aus
, . . . . : $K=\{K_{i}\}(i=1,2, \ldots.)$ .
,
ist
,
,
$K_{m}$
$k_{1}$
$k_{2}(\theta)=K_{2}$
$k_{1}(\theta)=K_{1}$
Es gilt allgemein folgender Hilfssatz.
mit
den Durchschnitt von
Hilfssatz. Bezeichnet man mit
, wobei
, so is
ein Zwischenk\"orper zwischen $K$ und
ist.
.,
und
Beweis. Nach Deﬁnition sind
$m\ldots.)$ .
. Es sei umgekehrt eine Zahl aus
Also ist
, ist also
f\"ur einen geeigneten Index eine Zahl aus
Dann ist
.
eine Zahl aus
. Daher ist
$K_{j}$
$K_{j}^{\prime}$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}=\{K_{j}^{\prime}\}$
$k$
$K_{j}^{\prime}CK_{j+1}^{\prime}(j=1,$
$K_{j}^{\prime}CK^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\gamma^{\prime}$
$\{K_{j}^{\prime}\}\subseteqq K^{\prime}$
$j$
$\gamma^{\prime}$
$K_{j}$
$K^{\prime}=\{K_{j}^{\prime}\}$
$K^{\prime}\cap K_{j}=K_{j}^{\prime}$
$\gamma^{\prime}$
$\ldots$
sei die galoisinsbesondere galoissch \"uber , und
die
sche Gruppe von $K$ nach . Dann sind die Elemente von
Automorphismen von $K$ \"uber , und diese Automorphismen sind durch
Nun sei
$K$
$k$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}$
$k$
$k$
diejenigen Operationen realisiert, welche
zu seinen konjugierten
,
,
von $f(x)=0$ \"uberf\"uhren. Wir k\"onnen
Wurzeln ,
dabei ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, dass der
K\"orper
schon galoissch \"uber ist. Selbstverst\"andlich folgt hieraus,
$\theta$
....
$\theta^{\prime}$
$\theta$
$\theta^{(n- 1)}$
$k_{1}$
$K_{1}$
ist. Wie in \S 5 k\"onnen wir auch
dass $K_{j}(j\geqq 1)$ galoissch \"uber
die galoissche Gruppe von
ohne Missverstandnis annehmen, dass
ist $(j\geqq 1)$ .
nach
$k_{j}$
$K_{j}$
$\mathfrak{G}$
$k_{j}$
Wir betrachten in
$K$
ein Primideal
$\mathfrak{P}$
.
.
als ein Verdeﬁniert, wobei
Dann ist
$\mathfrak{P}$
, .. .. ,
einigungsideal von
,
. Entsprechend
teilbare Primideal aus
ist:
das durch
dem Primideal
sei das durch teilbare Primideal aus . Dann
, wobei
bedeutet.
das durch teilbare Primideal aus
ist
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{P}_{m}\cdots$
$\mathfrak{P}_{2}$
$K_{j}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{j}(j\geqq 1)$
$\mathfrak{P}=\{\mathfrak{P}j\}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{p}=\{\mathfrak{p}_{j}\}$
Es gilt in
$\mathfrak{p}_{j}$
$K$
$k_{j}$
$\mathfrak{p}$
folgende Primidealzerlegung:
$\mathfrak{p}=(\mathfrak{P}^{(1)}\mathfrak{P}^{(2)}\cdots\cdot \mathfrak{P}^{(g)})^{e}$
Dabei bedeutet
(1)
He. S. 481.
$e$
den Exponenten jedes Primteilers
$\mathfrak{P}^{(i)}(1\leq i\leqq g)$
und
178
M. Moriya
jeder Primteiler
besitzt den Relativgrad
$\mathfrak{P}^{(i)}$
$f$
nach
$k$
. Es ist
$n=efg^{\langle 1)}$
Zerlegungsgruppe.
Die Gesamtheit derjenigen Automorphismen von $K$ \"uber , die
das Primideal
invariant lassen, bildet eine Untergruppe
von ,
und die Gruppe
heisst die Zerlegungsgruppe von
nach .
Wendet man auf ein Primideal
einen Automorphismus
an, so ist
, weil durch Anwendung
aus
ein Primideal aus
von auf die Zahlen aus
wieder die Zahlen aus
entstehen. Da
geh\"oren muss, so muss
aber
zum Ideal
sein. Dies
zeigt aber, dass
eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe
von
nach
ist. Ebenso kann man auch leicht beweisen, dass
eine Untergruppe von
ist. Dadurch erh\"alt man ohne weiteres
$k$
$\mathfrak{G}$
$\mathfrak{G}z$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}z$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}j(j\geqq 1)^{(2)}$
$\mathfrak{G}z$
$\sigma$
$K_{j}$
$\sigma \mathfrak{P}j$
$K_{j}$
$\sigma$
$\sigma \mathfrak{P}j$
$K_{j}$
$\sigma \mathfrak{P}j=\mathfrak{P}j$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}z$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j+1)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{\{j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(1)}\supseteqq \mathfrak{G}_{Z}^{(2)}\supseteqq\ldots.\supseteqq \mathfrak{G}_{z\supseteqq}^{\langle j)}\ldots.\supseteqq \mathfrak{G}_{Z}$
.
Hieraus kann man sofort schliessen, dass von einem Index
$I$
an immer
$\mathfrak{G}_{Z}^{\langle I)}=\mathfrak{G}_{Z}^{\{I+1)}=\ldots.=\mathfrak{G}z$
ist.
Zerlegungsk\"orper.
Wir nennen denjenigen Zwischenk\"orper
zwischen $K$ und ,
ist, den Zerlegungskorper von
welcher der Invariantenk\"orper von
nach .
Betrachtet man den Durchschnitt
mit $K_{Z}(j\geqq I)$ , so
von
ist jede Zahl aus
invariant bei Anwendung aller Automorphismen
, ist also
aus
ein Teilk\"orper des Zerlegungsk\"orpers von
nach . Da umgekehrt jede Zahl aus dem Zerlegungsk\"orper von
nach
bei Anwendung aller Automorphismen aus
und folglich
aus
invariant ist, so geh\"ort sie nach Deﬁnition zum K\"orper
der Zerlegungsk\"orper von
und danach zum K\"orper
. Also ist
nach $k_{j}(j\geqq I)$ . Nach Hilfssatz folgt sofort:
$K_{Z}$
$k$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$K_{Z}^{\langle j)}$
$K_{j}$
$K_{Z}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$K_{Z}^{(j)}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$k_{j}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{\langle J)}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$K_{Z}$
$K_{Z}^{(g)}$
$\mathfrak{P}_{j}$
(1)
(2)
He. S. 484.
Dabei ist
$\mathfrak{P}=\{\mathfrak{P}j\}$
.
$K_{Z^{J}}^{\langle)}$
179
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
Der Zerlegungskorper von nach ist der Vereinigungskorper von
, . . . . ,
, ....
den Zerlegungskorper
Dabei bedeutet
von
nach
.
$k$
$\mathfrak{P}$
$K_{z}^{(I)}$
$K_{Z}^{(j)}$
$K_{Z}^{(j)}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
Fur den Zerlegungsk\"orper gilt folgender Satz.
Satz 34. Es sei
das durch
teilbare Primideal aus
Dann besitzt
den Exponenten 1 und den Grad 1 nach .
$\mathfrak{P}_{Z}$
$\mathfrak{P}$
$K_{Z}$
.
$k$
$\mathfrak{P}_{Z}$
Beweis. Betrachtet man in
von , so ist
$K_{Z}^{(j)}(j\geqq I)$
die Primidealzerlegung
$\mathfrak{p}_{j}$
$\mathfrak{p}_{j}=\mathfrak{P}_{Z}^{(j)}\mathfrak{a}_{j}$
,
und
$N_{K_{Z}^{\langle j)}k_{j}}(\mathfrak{P}_{Z}^{(j)})=\mathfrak{p}_{j}$
Dabei bedeutet
ist prim
$\mathfrak{P}_{Z}^{\langle;)}$
.
, und
das durch
teilbare Primideal aus
. Dies zeigt aber nach HERBRAND, dass das
den Exponenten 1 und den $Grad1$ nach
$K_{Z}^{\langle j)}$
$\mathfrak{P}z$
$\mathfrak{a}_{j}$
$ZT\mathfrak{P}^{t}/^{j)}\lrcorner(j\geqq I)$
Primideal
$besitzt^{\langle 1)}$
$\mathfrak{P}z$
aus
$k$
$K_{Z}$
.
Es sei nun
ein Zwischenk\"orper zwischen $K$ und
mit der
Eigenschaft, dass das durch
den Exaus
teilbare Primideal
ponenten 1 und den $Grad1$ nach
besitzt. Dann muss nach Deﬁnition
des Exponenten und Grades das Primideal
den Exponenten
aus
1 und den $Grad1$ nach
, wenn
hinreichend gross ist. Dabei
bedeutet
den Durchschnitt von
das durch
mit
und
teilbare Primideal aus
. Nach der Maximaleigenschaft der Zerlegungsk\"orper von endlichem Grade ist der K\"orper
im Zerlegungsk\"orper
von
nach
enthalten. Daher erhalt man folgenden
$k$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{P}_{j}^{\prime}$
$k_{j}$
$j$
$K^{\prime}$
$K_{j}^{\prime}$
$K_{j}^{\prime}$
$K_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$K_{j}^{\prime}$
$K_{j}^{\prime}$
$K_{Z}^{\langle j)}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
Satz:
Satz 35. Der Zerlegungskorper
von nach ist der maximale
$K$
Teilkorper von
\"uber , derart dass er jeden Teilkorper von $K$ \"uber
, in dem das durch
teilbare Primideal den Exponenten 1 und
den Grad 1 nach besitzt, enth\"alt.
$K_{Z}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$k$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k$
(1)
He. S. 484. Der von HERBRAND deﬁnierte Exponent und $Grad$ scheinen etwas
anders zu sein. Aber man kann leicht einsehen, dass unsere Behauptung
sofort aus der Deﬁnition von HERBRAND folgt.
180
M. Moriya
Tr\"agheitsgruppe.
Die Gesamtheit derjenigen Automorphismen
$\tau$
aus
$\mathfrak{G}$
, f\"ur
welche
die Kongruenz
$mod$
$\tau\Gamma\equiv\Gamma$
ganzen Zahlen
variante Untergruppe
von
von nach .
f\"ur alle f\"ur
$\Gamma$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}\tau$
$\mathfrak{G}_{Z}$
aus
$\mathfrak{P}$
gilt, bildet oﬀenbar eine in, und sie heisst die Tr\"agheitsgruppe
$K$
$k$
$\mathfrak{P}$
Es sei
die Zerlegungsgruppe
Tr\"agheitsgruppe von
nach
eine invariante Untergruppe von
ist zyklisch. Ferner ist die Ordnung
, und die
tivgrad
nach
von
genauen Exponenten
in .
von
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$e_{j}$
Zerlegungsgrupppe
von
die
nach
und
. Dann ist bekanntlich
und die Faktorgruppe
gleich dem Relavon
gleich dem
Ordnung von
ist also die Ordnung der
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$k_{j}(j-\underline{>}I)$
$\mathfrak{P}_{j}$
$f_{j}$
von
$\mathfrak{G}_{Z}^{\langle j)}$
$\mathfrak{p}_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}/\mathfrak{G}_{T}^{(j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{\langle j)}/\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$e_{j}f_{j}$
.
Da
$\mathfrak{G}_{\nearrow 1}^{\langle I)}=\mathfrak{G}_{Z}^{(I+1)}=\ldots.=\mathfrak{G}_{Z}^{\{m)}=\ldots$
ist, so ist
$e_{I}f_{I}=e_{I+1}f_{I+1}=\ldots.=e_{m}f_{m}=\ldots.$
$e_{j_{\vdash}1}|e_{j}$
und
$f_{j+1}|f_{j}$
.
.
Es gilt aber
$(j=I , I+1 , ).(1)$
Also muss
$e_{I}=e_{I+1}=\ldots.=e_{m}=\ldots.=e$
und
(1)
$fi=fi_{+1}=\ldots.=f_{m}=\ldots.=f$
sein.
eine Untergruppe von
Anderseits k\"onnen wir beweisen, dass
, so ist
ist. Denn ist
ein beliebiger Automorphismus aus
ganze Zahl
f\"ur eine beliebige f\"ur
aus
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\tau$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\tau\Gamma_{j}\equiv\Gamma_{j}$
und hieraus folgt
(1)
He. S. 489.
$k_{j}$
$I_{j}^{7}$
$mod$
$\mathfrak{P}$
181
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
$mod$
$7^{\cdot}\Gamma_{j}\equiv I_{j}^{7}$
d.h.
7
geh\"ort
Also ist
zur Tragheitsgruppe
$\mathfrak{G}_{T}^{(j)}\supseteqq \mathfrak{G}_{T}$
.
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{P}j$
.
Ebenso kann man beweisen:
$\mathfrak{G}_{T}^{(j)}\supseteqq \mathfrak{G}_{T}^{(j+1)}$
Hieraus schliesst man nach (1)
$\mathfrak{G}_{T}^{(I)}=\mathfrak{G}_{T}^{\{I+1)}=\ldots.=\mathfrak{G}_{T}^{(j)}=\ldots.=\mathfrak{G}\tau$
zyklisch
und
eine invariante Untergruppe von
zyklisch.
und
ist, so ist
eine invariante Untergruppe von
hat
nach
bzw. den Index von
Die Ordnung
von
denach
HERBRAND als den Exponenten bzw. den Grad von
ﬁniert.
Wir k\"onnen auch leicht bestatigen, dass der Exponent und der
,
, .... und
, .... ,
$Grad$ von der Wahl der K\"orperreihen
,
, . ... ,
, . . . . ganz unabh\"angig sind.
nach
von
Satz 36. Die Ordnung der Zerlegungsgruppe
nach
ist gleich dem Produkt des Grades mit dem Exponenten von
, und die Ordnung der Tr\"agheitsgruppe ist gleich dem Exponenten
von nach .
Da
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}/\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\{j)}$
$\mathfrak{G}_{Z}/\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$f$
$\mathfrak{G}_{T}$
$e$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k_{1}$
$K_{2}$
$K_{1}$
$k_{m}$
$k_{2}$
$K_{m}$
$\mathfrak{G}z$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$k$
$\mathfrak{P}$
Tragheitsk\"orper.
Der Teilk\"orper
von $K$ \"uber , welcher der Invariantenk\"orper
das
ist, heisst der
gheitsk\"orper von
nach . Es sei
von
. Dann gilt
durch
teilbare Primideal aus
ist ein zyklischer Korper \"uber
Satz 37. Der Tr\"agheitskorper
in mit dem Exponenten
das Primideal
. Ferner geht in
1 und dem Grad auf.
zyklisch
und
der Invariantenk\"orper von
Beweis. Da
ist, so ist
zyklisch \"uber
. Wir k\"onnen ebenso wie f\"ur den
der Vereinigungsk\"orper
Fall des Zerlegungsk\"orpers beweisen, dass
$k$
$K_{T}$
$Tr\dot{a}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}\tau$
$K_{T}$
$\mathfrak{P}$
$K_{T}$
$K_{T}$
$K_{Z}$
$\mathfrak{P}\tau$
$\mathfrak{p}$
$f$
$K_{T}$
$K_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}z/\mathfrak{G}_{T}$
$K_{Z}$
$K_{T}$
(1)
He. S. 483. In der Arbeit von HERBRAND kommt zuerst die Deﬁnition des
Exponenten und Grades eines Primideals f\"ur galoissche K\"orper vor, und dann
sp\"ater f\"ur allgemeine algebraische Zahlk\"orper.
182
M. Moriya
der Tragheitsk\"orper
von
nach $k_{j}(j\geqq I)$ ist. Da aber das
Primideal
in
mit dem Exponenten 1 und dem Grade aufgeht,
so folgt nach Deﬁnition, dass der Exponent bzw. der $Grad$ von
nach $k1$ bzw. ist.
Satz 38. Es sei
ein Teilkorper von $K$ \"uber , derart dass in
das durch
teilbare Primideal
den Exponenten 1 nach
besitzt. Dann ist
ein Teilkorper von
.
Beweis. Wir konnen den Beweis ebenso f\"ur Satz 35 ausf\"uhren,
indem man die Maximaleigenschaft der Tragheitsk\"orper von endlichem
Grade benutzt.
Verzweigungsgruppe.
Es sei die durch das Primideal
teilbare Primzahl, und die
Ordnung der Tragheitsgruppe
von
nach sei genau durch
teilbar. Dann beweisen wir
Satz 39. Es gibt in
nur eine einzige Untergruppe
von der
Ordnung
und
eine invariante Untergruppe von
mit
der zyklischen Faktorgruppe
. Jede -Gruppe von
ist eine
Untergruppe von
.
Beweis. Nach dem Satz von SYLOW gibt es in
eine Untergruppe
von der Ordnung
Dann ist
auch eine Untergruppe
von
mit der Ordnung
Da aber die Ordnung von
genau durch
teilbar ist, so ist die Verzweigungsgruppe von
nach
auch von der Ordnung
Weil diese Verzweigungsgruppe eine invariante Untergruppe von
ist, so gibt es in
nur
eine einzige Untergruppe von der Ordnung
die
Also muss
Verzweigungsgruppe von
ist,
nach
sein. Da
so ist
eine invariante Untergruppe von
.
Ferner ist
zyklisch, weil
die Verzweigungsgruppe von
ist, so ist
nach
ist. Da
auch zyklisch.
Nach dem Satz von SYLOW und der Eigenschaft von
ist jede
p-Gruppe von
in
enthalten. Damit ist der Beweis fertig.
Wir k\"onnen noch beweisen, dass
eine invariante Untergruppe
ist, weil
von
, und
eine invariante Untergruppe von
,
sind.
$K_{1^{J_{B}}}^{\langle)}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{P}_{T}^{(j)}$
$f$
$\mathfrak{p}_{j}$
$\mathfrak{P}_{T}$
$f$
$K^{\prime}$
$k$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$K^{\prime}$
$K_{T}$
$p$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}\dot{r}st$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$p$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{\Gamma}^{(j)}(j\geqq I)$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$/p^{m}$
$k_{j}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$p^{m}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{I^{}}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$p^{n\iota}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}=\mathfrak{G}_{T}^{\langle g)}(j\geqq I)$
$k_{j}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}^{(j)}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{P}_{j}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}=\mathfrak{G}_{T}^{(j)}(j\geqq l)$
$k_{j}$
$\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$\mathfrak{G}_{Z}^{(j)}=\mathfrak{G}z$
$\mathfrak{G}_{V}^{\langle j)}$
$\mathfrak{G}_{V}^{\langle j)}=\mathfrak{G}v(j\geq I)$
$\mathfrak{G}_{\swarrow}^{(j)}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
183
Zusatz.
ist eine invariante Untergruppe von
.
Die in Satz 39 deﬁnierte Untergruppe
deﬁniere ich hier als
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}z$
$\mathfrak{G}_{V}$
die Verzweigungsgruppe von
$\mathfrak{P}$
nach
$k^{\langle 1)}$
.
Verzweigungsk\"orper.
Derjenige Zwischenk\"orper
Invariantenk\"orper
nach
$k$
von
zwischen $K$ und , welcher der
ist, heisst der Verzweigungs korper von
$\mathfrak{G}_{V}$
$k$
$K_{V}$
$\mathfrak{P}$
.
, so ist wie
Bildet man nun den Durchschnitt
mit
von
f\"ur den Zerlegungsk\"orper
der K\"orper
der Verzweigungsk\"orper
, ...
von nach $k_{j}(j\geqq I)$ . Der Vereinigungsk\"orper von
ist nach Hilfssatz der Verzweigungsk\"orper
.
$K_{V}$
$K_{V}^{(j)}$
$K_{Z}$
$K_{j}$
$K_{V}^{\langle j)}$
$K_{V}^{(I)},$
$\mathfrak{P}_{j}$
$K_{V}^{I+1)}$
$K_{V}$
Aus Struktur des Verzweigungsk\"orpers
$K_{V}$
folgt
Satz 40. Der Verzweigungskorper
ist zyklisch \"uber dem Tr\"agheitskorper
. Das durch teilbare Primideal aus geht in
mit dem Exponenten
und dem Grade auf. Dabei bedeutet
den Exponenten und den Grad von
nach .
$K_{V}$
$K_{T}$
$\mathfrak{P}_{V}$
$\mathfrak{P}$
$f$
$\mathfrak{p}$
$e_{0}=\frac{e}{p^{m}}(2)$
$f$
$e$
(1)
$K_{V}$
$k$
$\mathfrak{P}$
, welche ich hier deﬁniert habe, wird von manchen
Die Verzweigungsgruppe
Autoren auch die erste Verzweigungsgruppe genannt. Hier benutze ich aber
die originale Benennung von Herrn HILBERT.
Wenn
von endlichem Grade ist, dann ist
bekanntlich die Gesamtheit
derjenigen Automorphismen von $K$ \"uber , f\"ur welche die Kongruenz
$\mathfrak{P}_{V}$
$k$
$\mathfrak{G}_{V}$
$k$
$vT\equiv T$
$mod$
$\mathfrak{P}^{2}$
ganzen Zahlen aus $K$ gilt. Wenn aber
fur alle
von unendlichem
(wenn
Grade ist, dann tritt der Fall ein, dass
unendliches Ideal
ist) wird. In diesem Fall kann man die Verzweigungsgruppe nicht mehr
einfach durch Kongruenz deﬁnieren.
Wenn aber das durch
teilbare Primideal aus vollverzweigt (compl\‘etement
Siehe,
DEURING,
Verzweigungstheorie bewerteter K\"orper, Math.
ramiﬁ\’e.
Ann., 105 (1931), S. 296, oder He. S. 493.) ist, dann gibt es in $K$ ein
Prim\"arideal
derart, dass die Gesamtheit derjenigen Automorphismen
aus , f\"ur welche die Kongruenz
$k$
$f\dot{\iota}ir\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}=\mathfrak{P}^{2}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{Q}$
$v$
$\mathfrak{G}$
$vI\equiv T$
$mod$
$\mathfrak{Q}$
f\"ur alle f\"ur
ganzen Zahlen aus $K$ gilt, die Verzweigungsgruppe
Besonders, wenn
( ist endliches Ideal) ist, dann kann man
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}\neq \mathfrak{P}^{2}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{G}_{V}$
wird.
als
$\mathfrak{Q}$
$\mathfrak{P}^{0}-$
nehmen.
F\"ur die weitere Untersuchung ‘uber die Verzweigungsgruppe will ich hier
auf die Arbeit von HERBRAND (He. S. 494-496) hinweisen.
(2)
$e_{0}$
nennt man nach HERBRAND den reduzierten Exponenten von
$\mathfrak{P}$
nach
$k$
.
184
M. Moriya
Beweis. Die erste H\"alfte dieses Satzes folgt leicht daraus, dass
zyklisch ist.
und
der Invariantenk\"orper von
das durch
teilbare Primideal
Bezeichnet man nun mit
, so ist
genau durch
ist vom Grade
teilbar und
aus
nach $k_{j}(j\geqq I)$ . Hieraus folgt die Behauptung.
ein Zwischenkorper zwischen $K$ und , derSatz 41. Es sei
in mit dem zu
teilbare Primideal
art dass in
das durch
enthalten.
in
primen Exponenten aufgeht. Dann ist
Beweis. Wir k\"onnen den Beweis ebenso wie f\"ur den Satz 35 ausf\"uhren, indem wir die Maximaleigenschaft der Verzweigungsk\"orper
von endlichem Grade benutzt.
sei
ein Korper zwischen $K$ und , und
Satz 42. Es sei
zugeordnete Untergruppe von G. Dann ist
die
$K_{V}$
$\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{G}_{I}/\mathfrak{G}_{V}$
$\mathfrak{P}_{V}^{\langle j)}$
$\mathfrak{P}_{V}$
$(\mathfrak{P}_{V}^{(j)})^{e_{0}}$
$K_{V}^{\langle j)}$
$\mathfrak{P}_{V}^{(j)}$
$\mathfrak{p}_{j}$
$f$
$k$
$K^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$K^{\prime}$
$p$
$K_{V}$
$k$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{H}$
$K^{\prime}$
von
1.)
$\mathfrak{H}^{\cap \mathfrak{G}_{Z}}$
2.)
$\mathfrak{H}^{\cap \mathfrak{G}_{T}}$
3.)
$\mathfrak{H}\cap \mathfrak{G}_{V}$
die Zerlegungsgruppe,
die $T7^{\cdot}\ddot{a}gheitsgruppe$ ,
die Verzweigungsgruppe
nach
Beweis. 1.) und 2.) folgen leicht aus Deﬁnition der beiden Gruppen.
Die Behauptung 3.) beweist man genau so wie f\"ur Satz 23.
ein galoisscher Korper zwischen $K$ und ,
Satz 43. Es sei
zugeordnete Untergruppe von G. Ferner sei
sei die
und
,
, und
seien
Primideal aus
das durch
resp. die Zerlegungs-, Tr\"agheits-, und Verzweigungsgruppe von
nach . Dann ist
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{H}$
$K^{\prime}$
$\mathfrak{P}teilba\gamma e$
$\mathfrak{G}_{V}^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\prime},$
$\mathfrak{G}_{Z}^{\prime}$
$\mathfrak{P}^{\prime}$
$k$
1.)
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}_{Z}/,\mathfrak{H}$
2.)
$|_{\sim}^{\vee}\mathfrak{G}_{T}/\mathfrak{H}$
3.)
$t\backslash ^{\vee}\backslash \mathfrak{G}_{V}/\mathfrak{H}$
isomorph
zur Zerlegungsgruppe
isomorph zur Tr\"agheitsgruppe
$\mathfrak{G}_{Z}^{\prime}$
$\mathfrak{G}_{T}^{\prime}$
isomorph zur Verzweigungsgruppe
,
,
$\mathfrak{G}_{V}^{\prime}$
.
Die drei Behauptungen kann man genau so wie f\"ur Satz 24
beweisen.
Wir betrachten nun \"uber einem unendlichen Zahlk\"orper zwei ver,
und
schiedene algebraische Zahlk\"orper von endlichem Grade
. Wir nehmen
und
und bilden das Kompositum $K_{1}K_{2}=K$ von
,
,
aus $K$ ein beliebiges Primideal
heraus und bezeichnen mit
$K_{2}$
$K_{1}$
$K_{1}$
$K_{2}$
$\mathfrak{P}_{1}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{2}$
185
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
,
. Ferner
teilbaren Primideale aus
,
resp. den $Grad$ , reduzierten Exbezeichnen wir mit
)
,
resp.
ponenten, Exponenten von
nach , und mit
den $Grad$ , reduzierten Exponenten, Exponenten von
nach . $(x=1$ ,
2). Dann gilt
$b$
resp. die durch
$f^{t^{x})},$
$e_{0}^{(\gamma.)}$
$k$
$K_{2},$
$K_{1}$
$\mathfrak{P}$
$e^{t^{\gamma)}}$
$ F^{(}\gamma$
$k$
$\mathfrak{P}_{x}$
$E^{()t)}$
$E_{\cup}^{\langle\nu)},$
$K_{\gamma}$
$\mathfrak{P}$
Satz 44. Es ist
$a$
.
$b$
.
$c$
$E^{\langle 2)}|e^{(1)}$
,
$a$
$F^{(2)}=\frac{f^{\langle 1)}}{(f^{\langle 1)},f^{(2)})}$
.
$E_{0}^{(2)}=\frac{e_{0}^{\langle 1)}}{(e_{0}^{\langle 1)},e_{0}^{(2)})}$
,
und
,
.
$b$
$c$
.
.
$E^{\langle 1)}|e^{(2)}$
$F^{(1)}=\frac{f^{\langle 2)}}{(f^{(1)},f^{(2)})}$
,
)
$E_{0}^{(1)}=\frac{e_{0}^{\langle}}{(e_{0}^{(1)}}-2$
$e_{\cup}^{\langle 2)}$
)
Beweis. Unter Benutzung von Satz 43 kann man den Beweis
genau so ausfuhren wie im Falle, dass
von endlichem Grade ist.
$k$
\S 8.
$\mathfrak{p}$
-ADISCHE ZAHLKORPER DER ALGEBRAISCHEN
ZAHLKORPER UNENDLICHEN GRADES.
In diesem Paragraphen bedeutet
wie im vorigen Paragraphen
einen unendlichen Zahlk\"orper, welcher als ein Vereinigungsk\"orper von
unendlich vielen algebraischen Zahlk\"orpern von endlichem Grade $k_{1}Ck_{2}C$
. . . . $Ck_{i}C\ldots$ . deﬁniert ist:
. Ferner sei $K$ ein algebraischer Zahlk\"orper von endlichem Grade \"uber , und ein primitives
Element von $K$ \"uber ; $K=k(\theta)$ . Dann kann man wie in \S 7 annehmen, dass
.,
. , und $K=\{K_{i}\}$ ist.
Wir betrachten im K\"orper $K$ ein Primideal
und eine Bewertung
in bezug auf . Dann kann man nach \S 1 \"uber $K$ den derivierten
bez\"uglich
K\"orper
bilden. Wir bezeichnen mit das zugeh\"orige
Primideal aus . Dann enth\"alt
das Primideal , weil jede Zahl
positive Bewertung besitzt. Bildet man den
aus in bezug auf
Durchschnitt von
mit der Menge aller ganzen algebraischen Zahlen
aus $K$, so ist er ein Primideal aus K. Denn sind
zwei beliebige
$k$
$k=\{k_{\dot{2}}\}$
$n$
$k$
$\theta$
$k$
$K_{1}=k_{1}(\theta),$
$\ldots$
$K_{i}=k_{i}(\theta),$
$\ldots$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$\varphi$
$\overline{K}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\varphi$
$\varphi$
$\overline{K}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$\varphi$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$a,$
(1)
He. S. 489.
$\beta$
186
M. Moriya
Zahlen aus dem Durchschnitt, so ist f\"ur zwei beliebige ganze
algebraische Zahlen
aus $K$
$\lambda,$
$\mu$
$\lambda a\vdash\mu\beta$
nicht negative Bewertungen besitzen
weil nach \S 6
eine
ist. Anderseits ist
und folglich
eine Zahl aus
ganze algebraische Zahl, ist also eine Zahl aus dem Durchschnitt.
Daher ist der Durchschnitt ein ganzes Ideal aus K. Oﬀenbar ist die
Zahl 1 im Durchschnitt nicht enthalten, weil die Bewertung von 1
in diesem Durchschnitt enthalten ist, so ist der DurchNull ist. Da
aus $K$.
schnitt gerade das Primideal
bzw.
Wie wir schon oft gesehen haben, induziert im K\"orper
.
bzw.
auch eine Bewertung in bezug auf
die Bewertung
bzw.
teilbare Primideal aus
das durch
bzw.
Dabei bedeutet
bzw.
von
. Dann enthalt den derivierten K\"orper bzw.
ist bekanntlich der
bzw.
in bezug auf . Dieser K\"orper
-adische Zahlk\"orper
bzw.
HENsELsche -adische Zahlk\"orper von
von . Wir nennen im folgenden den K\"orper bzw. den -adischen bzw. p-adischen $Za$ ‘zlkorper und bezeichnen ihn auch mit
bzw.
. Dabei ist das durch teilbare Primideal aus .
und der genaue Exponent
nach
Ist der Relativgrad von
, und
nach
gleich dem Grade von
, so ist
in
von
der
(nach Satz 5). Ferner ist
und
ist das Kompositum von
\"uber
.
Restklassengrad und
die Verzweigungsordnung von
der
Wir wissen noch nach der algebraischen Zahlentheorie, dass
nach dem Restklassenin
Relativgrad des Restklassenkorpers
k\"orper
in
ist. Wenn das primitive Element eine Wurzel
eine Zahl aus
$\overline{\mathfrak{P}}$
,
$\lambda,$
$\mu$
$\overline{\backslash \mathfrak{P}}$
$\prime_{\backslash }\backslash a+\mu\beta$
$\lambda a+\mu\beta$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$k_{i}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$K_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\varphi$
$k_{i}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\overline{K_{i}}$
$\overline{k}_{i}$
$\overline{K}$
$k_{i}$
$K_{i}$
$\overline{K}_{i}$
$\overline{k}_{o}.\cdot$
$K_{i}$
$\varphi$
$k_{i}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}$
$\overline{k}$
$\overline{K}$
$\mathfrak{P}$
$K_{i}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$k_{1)}^{\langle 1)}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$k_{i}f_{i}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$\overline{K}_{i}$
$\overline{k}_{i}^{(2)}$
$\overline{K_{i}}$
$\mathfrak{P}_{i}$
$e_{i}f_{i}$
$\mathfrak{p}_{i}e_{i}$
$f_{i}$
$\overline{k}_{i}$
$K_{i}$
$\overline{k}_{i}^{(3)}$
$\overline{K}_{i}$
$e_{i}$
$f_{i}$
$mod \mathfrak{P}_{i}$
$mod \mathfrak{p}_{i}$
$K_{i}$
$\theta$
$k_{i}$
auch einen anderen
geh\"orige Bewertung
Man kann f\"ur eine andere zu
bilden. Da aber
p-adischen
Sinne
Zahlk\"orper
unserem
in
-adischen bzw.
und ,/ \"ahnliche Bewertungen sind, so kann man leicht best\"atigen, dass der
isomorph
bzw.
eben erhaltene -adische bzw. p-adische Zahlk\"orper zu
Isomorphie
p-adischen
auf
bis
Zahlkorper
ist. Also sind alle -adischen bzw.
eindeutig bestimmt. In der folgenden Untersuchung lassen wir diese Isomorphie ausser Betracht, und wir sprechen schlechthin vom -adischen bzw.
-adischen Zahlk\"orper.
(2), (8) Siehe etwa CHEVALLEY, Sur la th\’eorie du corps de classes dans les corps
ﬁnis et les corps locaux, Journ. Fac. Science, Tokyo, Vol. II (1983). S. 418-420.
(1)
$\mathfrak{P}$
’
$\forall^{/}$
’
$\forall^{\wedge}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
187
einer irreduziblen Gleichung n-ten Grades $f(x)=0$ , deren Koeﬃzienten
sind, ist, dann gen\"ugt
Zahlen aus
einer irreduziblen Gleichung
-ten Grades in . Bezeichnet man mit bzw.
den Vereinigungsk\"orper von
,
. , , .. .. bzw. , , ... . , , . . .. , so ist
$d.h$ .
St
ist ein algebraischer Erweiterungsk\"orper 1. Art vom
Grade $ef$ \"uber . Dabei bedeutet
den Restklassengrad und die
Verzweigungscrdnung von St \"uber (nach \S 4).
zugeh\"orige Primideal aus
Wir bezeichnen nun mit
das
.
Dann wollen wir zeigen, dass jede Restklasse modulo
in A sicher
eine Zahl aus $K$ enthalt. Denn nach \S 4 enth\"alt jede Restklasse modulo
, wenn man den Index passend w\"ahlt. Dieses
ein Element aus
kongruent einer Zahl aus
, weil es
Element aus
ist modulo
als ein Grenzelement einer Fundamentalreihe aus
deﬁniert ist.
Oﬀenbar sind zwei Zahlen
aus $K$ dann und nur dann kongruent
kongruent sind. Dies bedeutet aber,
modulo , wenn
modulo
dass der Restklassenkorper
in $K$ isomorph zum Restklassen$k$
$\theta$
$\overline{k}_{i}$
$e_{i}f_{i}$
$\overline{k}_{2},$
$\overline{k}_{1}$
$ S\partial$
$f$
$\overline{k}_{i}$
$\overline{K}_{1}$
$\overline{K}_{2}$
$\overline{K}_{i}$
$\ldots$
$=f(\theta),$
$f\partial$
$f$
$f$
$e$
$f$
$\wp$
$\beta\S$
$\varphi$
$\wp$
$’\zeta J$
$\overline{K}_{i}$
$i$
$\wp$
$\overline{K_{i}}$
$ K_{?}\cdot$
$K_{i}$
$a,$
$\wp$
$a,$
$\beta$
$\beta$
$\mathfrak{P}$
$mod \mathfrak{P}$
k\"orper mod
$\wp$
in St ist.
Da der Restklassengrad bzw. die Verzweigungsordnung von
\"uber
$ff$ bzw.
ist, so besitzt nach \S 4 jeder K\"orper
von einem
geeigneten Index
an den Restklassengrad und die Verzweigungsordnung \"uber
. Also besitzt das Primideal
immer den Relativgrad
nach
und den genauen Exponenten in , wenn grosser
ist als ein bestimmter Index . Nach HEBBRAND ist also der Relativgrad bzw. Exponent von
nach $kf$ bzw. . Hieraus folgt nach dem
in S. 151 Bewiesenen folgender Satz.
Satz 45. Der Restklassenkorper mod
in $K$ besitzt den Relativgrad \"uber dem Restklassenkorper mod
in . Dabei bedentet den
Grad von
nach .
Da
bzw.
der derivierte K\"orper von ,A bzw. ist,(1) so ist
nach Satz 18 der $Gradef$ von
\"uber
gleich dem von
\"uber
,
und
. Damit ist bewiesen
$R$
$\overline{K_{j}}(j\geqq i)$
$e$
$i$
$f$
$\overline{k}_{j}$
$e$
$\mathfrak{P}_{j}$
$f$
$k_{j}$
$e$
$j$
$\mathfrak{p}_{j}$
$i$
$\mathfrak{P}$
$e$
$\mathfrak{P}$
$f$
$k$
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{P}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$f$
$k$
$\mathfrak{k}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$\Omega$
$f$
$K_{\mathfrak{P}}$
$k\mathfrak{p}$
$K_{\mathfrak{P}}=k_{13}(\theta)$
(1)
Der derivierte K\"orper von “ muss sicher in
enthalten sein. Da aber St
den K\"orper $K$ enth\"alt, so ist
gerade der derivierte K\"orper von R. Ebenso
ist
der derivierte K\"orper von .
$K\mathfrak{P}$
$K\mathfrak{P}$
)
$ k\downarrow$
$\mathfrak{f}$
M. Moriya
188
Satz 46. Es sei ein algebraischer Zahlkcrper unendlichen
. sei ein
und $K$ ein endlicher Erweiternngskorper \"uber .
das durch $\mathfrak{P}te\iota lba?eP,.imidcal$ aus
beliebiges Primideal aus $K$ und
nach dem
. Dann ist der Grad des -adischen Zahlkorpers
; Rela tivgrades des
gleich dem Produkt
p-adischen Zahlkorper
in $K$ nach dent $Restklassenkorpe$ ? mod
Restklassenkorpers mod
nach .
in mit dem Exponenten von
Satz, wenn
Dieser Satz ist, wie schon erwahnt, ein Lekann
von endlichem Grade ist.
Nun wollen wir den Fall betrachten, dass $K$ \"uber . normal ist.
aus $K$ heraus und bilden
Wir nehmen dabei ein beliebiges Primideal
.
und den -adischen Zahlkorper
den -adischen Zahlk\"orper
teilbare Primideal aus .
Dabei ist das durch
Es sei nun $f(x)=0$ eine deﬁnierende Gleichung von $K$ \"uber und
einer irre. Dann geniigt
eine Wurzel von $f(x)=0$ :
(nach Satz 46), wobei
vom Grade $ef$ in
duziblen Gleichung
nach bedeuten. Dann beresp. den $Grad,$ Exponenten von
aus denjenigen Automornach
von
steht die galoissche Gruppe
konjugierten Wurzeln \"uberf\"uhren. Wir
zu $ef$ zu
phismen, die
k\"onnen aber leicht best\"atigen, dass die Automorphismen aus 6 , angewandt auf die Zahlen aus $K$, die Automorphismen aus der galoisschen
Gruppe
von $K$ nach induzieren, weil jeder Automorphismus aus
zu einer konjugierten Wurzel von
durch eine Operation, welche
$f^{-}(x)=0$ –also auch einer konjugierten Wurzel von $f(x)=0-uber-$
und
eine Untergruppe von
fuhrt, realisiert ist. Also induziert
ist $ef$ .
die Ordnung von
nach
die Zerlegungsgruppe von
Wir behaupten nun, dass
die Zerlegungsist. Denn wie wir schon in \S 5 gezeigt haben, ist
gruppe von
nach
. Wendet man auf die Automorphismen aus
invariant, weil
der Durchschnitt
) an, so bleibt
(also aus
von mit der Menge aller ganzen Zahlen aus $K$ ist, und bzw. die
Menge aller ganzen algebraischen Zahlen aus $K$ bei Anwendung der
eine Untergruppe
invariant ist. Also ist
Automorphismen aus
von nach . Die Ordnung der Gruppe
der Zerlegungsgruppe
$G\uparrow^{\tau}ades$
$k$
$Fe?\cdot ne?$
$k$
$\backslash \downarrow\backslash \backslash $
$\mathfrak{p}$
$K\backslash ^{\backslash \backslash }+^{\backslash }$
$\mathfrak{P}$
$k$
$de_{i}$
$k_{1)}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$k$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{t}er$
$l_{t}$
$\mathfrak{P}$
$k_{J^{1}}$
$K_{1^{\backslash }}\backslash $
$\mathfrak{p}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{p}$
$k$
($y$
$K=k(\prime^{(}1)$
$\theta$
$\overline{f}(x)=0$
$f,$
$k_{J^{1}}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$e$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$k_{t)}$
$K_{\backslash })_{\grave{3}}$
$\theta$
$\theta$
$k$
$\mathfrak{G}$
$\overline{(- \mathfrak{G}}$
$\theta$
$\mathfrak{G}$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$\mathfrak{H}$
$\mathfrak{H}$
$\mathfrak{P}$
$\check{\backslash \sim}$
$k$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$\backslash \overline{\{\grave{)}}$
$\mathfrak{P}$
$k_{t}$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$\mathfrak{P}$
$\mathfrak{P}$
$|_{\sim}^{\vee}\tau$
$\overline{\backslash \{s^{\iota}}$
$\overline{\backslash i^{\backslash }}$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$\check{|_{G}\tau}$
$\mathfrak{P}$
$k$
$\check{\backslash }\tau\sim$
189
Theorie der Algebraischen Zahlkorper Unendlichen Grades
nach
. Da aber die Ordnung von
ist gleich dem Grade $ef$ von
\"uberein.
mit
nach Satz 36 auch gleich $ef$ ist, so stimmt
den K\"orper $K$ enthalt. Also
Wir wissen aber, dass der K\"orper
sind alle Zahlen aus $K$, welche bei Anwendung der Automorphismen
) invariant sind, im K\"orper
(also aus
enthalten. Daher
aus
von nach . Bildet man den
den Zerlegungsk\"orper
enthalt
von mit $K$, so ist dieser der Zerlegungsk\"orper
Durchschnitt
, so
ein echter Erweiterungsk\"orper von
. Ist namlich
kleiner als $ef$ . Also ist
ist der $Grad$ von $K$ nach
ist, so wird
$<ef$ . Weil aber
$K\mathfrak{P}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$\mathfrak{H}$
$\mathfrak{G}_{Z}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$\overline{\mathfrak{G}}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$\check{|_{\cap}\gamma}$
$K_{Z}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$K\cap k_{1)}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k\mathfrak{p}$
$K_{Z}$
$K\cap k_{\mathfrak{p}}$
$K_{Z}$
$[\theta;k_{0}\cap K]$
$K\cap k_{\{)}$
$k_{D}(\theta)=K_{\mathfrak{P}}$
$ef=[K_{\mathfrak{P}} ; k_{t^{1}}]\leqq[\theta;K\cap k_{\downarrow)}]<ef$
,
Unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen
gilt also folgender Satz.
ist der Zerlegungskorper
Satz 47. Der Durchschnitt von $K$ mit
nach .
von
\"uber
deﬁniert.
von
Wir haben in \S 5 den Tragheitsk\"orper
mit $K$ . Dann bevon
Nun bilden wir den Durchschnitt
’ $K$ der
ist.
nach
Tragheitsk\"orper
von
haupte ich, dass
\"uber
ist n\"amlich der Invariantenvon
Der Tragheitskorper
k\"orper der Tr\"agheitsgruppe
von nach . Wenn ein beliebiger
ganze Zahl aus
Automorphismus aus
eine beliebige f\"ur
und
$K$ ist, so ist oﬀenbar
was Widerspruch ist.
$k_{\mathfrak{p}}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\overline{W}$
$\overline{W}\cap K$
$k_{1)}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$\overline{W}$
$K_{T}$
$\overline{W}$
$\overline{W}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k_{t)}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$\overline{\mathfrak{G}}_{T}$
$\overline{\tau}$
$\overline{\mathfrak{P}}$
$k_{\mathfrak{p}}$
$\overline{\mathfrak{G}}\tau$
$\mathfrak{P}$
$a$
$\overline{\tau}a\equiv a$
$mod$
$\mathfrak{P}$
.
eine Untergruppe der $Tr\dot{a}gheitsgruppe\mathfrak{G}_{T}$ von
Also induziert
beide dem Expound die von
nach . Da die Ordnung von
die ganze $Tr\dot{a}gheits-$
nenten von nach gleich sind, so induziert
(nach \S 5 und \S 7). Da
den K\"orper $K$
gruppe von
nach
enth\"alt, so enthalt
alle Zahlen aus $K$, welche bei Anwendung aller
Automorphismen aus
invariant sind, $d.h$ . der $Tr\dot{a}gheitsk\ddot{o}rperK_{T}$
ein echter Erweiterungsvon nach ist in ﬁ enthalten. Ist
kleiner als , wobei
k\"orper von
nach
wird der $Grad$ von
$\mathfrak{P}$
$\overline{\mathfrak{G}}_{T}$
$k$
$\overline{\mathfrak{G}}_{T}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$\overline{\mathfrak{G}}\tau$
$k$
$\mathfrak{P}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$\overline{W}$
$\mathfrak{G}_{T}$
$\mathfrak{P}$
$\overline{W}\cap K$
$k$
$K_{T},$
so.
$K_{j3}$
$\overline{W}$
$e$
190
M. Moriya
die Ordnung von
-also der $Grad$ von
Dies ist aber Widerspruch, weil die Ordnung
nach
–nach \S 5 gleich ist.
$\mathfrak{G}_{T}$
$e$
$K$
nach
-bedeutet.
also der $Grad$ von
$K_{T}$
$\overline{\mathfrak{G}}_{T}-$
$\overline{W}$
$K_{\mathfrak{P}}$
$K_{\mathfrak{B}}$
$e$
Satz 48. Der Durchschnitt von $K$ mit dem Tr\"agheitskorper von
\"uber
ist der Tr\"agheitskorper von
nach .
Wir wollen zuletzt folgenden Satz beweisen.
$k_{t)}$
$k$
$\mathfrak{P}$
Satz 49. Der Durchschnitt
von $K$ mit dem Verzweigungskorper
von ; \"uber
ist der Verzweigungskorper von
nach .
$\overline{V}\cap K$
$\overline{V}$
$K_{1}$
$k_{t^{1}}$
$\mathfrak{P}$
Beweis. Die Verzweigungsgruppe
Verzweigungsgruppe
von
nach
von
$k$
nach
induziert die
(nach \S 5 und \S 7). Also enth\"alt
den Verzweigungsk\"orper
von
nach . Dass der Durchgleich
schnitt
sein muss, beweist man genau so wie f\"ur
den Fall des Zerlegungsk\"orpers oder Tr\"agheitsk\"orpers.
$\mathfrak{G}_{V}$
$\overline{V}$
$\mathfrak{P}$
$K_{V}$
$\overline{V}\cap K$
$K_{V}$
$\overline{\mathfrak{G}}_{V}$
$\overline{j_{1^{\vee^{\backslash _{\backslash }}}}^{\backslash }}$
$k_{1)}$
$k$
$\mathfrak{P}$
$k$