Anhang B: Komplexe Zahlen

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Anhang B
(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen
“Neue” Zahlen wurden stets dann definiert, wenn die Anwendung von Rechenoperationen
auf “bekannte” Zahlen innerhalb der Menge letzterer keine Lösung hat. Erinnerung (?!):
Symbol Addition Multiplikation Subtraktion Division
Menge
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
N
Z
Q
R
C
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
√
pos. Zahl
X
X
√
neg. Zahl
X
Bemerkung: Es gilt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, d.h. die jeweils “bekannten” Zahlen
sind in den “neuen” eingebettet. In C liefern alle Rechenoperationen
Ergebnisse in C.
Bemerkung: Die Division durch Null ist nicht definiert, und eine Untersuchung
solcher Fälle benötigt Grenzwertprozesse.
Erstmals stieß Girolamo Cardano (1501–1576) auf die mögliche Nützlichkeit von (Quadrat-)
Wurzeln aus negativen Zahlen, da er die Gleichung x2 − 10x + 40 = 0 lösen wollte und als
Lösungen fand:
√
√
x1,2 = 5 ± 25 − 40 = 5 ± −15
Demnach gilt:
0 = (x − x1 )(x − x2 ) =
=
=
=
√
√
(x − 5 − −15)(x − 5 + −15)
√
√
x2 − 10x + 25 − −15 −15
x2 − 10x + 25 + 15
x2 − 10x + 40 (X)
√
Bemerkung: Die heutige Schreibweise mit i = −1 wurde von Leonard Euler
(1707–1783)
Notation
√
√ lauten obige Lösungen:
√ eingeführt.√In dieser
x1,2 = 5 ± −15 = 5 ± −1 15 = 5 ± i 15.
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(b) Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
Alternativ (und allgemeiner) gilt:
(x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2
=⇒
Frage:
::::::
Antwort:
:::::::::
Wie werden komplexe Zahlen addiert und multipliziert?
x1 + x2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
i2 = −1
|
x1 · x2 = (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad)
(c) Geometrische Interpretation komplexer Zahlen
Formal kann man die Ergebnisse aus (b) auch wie folgt als Zahlenpaare schreiben:
a + ib → (a, b) ⇒ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
⇒ (a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad)
Insbesondere gilt:
1 = 1 + i · 0 → (1, 0)
i = 0 + i · 1 → (0, 1)
Letzteres legt folgende geometrische Interpretation (nach Carl Friedrich Gauß (1777–
1855)) nahe:
Es gilt natürlich:
√
|a + ib| = a2 + b2 ∈ R
Also:
:::::
Komplexe Zahlen können als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene aufgefasst
werden.
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(d) Formale Definition komplexer Zahlen
Definition: (1)
Zu R2 = R × R werden eine Addition und eine Multiplikation eingeführt
durch:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad)
Dadurch wird R2 zu einem Körper (siehe Mathematik-Vorlesung!), der
mit C bezeichnet wird. Die Elemente von C heißen komplexe Zahlen.
(2)
Ist z = x + iy ∈ C mit x, y ∈ R, so heißt Re(z) := x der Realteil und
Im(z) := y der Imaginärteil von z. z ist rein imaginär, wenn Re(z) = 0
und Im(z) 6= 0.
(3)
Ist z = x + iy, dann ist z = x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Folgerung:
Seien z = x + iy, w ∈ C, dann gilt:
1
1
(F1) z · w = z · w, insbesondere
=
z
z
(F2) z + w = z + w
(F3) z · z = |z|2 ∈ R
(F4) |z · w| = |z||w|
w
w·z
(F5) z 6= (0, 0) ⇒ =
,
z
|z|2
1
z
x
y
insbesondere = 2 = 2
−i 2
2
z
|z|
x +y
x + y2
(F6) z = w ⇒ Re(z) = Re(w) und Im(z) = Im(w)
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(e) Die Eulersche Formel
Die weitreichende (und tiefgehende) Bedeutung der komplexen Zahlen wird erst richtig
deutlich, wenn man sie als Argumente bekannter Funktionen zulässt. Das bekannteste und
vielleicht wichtigste Beispiel ergibt sich aus der Frage nach der Bedeutung von exp(z):
formal
|
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy)
Wie aber ist exp(iy) zu interpretieren? Die Antwort ergibt sich in drei Schritten:
(1) Das Ergebnis soll eine komplexe Zahl sein:
y=
6 0 ⇒ exp(iy) = f (y) + ig(y) mit reellwertigen Funktionen f (y) und g(y)
y = 0 ⇒ exp(i0) = exp(0) = 1 ⇒ f (0) = 1 und g(y) = 0
(2) Es gilt (i = const):
exp(iy) 0 =
d
dg(y)
! df (y)
exp(iy) = i exp(iy) = if (y) − g(y) =
+i
=: f 0 + ig 0
dy
dy
dy
(3) Es folgt:
f 0 = −g ⇒ f 00 = −g 0 = −f mit f (0) = 1 ⇒ f (y) = cos(y)
g 0 = f ⇒ g 00 = f 0 = −g mit g(0) = 0 ⇒ g(y) = sin(y)
Damit folgt insgesamt:
exp(iy) = cos(y) + i sin(y)
“Eulersche Formel”
Bemerkung: Also z.B. exp(2πi) = cos(2π) + i sin(2π) = 1 + i · 0 = 1 (X)
Bemerkung: Neben diesem faszinierenden (?) Zusammenhang zwischen sin-, cos-,
und exp-Funktion gelten viele andere Beziehungen, wie z.B. (x ∈ R):
1
[exp(ix) + exp(−ix)]
2
1
cosh(x) =
[exp(x) + exp(−x)] = cos(ix)
2
cos(x) =
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(f) Die Polardarstellung komplexer Zahlen
Mit Hilfe der geometrischen Darstellung folgt:
x = |z| cos(φ)
y = |z| sin(φ)
y
x y
=: arg(z)
⇒ φ = arctan
x
⇒ tan(φ) =
Bemerkung: Die angegebene Formel für φ gilt im 1. Quadranten der komplexen
Ebene: Beachten Sie, dass bei der Berechnung von φ i.a. eine quadrantenabhängige Fallunterscheidung erforderlich ist.
Damit folgt insgesamt:
z = x + iy = |z|(cos(φ) + i sin(φ)) = |z| exp(iφ)
“Polardarstellung”
Bemerkung: Die Polardarstellung kann genutzt werden, um mühelos die bekannten
(?!) Additionstheoreme der Trigonometrie herzuleiten:
(1)
z1 · z2 = |z1 ||z2 | [cos(φ1 ) cos(φ2 ) − sin(φ1 ) sin(φ2 )
+ i(sin(φ1 ) cos(φ2 ) + cos(φ1 ) sin(φ2 )]
(2)
z1 · z2 = |z1 | exp(iφ1 ) |z2 | exp(iφ2 )
= |z1 ||z2 | exp{i(φ1 + φ2 )}
= |z1 ||z2 | [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )]
Ein Koeffizientenvergleich ergibt:
cos(φ1 + φ2 ) = cos(φ1 ) cos(φ2 ) − sin(φ1 ) sin(φ2 )
sin(φ1 + φ2 ) = sin(φ1 ) cos(φ2 ) + cos(φ1 ) sin(φ2 )
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