Mathe II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 17.04.15

Mathe II für Naturwissenschaften
17.04.15
Dr. Christine Zehrt
Übung 7
Uni Basel
Aufgabe 1
Sind die folgenden Abbildungen linear? Wenn ja, geben Sie die Darstellungsmatrix [T ] an.
(a) T : R2 −→ R2 , T (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + 8x2 )
(b) T : R2 −→ R3 , T (x1 , x2 ) = (x1 + 3x2 , x1 , 2x2 )
(c) T : R3 −→ R3 , T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x3 , x21 + x2 x3 , x1 )
(d) T : R3 −→ R2 , T (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0)
(e) T : R2 −→ R2 , T (x1 , x2 ) = (1, 1)
(f) T : Rn −→ R, T (x1 , . . . , xn ) = xn + 2015
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen der folgenden Kompositionen T2 ◦ T1 : R2 −→ R2 .
(a) T1 : Orthogonalprojektion auf die x-Achse, T2 : Drehung um 90◦
(b) T1 : Spiegelung an der x-Achse, T2 : Streckung um den Faktor k = 3
(c) T1 : Drehung um 45◦ , T2 : Spiegelung an der Geraden y = −x
Für welche Kompositionen gilt T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2 ?
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen der linearen Abbildungen T : R3 −→ R3 :
(a) T ist die Drehung um den Winkel ϕ = 60◦ um die z-Achse
(b) T ist die Spiegelung an der yz-Ebene
(c) T ist die Orthogonalprojektion auf die xz-Ebene
1
Berechnen Sie anschliessend das Bild des Vektors ~v = 1 für jede Abbildung T durch
1
Multiplikation mit der zugehörigen Darstellungsmatrix [T ].
Aufgabe 4
(a) Sind die folgenden linearen Abbildungen T : R2 −→ R2 umkehrbar? Wenn ja, bestimmen
Sie T −1 .
(i) T (x, y) = (x + 2y, −x + y)
(ii) T (x, y) = (4x − 6y, −2x + 3y)
(b) Sind die folgenden linearen Abbildungen T : R3 −→ R3 umkehrbar? Wenn ja, bestimmen
Sie T −1 (geometrisch oder durch die Darstellungsmatrix).
(i) Spiegelung an der yz-Ebene
(ii) Streckung um den Faktor 3
Aufgabe 5
Sei T : R2 −→ R2 die Spiegelung an der Geraden g mit dem Richtungsvektor ~u1 = ( 25 ).
(a) Bestimmen Sie eine Basis B von R2 so, dass die Darstellungsmatrix [T ]B bzgl. dieser
Basis diagonal ist. Bestimmen Sie [T ]B .
(b) Sei [T ] die Darstellungsmatrix von T bzgl. der Standardbasis {~e1 , ~e2 } von R2 . Für welche
(invertierbare) Matrix P −1 gilt [T ]B = P [T ] P −1 ?
(c) Folgern Sie, dass [T ] = P −1 [T ]B P und berechnen Sie die Matrix [T ].
Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe)
Von einer linearen Abbildung
T : R2 −→ R2 kennen wir die zwei Bilder T (e~1 + e~2 ) = ( 24 )
6
und T (e~1 − e~2 ) = −2 . Ist damit T eindeutig bestimmt? Wenn ja, bestimmen Sie die zwei
reellwertigen Funktionen w1 (x1 , x2 ) und w2 (x1 , x2 ) mit T (x1 , x2 ) = (w1 , w2 ).
[Hinweis: Benutzen Sie zuerst den Satz 8.1 der Vorlesung und dann den Satz 8.2. Oder mit
weniger Theorie: Machen Sie einfach einen Ansatz für [T ].]
Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe)
Sei T : R2 −→ R2 eine lineare Transformation und A die Matrix, deren Spalten die Bilder
(unter T ) der Basisvektoren ~e1 und ~e2 von R2 sind, das heisst A = ( T (~e1 ) T (~e2 ) ). Zeigen
Sie, dass T (~x) = A~x für alle ~x in R2 .