Anna Bohun, Lin. Alg. II Diagonalisierung Wann ist eine Matrix

Anna Bohun, Lin. Alg. II
Diagonalisierung
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar? Sei A ∈ Mn (K). Was sind die
Bedingungen fur A diagonalisierbar zu sein?
• Wenn A n verschiedene Eigenwerte besitzt, dann folgt es das A diagonalisierbar ist. Das ist weil Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerte linear unabhängig sind. Vorsicht: die Umkehrung stimmt
nicht. A kann weniger als n Eigenwerte haben aber immer noch diagonalisierbar sein.Dies ist eine hinreichende aber nicht notwendige
Bedingung.
• Also was heisst es diagonalisierbar zu sein? Formal, ist A ähnlich zu
eine diagonal Matrix D mit Eigenwerte von A auf den Diagonal: es
existiert ein invertierbar P , s.d.
D = P AP −1
Das heisst das die Matrizen A und D die gleiche linear Abbildung
f : V → V bestimmen, in verschiedenen Basen von V . Die Eigenwerte von A und D sind gleich als die von f , was unabhängig ist
von den ausgewählten Basis. Andererseits ist der Eigenraum von
D einfach der Raum aufgespannt vom standard {ei }ni=1 Basis, aber
der Eigenraum von A kann natürlich in Bezug auf eine verschiedene
Basis ausgedrückt sein.
• Also die Eigenvektoren von A müssen eine Basis von V bilden, sonst
kann P nicht invertierbar sein (es würde kein vollen Rang haben.)
Wir haben
0.1. Theorem. Eine lineare Abbildung A : V → V ist diagonalisierbar genau wenn es eine Basis von Eigenvektoren von A in V
gibt.
• Wie uberprüft mann das das obige wahr ist? Sei p(x) das charakteristische Polynom von A. Seien λ1 , ..., λn die wurzel von p. Definiere
Eλi (A) = {v ∈ V : Av = λi v}
und sei
p(x) = (x − λ1 )m1 ...(x − λn )mn
eine Faktorisierung von p über K. Mann nennt mi die algebraische Vielfachheit von λi . Wenn die algebraische Vielfachheit und die
geometrische Vielfachheit gleich sind für alle Eigenwerte, ie wenn
dim(Eλ1 ) = m1 , dim(Eλ2 ) = m2 , ..., dim(Eλn ) = mn ,
dann ist A diagonalisierbar. Das passiert genau wenn
V = Eλ1 ⊕ Eλ2 ... ⊕ Eλn .
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