Proseminar Darstellungen endlicher Gruppen Liste der Vorträge 1

Proseminar Darstellungen endlicher Gruppen
Liste der Vorträge
1. Grundlagen [Se]1.1-1.5 - Georg Helbing/Simone Wielart
Begriff der linearen Darstellung einer endlichen Gruppe G in einem komplexen Vektorraum V. Durch Einführung einer Basis wird aus der Darstellung von G durch lineare
Operatoren, eine Darstellung von G durch Matrizen.
Ähnliche Darstellungen
Beispiele: Grad 1, reguläre Darstellung, Permutationsdarstellungen.
Begriff der Teildarstellung von G in einem Unterraum W ⊆ V.
Projektoren von V auf den Unterraum W und Komplemente von W im Sinne der Linearen Algebra.
Theorem 1: Existenz von Komplementen im Sinne der Darstellungstheorie.
Ein zweiter Existenzbeweis mit Hilfe innerer Produkte auf komplexen Vektorräumen.
Der Begriff einer irreduziblen Darstellung, und Theorem 2: die Zerlegung von V in eine
direkte Summe irreduzibler Darstellungen.
Das Tensorprodukt komplexer Vektorräume, und das Tensorprodukt von Darstellungen.
2. Der Charakter einer Darstellung [Se]2.1,2.2,1.6 - Martin Kehrt/Robert Rauch
Die Spur eines linearen Operators ist die Spur einer (jeder) Koordinatenmatrix dieses
Operators.
Der Charakter einer Darstellung von G als komplexwertige Funktion χ auf der Gruppe
G. Die Grundeigenschaften der Funktionen χ. Der Charakter der direkten Summe und
des Tensorproduktes von zwei Darstellungen.
Die Zerlegung des Raumes V ⊗ V in eine direkte Summe, bestehend aus dem symmetrischen und dem alternierenden Quadrat von V. Und die Charaktere dieser Darstellungen.
Weitere Beispiele: Aufgabe 2.2: Permutationsdarstellungen und ihr Charakter. Aufgabe
2.3: Die zu (G, V ) gehörige kontragrediente Darstellung von G im dualen Vektorraum V 0
und ihr Charakter.
Das Lemma von Schur über Morphismen zwischen irreduziblen Darstellungen, und die
sogenannte Schur-Orthogonalität für die Matrix-Koeffizienten irreduzibler Darstellungen.
3. Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Charaktere, und Folgerungen.
[Se]2.3-2.5 - Niall Smith/Hauke Laing
Das Skalarprodukt für komplexwertige Funktionen auf einer endlichen Gruppe G.
Theorem 3: Orthogonalitätsrelationen, wenn als Funktionen speziell die irreduziblen
Charaktere von G genommen werden.
Theorem 4: Über die Charakterisierung einer Darstellung von G durch ihren Charakter
(Rechtfertigung der Namensgebung), und Theorem 5: ein Irreduzibilitätskriterium.
Die reguläre Darstellung von G und ihr Charakter. Als Folgerungen zu Prop.5 ergeben
sich die Burnside-Formeln.
Theorem 6: Die irreduziblen Charaktere als ON-Basis des Raumes der Klassenfunktionen auf der Gruppe G, und Theorem 7 Folgerung für die Anzahl k der irreduziblen
Darstellungen von G.
Prop.7: Die Charaktertafel einer endlichen Gruppe G ist eine quadratische Matrix A ∈
Ck×k mit der Eigenschaft Āt · A = D, mit einer von G abhängigen Diagonalmatrix
D = diag(x1 , ..., xk ) deren Einträge rationale Zahlen sind. Als Folgerung zeige man
A · D−1 · Āt = I und interpretiere das.
Beispiel: Die Charaktertafel der symmetrischen Gruppe S3 ist eine 3 × 3 Matrix.
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4. Untergruppen, Produkte, induzierte Darstellungen. [Se]3.1-3.3
- Monsa Reincke/Karl Christ
Theorem 9: Irreduzible Darstellungen abelscher Gruppen.
Obere Schranken für den Grad (=die Dimension) von irreduziblen Darstellungen der endlichen Gruppe G.
Theorem 10: Ist G = G1 × G2 das direkte Produkt von zwei Gruppen, dann kann man
die Darstellungen und ihre Charaktere zurückführen auf die entsprechenden Objekte für
die Gruppen G1 und G2 .
Theoreme 11 und 12: Ist H ≤ G eine Untergruppe, dann kann man beginnend mit einer Darstellung θ von H eine Darstellung ρ = IndG
H (θ) der Gruppe G konstruieren, wobei
sich die Dimension um den Faktor (G : H) vervielfacht. Es wird angegeben wie man den
Charakter von ρ zurückführen kann auf den Charakter der Ausgangsdarstellung θ. Dies
ist die gängigste Methode um höherdimensionale Darstellungen von G zu produzieren.
5. Darstellungen kompakter topologischer Gruppen, [Se]§4 - Bendikt Kolbe/
Sebastian Klemke
Definition topologischer Räume und topologischer Gruppen. Begriff der Kompaktheit. Lineare Darstellungen kompakter topologischer Gruppen, und eine Liste von Sätzen welche
sich von endlichen auf kompakte Gruppen übertragen. Begriff des Hilbert Raumes und
der unitären Darstellung. Beispiele [Se]5.2 und 5.5
6. Beispiele für Darstellungen endlicher Gruppen, [Se]§5 - Peter Frentrup/
Max Bender
Endliche zyklische Gruppen Cn . Die Diedergruppen Dn . Die alternierende Gruppe A4 und
die volle symmetrische Gruppe S4 . Die Würfelgruppe als eine Variante der Gruppe S4 .
7. Die Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe G. Interpretation einer Darstellung von G als Modul über der Gruppenalgebra. [Se]6.1, 6.2 - Immanuel
Sims/Ngoc Son Le
Zusatzlit. J.L.Alperin, R.B.Bell, Groups and Representations, S.113-125, sowie Th.16 auf
S.128.
8. Das Zentrum der Gruppenalgebra und die kanonische Zerlegung einer Darstellung von G in Primärkomponenten. [Se] 6.3, 2.6, 2.7 - Niels Lindner/
Kevin Banske
Theorem 8: aus 2.6 und seine Reformulierung als Übung 6.4.
9. Eigenschaften verallgemeinerter ganzer Zahlen, Ganzheitseigenschaften von
Charakterwerten. [Se]6.4, 6.5 - Mathias Förster/André Schulze
Der Grad einer irreduziblen Darstellung von G teilt stets die Gruppenordnung und sogar
den Index (G : C) wobei C das Zentrum von G bezeichnet.
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10. Induktion von Darstellungen vom höheren Standpunkt. [Se]§7 - Sebastian
Scholz/Peter Toth
Die Konstruktionen von Vortrag 4 werden hier neu interpretiert indem man Darstellungen
von dem Standpunkt aus betrachtet der in Vortrag 7 eingenommen wurde.
Theorem 13: Die Frobenius-Reziprozität und Prop.23: das Mackeysche Irreduzibilitätskriterium.
11. Beispiele induzierter Darstellungen. [Se]§8 - Antje Maria Schulz/Niall Smith
In 8.1 ergibt sich eine Verbesserung der Ergebnisse von Vortrag 9. In 8.2 wird die Methode
von Wigner und Mackey erklärt. In 8.3, 8.4 werden auflösbare Gruppen und der Satz von
Sylow behandelt. (Theoreme 14 und 15.)
Theorem 16: Irreduzible Darstellungen überauflösbarer Gruppen sind immer monomial.
12. Die Charaktertafel der einfachen Gruppe der Ordnung 168. James and
Liebeck, §27 - Lee-Roy Stevenson/Bodo Graumann
Als Modell dieser Gruppe dienen 2x2-Matrizen über dem Körper mit 7 Elementen. Es
gibt 6 Konjugationsklassen und 6 irreduzible Darstellungen, also die Charaktertafel
ist
P 2
eine 6x6 Matrix. Die Grade di dieser Darstellungen müssen die Relation
di = 168
erfüllen. Alles wird explizit ausgerechnet.