AB1262L-BäumeLös, Layout 1 - eMail: hallo@arno

PMa-1262 - Zufall und Wahrscheinlichkeit
Bäume und Pfade
PMa-AB1262
Name:
Für ein mehrstufiges Zufallsexperiment kann ich ein Baum-Diagramm zeichnen. Der Weg
zu einem
a) Nebenstehend
1.)
Eine Münze wird viermal geworfen.
bestimmten Ergebnis ist dann ein Pfad. Die Wahrscheinlichkeiten
längs
des
Pfades
werden
multipliziert.
WWWW
W
die insgesamt 16
WErgebnisses.) WWWZ
(Die Pfad-Regel ergibt die Wahrscheinlichkeit eines
Pe = p1 * p2 * ... Pfade zu den geZ
nannten ErgebnisBesteht ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen,
so gilt: Die Wahrscheinlichkeit
ist die
WWZW eines Ereignisses
W
W
Z
sen.
Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ergebnis
führen.
P(E)
=
P
+
P
+
P
+ ...
e1
e2
e3
WWZZ
x
Z
WZWW
P =gleichen
1/16
W Bei jedem Griff in die Kiste (math.: W
Ziehen mit Zurücklegen:
"Bei jedem
Zug..") gibt esb)die
W Kugeln" undWZWZ
Wahrscheinlichkeiten. Mit n="Anzahl der numerierten
k="Anzahl
der
Züge"
gibt->es6/16
nk
x
Z
c) 6 Pfade
verschiedene Ergebnisse. (Reihenfolge Z
wird beachtet!)
W
WZZW x
(angekreuzt)
Z
WZZZ
o
Z Kugel
Ziehen ohne Zurücklegen: Bei jedem Griff in die Kiste wird eine
herausgenommen.
verd) 5Dadurch
Pfade -> 5/16
ZWWW
ringert sich die Anzahl der Kugeln und damit ändern sich auch W
die Wahrscheinlichkeiten
der(mit
einzelnen
dem o )
W
Pfade. Bei Beachtung der Reihenfolge (numerierte Kugeln)
gibtZes n!/(n-k)!
verschiedene
Ergebnisse.
ZWWZ
x
e) Gegen-Ereignis:
W
ZWZW x
W
Lotto-Zahlen: Ziehen ohne Zurücklegen und ohne
man
dieWappen"
"Gar
kein
Z Beachtung der Reihenfolge: Wenn
ZWZZ
o
Z
Reihenfolge nicht beachtet,
dann
sind
z.B.
die
drei
Kugeln
2-3-4
und
3-4-2
ein
und
dasselbe
Ergebnis.
Die
ist nur ZZZZ 1/16
Z
WFaktor
Anzahl der möglichen Ergebnisse reduziert sich dadurch um den
1/k! gegenüber
der Variante
mit
ZZWW
x
ALSO:
P = 15/16
W Ergebnisse
Beachtung der Reihenfolge. Die AnzahlZder möglichen
nun
Z ist ZZWZ
o
f) Wie Aufg. d),
"n über k")
W
ZZZW
o (lies:
aber ohne ZZZZ,
Z
Z
ZZZZ
o
ALSO: P = 4/16
Aufgaben:
2.)
a) die Folge 1-2-3 P = 1/6 * 1/6 * 1/6 = 0,00463
n
1.)
Eineb)Münze
wird6-5-4
viermal Pgeworfen.
die Folge
= 1/6 * 1/6 * 1/6 = 0,00463
k
a) Notiere
alle möglichen
c) die Folge
3-3-3 P Ergebnisse!
= 1/6 * 1/6 * 1/6 = 0,00463 (Gleiche Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne dieser Ergebnisse?
3.) c) Wie
Drei groß
rote ist
unddie
sieben
weiße Kugeln sind
derEreignis
Kiste. Berechne
Wahrscheinlichkeit
dafür,
Wahrscheinlichkeit
fürindas
"Zweimaldie
Zahl
+ zweimal Wappen"?
dass groß
sich ist
beidie
dreiWahrscheinlichkeit
Zügen genau die gegebene
Reihenfolge
ergibt! (Ohne
Zurücklegen)
d) Wie
für das Ereignis
"Mindestens
dreimal
Zahl"?
a) rot-weiß-rot
P = 3/10 * 7/9 * 2/8
= Ereignis
0,0583 ="Mindestens
5,83%
e) Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit
für das
einmal Wappen"?
b) weiß-rot-rot
P = 7/10
* 3/9 * 2/8
= 0,0583
= 5,83%
f) Wieviele
Pfade führen
zum Ereignis
"Dreimal
Zahl + einmal
Wappen"?
c) weiß-rot-weiß P = 7/10 * 3/9 * 6/8 = 0,175 = 17,5%
2.)
Mitd)
einem
dreimal hintereinander
Berechne
diezu
Wahrscheinlichkeit
für
WieWürfel
groß istwird
die Wahrscheinlichkeit,
dreigewürfelt.
Kugeln gleicher
Farbe
erwischen?
a) die www:
Folge 1-2-3
P = 7/10 * 6/9 * 5/8 = 0,2917 = 29,17%
b) die rrr:
Folge 6-5-4
P = 3/10 * 2/9 * 1/8 = 0,0083 = 0,83%
Zusammen: 30%
c) die Folge 3-3-3
4.)
Mini-Lotto "3 aus 10": Von zehn numerierten Kugeln sollen drei gezogen werden
3.)
Drei(ohne
rote Beachtuung
und sieben weiße
Kugeln sind inn der
die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass
10 * 9 * 8
der Reihenfolge).
=10Kiste. Berechne
n
120 Mögl.k.
sicha)bei
drei
Zügen
genau
die
gegebene
Reihenfolge
ergibt!
(Ohne
Zurücklegen)
1 * 2 * 3
Wieviele Möglichkeiten gibt es? k =3
k
a) rot-weiß-rot
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die drei Richtigen auf dem Lotto-Schein
b) weiß-rot-rot
angekreuzt zu haben? richtig-richtig-richtig: P = 3/10 * 2/9 * 1/8 = 0,0083 = 0,83%
c) weiß-rot-weiß
Anm.: Aus a) 120 Möglichkeiten ergibt sich p=1/120 = 0,0083.
d) Wie
ist die
Wahrscheinlichkeit,
Kugeln
Farbe
zu =erwischen?
Zumgroß
gleichen
Ergebnis
kommt man auchdrei
aus b)
mit P gleicher
= 3/10 * 2/9
* 1/8
0,0083 = 0,83%
()
()=
=
c) Wie groß
ist10":
die Wahrscheinlichkeit,
wenigsten
eine Zahl
richtig zu
haben?(ohne Beachtung
Mini-Lotto
"3 aus
Von zehn numerierten
Kugeln sollen
drei gezogen
werden
Anstatt alle Pfade mit rrr, rrf und rff zusammenzuzählen, ist es einfacher, das Gegenereignis
der Reihenfolge).
zu betrachten "Gar nichts richtig": P = Pfff = 7/10 * 6/9
1 *25/8
4x 5 6 7 8x 9 10
x 3= 0,2917
a) Wieviele
Möglichkeiten gibt es?
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann also P = 1 - P = 1 - Pfff = 0,7083 = 70,83%
groß ist
dielange
drei im
Richtigen
auf dem
5.) b) Wie
Die Kiste
mitdie
denWahrscheinlichkeit
Salat-Köpfen standdafür,
wohl zu
Lager. Nun
sind Lotto-Schein
40% davon nicht
n
angekreuzt
zu haben?Drei Salat-Köpfe werden wahllos herausgegriffen.
mehr in Ordnung.
P =
* pk * (1-p)n-k
k
c) Wie
groß
ist
die
Wahrscheinlichkeit,
wenigsten
eine
Zahl
richtig
zu
haben?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , ... p für i.O. ist 0,6
3
dass
alle
herausgegriffenen
in Ordnung
sind?imn=3
; k=3
; ->ist
P=1*0,6
= 0,216
= 21,6%
5.)
Diea)
Kiste
mit
den
Salat-Köpfen stand
wohl zu lange
Lager.
Nun
die Hälfte
davon
nicht
2
1
b)
dass
mindestens
zwei
davon
in
Ordnung
sind?
n=3
;
k=2
;
->
P=3*0,6
*0,4
=0,432=43,2%
mehr in Ordnung. Drei Salat-Köpfe werden wahllos herausgegriffen.
dass
einer davon ok
n=3 ; k=1 ; -> P=3*0,61*0,42 =0,288=28,8%
Wiec)groß
istmindestens
die Wahrscheinlichkeit
, ...ist?
4.)
()
a)
Lös:
b)
c)
dass alle herausgegriffenen in Ordnung sind?
a) 21,6% -> (addieren!) b) 64,8% c) 93,6%
dass mindestens zwei davon in Ordnung sind?
dass mindestens einer davon ok ist?
PROBE n=3;k=0; P= 6,4%