Kapitel 1.5 und 1.6 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik

Kapitel 1.5 und 1.6
Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik
Teil 1:
Kalküle und Beweisbarkeit
und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls
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Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle
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Syntaktischer Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit
Wir stellen nun dem semantischen Folgerungsbegriff einen syntaktischen
Folgerungsbegriff, die Beweisbarkeit, gegenüber.
Hierzu führen wir zunächst allgemein den Begriff eines Kalküls oder
Axiomensystems sowie die zugehörigen Beweis- und Beweisbarkeitsbegriffe
ein.
Wir geben dann einen Kalkül der Aussagenlogik an (den Shoenfield-Kalkül
S) und zeigen, dass Beweisbarkeit in diesem Kalkül mit dem semantischen
Folgerungsbegriff zusammenfällt.
Da der Beweisbegriff rein syntaktisch beschrieben ist, liefert dies die
gewünschte syntaktische Charakterisierung des Folgerungsbegriffs.
Da Folgerungen aus der leeren Menge mit der Allgemeingültigkeit (al.
Wahrheit) zusammenfallen, erhalten wir mit der Beweisbarkeit
insbesondere eine rein syntaktische Charakterisierung der
aussagenlogischen Wahrheit.
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Kalküle (Axiomensysteme)
Ein (formaler) Kalkül K wird durch folgende Komponenten bestimmt:
1
die Sprache von K, die durch das (i.a. abzählbare) Alphabet von K
festgelegt ist
2
die Menge der Formeln von K, wobei diese eine Teilmenge der endlichen
Folgen (d.h. der Wörter) über dem Alphabet von K ist
3
die Menge der Axiome von K, wobei diese eine Teilmenge der Menge der
Formeln von K ist
4
die Menge der Regeln von K, wobei jede Regel R die Gestalt
(R)
ϕ1 , . . . , ϕn
——————
ϕ
hat, wobei n ≥ 1 und ϕ1 , . . . , ϕn , ϕ Formeln von K sind.
ϕ1 , . . . , ϕn sind die Prämissen, ϕ die Konklusion von R.
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Anforderungen an einen Kalkül: Sprache (Alphabet)
I.a. wird man bei einem unendlichen Alphabet verlangen, dass man die
Zeichen des Alphabets effektiv generieren kann.
Im Falle der Aussagenlogik würde man z.B. das Alphabet
{A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, ∧, →, ↔, (, )} wählen. Wie wir bereits gesehen haben,
kann man die Aussagenvariablen An effektiv generieren, indem man diese als
Wörter über dem endlichen Alphabet {A, 1} darstellt.
Man könnte statt der Junktoren ¬, ∨, ∧, →, ↔ auch irgendeinen anderen
Satz von Junktoren wählen, so lange die zugehörigen Booleschen Funktionen
eine Basis bilden.
Konkret werden wir hier einen Kalkül mit Alphabet {A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, (, )}
(also mit dem Junktorensatz {¬, ∨}) betrachten.
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Anforderungen an einen Kalkül: Formeln
Hier erwartet man, dass Formeln durch deren Form bestimmt sind, also
syntaktisch charakterisiert sind.
Dabei verlangt man i.a., dass insbesondere entscheidbar ist, ob ein Wort
über dem Alphabet des Kalküls eine Formel ist oder nicht.
Interpretiert werden Formeln als Aussagen (Sätze) oder Aussageformen
(Satzformen).
Im Falle der Aussagenlogik würde man bei Zugrundelegung des Alphabets
{A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, ∧, →, ↔, (, )} die al. Formeln als Formelmenge wählen.
Legt man einen anderen Junktorensatz zugrunde, sind die Formeln
entsprechend definiert. Bei Alphabet {A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, (, )} werden z.B. die
Formeln induktiv definiert durch:
I
I
I
Jede Aussagenvariable ist eine Formel.
Ist ϕ eine Formel, so auch ¬ϕ.
Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ∨ ψ).
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Anforderungen an einen Kalkül: Axiome
Auch hier erwartet man, dass die Axiome durch deren Form bestimmt sind,
also syntaktisch charakterisiert sind, und dass es entscheidbar ist, ob eine
Formel ein Axiom ist.
Ist die Axiomenmenge unendlich, so liegen in der Regel endlich viele
Axiomenschemata vor, wobei jedes Axiomenschema eine (unendliche) Menge
von Formeln mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist.
Interpretiert werden Axiome als wahre Aussagen (Sätze) oder wahre
Aussageformen (Satzformen).
Beispiele für mögliche Axiomenschemata im Falle der Aussagenlogik sind
(ϕ ∨ ¬ϕ)
oder
(ϕ → ¬¬ϕ)
wobei ϕ eine beliebige Formel (bzgl. der zugehörigen Sprache) ist.
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Anforderungen an einen Kalkül: Regeln
Auch hier erwartet man wie bei Formeln und Axiomen, dass die Regeln
durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind, und
dass es entscheidbar ist, ob eine Formelfolge eine Regel ist.
Ist die Regelmenge unendlich, so geht man entsprechend wie bei den
Axiomen davon aus, dass endlich viele Regelschemata vorliegen, wobei jedes
Regelschema eine (unendliche) Menge von Formelfolgen (fester endlicher
Länge) mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist.
Interpretiert werden Regeln als zulässige Folgerungen.
Beispiele für mögliche Regelschemata im Falle der Aussagenlogik sind
ϕ
———
¬¬ϕ
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oder
ϕ, ϕ → ψ
————–
ψ
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(modus ponens)
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Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit
DEFINITION. Sei K ein Kalkül. Ein (K-) Beweis der (K-) Formel ϕ (oder eine
(K-) Herleitung von ϕ) ist eine endliche Folge ψ1 , . . . , ψn von (K-) Formeln,
sodass folgendes gilt:
ϕ ≡ ψn
Jede Formel ψm (1 ≤ m ≤ n) ist
I
I
ein (K-) Axiom oder
die Konklusion einer (K-) Regel R, deren Prämisse(n) in
{ψ1 , . . . , ψm−1 } liegen.
n ist die Länge des Beweises ψ1 , . . . , ψn .
DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar, wenn es einen (K-) Beweis
von ϕ gibt.
NB: Jedes (K-) Axiom ϕ ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) und damit (K-)
beweisbar.
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Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit aus T
DEFINITION. Sei K ein Kalkül und T eine Menge von (K-) Formeln. Ein (K-)
Beweis der (K-) Formel ϕ aus T ist eine endliche Folge ψ1 , . . . , ψn von (K-)
Formeln, sodass folgendes gilt:
ϕ ≡ ψn
Jede Formel ψm (1 ≤ m ≤ n) ist
I
I
I
ein (K-) Axiom oder
eine Formel aus der Formelmenge T oder
die Konklusion einer (K-) Regel R, deren Prämisse(n) in
{ψ1 , . . . , ψm−1 } liegen.
n ist die Länge des Beweises ψ1 , . . . , ψn .
DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar aus T , wenn es einen (K-)
Beweis von ϕ aus T gibt.
NB: Jede Formel ϕ ∈ T ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) aus T und damit (K-)
beweisbar aus T .
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Beweisbarkeit: Widerspruchsfreiheit
Im Folgenden sei K ein Kalkül, T eine Menge von K-Formeln und ϕ eine
K-Formel.
SCHREIBWEISE:
T `K ϕ :⇔
`K ϕ :⇔
ϕ is K-beweisbar aus T
∅ `K ϕ
⇔ ϕ is K-beweisbar
Ist K aus dem Kontext bekannt, so schreiben wir ` statt `K .
DEFINITION. Der Kalkül K is widerspruchsfrei, falls es eine K-Formel ψ mit 6` ψ
gibt.
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Beweisbarkeit: einfache Eigenschaften
Im Folgenden sei K ein Kalkül, T , T 0 Mengen von K-Formeln und ϕ eine
K-Formel.
MONOTONIELEMMA FÜR `. Falls T ⊆ T 0 und T ` ϕ, so gilt auch T 0 ` ϕ.
BEWEIS. Aus T ⊆ T 0 folgt, dass jeder T -Beweis auch ein T 0 -Beweis ist.
TRANSITIVITÄTSLEMMA FÜR `. Gelte T ` ϕ und gelte weiter T 0 ` ψ für alle
ψ ∈ T . Dann gilt T 0 ` ϕ.
BEWEISIDEE. Nach Annahme gibt es einen Beweis ϕ
~ = ϕ1 , . . . , ϕn−1 , ϕ von ϕ
~ = ψ1 , . . . , ψm−1 , ψ von ψ aus T 0 .
aus T und für jedes ψ ∈ T einen Beweis ψ
Ersetzt man nun jede Formel ψ ∈ T , die in dem Beweis ϕ
~ von ϕ aus T vorkommt,
~ aus T 0 , so erhält man einen Beweis von ϕ aus T 0 .
durch deren Beweis ψ
(Formal zeigt man die Behauptung durch Herleitungsinduktion, d.h. durch
Induktion nach der Länge n des Beweises ϕ
~ = ϕ1 , . . . , ϕn−1 , ϕn von ϕ aus T ,
wobei man im Induktionsschritt (Übergang von < m zu m) obige Beobachtung
anwendet (falls ϕm ∈ T ).)
NB: Man beachte, dass die entsprechenden Aussagen auch für den semantischen
Folgerungsbegriff gelten!
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Beweisbarkeit: einfache Eigenschaften (Fortsetzung)
ENDLICHKEITSSATZ FÜR `. Falls T ` ϕ gilt, so gibt es eine endliche
Teilmenge T0 von T mit T0 ` ϕ.
BEWEIS.
Es gelte T ` ϕ.
Dann gibt es einen Beweis
ϕ
~ = ϕ1 , . . . , ϕn = ϕ1 , . . . , ϕn−1 , ϕ
von ϕ aus T .
Setze T0 = T ∩ {ϕ1 , . . . , ϕn }.
Offensichtlich ist T0 eine endliche Teilmenge von T .
Weiter ist ϕ
~ ein Beweis von ϕ aus T0 .
Also T0 ` ϕ.
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Kalküle der Aussagenlogik: Korrektheit und Vollständigkeit
Im Folgenden nennen wir einen Kalkül K einen Kalkül der Aussagenlogik, wenn
die Sprache von K auf dem Alphabet {A0 , A1 , . . . , j1 , . . . , jk , (, )} basiert, wobei
die Junktoren j1 , . . . , jk eine Basis der Booleschen Funktionen definieren, und die
Formeln wie üblich (s.o.) gebildet sind.
DEFINITION. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik.
K ist korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede K-beweisbare Formel ϕ
allgemeingültig ist, also `K ϕ ⇒ ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt.
K ist korrekt bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T
K-beweisbare Formel ϕ aus T (semantisch) folgt, also T `K ϕ ⇒ T ϕ
für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt.
K ist vollständig bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede allgemeingültige
Formel ϕ K-beweisbar ist, also ϕ ⇒ `K ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt.
K ist vollständig bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T
folgende Formel ϕ aus T K-beweisbar ist, also T ϕ ⇒ T `K ϕ für alle
K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt.
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Korrektheit und Vollständigkeit (Fortsetzung)
Wegen
`K ϕ ⇔ ∅ `K ϕ
und
ϕ⇔∅ϕ
impliziert Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen auch Korrektheit
(Vollständigkeit) bzgl. der Allgemeingültigkeit.
Im Folgenden sagen wir kurz Korrektheit (Vollständigkeit) anstelle von
Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen und wir nennen einen Kalkül
K der Aussagenlogik adäquat, wenn K korrekt und vollständig ist, also stets
T `K ϕ ⇔ T ϕ
gilt.
Der syntaktische Beweisbarkeitsbegriff in einem adäquaten Kalkül der
Aussagenlogik fällt also gerade mit dem semantischen Folgerungsbegriff
zusammen (und die beweisbaren Formeln sind gerade die allgemeingültigen
Formeln).
Im Folgenden werden wir einen Kalkül der Aussagenlogik angeben und von ihm
zeigen, dass er adäquat ist.
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Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Sprache und
Formeln
Der Shoenfield-Kalkül S basiert auf der Basis {¬, ∨}. Die Sprache von S ist
also durch das Alphabet {A0 , A1 , . . . , ¬, ∨, (, )} gegeben.
Wie bereits oben ausgeführt führt dies zu folgender induktiver Definition der
Formeln:
I
I
I
Jede Aussagenvariable ist eine Formel.
Ist ϕ eine Formel, so auch ¬ϕ.
Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ∨ ψ).
Aussagenlogische Formeln, die nicht von diesem Typ sind, fassen wir als
Abkürzungen von S-Formeln auf, wobei wir folgende Identitäten verwenden:
I
I
I
(ϕ ∧ ψ) ≡ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)
(ϕ → ψ) ≡ (¬ϕ ∨ ψ)
(ϕ ↔ ψ) ≡ ((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ))
wobei hier → und ∧ noch wie oben angegeben zu ersetzen sind.
Zur Erhöhung der Lesbarkeit verwenden wir wie bei den al. Formeln die
früher eingeführten Regeln zur Klammerersparnis.
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Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Axiome und
Regeln
Der Schoenfield-Kalkül besitzt ein Axiomenschema und vier
Regelschemata:
AXIOME
¬ϕ ∨ ϕ (≡ ϕ → ϕ) “tertium non datur” (Ax)
REGELN
ψ
ϕ∨ψ
Expansion (E)
ϕ∨ϕ
ϕ
Kürzung (Kü)
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ϕ ∨ (ψ ∨ δ)
(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
Assoziativität (A)
ϕ ∨ ψ, ¬ϕ ∨ δ
ψ∨δ
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Schnitt (S)
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Korrektheit des Shoenfield-Kalküls S
KORREKTHEITSSATZ. Der Schoenfield-Kalkül S ist korrekt (bzgl.
Folgerungen):
T `S ϕ ⇒ T ϕ
Zum Beweis zeigen wir:
KORREKTHEITSLEMMA. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik, dessen
Axiome allgemeingültig sind und dessen Regeln korrekt bzgl. Folgerungen
sind. Dann ist K korrekt bzgl. Folgerungen.
Da (wie man leicht sieht und wie wir zum großen Teil bereits gezeigt
haben) die Axiome des Shoenfield-Kalküls allgemeingültig und die Regeln
bzgl. Folgerungen korrekt sind, folgt der Korrektheitssatz direkt aus dem
Korrektheitslemma.
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Beweis des Korrektheitslemmas
Es gelte T ` ϕ.
Zu zeigen: T ϕ.
Sei ϕ0 , . . . , ϕn ein Beweis von ϕ aus T .
Wegen ϕ ≡ ϕn genügt es T ϕi für i ≤ n durch Ind(i) zu zeigen
(= Herleitungsinduktion).
Zum Nachweis von T ϕi unterscheide die folgenden drei möglichen Fälle:
I
I
I
ϕi Axiom: Dann ist (nach Annahme) ϕi allgemeingültig weshalb
insbesondere T ϕi gilt.
ϕi ∈ T : Dann gilt trivialerweise T ϕi .
ϕi ist mit Hilfe einer Regel R aus ϕj0 , . . . , ϕjk mit j0 , . . . , jk < i
erschlossen.
Dann gilt nach I.V. T ϕjm für m ≤ k.
Da R nach Annahme korrekt bzgl. Folgerungen ist, folgt T ϕi
(mit Transitivität von ).
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