Musterlösung

Wintersemester 10/11
Analysis für Informatiker (Prof. Dr. Bürgisser)
M u s t e r l ö s u n g
z u Ü b u n g s b l a t t 1 0
Aufgabe 41: (Bedingte Konvergenz von Reihen, 5 Punkte)
Beweisen Sie, dass die folgende Reihe bedingt konvergiert, also konvergiert, aber nicht absolut
konvergiert:
∞
X
1
(−1)n
2n + (−1)n
n=0
Musterlösung:
1
1
1 1
≥
≥
2n + (−1)n
2n + 1
2n+2
∞
∞
X
X
1 1
1
nicht
·
eine divergente Minorante. Deshalb konvergiert
(−1)n
2
m
2n
+
(−1)n
m=2
n=0
∞
X
1
1
absolut. Aber
(−1)n
konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, denn aus 2n+1
≤
n
2n
+
(−1)
n=0
und somit ist
1
2n+(−1)n
≤
1
2n−1
folgt
0 = lim
n→∞
also lim
n→∞
1
1
1
≤ lim
= 0,
≤ lim
n
n→∞
n→∞
2n + 1
2n + (−1)
2n − 1
1
= 0.
2n + (−1)n
Aufgabe 42: (Umordnung, 5 Punkte)
Beweise, dass es eine Umordnung der Summanden der alternierenden harmonische Reihe
∞
X
1
(−1)n+1 gibt, so dass die Reihe divergiert, d.h. zeige die Existenz einer Bijektion π :
n
n=1
∞
X
1
N → N, so dass
(−1)π(n)+1
divergiert.
π(n)
n=1
Hinweis: Betrachte die Konvergenz der Reihen
∞
X
k=1
−
∞
X
1
1
und
.
2k
2k − 1
k=1
Musterlösung:
Beide Reihen aus dem Hinweis konvergieren uneigentlich, denn in beiden Reihen findet kein Vorzei∞
X
1 1
chenwechsel statt und es ist jeweils
· eine divergente Minorante für die Reihe der Beträge.
2 k
k=1
1
Wir konstruieren nun die Permutation π und wählen dafür ein beliebiges ε > 0. Sei ak := 2k
und
1
bk := 2k−1 . Wir definieren dafür rekursiv natürliche Zahlen ni wie folgt: n1 ist die kleinste Zahl, so dass
ni+1
X
Pn1
−a1 + j=1
bj ≥ ε. Für bereits definiertes ni sei ni+1 die kleinste Zahl, so dass −ai+1 +
bj ≥ ε.
Diese Zahlen ni existieren, weil
gente Reihe
P∞
k=1 bk
j=ni +1
uneigentlich gegen ∞ konvergiert. Wir haben also die diver-
−a1 + b1 + b2 + · · · + bn1 −a2 + bn1 +1 + bn1 +2 + · · · + bn2 · · · −ai+1 + bni +1 + bni +2 + · · · + bni+1 · · · ,
|
{z
}|
{z
} |
{z
}
≥ε
≥ε
≥ε
welche
zu folgender Permutation π gehört:
π=
1 2 3 4 5
2 1 3 5 7
···
···
n1 + 1
2n1 − 1
n1 + 2
4
n1 + 3
2n1 + 1
···
···
n2 + 2
2n2 − 1
···
···
···
···
ni + i + 1
2i
ni + i + 2
2ni + 1
···
···
ni+1 + i + 1
2ni+1 − 1
···
···
Aufgabe 43: (, δ-Stetigkeit, 5 Punkte)
Zeigen Sie unter Verwendung der , δ-Bedingung, dass die Funktion
f : R → R,
f (x) :=
x−1
,
x2 + 1
in x0 = −1 stetig ist.
Musterlösung:
Sei ε > 0 beliebig. Wähle δ := ε. Sei x ∈ R beliebig mit |x + 1| = |x − x0 | < δ. Dann ist
2
x x + x x(x + 1) x−1
<δ=ε
+ 1 = 2
=
= |x + 1| ·
|f (x) − f (x0 )| = 2
x +1
x + 1 x2 + 1 | {z } x2 + 1 | {z }
<δ
≤1
und somit ist f stetig in x0 = −1.
Aufgabe 44: (Stetigkeit von Polynomen, 5 Punkte)
Seien a0 , a1 , . . . , ad ∈ R, d ∈ N, und p(x) = a0 +a1 x+. . .+ad xd . Zeigen Sie, dass das Polynom
p als Funktion p : R → R stetig ist.
Hinweis: Sie dürfen den Satz aus der Vorlesung verwenden, dass die Summe, die Differenz
und das Produkt von stetigen Funktionen wieder stetig ist.
Musterlösung:
Beweis durch vollständige Induktion nach dem Grad d ∈ N.
Induktionsanfang (d = 0): Die konstante Funktion x 7→ a0 ist stetig nach Vorlesung.
Induktionsschritt (d−1 → d): Sei p(x) = a0 +a1 x+. . .+ad xd . Dann ist nach Induktionsvoraussetzung
die Funktion x 7→ a0 + a1 x + . . . + ad−1 xd−1 stetig. Weiter sind x 7→ x und x 7→ ad stetig, und weil
Produkte von stetigen Funktionen stetig sind, ist x 7→ ad xd stetig, also ist a0 + a1 x + . . . + ad−1 xd−1 +
ad xd stetig als Summe stetiger Funktionen.
Aufgabe 45: (Stetige Fortsetzbarkeit, 5 Punkte)
Für eine Teilmenge X ⊆ R nennt man eine Funktion f : X → R stetig auf R fortsetzbar,
wenn es eine stetige Funktion g : R → R gibt mit f (x) = g(x) für alle x ∈ X. Beweisen
3 −1
oder widerlegen Sie die stetige Fortsetzbarkeit auf R der Funktion f : R\{1} → R, x 7→ xx−1
.
Musterlösung:
Wähle g : R → R, g(x) = x2 + x + 1.
2
3
+x+1)
−1
= (x−1)·(x
= x2 + x + 1 = g(x).
Für alle x 6= 1 gilt f (x) = xx−1
x−1
Die Funktion g ist stetig nach Aufgabe 44.