1. Prinzip von d`Alembert
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1. Prinzip von d'Alembert 1.1 Freiheitsgrade 1.2 Zwangsbedingungen 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-1 1.1 Freiheitsgrade ● ● Definition: – Die unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines Systems von starren Körpern werden als Freiheitsgrade bezeichnet. – Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl der Parameter, die vorgegeben werden müssen, damit die Lage der Körper eindeutig definiert ist. Massenpunkt im Raum: – Die Lage eines Punktes im Raum ist durch die Angabe von 3 Koordinaten eindeutig festgelegt. – Ein Massenpunkt im Raum hat also 3 Freiheitsgrade. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-2 1.1 Freiheitsgrade – Kartesische Koordinaten: zP – Kugelkoordinaten: z z P P θ xP x yP y φ x P , yP , z P x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Prof. Dr. Wandinger y r x r , , r = x 2 y2z 2 = arctan y/ x = arctan x 2 y2 / z 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-3 1.1 Freiheitsgrade ● Starrer Körper im Raum: – Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade. – 3 Koordinaten werden benötigt, um den Ort des Schwerpunktes im Raum festzulegen. – 3 weitere Koordinaten werden benötigt, um die Orientierung des Körpers im Raum festzulegen. – Die Orientierung im Raum kann z.B. durch die Eulerschen Winkel beschrieben werden: ● Die Eulerschen Winkel beschreiben die Drehungen, die nötig sind, um das raumfeste System (xg , yg , zg) in das körperfeste System (xf , yf , zf ) zu überführen. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-4 1.1 Freiheitsgrade ● ● ● ● Zuerst wird das System (xg , yg , zg) um den Gierwinkel Ψ um die zg-Achse gedreht. Das Ergebnis ist das System (k1 , k2 , zg). Anschließend wird das System (k1 , k2 , zg) um den Nickwinkel Θ um die k2-Achse gedreht. Das Ergebnis ist das System (xf , k2 , k3). Zuletzt wird das System (xf , k2 , k3) um den Rollwinkel Φ um die xf-Achse gedreht. Das Ergebnis ist das System (xf , yf , zf ). Je nach Wahl der Reihenfolge der Drehungen ergeben sich unterschiedliche Definitionen für die Eulerschen Winkel. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-5 1.1 Freiheitsgrade Quelle: Wikipedia, Artikel Eulersche Winkel Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-6 1.1 Freiheitsgrade ● Ergebnis: – Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems ist festgelegt. – Welche Koordinaten gewählt werden, ist nicht festgelegt. – Die Koordinaten können also frei gewählt werden. – Dabei darf keine Koordinate von einer anderen abhängig sein. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-7 1.2 Zwangsbedingungen ● ● ● Zwangsbedingungen schränken die Bewegungsmöglichkeiten ein. Ein Massenpunkt, der sich auf einer Fläche bewegen muss, hat nur noch 2 Freiheitsgrade. Wenn der Massenpunkt sich auf einer Kurve bewegen muss, hat er nur noch 1 Freiheitsgrad. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-8 1.2 Zwangsbedingungen ● Ebenes Pendel: – Der Massenpunkt muss sich auf einem Kreis bewegen. – Er hat nur einen Freiheitsgrad. – Als Freiheitsgrad kann z.B. der Winkel φ gewählt werden. x φ L z y=0 x 2z 2 =L2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-9 1.2 Zwangsbedingungen ● Verbundene Massen: – – – Die beiden Massen können sich nur in x-Richtung bewegen. Sie sind durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden. m1 m2 x1 y Das System hat 1 Freiheitsgrad. x x2 y 1=c1 , y2 =c2 , z 1 =z 2=0 x 1=−x 2 x 1x 2=0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-10 1.2 Zwangsbedingungen ● Allgemeine Form der Zwangsbedingungen: – Zwangsbedingungen werden durch im Allgemeinen nichtlineare Gleichungen der Form F i x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n =0 , i=1, , r beschrieben (holonome skleronome Zwangsbedingungen). – Beispiele: 2 2 2 ● Pendel: F x , z = x z −L =0 ● Verbundene Massen: F x 1 , x 2 =x 1 x 2=0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-11 1.2 Zwangsbedingungen ● Anzahl der Freiheitsgrade: – Für ein System von Massenpunkten gilt: f =3 n−r – Für ein System von starren Körpern gilt: f =6 n−r – Dabei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade, n die Anzahl der Körper und r die Anzahl der Zwangsbedingungen (Restriktionen). Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-12 1.2 Zwangsbedingungen ● Verallgemeinerte Koordinaten: – Ein System mit f Freiheitsgraden lässt sich durch f unabhängige verallgemeinerte Koordinaten q1, … , qf beschreiben. – Die physikalischen Koordinaten sind Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten: x k =x k q 1 , , q f yk = y k q 1 ,, q f , k=1,, n z k =z k q1 ,, q f Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-13 1.2 Zwangsbedingungen – Beispiel: Pendel ● ● Die physikalischen Koordinaten sind die Koordinaten x und z des Massenpunktes. Wird als verallgemeinerte Koordinate der Winkel φ gewählt, dann gilt für die physikalischen Koordinaten: x x =L sin z =L cos φ L z Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-14 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Definition: – Virtuelle Geschwindigkeiten δv sind beliebige gedachte Geschwindigkeiten des Systems, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind. – Virtuelle Geschwindigkeiten können daher als tatsächliche Geschwindigkeiten auftreten, wenn entsprechende äußere Kräfte auf das System einwirken. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-15 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Beispiel: Massenpunkt auf Fläche – Der Vektor der virtuellen Geschwindigkeit liegt in der Ebene, die im Punkt P tangential zur Fläche ist, auf der sich der Punkt bewegen kann. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik P δv Dynamik 2 5.1-16 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Beispiel: Massenpunkt auf Kurve – Der Vektor der virtuellen Geschwindigkeit ist tangential zu der Kurve, auf der sich der Massenpunkt bewegen kann. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik P δv Dynamik 2 5.1-17 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Zwangsbedingungen für die Geschwindigkeiten: – Die Zwangsbedingungen für die Geschwindigkeiten folgen durch Differentiation der Zwangsbedingungen nach der Zeit: d F i x 1 t , y 1 t , z 1 t , , x n t , y n t , z n t dt ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi = ẋ 1 ẏ1 ż 1 ẋ n ẏ n ż n =0, ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1 ∂ xn ∂ yn ∂ zn i=1, , r Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-18 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Die virtuellen Geschwindigkeiten müssen also die Bedingungen ∂ Fi ẋ 1 ∂ Fi ẏ 1 ∂ Fi ż 1 ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1 ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ẋ n ẏ n ż n =0, i=1, , r ∂ xn ∂ yn ∂ zn erfüllen. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-19 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Beispiel: Verbundene Massen – Zwangsbedingung: F x 1 , x 2 = x 1 x 2=0 – m1 Virtuelle Geschwindigkeiten: ∂F ∂F =1, =1 ∂ x1 ∂ x2 x1 x2 ẋ 1 ẋ 2 =0 Prof. Dr. Wandinger m2 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-20 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Beispiel: Pendel – Zwangsbedingung: 2 2 x 2 F x , z = x z −L =0 – φ Virtuelle Geschwindigkeiten: ∂F ∂F =2 x , =2 z ∂x ∂z L δv z x ẋ z ż=0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-21 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Wird der Winkel φ als Freiheitsgrad gewählt, so gilt: x= L sin , z= L cos – Für die Geschwindigkeiten folgt: ẋ =L cos ̇ , ż=−L sin ̇ – Für die virtuellen Geschwindigkeiten gilt: ẋ= L cos ̇ , ż=−L sin ̇ Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-22 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Zusammenfassung: – Betrachtet wird ein System aus n Massenpunkten, das r Zwangsbedingungen unterliegt und f Freiheitsgrade hat. – Die physikalischen Freiheitsgrade sind die Koordinaten der n Massenpunkte: x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n q 1 , , q f Die verallgemeinerten Koordinaten sind: – – Als Zwangsbedingungen müssen r im allgemeinen nichtlineare Gleichungen erfüllt sein: F i x 1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n =0 , i=1, , r Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-23 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Zwischen den verallgemeinerten und den physikalischen Koordinaten bestehen die Beziehungen: x k = x k q 1 , , q f y k = y k q 1 , , q f , k =1, , n z k = z k q 1 , , q f – Die Zwangsbedingungen für die virtuellen Geschwindigkeiten lauten ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ẋ 1 ẏ 1 ż 1 ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1 ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ẋ n ẏ n ż n =0, i=1, , r ∂ xn ∂ yn ∂ zn Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-24 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Zwischen den virtuellen Geschwindigkeiten der verallgemeinerten Koordinaten und den virtuellen Geschwindigkeiten der physikalischen Koordinaten bestehen die Beziehungen ∂ xk ∂ xk ẋ k = q̇ 1 q̇ f ∂ q1 ∂q f ∂ yk ∂ yk ẏ k = q̇ 1 q̇ f , k =1, , n ∂ q1 ∂q f ∂ zk ∂ zk ż k = q̇ 1 q̇ f ∂ q1 ∂q f Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-25 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Beispiel: – Ein Klotz hängt an einem Seil, das über eine masselose Rolle geführt und auf einer Trommel aufgewickelt ist. m2 , J2 ri ra Prof. Dr. Wandinger m1 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-26 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Physikalische Koordinaten: ● ● ● Der Ort der Trommel wird durch die Koordinate x des Schwerpunktes beschrieben. Die Lage der Trommel wird durch den Winkel φ beschrieben. φ S x P y Der Ort des Klotzes wird durch die Koordinate y beschrieben. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-27 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten – Zwangsbedingungen: ● Die Trommel dreht sich um den Fußpunkt P. ● Für die Geschwindigkeit des Schwerpunktes S gilt: ẋ=r a ̇ F 1 x , y ,= x−r a =0 ● Der Weg, den der Klotz zurückgelegt hat, ist die Summe des Weges, den der Schwerpunkt der Trommel zurückgelegt hat, und der Länge des während dieses Weges abgewickelten Seils: y= xr i F 2 x , y ,= y− r a r i =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-28 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten ● Für die virtuellen Geschwindigkeiten folgt daraus: ẋ −r a ̇=0 ẏ− r a r i ̇=0 – Verallgemeinerte Koordinaten: ● ● Das System hat 1 Freiheitsgrad. Wird der Winkel φ als verallgemeinerte Koordinate gewählt, so gelten die folgenden Beziehungen zwischen physikalischen und verallgemeinerten Koordinaten: x = ra y = r a r i Prof. Dr. Wandinger ẋ = r a ̇ ẏ = r a r i ̇ 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-29 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Impulssatz für den Massenpunkt: – Die am Massenpunkt angreifenden Kräfte können in eingeprägte Kräfte F(e) und in Zwangskräfte F(z) eingeteilt werden. – Der Impulssatz für den Massenpunkt lautet dann m a=F e F z Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-30 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Beispiel: Pendel – – – x Eingeprägte Kraft: Gewichtskraft G S Zwangskraft: Seilkraft S Die Seilkraft steht senkrecht auf der virtuellen Verschiebung. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik δv z G Dynamik 2 5.1-31 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Prinzip von d'Alembert: – Wenn ein Massenpunkt sich auf einer Kurve bewegen muss, so steht die Zwangskraft senkrecht auf der Tangente an die Kurve. – Wenn ein Massenpunkt sich auf einer Fläche bewegen muss, so steht die Zwangskraft senkrecht auf der Tangentialebene an die Fläche. – Daraus folgt in beiden Fällen, das die Zwangskraft senkrecht zu den virtuellen Geschwindigkeiten ist. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-32 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Daraus lässt sich das Prinzip von d'Alembert folgern: F z ⋅ v=0 Ein Massenpunkt bewegt sich so, dass die virtuelle Leistung der Zwangskräfte zu jedem Zeitpunkt verschwindet. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-33 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Prinzip der virtuellen Leistung: – Aus dem Impulssatz für den Massenpunkt folgt: m a⋅ v=F e ⋅ vF z ⋅ v=F e⋅ v – Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte: P=F e ⋅ v – Virtuelle Leistung der d'Alembertschen Trägheitskraft: PT =F T⋅ v=−m a⋅ v Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-34 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Prinzip der virtuellen Leistung für einen Massenpunkt: P P T =0 Ein Massenpunkt bewegt sich so, dass bei jeder virtuellen Geschwindigkeit die Summe der virtuellen Leistungen der eingeprägten Kräfte und der d'Alembertschen Trägheitskräfte zu jedem Zeitpunkt verschwindet. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-35 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Massenpunktsysteme: – Bei einem System von n Massenpunkten muss der Impulssatz für jeden Massenpunkt gelten: m i a i =F ei F i z , i=1, , n – Für jeden einzelnen Massenpunkt ist die virtuelle Leistung der Zwangskräfte zu jedem Zeitpunkt Null: F i z ⋅ v i =0, i=1,, n Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-36 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Damit folgt: e F ∑ i −mi a i ⋅ v i =0 i – Mit P=∑ P i =∑ F i ⋅ v i i und i PT =∑ P T i =−∑ mi a i⋅ v i i i folgt das Prinzip der virtuellen Leistung für Massenpunktsysteme: P P T =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-37 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Die Anzahl der unabhängigen virtuellen Verschiebungen entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. – Damit liefert das Prinzip der virtuellen Leistung genau so viele Gleichungen, wie das System Freiheitsgrade hat. – Das Prinzip der virtuellen Leistung gilt sinngemäß auch für Systeme aus starren Körpern. – Der große Vorteil des Prinzips der virtuellen Leistung ist, dass es die Zwangskräfte nicht enthält. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-38 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung ● Beispiel: Seiltrommel – Für das dargestellte System, bestehend aus einer Seiltrommel und einem Klotz, ist die Bewegungsgleichung aufzustellen. m2 , J2 ri ra Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik m1 Dynamik 2 5.1-39 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Die Zwangsbedingungen wurden bereits untersucht. – Als verallgemeinerte Koordinate wird der Winkel φ gewählt, der die Lage der Trommel beschreibt. – Dann gilt: φ x = ra y = r a r i ẋ = r a ̇ ẏ = r a r i ̇ Prof. Dr. Wandinger S x P 5. Prinzipien der Mechanik y Dynamik 2 5.1-40 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte: m2 S ẋ G2 ẏ m1 G1 P=G 1 ẏ=m 1 g r a r i ̇ Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-41 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: P T =−F T 1 ẏ− F T 2 ẋ− M T 2 ̇ F T 1=m1 ÿ=m 1 r a r i ̈ F T 2 =m 2 ẍ=m 2 r a ̈ M T 2 =J 2 ̈ Prof. Dr. Wandinger MT2 FT2 ̇ 5. Prinzipien der Mechanik ẋ m2 , J2 FT1 ẏ m1 Dynamik 2 5.1-42 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung – Prinzip der virtuellen Leistung: P PT =0 m1 g r a r i ̇−m1 r a r i ̈ r a r i ̇ −m2 r a ̈ r a ̇−J 2 ̈ ̇=0 – Da die virtuelle Geschwindigkeit ̇ beliebig ist, muss gelten: 2 m 1 g r a r 1 − m1 r a r i m 2 r 2a J 2 ̈=0 [ – Ergebnis: Prof. Dr. Wandinger ̈= ] m1 r a r 1 2 2 a m1 r a r i m2 r J 2 5. Prinzipien der Mechanik g Dynamik 2 5.1-43
