5 Flächenberechnung

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5
Flächenberechnung
Wussten Sie schon, dass (bezogen auf die Fläche) Ihr größtes Organ Ihre
Haut ist? Sie hat durchschnittlich (bei Erwachsenen) eine Größe von ca. 1,6
bis 1,9 m2.
Wozu brauche ich das in der Praxis?
Dachdecker sollten in der Lage sein, in der Praxis vorkommende Dach- und
Fassadenflächen auch ohne Computer ausrechnen zu können. Wie unten
stehende Bilder zeigen, kommen dabei sehr viele Arten von Flächen und
somit unterschiedlichste geometrische Formen in Betracht (siehe Abb. 5.1:
Rechteckige Dachflächen und Abb. 5.2: Dreieckige Dachflächen und Parallelogramme).
Abb. 5.1:
Rechteckige Dachflächen
5.1
Abb. 5.2: Dreieckige Dachflächen und Parallelogramme
Vierecke
Die Winkelsumme in Vierecken beträgt immer 360°.
5.1.1
Quadrat
Ein Quadrat zeichnet sich dadurch aus, dass alle 4 Seiten gleich lang sind
und alle 4 Winkel rechte Winkel sind, 2 gegenüberliegende Seiten sind
parallel und 2 benachbarte Seiten stehen im rechten Winkel zueinander
(siehe Abb. 5.1.1: Quadrat).
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5.1
Abb. 5.1.1:
Quadrat
Abb. 5.1.2:
Vierecke
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Rechteck
Merke: Berechnung der Fläche eines Quadrats:
A = a ∙ a = a2
Praxistipp:
Beispielsweise soll die Fläche einer quadratischen Flachdachfläche berechnet
werden:
Länge der Attika (innen gemessen) a = 16,5 m
A = (16,5 m)2
A = 16,52 m2
A = 272,25 m2
ACHTUNG! An dieser Stelle ist aus mathematischer Sicht die Schreibweise
wichtig! Es darf nicht auf die Klammer verzichtet werden, denn (16,5 m)2 ≠
16,5 m2 (siehe Kapitel 2.9.1 Potenzen).
5.1.2
Rechteck
In einem Rechteck sind die beiden sich gegenüberliegenden Seiten a gleich
lang. Das Gleiche gilt für die Seiten b.
Alle 4 Winkel sind rechte Winkel (siehe Abb. 5.1.2: Rechteck).
Merke: Die Fläche eines Rechtecks errechnet sich aus:
A=a∙b
Praxistipp:
In der Praxis ist die Berechnung von rechteckigen Flächen z. B. bei Sattelund Pultdächern erforderlich. Dann steht ggf. a für die Trauflänge t und b
für die Sparrenlänge s (siehe Abb. 5.1.3: Flächenberechnung rechteckige
Dachfläche).
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5 Flächenberechnung
Abb. 5.1.3:
Flächenberechnung rechteckige
Dachfläche
4,
48
m
11,75 m
Beispiel:
Trauflänge t = 11,75 m
Sparrenlänge s = 4,48 m
A=t∙s
A = 11,75 m ∙ 4,48 m
A = 52,64 m2
Praxistipp:
Da alle 4 Winkel in einem Rechteck und 2 Seiten gegenüberliegend immer
gleich lang sein müssen, können sich mit einem Maßband auch größere
Baukonstruktionen auf Genauigkeit prüfen lassen. Die Diagonalen d1 und d2
müssen immer die gleichen Längen aufweisen. Wird festgestellt, dass sie
unterschiedlich lang sind, stimmen entweder die Winkel und/oder die Seitenlängen nicht (siehe Abb. 5.1.4: Diagonale bei Rechtecken).
Abb. 5.1.4:
5.1.3
Diagonale bei Rechtecken
Abb. 5.1.5: Parallelogramm mit
innen liegender Höhe
Parallelogramm
Beim Parallelogramm sind jeweils 2 sich gegenüberliegende Seiten parallel
zueinander. Die sich gegenüberliegenden Winkel sind somit gleich groß.
Die zur eingezeichneten Höhe ha rechtwinklig verlaufende Seite (hier a)
wird als Grundseite bezeichnet (siehe Abb. 5.1.5: Parallelogramm mit innen
liegender Höhe).
Dabei muss die Höhe nicht zwangsläufig in der Fläche verlaufen (siehe
Abb. 5.1.6: Parallelogramm mit außen liegender Höhe):
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5.1
Abb. 5.1.6: Parallelogramm mit
außen liegender Höhe
Abb. 5.1.7: Flächenberechnung Parallelogramm 1
Vierecke
101
Abb. 5.1.8: Flächenberechnung Parallelogramm 2
A = a ∙ ha
(Der Index a bei ha bedeutet, dass die Höhe h senkrecht zu a steht.)
Zum besseren Verständnis der Formel folgende Darstellungen (siehe Abb.
5.1.7: Flächenberechnung Parallelogramm 1 und Abb. 5.1.8: Flächenberechnung Parallelogramm 2):
Die Flächenberechnung in Abb. 5.1.7: Flächenberechnung Parallelogramm 1
ist denkbar einfach:
A = a ∙ ha
(siehe Kapitel 5.1.2 Rechteck).
Würde man nun das schraffierte Dreieck abschneiden und links ansetzen
(siehe Abb. 5.1.8: Flächenberechnung Parallelogramm 2), ergibt sich ein
Parallelogramm. Die Berechnungsformel für den Flächeninhalt muss dieselbe sein, da beide Flächen gleich groß sind.
Beispiel:
An einer Walmgaube (siehe Abb. 5.1.9: Flächenberechnung Walmgaube) soll
die bemaßte Dachfläche berechnet werden.
Abb. 5.1.9:
gaube
0,84 m
m
0,84
0,67
m
0,90 m
Flächenberechnung Walm-
0,90 m
Trauflänge t = Firstlänge f = 0,90 m
Sparrenlänge s = 0,70 m
Gratlänge g = Kehllänge k = 0,86 m
A=t∙s
A = 0,90 m ∙ 0,70 m
A = 0,63 m2
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ACHTUNG! Formel beachten! Die Grundseite (Traufe oder First) ist mit der
Sparrenlänge (Höhe im Parallelogramm) zu multiplizieren und nicht mit der
Grat- oder der Kehllänge!!!
Praxistipp:
Dass die Höhe nicht in der Fläche gemessen werden kann, kann durchaus
in der Praxis passieren, wie Abb. 5.1.10: Höhenermittlung Parallelogramm in
der Praxis zeigt.
Abb. 5.1.10: Höhenermittlung Parallelogramm in der Praxis
1,05 m
3,1
0m
1,05
m
Vorausgesetzt, dass die benachbarten Flächen die gleiche Neigung haben,
kann die Höhe des Parallelogramms auch auf einer angrenzenden Fläche
gemessen werden, denn die Sparrenlängen müssen dann gleich sein.
In diesem Fall ergibt sich für die Fläche des Parallelogramms:
A = 1,05 m ∙ 3,10 m
A = 4,15 m2
5.1.4
Trapez
Bei einem Trapez sind nur 2 Seiten unterschiedlicher Längen parallel. Die
Winkel können alle unterschiedlich sein (siehe Abb. 5.1.11: Trapez).
Merke: Die Berechnung der Fläche eines Trapezes erfolgt nach:
A=
a+c
∙ ha
2
Abb. 5.1.11: Trapez
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Abb. 5.1.12:
Trapez
Flächenberechnung
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162
8
Prozentrechnen
Prozentwert:
Der Prozentwert ist der Wert, der sich ergibt, wenn der Prozentsatz auf die
Basis angewendet wird. Der Prozentwert und die Basis haben demnach dieselbe Einheit (z. B. St., m, m2, € etc.).
Promille:
Darüber hinaus kennen wir den Begriff Promille [‰]. Der einzige Unterschied zwischen Prozent und Promille ist, dass bei Promille („pro Tausend“)
eine Unterteilung der Basis in 1.000 gleiche Teile erfolgt. Das hat unter
Umständen den Vorteil, dass eine Nachkommastelle gespart werden kann.
Die Beziehung zwischen Basis, Prozentsatz und Prozentwert lautet:
Basis ∙ Prozentsatz
100
Prozentwert =
Je nachdem, welche Größe gesucht ist, wird die Formel einfach umgestellt
(siehe Kapitel 2.10 Umstellen von Gleichungen und Ungleichungen):
Basis =
Prozentwert ∙ 100
Prozentsatz
Prozentsatz =
Prozentwert ∙ 100
Basis
Für die Begriffe Basis, Prozentwert und Prozentsatz werden zumeist Abkürzungen verwendet:
Basis:
B
Prozentsatz: PS
Prozentwert: PW
Aus der jeweiligen Situation heraus ergibt sich, was genau die Basis, der
Prozentsatz und der Prozentwert ist.
Für nachfolgende Beispiele wird hier als gesuchte Größe die Variable x verwendet.
Beispiel (Prozentwert gesucht):
Wir benötigen zur Eindeckung eines Daches 5.000 Betondachsteine. Wir
gehen von einem Verschnitt von 3 % aus, den wir auf die Bedarfsmenge aufschlagen wollen. Wie viele Betondachsteine werden verschnitten und müssen anschließend entsorgt werden?
Die Basis sind 5.000 Betondachsteine. Auf diese Basis sollen als Verschnitt
3 % aufgeschlagen, also zusätzlich bestellt, werden. Demnach ist der Prozentsatz 3 %. Der Prozentwert ist die Anzahl der Betondachsteine, die verschnitten werden.
5.000 St. ∙ 3 %
3
= 5.000 St. ∙
= 5.000 St. ∙ 0,03
100 %
100
x = 150 St.
x=
8.1
Allgemeine Prozentrechnung
Praxistipp:
Um schneller mit dem Taschenrechner rechnen zu können, kann der Prozentsatz durch Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach links direkt
eingegeben werden (Multiplikation mit 0,03).
Alternativ könnte die zu bestellende Anzahl Betondachsteine gesucht sein.
Die Basis ist dann immer noch 5.000 Betondachsteine. Gesucht ist nun der
Prozentwert, der sich hinter dem Prozentsatz 103 % verbirgt, denn wenn
5.000 Betondachsteine (= 100 %) verlegt und 3 % als Verschnitt aufgeschlagen werden sollen, müssen 103 % bestellt werden.
5.000 St. ∙ 103 %
= 5.000 St. ∙ 1,03
100 %
x = 5.150 St.
x=
Dieser Prozentwert könnte natürlich auch ermittelt werden, indem der
errechnete Verschnitt auf die benötigte Menge aufgeschlagen wird:
x = 5.000 St. + 150 St.
x = 5.150 St.
Eingabetipps Taschenrechner:
Mithilfe der „Prozenttaste“ % können Prozentwerte schnell ermittelt und
addiert (bzw. subtrahiert) werden:
Herkömmliche Eingabelogik
Eingabe hier: 5.000 + 3 Shift/2nd % Enter/= (siehe Abb. 8.1.1: Prozente
addieren (herkömmliche Eingabelogik)).
Nach Shift/2nd wird der Prozentwert (150) als Zwischenergebnis angezeigt.
Erst nach Enter/= wird das Endergebnis ausgegeben.
Abb. 8.1.1: Prozente addieren
(herkömmliche Eingabelogik)
Direkte Eingabelogik
Eingabe hier: 5.000 + 3 Shift/2nd % Enter/= (siehe Abb. 8.1.2: Prozente
addieren (direkte Eingabelogik)).
163
164
8
Prozentrechnen
Abb. 8.1.2: Prozente addieren
(direkte Eingabelogik)
Entsprechend wird bei beiden Eingabelogiken mit – ein Prozentwert automatisch abgezogen.
Beispiel:
Basis gesucht
Ein Tonziegel kostet 1,80 Euro inkl. Mehrwertsteuer (19 %). Wie viel kostet
der Betondachstein ohne Mehrwertsteuer?
Hier ist wichtig zu beachten, dass der Nettopreis die Basis (= 100 %) ist,
denn die Mehrwertsteuer wird immer auf den Nettobetrag aufgeschlagen.
Der Bruttobetrag von 1,80 Euro ist also der Prozentwert, der sich hinter
dem Prozentsatz 119 % verbirgt.
x=
1,80 € ∙ 100 %
100
119
= 1,80 € ∙
= 1,80 € ÷
= 1,80 € ÷ 1,19
119 %
119
100
x = 1,51 €
(gerundet)
Beispiel:
Prozentsatz gesucht
Der Umsatz unseres Unternehmens hat sich 2014 im Vergleich zum Vorjahr von 4.500.000 Euro auf 4.850.000 Euro gesteigert. Um wie viel Prozent
wurde der Umsatz gesteigert?
Die Basis sind 4.500.000 Euro, denn die prozentuale Steigerung bezieht sich
laut Aufgabenstellung auf diese Ausgangslage. Der Prozentwert ist die Differenz des Umsatzes der beiden Geschäftsjahre, also 350.000 Euro. Um diesen
Betrag ist der Umsatz gesteigert worden.
x=
350.000 € ∙ 100 %
4.500.000 €
x = 7,78 %
(gerundet)
Angenommen, der Umsatz geht im Jahr 2015 wieder zurück auf den alten
Wert (4.500.000 Euro). Um wie viel Prozent ist der Umsatz im Vergleich
zum Vorjahr gesunken? Voreilig und falsch wäre die Antwort: „Um 7,78 %“.
Zwar ist der Umsatz um die gleiche Summe (350.000 Euro) gefallen, wie er
zuvor gestiegen ist, jedoch ist die Basis nun nicht mehr 4.500.000 Euro, sondern 4.850.000 Euro. Der Umsatz würde dementsprechend um
10 Projektaufgaben
P
tern (zzgl. 7 % Verschnitt)! Die Zeichnung zeigt die fertigen Abmessungen
der Verschalung. Die Tiefe der Fensterlaibung beträgt 20 cm. Die Laibung
wird ebenfalls verschalt. Beide
Dachneigungen (Hauptdachfläche und Gaubendachfläche)
betragen 40°. Ermitteln Sie
weiterhin die Anschlusslängen (traufseitig und
seitlich) und die Kehllängen!
P
P
P
214
P
P
Abb. 10.2.1
10.3
Ermittlung der Spendensumme
durch den Verkauf von Flachdachdämmung
In Ihrem Ausbildungsbetrieb läuft derzeit eine Spendenaktion. Pro verkauftem m3 Dämmung spendet der Betrieb 2 Euro an eine Stiftung. Wie hoch ist
die Spendensumme, die durch das Dämmen der dargestellten Flachdachfläche mit Gefälledämmung erreicht wird? Im Bereich des Dachgrabens ist
die Dämmung 20 cm dick. Im Bereich der Dachränder beträgt die Dicke der
Dämmung 30 cm.
P
P
P
P
P
'DFKJUDEHQ
Abb. 10.3.1
Abb. 10.3.2
10.4
Zwischensparrendämmung im Steildach
Ermitteln Sie die Menge der Dämmung (in m2), die als Zwischensparrendämmung zwischen die Sparren montiert wird!
Hilfestellungen, Randbedingungen, Angaben:
●
●
Die Dachneigung α beträgt 35°.
Die Breite der Sparren beträgt 8 cm.