Organisatorisches Kapitel 6: Geometrische Algorithmen

Organisatorisches
ƒ Anmeldung Prüfung ist eröffnet
• Anmeldung möglich bis 16.06.04
Kapitel 6: Geometrische
Algorithmen
ƒ Abgabe der Programmieraufagabe:
• 21-23.6.04
• 20 Minuten Abgabegespräch
• Näheres auf Webseite
ƒ Programmierwettbewerb:
• Einreichung der Lösungen bis 14.06.04 um
12:00
• Siegerehrung in Vorlesung am 14.06.04
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Institut für Computergraphik und Algorithmen
Das Scan-Line Prinzip
Geometrische Problem
ƒ Eingabedaten sind Elemente im ddimensionalen Raum
ƒ Beispiele: Landkarten, Chip-Layouts,
Konstruktionspläne...
ƒ Geometrische Algorithmen nutzen
geometrische Eigenschaften der Elemente
aus um Lösungen zu finden
ƒ Hier betrachtete Themen:
• Scan-Line Prinzip
• Mehrdimensionale Bereichssuche
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ƒ
ƒ
Eingabe: Menge von Elementen in 2D
Idee: Wandle statisches 2D-Problem in
dynamisches 1D-Problem um
Vorgehensweise: Bewege vertikale Linie
(Scan-Line) von links nach rechts über
Objektmenge
Scan-Line teilt Objekte in 3 Gruppen:
1. Tote Objekte: Liegen komplett links von L
2. Aktive Objekte: Werden von L geschnitten
3. Inaktive Objekte: Liegen komplett rechts von L
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Beispielproblem
ƒ Gegeben: Menge S={s1,...,sn} von
insgesamt n vertikalen und horizontalen
Liniensegmenten in 2D
ƒ Gesucht: Alle Paare sich schneidender
Segmente
ƒ Naive Lösung: Teste alle Paare von
Segmenten auf Schnitt testen
ƒ Laufzeit: Θ(n2)
ƒ Optimal falls Θ(n2) Schnittpunkte, aber
schlecht wenn weniger Schnittpunkte
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ƒ
ƒ
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Beispiel 1: Schnitt Isoorientierte Liniensegmente
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Kreuzende Paare: 3
Wieviele Schnittpunkte kann es bei n Segmenten
maximal geben?
Hälfte der Segmente senkrecht, Hälfte
waagerecht, alle möglichen Schnittpunkte:
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1
Vereinfachende Annahmen
Beobachtungen
ƒ Alle Anfangs- und Endpunkte der
horizontalen Segmente und vertikale
Segmente haben paarweise
verschiedene x-Koordinaten
ƒ Erspart viele Fallunterscheidungen im
Algorithmus
ƒ In unserem Beispiel treffen Annahmen
zu.
ƒ
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ƒ
Man muss Scan-Line nicht kontinuierlich
über Ebene ziehen
Es gibt nur 3 Arten von interessanten
Stellen (X-Koordinaten):
1. Start von horizontalem Segment
2. Ende von horizontalem Segment
3. Vertikales Segment
ƒ
Triff Scan-Line auf vertikales Segment, so
kann sich das nur mit aktiven horizontalen
Segmenten kreuzene3
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Algorithmus:
Beispiel
L
A
D
E
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Anforderungen an die
Datenstruktur für L
Realisierung durch balancierte
Bäume
ƒ
ƒ Einfügen und Löschen in Zeit O(log n)
ƒ Bereichsabfrage nach [l,h]
Horizontale Elemente werden in L mit ihrer
Y-Koordinate als Schlüssel gespeichert
ƒ Folgende Operationen müssen effizient
unterstützt werden:
1. Einfügen von neuen Elementen
2. Löschen von Elementen
3. Ausgeben aller enthaltenen Elementen
deren Schlüssel in bestimmtem Bereich
liegt
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1. Finde das Element x mit kleinsten
Schlüssel ≥ l
2. Gib x aus falls Schlüssel · h
3. Durchlaufe Baum in inorder Reihenfolge
von x aus und gib alle erreichten Knoten
aus solange Schlüssel · h
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Suchen von Knoten p mit
kleinstem Schlüssel ≥ x
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Beispiel: Suche Knoten mit
Schlüsseln in [8,21]
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Beispiel: Suche Knoten mit
Schlüsseln in [8,21]
Laufzeitanalyse
ƒ Bereichssuche:
•
•
•
•
Sei r Anzahl Elemente in [yu,yo]
Suchen nach yu: O(log n)
Durchlaufen Baum bis Knoten größer yo: O(r)
Laufzeit insgesamt Bereichssuche: O(log n + r)
ƒ Scanline gesamt:
• Sortieren Haltepunkte: O(n log n)
• Scan: Für jeden Haltepunkt pi O(log n + ri) wobei ri
Anzahl Kreuzungen bei pi
• Also insgesamt O(n log n + R) (R Gesamtzahl
Kreuzungen)
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Schnitt von allgemeinen
Liniensegmenten
Bemerkungen
ƒ Wenn R langsamer als quadratisch wächst
ist Scanline Verfahren dem naiven Verfahren
überlegen
ƒ Man kann zeigen: Es gibt Probleminstanzen,
für die O(n log n + R) Schritte nötig sind, um
alle Kreuzungen auszugeben ⇒ Scanline
Verfahren ist Worst Case optimal
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ƒ
ƒ
ƒ
Gegeben: Menge von n Liniensegmenten s1,...,sn in
der Ebene
Gesucht: Menge aller echten Schnittpunkte
(Schnittpunkte, die nicht gleichzeitig Endpunkte sind)
Annahme: Allgemeine Lage
1.
2.
3.
4.
Kein Segment senkrecht
Schnitt zweier Segmente leer oder genau ein Punkt
In einem Punkt schneiden sich nie mehr als 2 Segmente
Alle Endpunkte und Kreuzungen haben paarweise
verschiedene x-Koordinaten
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Beispiel
Vorgehensweise
ƒ Prinzip wie bei senkrechten und horizontalen
Segmenten
ƒ Scanline von links nach rechts
ƒ Beobachtung 1:
• Seien si und sj Segmente die sich bei Pi,j=(x,y)
kreuzen. Dann sind si und sj auf Scanline
benachbart wenn sich Scanline auf Position x-ε
befindet (für kleines ε).
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Beispiel
Vorgehensweise
si
ƒ Beobachtung 2:
• An einem Schnittpunkt
vertauscht sich Reihenfolge der
betroffenen Segmente auf
Scanline
sj
x
x-ε
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Beispiel
Folgerung:
si
sj
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ƒ Müssen Scanline-Datenstruktur aktualisieren
wenn Kreuzung erreicht damit Reihenfolge
der Segmente auf Scanline korrekt bleibt
ƒ Auch Kreuzungen müssen Haltepunkte der
Scanline sein
ƒ Kreuzungen sind Haltepunkte, die erst
während Durchführung des Scans in
Haltepunkt-Datenstruktur eingefügt werden
sj
si
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Drei Arten von Ereignissen
1.
2.
3.
ƒ
Segmentanfang (am Anfang bekannt)
Segmentende (am Anfang bekannt)
Kreuzung (erst während Scan berechnet)
Datenstruktur Ereignis enthält:
• X-Koordinate
• ID der betroffenen Elemente (eine bei Anfang
oder Ende, zwei bei Kreuzung)
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ƒ
1. Nächstes_Ereignis(): Liefert nächstes
Ereignis rechts vom aktuellen Ereignis
2. Füge_Ein(Ereignis E): Fügt ein
Kreuzungs-Ereignis in ES ein
ƒ Implementierung:
• Heap oder balancierter Baum
• Laufzeit jeder Operation O(log |ES|)
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Scanline-Status-Struktur
SSS
ƒ
Operationen EreignisDatenstruktur ES
Implementierung SSS
Speichert Segmente geordnet nach yKoordinate des Schnittpunkts mit Scanline
Operationen:
ƒ Blattorientierter balancierter binärer
Suchbaum mit zusätzlicher Verkettung der
Vorgänger und Nachfolger
1. FügeEin(Segment s): Bei Anfang Segment
2. Entferne(Segment s): Bei Ende Segment
3. Vorg(Segment s): Segment oberhalb von s auf
Scanline
4. Nachf(Segment s): Segment unterhalb von s auf
Scanline
5. Vertausche(Segment s_1, Segment s_2):
Vertauscht Positionen von Segmenten auf
Scanline
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Funktion
TesteSchnittErzeugeEreignis(s1,s2)
Teil 1 Algorithmus
ƒ Nimmt zwei benachbarte Segmente s1
und s2 auf Scanline
ƒ Testet ob Schnitt existiert
ƒ Falls ja, erzeugt neues Ereignis mit xKoordinate des Schnittpunkts und ID
der Segmente
ƒ Ansonsten wird leeres Ereignis
zurückgeliefert
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Teil 2 Algorithmus
Teil 3 Algorithmus
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Beispiel
Laufzeit
ƒ Sortieren 2n Endpunkte nach x-Koordinate:
O(n log n)
ƒ Gesamtzahl Ereignisse: 2n+k (k Kreuzungen)
ƒ Nie mehr als O(n2) Ereignisse gleichzeitig in
ES (weil maximal O(n2) Kreuzungen)
ƒ Also jede Operation auf ES Laufzeit O(log n)
ƒ In SSS nie mehr als n Elemente
ƒ Jeder Zugriff auf SSS in Zeit O(log n)
s1
s5
s2
s3
s4
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Laufzeit
ƒ Schleife wird maximal O(2n+k) mal
durchlaufen
ƒ In jedem Durchlauf maximal 5 Operationen
auf ES und SSS
ƒ Gesamtlaufzeit: O((n+k) log n)
ƒ Speicherplatzbedarf: O(n2) weil maximal
quadratisch viele Kreuzungen in ES
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