Übungsblatt 9 / Assignments 9

Fachhochschule Münster
Fachbereich Maschinenbau
Prof. Dr. L. Göllmann
M ATHEMATIK II - SS 2017
9. Ü BUNGSBLATT LINEARE ALGEBRA
Aufgabe 41
Sind die folgenden Vektorsysteme linear abhängig oder linear unabhängig?
1
1
3
0
2
1
0
0
a)
,
,
,
0
b)

c) 
1
2
0
1
1
2
−3
0
1
1
,
1
0
1


,
, 
1
0
−3
0
1

0
0
0
2

, 
1
2
3
4
5


d) (1, 2, 3, 4), (1, 0, 3, 0), (0, −2, 0, −4)
e) (0, 1, 1), (2, 3, 1), (5, 1, 4)
Aufgabe 42
Berechnen Sie die Dimension der folgenden Vektorräume
a) h~a,~b, ~c, d~i,
~a = (1, 2, 3)T ,~b = (0, 4, 6)T , ~c = (3, −6, −9)T , d~ = (−2, 8, 11)T
wobei
b) Lösungsmenge von
( x +x
+3x
1
2
2x1
+ x2
x2
x1
+ x3
+ x3
+ x3
4
− x5
7x4
−5x4
+4x4
+ x5
+ x5
=
=
=
=
0
0
0
0
)


1 2 2
c) Bild  2 3 3 
0 4 6
Aufgabe 43
Gegeben seien die folgenden drei räumlichen Vektoren


 
 √ 
−
1
2
1
√ 
~




~c =
~a =
b=
,
2 .
2 ,
√1
0
2
2
a) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~a und ~b ein?
b) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~b und ~c ein?
c) Konstruieren Sie einen Vektor in der x − y−Ebene, der um 45◦ im positivem Sinne vom
Vektor ~c verdreht ist.
1
Aufgabe 44
Es seien
 
1

~x =
2 ,
3


−1
~y =  5  ,
4


0
~z =  −1 
1
Berechnen Sie die folgenden Produkte
a) Berechnen Sie das Vektorprodukt ~x × ~y.
b) Berechnen Sie das doppelte Vektorprodukt ~x × (~y ×~z).
c) Zeigen Sie durch Rechnung, das der unter a) berechnete Vektor sowohl senkrecht auf
~x als auch senkrecht auf ~y steht.
d) Berechnen Sie das Volumen des durch die drei Vektoren ~x, ~y und ~z aufgespannten
Spats.
Aufgabe 45
Gegeben sei eine reguläre und symmetrische n × n-Matrix A über R. Geben Sie für jede der
folgenden Aussagen an, ob sie unter diesen Umständen falsch [F] oder richtig [R] ist.
F R ← Bitte ankreuzen
Die transponierte Matrix A T ist singulär.
Es gilt En · A T = A · EnT .
Das homogene lineare Gleichungssystem A~x = ~0 hat genau eine Lösung.
Es gilt Rang A = n.
Ist A orthogonal, d.h. A−1 = A T , so gilt A2 = En .
Es gilt det A = 0.
Der Rang der Matrix A entspricht ihrer Spaltenzahl.
Die Spalten von A sind linear abhängig.
Kern A enthält mehr als einen Vektor.
Es gibt einen Vektor ~b ∈ Rn , so dass das LGS A~x = ~b keine Lösung besitzt.
Die Matrix A ist invertierbar.
det( A · A T ) = (det( A))2 > 0.
2