Technische Informatik - Eine Einführung

Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Fachbereich Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Technische Informatik
Prof. P. Molitor
Ausgabe: 2005-02-21
Abgabe: 2005-02-21
Technische Informatik - Eine Einführung
Zahlendarstellungen
Aufgabe 1 (0 Punkte)
Wiederholen Sie anhand der folgenden Teilaufgaben den Umgang mit der Binärdarstellung.
a)
Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung
n−1
X
2i = 2n − 1.
i=0
b)
Wie viele Stellen werden jeweils für die Darstellungen der Dezimalzahlen
· 2048
· 4095
· 131578387
· 56238383874
· 8753784734747
in Binärdarstellung (ohne Vorzeichen) mindestens benötigt?
Aufgabe 2 (0 Punkte)
Gegeben sei die 32 bit-Zahl
x = 10101100001101000010011010100111.
Interpretieren Sie x als
a)
Zahl in Betrag-Vorzeichen-Darstellung mit drei Nachkommastellen,
b)
Zahl in Einerkomplementdarstellung mit drei Nachkommastellen,
c)
Zahl in Zweikomplementdarstellung mit vier Nachkommastellen und
d)
Gleitkommazahl nach dem Ieee 754 Standard.
1
Aufgabe 3 (0 Punkte)
Gegeben seien die Dezimalzahlen x = 127, 625 und y = −3, 0625. Stellen sie die beiden
Zahlen in der Zweierkomplementdarstellung mit einer Länge von jeweils 16 Stellen inkl. 6
Nachkommastellen dar.
Aufgabe 4 (0 Punkte)
Berechnen Sie für die im folgenden gegebenen vier Zahlen in unterschiedlichen Zahlendarstellungen jeweils alle anderen Darstellungen.
· Dezimal mit Vorzeichen und Betrag (vorderste Stelle + = positive Zahl, - = negative
Zahl)
· 16-Bit Binär mit Vorzeichen und Betrag (höchstwertigstes Bit 0 = positive Zahl, 1 =
negative Zahl)
· 16-Bit Binär in der Einer-Komplement Darstellung
· 16-Bit Binär in der Zweier-Komplement Darstellung
· Oktal (interpretiert als Zweier-Komplement)
· Hexadezimal (interpretiert als Zweier-Komplement)
Wichtig: Verwenden Sie für die dezimale, oktale und hexadezimale Darstellungsform nur so
viele Stellen, wie für die Darstellung mindestens benötigt.
Gegeben sind die Zahlen:
· +1024
Dezimal mit Vorzeichen und Betrag
· A0F1
Hexadezimal (interpretiert als Zweierkomplementdarstellung)
· 77777
Oktal (interpretiert als Zweierkomplementdarstellung)
· 1111111111111111
16-Bit Binär in der Zweierkomplementdarstellung
Aufgabe 5 (0 Punkte)
Gegeben ist die Zahl −78. Schreiben Sie die Zahl in Zweierkomplementdarstellung mit einem
Byte und mit vier Byte auf.
Darstellung mit einem Byte:
Darstellung mit 2-Byte:
Aufgabe 6 (0 Punkte)
Der Speicher des Zuse-Rechners Z1 erlaubt es, binäre Zahlen als 22 Bit-Worte darzustellen.
Jede gespeicherte Zahl besteht aus dem Vorzeichen (1 Bit), dem Exponenten (7 Bit) und der
Mantisse (14 Bit).
2
Der Aufbau einer solchen binären Zahl sieht wie folgt aus:
x= v
a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
b−1 b−2 b−3 b−4 b−5 b−6 b−7 b−8 b−9 b−10 b−11 b−12 b−13 b−14
wobei v, ai , bi ∈ {0, 1}.
Der dezimale Wert ergibt sich aus
P5
dez(x) = (−1)v · 2((
i=0
ai ·2i )−(64·a6 ))
−1
X
· (1 +
bi · 2i ).
i=−14
a)
Die Speicherbelegung sei nun wie folgt gegeben:
1. Zahl
2. Zahl
3. Zahl
Vorzeichen
0
1
0
Exponent
0000000
0011000
1110100
Mantisse
11101000000000
10110000000000
01110001110001
Welche Zahlen wurden im folgenden Speicher abgelegt? Geben Sie den zugehörigen
dezimalen Wert an.
b)
Wie lautet die größte positive Zahl, die in diesem Speicher abgelegt werden kann?
Geben Sie den dezimalen Wert an.
c)
Wie lautet die betragsmäßig kleinste Zahl, die in diesem Speicher abgelegt werden
kann und eine Mantisse b ungleich 0 besitzt, d.h. ∃i, so dass bi 6= 0 ? Geben Sie den
dezimalen Wert an.
Aufgabe 7 (0 Punkte)
Eine Zahlendarstellung zur Basis b über der Ziffernmenge D ⊆ 1Z wird dargestellt durch
±(. . . a2 a1 a0 .a−1 a−2 . . .)b
mit ai ∈ D und beliebigem i ∈ Z und interpretiert als
±(· · · + a2 · b2 + a1 · b1 + a0 + a−1 · b−1 + a−2 · b−2 + · · ·).
Betrachten Sie die Darstellung zur Basis b =
365 und 3 17 zu dieser Basis dar.
1
10
mit D = {0, 1, . . . , 9}. Stellen Sie die Zahlen
Aufgabe 8 (0 Punkte)
Gegeben sei eine beliebige n-Bit-Darstellung (an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ) in
a)
einer vorzeichenbehafteten binären Darstellung (ein Bit für das Vorzeichen),
b)
der Zweikomplement-Darstellung und
c)
der Einerkomplement-Darstellung
3
einer Zahl x
Wie sehen die Darstellungen jeweils aus, wenn die Bitbreite von n auf 2n erweitert wird?
Die jeweils dargestellte Zahl x soll unverändert bleiben. Beweisen Sie ihre Konstruktion.
Aufgabe 9 (0 Punkte)
Gegeben sei die dezimale Zahl −1478. Wandeln Sie diese Zahl in die folgenden Darstellungen
mit jeweils 12 Stellen (in der entsprechenden Darstellung) um:
Binär mit Betrag-Vorzeichen:
Binär im Einserkomplement:
Binär im Zweierkomplement:
Binär im Zweierkomplement in oktaler Schreibweise:
Binär im Zweierkomplement in hexadezimaler Schreibweise:
Aufgabe 10 (0 Punkte)
Sei α die n-Bit Zweierkomplementdarstellung (ohne Nachkommastellen) einer ganzen Zahl
x, auf die folgendes Verfahren angewendet wird:
i)
Invertiere jede Bitstelle von α.
ii)
Addiere auf die niederwertigste Bitstelle der so erhaltenen Binärzahl eine Eins.
iii)
Nenne die so konstruierte Darstellung βα
Beweisen Sie formal, dass βα die Zweierkomplementdarstellung der Zahl −x ist.
Aufgabe 11 (0 Punkte)
Die Zahlendarstellung (· · · a2 a1 a0 .a−1 a−2 · · ·)b zur Basis 3 mit ai ∈ D := {−1, 0, 1} werde
durch
φ3 (· · · a2 a1 a0 .a−1 a−2 · · ·) = · · · + a2 · 32 + a1 · 31 + a0 + a−1 · 3−1 + a−2 · 3−2 + · · ·
interpretiert. Die Ziffer −1 werde im Folgenden durch das Symbol 1 ausgedrückt. Bemerken
Sie bitte, dass in dieser Zahlendarstellung kein Vorzeichen vorgesehen ist.
i)
Welche dezimalen Werte werden durch 1101, 1100.11 und 0.1111 . . . dargestellt?
ii)
Wie lassen sich in dieser ternären Darstellung Zahlen negieren? Beweisen Sie Ihre Aussage.
iii)
Wie lassen sich in dieser ternären Darstellung Zahlen runden, wenn man nur endliche
Darstellungen betrachtet? Unter Runden“ verstehen wir hierbei die Operation, die zu
”
einer nicht ganzen Zahl die ganze Zahl ermittelt, die am nächsten liegt. Begründen Sie
Ihren Vorschlag.
4
Aufgabe 12 (0 Punkte)
Eine Zahlendarstellung zur Basis b über der Ziffernmenge D werde dargestellt durch
±(. . . a2 a1 a0 .a−1 a−2 . . .)b = ±(· · · + a2 · b2 + a1 · b1 + a0 + a−1 · b−1 + a−2 · b−2 + · · ·)
mit ai ∈ D und beliebigem i ∈ Z.
Für die Konvertierung zwischen binären (b = 2), oktalen (b = 23 ) und hexadezimalen (b = 24 )
Werten soll für beliebige k ∈ N die Beziehung
(. . . a2 a1 a0 .a−1 a−2 . . .)b = (. . . A2 A1 A0 .A−1 A−2 . . .)bk
mit
(∀i ∈ Z) Ai = (ak·i+k−1 . . . ak·i+1 ak·i )b ,
ausgenutzt werden.
i)
Was sagt diese Beziehung aus? Zeigen Sie die Korrektheit dieser Beziehung.
ii)
Wandeln Sie den oktalen Wert 60177756 in den entsprechenden binären, quarternären
(b = 22 ) und hexadezimalen Wert um.
Aufgabe 13 (0 Punkte)
Gegeben sei eine n-stellige Darstellung einer Zahl zur Basis b durch eine Interpretation
φ(xn−1 , . . . , x0 ) mit xi ∈ {0, . . . , b − 1}.
Berechnen Sie für folgende Darstellungen bei gegebenen b und n den Wert der kleinsten und
größten darstellbaren Zahl. Wie würden Sie die jeweilige Darstellung bezeichnen?
φ(xn−1 , . . . , x0 ) :=
n−1
X
xi · bi
(1)
i=0
φ(xn−1 , . . . , x0 ) := (−1)(xn−1 >0) ·
n−2
X
xi · bi
(2)
i=0
φ(xn−1 , . . . , x0 ) :=
n−2
X
xi · bi − (xn−1 > 0) · bn−1
i=0
Es gilt (xn−1 > 0) = 1 ⇔ xn−1 6= 0.
Aufgabe 14 (0 Punkte)
Sei x eine Gleitkommazahl einfacher Genauigkeit nach dem Ieee 754 Standard mit
Wandeln Sie x in die folgenden Darstellungen mit jeweils zwei Nachkommastellen um.
Dezimal mit Betrag-Vorzeichen:
5
(3)
Binär mit Betrag-Vorzeichen:
Binär im Einerkomplement:
Binär im Zweierkomplement:
Aufgabe 15 (0 Punkte)
Zeigen Sie, dass es im Zweier-Komplement nur eine Darstellung der Zahl 0 gibt, wenn die
Anzahl der Stellen vor dem Komma und die Anzahl der Stellen hinter dem Komma fest
vorgegeben sind.
Aufgabe 16 (0 Punkte)
Im alten Ägypten multiplizierten die Weisen des Landes zwei nichtnegative und von Null
verschiedene ganze Zahlen a und b, indem sie in einer Iteration die Zahl a mit 2 multiplizierten
und die Zahl b durch 2 ganzzahlig dividierten, was sie im Kopf rechnen konnten. Dies taten
sie solange, bis der Multiplikator b gleich 1 war. Da gerade Zahlen Unglück brachten — das
hatte etwas mit dem Sonnengott zu tun —, wurden die Zwischenergebnisse, in denen der
Multiplikator b gerade war, gestrichen. Das Ergebnis konnte durch Aufaddieren aller nicht
gestrichenen Multiplikanten a berechnet werden.
Beispiel: Multipliziere 5 und 27:
a
5
10
20
40
80
b
27
13
6
3
1
gestrichen
nein
nein
ja
nein
nein
Ergebnis: 80 + 40 + 10 + 5 = 135 = 5 · 27.
Beweisen Sie (zum Beispiel mittels Induktion), dass der vorgestellte Algorithmus korrekt
arbeitet, d. h. zwei positive ganze Zahlen korrekt miteinander multipliziert.
Aufgabe 17 (0 Punkte)
i)
Interpretieren Sie die Bitfolge 0 10000011 01001010000000000000000 als 32-Bit IEEE
Gleitkommazahl. Wie lautet die Dezimaldarstellung?
ii)
Gegeben sind die Zahlen
x = 0 10000011 01001010000000000000000
und
y = 1 10000001 10100000000000000000000
im 32-Bit IEEE Gleitkommaformat.
Führen Sie die Addition von x und y im 32-Bit IEEE Gleitkommaformat aus.
6
iii)
Erklären Sie den Sinn der Normierung bei Gleitkommazahlen!
Aufgabe 18 (0 Punkte)
Gegeben seien die beiden Zahlen x = 19 und y = −6.5. Geben Sie x, y und das Ergebnis von
x · y in Gleitkommadarstellung mit einfacher Genauigkeit (Ieee 754 Standard) an.
x:
y:
x·y :
Aufgabe 19 (0 Punkte)
(n)
Die Interpretation φ2 : {0, 1}n → Z bezeichne das Zweierkomplement und die Abbildung
(n)
φ1 : {0, 1}n → Z das Einerkomplement mit n Bits. Die Anzahl der Nachkommastellen sei
Null.
Seien x, y, s ∈ {0, 1}n und cn−1 ∈ {0, 1} mit
(n)
(n)
£
¤
(1) φ2 (x) + φ2 (y) ∈ −2n−1 , 2n−1 − 1 ,
(2) s = (sn−1 , . . . , s0 ) ist die formale Summe von x und y,
(3) cn−1 ist der beim Bilden der formalen Summe von x und y an der (n − 1)¨ ten Stelle
entstehende ausgehende Übertrag.
Zeigen Sie, dass die Gleichung
(n)
(n)
(n)
φ1 (x) + φ1 (y) = φ1 (s) + cn−1 · 20
gilt, d. h dass bei der Addition im Einerkomplement die formale Summe zu bilden ist und
dann der ausgehende Übertrag von der höchstwertigsten Stelle an der niederwertigsten Stelle
aufaddiert werden muss.
(n)
(n)
(n)
Hinweis: Aus der Vorlesung wissen Sie, dass φ2 (x) + φ2 (y) = φ2 (s) gilt. Überlegen Sie
(n)
(n)
sich, wie Sie aus φ2 (s) die Zahl φ1 (z) für alle z ∈ {0, 1}n berechnen können und machen
sie dann eine Fallunterscheidung über (xn−1 , yn−1 ) ∈ {0, 1}2 .
Aufgabe 20 (0 Punkte)
In der Vorlesung wurden bereits einige elementare Hardware-Bausteine vorgestellt. Ein weiterer solcher Baustein ist COMPARE zum Vergleich von Zahlen (d. h. zwei Eingänge für die
Operanden a und b sowie zwei Ausgänge für die Resultate von a = b (gleich) und a < b (echt
kleiner)).
Überlegen Sie sich einen möglichst effizienten Baustein zum Vergleich von zwei Gleitkommadarstellung nach IEEE 754 Standard. Überlegen Sie sich, wie man diesen Vergleich auf den
Vergleich von Zahlen in der Zweierkomplementdarstellung zurückführen kann.
Aufgabe 21 (0 Punkte)
7
Sei b ∈ N und b ≥ 1 fest gegeben. Dann heißen Zahlen der Form m · be Gleitpunktzahlen
zur Basis b, wobei m ∈ R als Mantisse oder Signifikant und e ∈ Z als Exponent bezeichnet
wird. Falls b−1 ≤| m |< 1 ist, spricht man von einer normierten Gleitpunktzahl — | m | ist der
Absolutbetrag der Zahl m.
Sei nun ein x ∈ R \ {0} gegeben.
Beweisen Sie, dass x auf genau eine Weise als normierte Gleitpunktzahl x = m·be geschrieben
werden kann.
8