Übungsblatt Nr. 11
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Prof. Dr. R. Plato 11. Übung zur Vorlesung Elemente der Stochastik Sommersemester 2013 Aufgabe 1. Zur zweimaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads mit angenommener Gleichverteilung betrachte man die Summe der beiden Versuchsausgänge als Zufallsvariable. ♣♣♣♣♣q♣qq♣q♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣ qqqq ....♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣ ♣♣♣....♣..♣..♣. 2 q ....... ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ .... . ♣♣ ............. ..... 0 ♣♣♣ ♣♣♣♣ 4 ........................r......................................♣♣♣ ♣♣♣ ............. ...... ♣ .. 8 ♣♣ ♣♣..♣......... ♣♣♣♣♣ 6 ........ ♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣..♣..♣♣♣♣♣ ♣ a) Man gebe die Zufallsvariable X explizit an. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in Tabellenform und als Stabdiagramm an. c) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X . Aufgabe 2. Auf einem Jahrmarkt wird das folgende Spiel mit dem nebenstehend abgebildeten Glücksrad angeboten: für das Spiel ist ein Startkapital von 2 e erforderlich. Das Spiel besteht in der sechsmaligen Drehung des Glücksrads, mit jeweils gleichwahrscheinlichen Ausgängen. Bei Grün gewinnt man jeweils 2 e, bei Rot verliert man jeweils 2 e. Das Spiel endet, wenn qqq ♣ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣♣q♣♣qq♣q♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ g qqq ♣♣♣♣♣♣♣♣ ♣ ♣ ....♣ ♣♣ ......... ♣♣ ........ ♣♣♣ ♣♣♣♣♣ ....................r............ ♣.♣.♣............... ♣♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ r ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ ♣ ♣ ♣ der Teilnehmer kein Kapital mehr hat, oder das Kapital inklusive Startkapital 8 e beträgt, oder die sechs Drehungen absolviert sind. Am Ende behält der Teilnehmer gegebenenfalls das gewonnene Kapital. a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, das alle möglichen Spielausgänge darstellt. b) Berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. c) Kann sich der Teilnehmer auf das Spiel einlassen? Aufgabe 3. Eine Laplace-Münze mit den Seiten Zahl und Wappen wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Die Zufallsvariable X gebe die Zahl der nötigen Versuche an. a) Man gebe eine Formel für die Wahrscheinlichkeit P .X D n/ mit n 1 an. b) Berechnen Sie die Werte P .X D 2/ und P .X D 3/. c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X . Keine Abgabe der Lösungen.
