Didaktik der Physik
Thema: Geometrische Optik
Linsen, Fernrohr und Mikroskop
Vortragender: Markus Kaldinazzi
Gliederung
Allgemeines zur geometrischen Optik
Aufbau des Strahlenganges an dünnen Linsen;
Arten von Linsen
Die Linsengleichung
Linsensysteme
Linsenmachergleichung
Vergrößerungsgläser; Winkelvergrößerung
Fernrohre
Mikroskope
Abbildungsfehler
Geometrische Optik (auch
Strahlenoptik)
• Näherung der Optik; Welleneigenschaften des
Lichtes werden vernachlässigt da die mit dem
Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel,
Linsen) groß im Verhältnis zur Wellenlänge des
Lichtes sind.
• Wellenlänge von sichtbarem Licht ca. 400 –
750nm << Maße von Alltagsgegenständen und
optischen Bauteilen
• Licht wird als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt
betrachtet
• Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsgesetz,
d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen,
ohne sich zu stören
• Geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium
• Reflexion an verspiegelten Flächen
• Brechung an Grenzflächen zwischen Medien
unterschiedlicher Brechzahl nach Snellius
Allgemein gilt das Fermat`sche Prinzip:
Das Licht wählt auf dem Weg von einem
Punkt P1 zu einem Punkt P2 immer den
zeitlich kürzesten Weg.
Was versteht man unter einer Linse?
Als Linse bezeichnet man ein optisch
wirksames Bauelement mit zwei
lichtbrechenden Flächen, von denen
mindestens eine Fläche konvex oder konkav
gewölbt ist.
Linsenformen
•Einfache Linsen: beide optisch
aktiven Flächen sind sphärisch
(Oberflächenausschnitt einer Kugel)
Unterschied
Sammellinsen/Zerstreuungslinsen
Im Bereich der optischen Achse sind
Sammellinsen dicker als Zerstreuungslinsen.
• Asphärische Linsen:
• meist rotationssymmetrisch
• Flächen sind nicht Ausschnitte von
Kugeloberflächen
• Form wird durch Kegelschnitt plus eine
Potenzreihe für Deformationen höherer
Ordnung bestimmt
z  f ( h) 
h2
2 

h 

R 1  1  (1  k ) 

R 



 A4 h 4  A6 h 6  ...
R...Scheitelradius, k...konische Konstante,
A4,A6... Asphärische Parameter
Anwendung asphärischer Linsen
•
•
•
•
•
•
Ziel: Abbildungsfehler reduzieren
Ersatz: 2 – 3 sphärische Linsen
Nachteil: teure Herstellungskosten
Kurzbrennweitige Objektive und Okulare
Flachbettscanner
Linsen in Projektoren und Scheinwerfern
• Ideale Linse
- Paraboloidform
- Parallel einfallende Lichtstrahlen werden in
einem Punkt (Fokus) gebündelt
- Zu den Rändern hin weniger stark
gekrümmt als sphärische Linse
- Achsennahe Bereiche der sphärischen Linse
können für Sammellinsen verwendet
werden
Strahlengang für Sammel- bzw.
Zerstreuungslinsen
Sammellinsen
• Auf Grund des Snellius´schen Brechungsgesetzes werden Strahlen in Richtung der
optischen Achse abgelenkt.
F...Brennpunkt
f...Brennweite
• Die von einem Punkt eines weit entfernten
Objekts ausgehenden Strahlen verlaufen
nahezu parallel.
• Der Brennpunkt kann somit als Bild eines
unendlich weit auf der optischen Achse
entfernten Objektes aufgefasst werden.
• Parallele Strahlen unter beliebigem Winkel
werden in Fa fokussiert.
• Die Menge aller Fa bilden die Brennebene.
Bestimmung des von einer Sammellinse
erzeugten Bildes durch Strahlverfolgung
• Entstehen eines realen, invertierten Bildes
• Auf Schirm projizierbar (a)
• Dieses reale Bild ist auch für das Auge
sichtbar (b)
Zerstreuungslinsen
• Parallel einlaufende Lichtstrahlen
divergieren.
• Brennpunkt als derjenige Punkt, von dem
die gebrochenen Lichtstrahlen scheinbar
ausgehen.
Erzeugung des Bildes einer Zerstreuungslinse
durch Verfolgung des Strahlenverlaufs
Strahl1: Parallel zur optischen Achse, scheint
von F auszugehen
Strahl2: zeigt in Richtung F`, parallel zur
optischen Achse
Strahl3: direkt durch den Mittelpunkt der Linse
• Virtuelles, aufrechtes Bild
• Virtuell, da die Strahlen nicht durch das
Bild gehen (nur Verlängerungen, strichliert)
• Nicht auf einen Schirm projizierbar ABER
• sichtbar!
• Das Gehirn interpretiert alle Strahlen, die
das Auge erreichen so, als hätten sie einen
geradlinigen Weg zurückgelegt.
• Auge unterscheidet nicht zwischen realen
und virtuellen Bildern! Beide sichtbar!
Herleitung der Linsengleichung:
a) Sammellinse
dO...Objektweite
dB...Bildweite
hO...Höhe Objekt
hB...Höhe Bild
FI‘I ~ FBA  hB/hO =(dB-f)/f
OAO‘ ~ IAI‘ hB/hO =dB/dO
Gleichsetzen und dividieren durch dB liefert
1
1
die Linsengleichung: 1
dO

dB

f
b) Zerstreuungslinsen:
IAI‘ ~ OAO‘  hB/hO = dB/dO
IFI‘~ AFB  hB/hO = (f – dB)/f
Daraus resultiert: 1
1
1
dO

dB

f
Vorzeichenkonventionen
1
1
1


dO d B f
1
1
1


dO d B
f
f > 0 für Sammellinsen, f < 0 für Zerstreuungslinsen
dO > 0: Objekt auf lichteinfallenden Seite der Linse
dB > 0: Bild auf gegenüberliegenden Seite bzgl.
Lichteinfall
hO > 0 (immer), hB > 0: aufrecht; hB < 0: invertiert
bzgl. h0
• Optiker und Augenärzte verwenden anstelle
der Brennweite deren Kehrwert um die Stärke
von Brillengläsern oder Kontaktlinsen
anzugeben.
• Brechkraft B =1/f
• Einheit: 1 Dioptrie = 1m-1
• Brechkraft einer Sammellinse positiv
Brechkraft einer Zerstreuungslinse negativ
Lateralvergrößerung einer Linse
Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe
v = hB/hO = -dB/dO
Aufrechtes Bild: v > 0
Invertiertes Bild: v < 0
Linsensysteme
Das durch die erste Linse erzeugte Bild wird
zum Objekt für die zweite Linse.
Beispiel: Messung von f für
Zerstreuungslinsen
• Sammellinse wird in unmittelbaren Kontakt
mit Zerstreuungslinse gebracht.
• Beispiel: Sonnenstrahlen werden 28,5cm
hinter der Linse fokussiert. Brennweite der
Sammellinse fC = 16cm.
Linsengleichung (Zerstreuungslinse):
-1/f = 1/dO – 1/dB
-1/f = 1/(16cm) – 1/(28,5cm) = 0,0274cm-1
f = -36,5cm
Linsenmachergleichung
• Zusammenhang zwischen der Brennweite
einer Linse und den Krümmungsradien ihrer
beiden Oberflächen.
• Näherung für dünne Linsen und Winkel
zwischen Strahlen und der Achse sehr klein
1 = n2, 4 = n3
1  sin1=h1/r1,   h2/r2,   h2/f
 = 1 - 2,  = 3 - , 4 =  + 
 = 3 -  = 4/n – (1- 2) = /n + /n - 1 + 2
h2/r2 = h2/(nr2) + h2/(nf) – h1/r1 + h1/(nr1)
h1  h2: 1  (n  1) 1  1 
f
 r1
r2 
• LMG setzt die Brennweite einer Linse mit
den Krümmungsradien ihrer beiden
Oberflächen und ihrem Brechungsindex in
Beziehung.
• f hängt nicht von h1 oder h2 ab.
Daher werden alle Strahlen die parallel zur
optischen Achse verlaufen in F fokussiert.
• LMG gilt auch für konkave Flächen
Vergrößerungsgläser (Lupen)
• Eine Lupe ist eine Sammellinse
• Wie groß Objekt erscheint, abhängig von
Größe des Bildes auf der Netzhaut.
• Allerdings kann Auge nur bis 25cm
akkommodieren (Nahpunkt)
• Lupe:Bild wird erzeugt, das min. 25cm vom
Auge entfernt sein muss, dass es vom Auge
fokussiert werden kann.
Winkelvergrößerung v
v:= ‘/
‘...Winkel, der bei Verwendung
der Lupe überdeckt wird
... Winkel, der ohne Verwendung der Lupe
überdeckt wird; Objekt im Nahpunkt!
Bei entspanntem Auge:
• Objekt liegt im Brennpunkt
• Bild erscheint bei unendlich
v = ‘/ =
h/ f
h/N
= N/f
N = 25 cm
Bei Fokussierung auf den Nahpunkt:
dB = -N, 1/dO = 1/f – 1/dB = 1/f + 1/N
‘ = h/dO
h / dO
v = ‘/ = h / N = N/dO = N(1/f + 1/N)
v = N/f + 1
Fernrohre
Linsenfernrohre (Refraktoren)
• weit entfernte Objekte werden vergrößert
1. Kepler- Fernrohr:
(astronomisches FR) Kepler beschrieb 1611 den
Strahlengang, hat es aber nicht selbst gebaut
Aufbau: Langes Rohr, an beiden Enden sind
Sammellinsen
Objektiv: näher am Objekt
Okular: zweite S – Linse
Strahlengang durch ein Kepler – Fernrohr und
Winkelvergrößerung
Auge entspannt:
I1 in Fe‘, I2 bei 
  h/fO h... Höhe I1
v = ‘/ = -fO/fe
‘  h/fe
Terrestrische Fernrohre
•
•
Objekte auf der Erde werden beobachtet
Erwünscht: Aufrechtes Bild
Zwei Arten von Fernrohren
1. Galilei Fernrohr od. holländisches FR:
Okular =Zerstreuungslinse,
Objektiv = Sammellinse
Okular innerhalb der Brennweite des
Objektivs
Kein Zwischenbild
2. Fernglas od. Feldlinsentyp:
• Insgesamt 3 Sammellinsen
• Grund: Bild soll aufrecht sein
• Nachteil: Fernglas muss lang sein
Daher Verwendung des binokularen Prismas:
• Objektiv und Okular sind Sammellinsen
• Prismen: Totalreflexion -> Verkürzung der
Bauweise und aufrechtes Bild
Spiegelteleskop (= Reflektor)
Prinzipieller Aufbau:
• Hauptspiegel und Fangspiegel
• Einfallendes Licht wird nicht am Objektiv
gebrochen
• Einfallendes Licht wird vom Hauptspiegel
reflektiert
• Vermeidung von Farbfehlern
• Vorteil der Reflektoren gegenüber
Refraktoren: Spiegel in fast jeder beliebigen
Größe anfertigbar
• Derzeit größter Spiegeldurchmesser: 10m
(Keck-Teleskop auf Hawaii)
Kerzenlicht in mehreren millionen km noch
Entfernung wahrnehmbar
1. Newton - Teleskop
• von Isaac Newton 1668 entwickelt
• besteht aus konkavem Hauptspiegel
(Rotationsparaboloid) und
einem flachen Fangspiegel (lenkt Licht
unter 90° ins Okular)
• Blick von der Seite ins Teleskop
2. Cassegrain – Teleskop
• 1672 entwickelt
• einfallendes Licht auf konkav-parabolischen
Hauptspiegel
• Reflexion zum konvex-hyperbolischen
Fangspiegel
Mikroskop:
• Betrachten sehr naher Objekte: dO klein
• Platzieren des Objekts unmittelbar hinter dem
Brennpunkt
• I1 real, stark vergrößert
• I2 sehr groß, virtuell, invertiert
Vergrößerung eines Mikroskops:
Gesamtvergrößerung = vOve
Auge entspannt: I1 in Fe
vO = hB/hO = dB/dO = (l – fe)/dO
l...Abstand der Linsen
Okular wirkt wie Lupe: ve = N/fe
vges = N(l – fe)/(fedO)  Nl/(fefO), da
l – fe  l und dO  fO
Abbildungsfehler von Linsen
1. Sphärische Aberration
•
•
•
•
Achsenparallele Strahlen oder Strahlen von
einem Punkt der opt. Achse haben nach
Durchgang durch Linse nicht die gleiche
Schnittweite
Abweichung am Rand stärker als in der Mitte
Korrigierbar durch asphärischen Linsen
Einschränken der SA durch Verwendung des
zentralen Teils
2. Bildfeldwölbung
• ebenes Objekt wird nicht auf einer Ebene,
sondern auf einer gewölbten Fläche
abgebildet
• Mit ebenen Film Bild nicht überall scharf
auffangbar
• Netzhaut gekrümmt: Kompensierung dieses
Effekts
3. Chromatische Aberration
• Entsteht durch Dispersion (d.h. durch
unterschiedliche Brechungsindizes eines
transparenten Mediums für verschiedene
Wellenlängen)
• Farbige Streifen im Bild
• Behebung: Zweiteiliger Achromat
Sammellinse mit Zerstreuungslinse
kombiniert
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Didaktik der Physik Thema: Geometrische Optik Linsen, Fernrohr