¨Ubungen zur Theoretischen Physik II

Übungen zur Theoretischen Physik II
SoSe 2012
Mannel, Lange, Bartsch, Bergmann, Rosenthal
Blatt 8
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Ausgabe: 19.06.2012
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Abgabe: Dienstag, 26.06.2012
Die innere Kondensatorplatte habe die Ladung +Q (Q > 0), die äussere die Ladung −Q,
jeweils gleichmäßig über die Platte verteilt. Beide Kondensatorplatten können sich unabhängig
voneinander um die gemeinsame Achse drehen und sind Isolatoren. Durch die Spule fließe
ein variierbarer Strom I. Vernachlässigen Sie Randeffekte und Effekte höherer Ordnung der
elektromagnetischen Felder.
a)
3 P
Der Strom der Spule wird langsam abgeschaltet. Berechnen Sie die Drehimpulse
der beiden Kondensatorzylinder nach abgeschaltetem Strom.
b)
2 P
Vergleichen Sie den Gesamtdrehimpuls der beiden Kondensatorplatten mit dem
elektromagnetischen Drehimpuls vor Abschalten des Stromes.
Bemerkung: In diesem Blatt können Sie 4 Bonus-Punkte erzielen!
Aufgabe 24: Elektromagnetische Wellen
5 P
Elektrisches Feld und Magnetfeld seien in der Form
~ r , t) = E
~ 0 sin ~k · ~r − ωt , B(~
~ r , t) = 1 ~k × E
~ 0 sin ~k · ~r − ωt
E(~
k
~ 0 · ~k = 0, ω = ck, k = |~k| vorgegeben.
mit E
a)
b)
c)
2 P
Zeigen Sie, dass diese Felder für ρ(~r, t) = 0, ~j(~r, t) = ~0 wirklich Lösungen der vier
Maxwell-Gleichungen sind.
3 P
Warum wurde der Strom langsam abgeschaltet?
Aufgabe 26: Poyntingvektor für Kondensator
9 P
Betrachten Sie einen kreisförmigen Kondensator mit Radius a und Plattenabstand d, der lang~ f im Kondensator erreicht ist. Vernachlässigen Sie Randsam aufgeladen wird bis das Feld E
effekte.
~ r , t) und φ(~r, t) mit
Finden Sie für diese Felder Potentiale A(~
~ r , t) = ∇ × A(~
~ r , t),
B(~
1 P
~ r, t),
~ r , t) = −∇φ(~r, t) − 1 ∂ A(~
E(~
c ∂t
welche
a)
~ r , t)+ 1 ∂ φ(~r, t) = 0, als auch der Coulomb(bi) sowohl der Lorentz-Eichbedingung ∇· A(~
c ∂t
~ r , t) = 0 genügen.
Eichbedingung ∇ · A(~
2 P
Berechnen Sie den Poyntingvektor in 1. Näherung, d.h. betrachten Sie nur Felder,
die durch die zeitliche Variation des primären elektrischen Feldes erzeugt werden.
b)
2 P
Vergleichen Sie die Feldenergie mit der in das Kondensatorvolumen geflossenen
Energie.
c)
3 P
Nehmen Sie eine zeitlich sinusförmige Aufladung des Kondensators an. Welche
Bedingung muss gelten, damit die Näherung in a) erfüllt ist? Erklären Sie welche Bedingungen an eine allgemeine Funktion der Kondensatorladung QKond (t) gestellt werden
müssen, damit die Näherung noch gemacht werden kann (Begründung!).
d)
2 P
Interpretieren Sie die Energieerhaltung des gesamten Systems mit Hilfe des Poyntingvektors.
(bii) nur die Lorentz-, nicht aber die Coulomb-Eichbedingung erfüllen.
Aufgabe 25: Drehimpulserhaltung
6 P
Betrachtet werde folgende Anordnung aus einem zylindrischen Kondensator der Länge l und einer koaxial zwischen den Kondensatorplatten platzierten unendlich langen zylindrischen Spule:
Aufgabe 27: Raum- und Zeitspiegelung
4 P
a)
Zeigen Sie, wie sich die Felder transformieren müssen, damit die Maxwellgleichun~ r , t),
gen invariant unter Zeitspiegelung t → t′ = −t sind. D.h., falls die Größen E(~
~ r , t), ρ(~r, t) und ~j(~r, t) die Maxwellgleichungen erfüllen, so sollen diese auch für die
B(~
~ ′ (~r, t′ ), B
~ ′ (~r, t′ ), ρ′ (~r, t′ ) und ~j ′ (~r, t′ ) gelten.
zeitgespiegelten Größen E
′
′
Hinweis: Es ist ρ (~r, t ) = ρ(~r, t). Überlegen Sie zunächst, wie sich dann ~j(~r, t) unter
Zeitspiegelung verhält. Aus den Maxwellgleichungen folgt dann das Transformationsverhalten der Felder. Die Tatsache, dass sich eine solche Transformation konsistent finden
lässt, bedeutet die Invarianz der Maxwellgleichungen unter Zeitspiegelung.
b)
2 P
Zeigen Sie nun auch die Invarianz der Maxwellgleichungen unter Paritätstransformationen ~x → −~x.
2 P