¨Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 5

Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 5
(Dated: 31. März 2010)
I.
KONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM I
1. Die Kapazität des linken Plattenkondensators ist Ca = ²0dA . Den mittleren Kondensator (b) betrachten wir
als zwei parallel geschaltete, den rechten (c) als zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren. In beiden Fällen
bezeichnen wir die Kapazität des mit dem Dielektrikum gefüllten Kondensators mit C1 und die des mit Luft
gefüllten Kondensators mit C2 .
Somit gilt für den mittleren Kondensator (b)
C1 =
²rel ²0 21 A
²rel ²0 A1
²rel ²0 A
=
=
d1
d
2d
und C2 =
²0 1 A
²0 A2
²0 A
= 2 =
d2
d
2d
(1)
und für seine Gesamtkapazität
Cb = C1 + C2 =
²rel ²0 A ²0 A
²0 A
+
=
(²rel + 1)
2d
2d
2d
(2)
Für den rechten Plattenkondensator (c) gilt
C1 =
2²rel ²0 A
²rel ²0 A1
²rel ²0 A
=
= 1
d1
d
d
2
und C2 =
2²0 A
²0 A2
²0 A
= 1 =
d2
d
d
2
und für seine Gesamtkapazität
µ
¶−1 µ
¶−1
µ
¶
1
1
d
d
2²0 A
²rel
Cc =
+
=
+
=
C1
C2
2²rel ²0 A 2²0 A
d
1 + ²rel
(3)
(4)
2. Aus der vorigen Teilaufgabe erhält man
(1 + ²rel )
Cb
=
Ca
2
und
Cc
2²rel
=
Ca
1 + ²rel
sowie
Cb
(1 + ²rel )2
=
Cc
4²rel
(5)
und damit für ²rel > 1
Cb > C c > C a
II.
(6)
KONDENSATOR MIT DIELEKTRIKUM II
1. Wie in der vorigen Aufgabe modellieren wir den Kondensator als zwei parallel geschaltete Teilkondensatoren.
Man erhält als Gesamtkapazität
C(x) = C1 + C2 =
²0 a
²rel ²0 ax ²0 a(a − x)
+
=
((²rel − 1) x + a)
d
d
d
und unter Verwendung von E = 12 CU 2 =
2
1q
2 C
E(x) =
(7)
für die Energie
q2 d
2²0 a ((²rel − 1) x + a)
(8)
Wie die obige Formel zeigt, vergrößert sich bei konstanter Ladung die Energie, wenn das Dielektrikum zu
einem kleineren Teil in den Kondensator eintaucht (kleineres x). Dies bedeutet, dass das elektrische Feld an
dem Dielektrikum positive Arbeit verrichtet und es somit eine elektrische Kraft F gibt, die das Dielektrikum
hineinzieht. Diese berechnen wir in der nächsten Teilaufgabe.
2
2. Die vom elektrischen Feld ausgeübte Kraft ist die Ableitung der potentiellen Energie nach der Länge x des
Dielektrikums im Kondensator
F =−
III.
dE(x)
(²rel − 1)q 2 d
=
dx
2a²0 ((²rel − 1)x + a)2
(9)
ENTLADUNG EINES KONDENSATORS
1. Die in einem Kondensator gespeicherte Energie beträgt E = 12 CU02 , dabei ist U0 die Spannung zwischen den
beiden Platten. Auflösen nach U0 liefert
r
2E
U0 =
= 1000 V.
(10)
C
2. Mit I = U/R folgt
r
I0 = U0 /R =
2E
= 1 mA.
CR2
(11)
3. Nach der Maschenregel gilt jederzeit für die (positiven!) Spannungen über Kondensator UC = Q/C und Widerstand UR = RI, dass UC = UR (Wir betrachten den Kondensator somit als Spannungsquelle). Die Spannung
am Widerstand können wir auch durch Änderung der Ladung auf dem Kondensator ausdrücken, da I = −Q̇.
Wir erhalten damit die Differentialgleichung
Q = −RC
dQ
dt
(12)
Separation der Variablen führt auf
1
dQ
=−
dt.
Q
RC
(13)
Integration beider Seiten der Gleichung von t0 bis t liefert
Z
Q(t)
Q(t0 )
1
dQ
=−
Q
RC
Z
t
µ
0
dt ⇒ ln
t0
Q(t)
Q(t0 )
¶
=−
1
(t − t0 ).
RC
(14)
Umstellen und exponentieren führt auf
Q(t) = Q(t0 )e−t/RC .
(15)
Wir setzen nun t0 = 0 und da U (t0 ) = U0 = Q0 /C erhalten wir
UC (t) = U0 e−t/τ
(16)
wobei τ = RC = 1s die Zeitkonstante der Entladung ist. Um den Strom durch den Widerstand zu berechnen
benutzen wir, dass I = Q/RC ist (wieder Maschenregel, s.o.) und erhalten aus Gleichung 16
I(t) = I0 e−t/τ .
(17)
Dasselbe Ergebnis bekommt man natürlich auch durch Differentiation von Gleichung 16 und Verwendung von
I = −Q̇.
4. Da nun sowohl Spannung als auch Strom als Funktion der Zeit bekannt sind, folgt durch Produktbildung die
Rate mit der elektrische Energie in Wärme umgewandelt wird:
P (t) = I(t) · U (t) = I0 U0 e−2t/τ = P0 e−2t/τ mit
P0 = I0 U0 = 1 W.
(18)