Drehpendel - Uni Regensburg/Physik

UNIVERSITÄT
REGENSBURG
Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik
Anleitung zum Physikpraktikum für Chemiker
Versuch „dp“: Drehpendel
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
1.1
Allgemeiner Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Vorbereitung
3
2.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Berechnung von Trägheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2) . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Der Steiner‘sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Zur Berechnung des Drehimpulses J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.7
Fragen zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Durchführung
3.1
7
Bestimmung der Winkelrichtgröße
D∗
D∗ des
Drehschwingers . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.1
Bestimmung von
mit der Holzscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.2
Bestimmung von D∗ mit der Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1.3
Bestimmung von
D∗
mit der Federwaage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2
Bestimmung von Trägheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Steiner‘sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Fehlerrechnung
10
-2-
1 Einführung
1.1 Allgemeiner Zusammenhang
In diesem Versuch werden Drehbewegungen und Drehschwingungen behandelt. Diese dienen auch
dem Verständnis der Rotationsspektren von Molekülen.
1.2 Lernziele
An einem speziellen Beispiel der Drehbewegung, nämlich der harmonischen Drehschwingung, sollen
die für die Drehbewegung wichtigen Größen wie Drehmoment, Drehimpuls und Trägheitsmoment bestimmt werden. Kenngrößen der Rotationsbewegung und ihr Zusammenhang (z.B. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, Drehimpuls) sollen studiert werden.
Der Bezug zu entsprechenden Größen bei der linearen Bewegung soll hergestellt werden. Die Berechnung von Trägheitsmomenten einfacher Körper wie Scheibe, Zylinder, Hohlzylinder, Kugel, soll
durchgeführt werden. Der Steinersche Satz soll angewendet werden. Die Differentialgleichung der
ungedämpften Drehschwingung und ihre Lösung sollen studiert werden.
2 Vorbereitung
2.1 Grundlagen
Die Differentialgleichung für die Drehschwingung erhalten Sie aus der Bedingung, daß die Summe
der angreifenden Drehmomente gleich Null sein muß (Dämpfung wird vernachlässigt):
Θϕ̈ + D∗ ϕ = 0
(1)
Dabei sind ϕ =
ˆ Winkelauslenkung, ϕ̈ =
ˆ Winkelbeschleunigung, Θ=
ˆ Trägheitsmoment und D∗ Winkelrichtgröße der Spiralfeder.
Mit dem Lösungsansatz
ϕ = ϕ0 cos(ωt)
erhält man
2π
= 2π
T=
ω
r
Θ
D∗
wobei ω =
ˆ Kreisfrequenz des Drehpendels und T =
ˆ Schwingungsdauer des Drehpendels ist.
-3-
(2)
(3)
2
VORBEREITUNG
2.2 Berechnung von Trägheitsmomenten
Das Trägheitsmoment
Z
Θ=
r2 dm
(4)
hängt nur vom senkrechten Abstand r des Massenelements dm von der Drehachse ab. Die folgende
Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe ist exemplarisch für andere rotationssymmetrische
Körper.
In dem gestrichelt gezeichneten Kreisring in
Abbildung 1 haben alle Massenelemente dm
den gleichen Abstand von der Drehachse.
Wenn ρ die Dichte bezeichnet, gilt wegen
dm = ρdV
dΘKreisring = r2 dm = r2 ρdV = r2 2πrdr · h · ρ
(5)
Abbildung 1: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe
Das gesamte Trägheitsmoment erhält man durch Integration
ZR
Z
Θ=
dΘ =
ZR
2
r 2πrhρ dr = 2πhρ
0
r3 dr = 2πhρ
R4 1
= πhρR4
4
2
(6)
0
und mit M = ρV = ρhπR2 , der Gesamtmasse der Scheibe, erhält man schließlich
1
Θ = MR2
2
(7)
Analog berechnen sich die Trägheitsmomente anderer Körper durch geeignete Integration.
Zum Beispiel ergibt sich für eine Kugel
2
ΘKugel = MKugel R2
5
(8)
und für einen Hohlzylinder (Ra :Außendurchmesser, Ri : Innendurchmesser)
1
ΘHohlzylinder = M(R2a + R2i )
2
-4-
(9)
2.3
Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2)
2.3 Das Trägheitsmoment einer Hantel (siehe Abbildung 2)
Das Trägheitsmoment einer Hantel setzt sich aus dem der Verbindungsstange und dem der (punktförmig gedachten) Massen m zusammen. Man erhält Θ = ΘStab + 2ma2 und Formel (3) für die Schwin-
Abbildung 2: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmoment einer Hantel
gungszeit
T2 =
4π 2
4π 2
2
2ma
+
ΘStab
D∗
D∗
(10)
Ein dünner, langer Stab besitzt das Trägheitsmoment (Drehung um die Mitte, senkrecht zur Längsachse, l = Länge des Stabes)
ΘStab =
1
Ml 2
12
2.4 Der Steiner‘sche Satz
Wenn man das Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt gehende Achse A0 kennt (vgl. Abb. 3),
dann liefert der Steiner’sche Satz das Trägheitsmoment in Bezug auf eine andere, dazu
parallele Achse A
ΘA = ΘA0 + Ma2
(12)
Dabei ist a der Abstand der beiden Achsen A
und A’. Das Trägheitsmoment um A ist gleich
dem um A0 , vermehrt um das Trägheitsmoment, das die ganze in A0 vereinigte Masse
haben würde. Mit Hilfe von Abb. 3 sieht man
leicht dass
Abbildung 3: Zum Satz von Steiner
-5-
(11)
Literatur
ΘA = ∑ mi~ri2 = ∑ mi (~ri2 +~a2 + 2~a ·~ri0 ) = ∑ mi~ri02 +~a2 ∑ mi + 2~a · ∑ mi~ri0
(13)
Da A0 durch den Schwerpunkt geht, verschwindet die letzte Summe und es ergibt sich Gleichung 12.
2.5 Zur Berechnung des Drehimpulses J
Es gilt
J = Θϕ̇
(14)
Dabei ist die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ aus 2 und 3 gegeben durch
r
ϕ̇ = −ϕ0
D∗
sin
Θ
r
D∗
t
Θ
!
(15)
Die Anfangsauslenkung geht also in die Größe des Drehimpulses ein.
2.6 Literatur
Literatur
[1] Pohl, Mechanik, Akustik, Wärmelehre, S. 62-66
[2] Gerthsen, Kneser, Physik, S. 12 ff
84 UC 127 P 748-1
84 UC 156 G 384
2.7 Fragen zur Vorbereitung
1. Leiten Sie den Ausdruck 3 für die Schwingungszeit eines Drehpendels ab.
2. Leiten Sie die Formeln für die Trägheitsmomente einer Kugel und eines Hohlzylinders her.
3. Welche physikalische Bedeutung und Einheit hat die Richtgrösse D bei einer Schraubenfeder
und die Winkelrichtgrösse D∗ bei einer Spiralfeder? Wie kann man diese Grössen messen?
(Hinweis: Es gibt zwei Methoden, eine davon ist durch Gleichung (3) vorgegeben).
4. Zwischen den Bestimmungsgrössen von linearer und Drehbewegung gibt es formale Analogien. Tragen Sie in der Tabelle die Bezeichnungen und Formeln ein.
-6-
Lineare Bewegung
Größe
Drehbewegung
Formel
Größe
Formel
Koordinate
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Masse
Kinetische Energie
Impuls
Kraft
Schwingungsgleichung mẍ = −Dx
Lösung
x = x0 cos(ωt)
Frequenz
ω=
q
D
m
5. Ein H2 -Molekül (und andere Moleküle) stellt in guter Näherung ein Hantel dar, die z.B. zur
Rotation gebracht werden kann. Berechnen Sie das Trägheitsmoment des H2 -Moleküls für eine
Rotation um eine Achse, die mittig senkrecht auf der Verbindungslinie der Atome steht.
3 Durchführung
Geräte:
Drehschwinger (mit Spiralfeder)
Holzscheibe
Kugel
Träger für 2 Holzzylinder
Hantel
Metallscheibe mit exzentrischer Scheibe
Stoppuhr, Waage, Federwaage
Lineal, Maßstab
-7-
3
DURCHFÜHRUNG
3.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße D∗ des Drehschwingers
3.1.1 Bestimmung von D∗ mit der Holzscheibe
Messung:
Montieren Sie die Holzscheibe und messen Sie die Schwingungsdauer T
10x 1 Periode
3 x 10 Perioden
Auswertung:
Berechnung des Trägheitsmomentes Θ nach Massenbestimmung
und Abmessen.
r
Θ
.
Berechnung von D∗ aus der Beziehung T = 2π
D∗
Bestimmung der Fehler von Θ und T sowie Berechnung des Fehlers von D∗ nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz.
3.1.2 Bestimmung von D∗ mit der Hantel
Bestimmen Sie für einen möglichst großen Abstand a der Aufsatzmassen m von der Drehachse die
Winkelrichtgrösse D∗ wie bei der Auswertung von Aufgabe 3.1. Lenken Sie die Feder möglichst
wenig, nicht mehr als höchstens 90° aus. Messen Sie die Schwingungsdauer mit mindestens 10 Perioden. Berechnen Sie die Trägheitsmomente der Aufsatzmassen m, die Sie als punktförmig annehmen
können, bzw. der Verbindungsstange Θ∗ . Bestimmen Sie mit Gl.(10) wieder die Winkelrichtgrösse
D∗ und ihren Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von Aufgabe 2.1.2 und benutzen Sie im
folgenden den genaueren Wert für D∗ .
3.1.3 Bestimmung von D∗ mit der Federwaage
Bestimmen Sie D∗ durch Messung des Drehmomentes M mittels einer Federwaage. Tragen Sie M
gegen ϕ für ϕ = 45°, 90°, 135°, 180°, 225° und 270° auf und vergleichen Sie die daraus ermittelten
Werte von D∗ mit den oben gemessenen
3.2 Bestimmung von Trägheitsmomenten
Da jetzt D∗ der Spiralfeder bekannt ist, können Sie r
Trägheitsmomente einer Kugel, von zwei ZyΘ
bestimmen. Machen Sie jeweils mehrere
lindern und deren Träger aus der Beziehung T = 2π
D∗
Messungen, bestimmen Sie Fehler und vergleichen Sie mit berechneten Werten aus Gl. (8) und (9).
-8-
3.3
Steiner‘sche Satz
3.3 Steiner‘sche Satz
Mit der Anordnung in Abb. 4 sollen Sie den Steiner’schen Satz durch Verändern der Exzentrizität a
überprüfen. Wählen Sie die graphische Darstellung T 2 gegen a2 und tragen Sie die Messfehler in die
Zeichnung ein.
Abbildung 4: Steiner’scher Satz: Definition der Parameter zur Messung.
-9-
4
FEHLERRECHNUNG
4 Fehlerrechnung
Beispiel:
1
ΘZylinder = MR2
2
Größe
Bedeutung
M̄ = 0.1 kg
∆M = 0.001 kg
R̄ = 0.01 m
∆R = 0.01 m
Meßwert auf der Waage
Angabe Meßfehler auf der Waage
abgelesener Meßwert
geschätzter Fehler (lieber zu groß als zu klein wählen)
1
1
→ Θ̄ = M̄ R̄2 = 0.1 kg · (0.15 m)2 = 0.001 125 kgm2
2
2
aber wie groß ist Θ̄?
1. Schritt:
relative Fehler der Meßgrößen ausrechnen!
γ(M) =
∆M 0.001 kg
=
= 0.01
M
0.1 kg
γ(R) =
∆R
0.01 m
=
= 0.067
R
SI0, 15m
2. Schritt:
Regeln:
γ(xm ) = m · γ(x) (2)
γ(x1 · x2 ) = γ(x1 ) + γ(x2 ) (1)
Verwende (1) und (2) um γ(Θ) auszurechnen
(1)
(2)
γ(Θ) = γ( 21 MR2 ) = γ(M) + γ(R2 ) = γ(M) + 2γ(R) = 0.01 + 2 · 0.067 = 0.144
3. Schritt:
Aus dem im 2. Schritt bestimmten relativen Fehler γ(Θ) den absoluten Fehler ∆(Θ) bestimmen
γ(Θ) =
∆Θ
Θ̄
⇒ ∆Θ = Θ̄ · γ(Θ) = 0.001 125 kg m2 · 0.144 = 0.000 162 kg m2
4. Schritt:
Angabe des Ergebnisses in der Form: x = x̄ = ±∆x
so nicht: Θ = 0.001 125 kg m2 ± 0.000 162 kg m2 ,
sondern: Θ = 0.0011 kg m2 ± 0.0002 kg m2
(alternativ : Θ = 1.1 × 10−3 kg m2 ± 0.2 × 10−3 kg m2 )
denn ∆x wird auf eine Stelle aufgerundet und x̄ nur bis zu dieser Stelle angegeben!
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