Übung 10
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Prof. Martin Fürer Abigail Mitchell Übung 10 Komplexitätstheorie Gegeben: 19.5.09 Zurück: 26.5.09 1. Die Knoten eines gerichteten Graphen G = (V, E) seien durch V = V∃ ∪ V∀ in 2 Klassen disjunkte unterteilt. Zudem sei ein Startknoten v0 gegeben. Man betrachte das folgende Spiel. • Ein Stein liegt auf v0 • Falls der Stein auf einem Knoten u ∈ V∃ liegt, so bewegt ihn der Spieler ∃ zu einem beliebigen Knoten v mit (u, v) ∈ E. • Falls der Stein auf einem Knoten u ∈ V∀ liegt, so bewegt ihn der Spieler ∀ zu einem beliebigen Knoten v mit (u, v) ∈ E. • Falls ein Spieler am Zug ist, aber nicht ziehen kann, weil kein legaler Zug existiert, so hat dieser Spieler verloren. • Falls ein Spiel nie aufhört, so ist es unentschieden. (a) Man finde einen Algorithmus, der entscheidet, ob der Spieler ∃ eine Gewinnstrategie hat. (b) Man zeige, dass dieser Algorithmus nur polynomiale Zeit braucht. Falls nötig, verbessere man zuerst den Algorithmus. (c) Man überlege sich, dass sich das Spiel nicht wesentlich ändert, falls man — statt die Partition von V in V∃ und V∀ zu verwenden — die Spieler einfach abwechslungsweise ziehen lässt. 2. Wir definieren ein ganz ähnliches Spiel wie in Aufgabe 1. Diesmal haben wir viele Steine. Wenn ein Stein einmal auf einen Knoten gesetzt wurde, so bleibt er für immer dort. Statt einen Stein von einem Knoten u zu einem Nachbarn v zu schieben, darf der entsprechende Spieler einen neuen Stein auf v mit (u, v) ∈ E setzen, sofern v noch nicht durch einen andern Stein besetzt ist. (a) Vermuten Sie, dass das neue Spiel leichter, gleich schwierig oder schwieriger ist als das alte? Haben Sie eine Begündung für diese Vermutung? (b) Zeigen Sie, dass TQBF (von Übung 8) polynomial ins neue Spiel transformiert werden kann. Hinweis: • Für jedes Literal gibt es einen Knoten. Für jede Klausel gibt es einen Knoten. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel (d.h., für jedes Paar (`, C) mit ` einer Klausel, die in C vorkommt) gibt es einen Knoten. Und es gibt noch weitere Hilfsknoten. • Falls ein Spieler in einem Zug einen Stein auf ein Literal ` legen kann, so besteht im gleichen Zug auch die Möglichkeit den Stein statt dessen auf `¯ zu legen. • Die letzten 2 bis 3 Züge seien wie folgt. Zum ersten mal setzt ein Spieler einen Stein auf einen Knoten, der zu ener Klausel C gehört. Dann setzt der andere Spieler einen Stein auf einen Knoten, der für ein ` zu (`, C) gehört (für das soeben gewählte C). Schliesslich setzt wieder der erst Spieler einen Stein auf den Knoten, der zum Literal ` gehört, falls dieser Knoten noch frei ist. (c) Skizzieren sie den Graphen in den Sie die quantifizierte boolesche Formel ∃x ∀y ∃z(x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x ∨ y ∨ ¬z) transformieren würden. Basierend auf diesem Spiel wurde z.B. gezeigt, dass das Spiel Go (gespielt auf einem n × n Brett) PSpace vollständig ist. 3. Interaktive Beweise und die Klasse IP wurden mit der polynomialen Interaktion einer nichtdeterministischen mit einer probabilistischen Maschine definiert. Welche Klasse von Sprachen wird akzeptiert, falls (a) die nichtdeterministische Maschine durch eine deteministische ersetzt wird? (b) die probabilistische Maschine durch eine deteministische ersetzt wird?
