i(t) -

Aufgabe 4.2: RC-Netzwerk mit zugeschalteterWechselspannungsquelle
(Musterlösung aus Skript zu ETII: Einschwingvorgänge)
t=0
Anderes
Netzwerk
uR(t)
i(t)
R
Gleichspannung
U0
C
uC(t)
Fig. 1: Einschalten des RC Netzwerks an eine Gleichspannung zum Zeitpunkt t = 0. Der Einfluss des
anderen Netzwerks auf die Vorgänge zu Zeiten t > 0 wird vollständig durch die Randbedingung uC(0-) =
uC(0+) erfasst.
Variante 2: Einschalten einer sinusförmigen Wechselspannung
Bei der Schaltung in Fig. 1 soll nun zum Zeitpunkt t = 0 eine sinusförmige Wechselspannung
eingeschaltet werden. Wie wir bereits wissen, wird der Einfluss zu früheren Zeiten (t < 0)
vollständig durch die Anfangsbedingung beschrieben. Daher verzichten wir auf die Angabe
der Anregungsfunktion für t < 0 sondern merken uns vor, dass die Spannung uC(0+) als
Anfangsbedingung gegeben ist und gleich dem Wert zur Zeit t = 0– sein muss:
Anregung: u 0 (t )  Uˆ 0 cos(t   ) für t > 0
(1.1)
Anfangsbedingung: uC (0)  uC (0)
(1.2)
Für die sinusförmige Anregung haben wir eine Amplitude Û 0 , eine Kreisfrequenz  und
eine Phasenlage  gewählt (vorerst noch unbestimmt). Für die partikuläre Lösung können wir
als „educated guess“ von sinusförmigen Signalen für alle Ströme und Spannungen ausgehen.
Alle Signale werden dabei die gleiche Frequenz aber unterschiedliche Amplituden und Phasen
aufweisen. Wir könnten jetzt entsprechende sinusförmige Signale für die Spannungen und den
Strom ansetzen und durch Auswerten der Maschenregel die unbekannten Phasen und
Amplituden ermitteln. Dies erfordert die umständliche Verwendung von trigonometrischen
Beziehungen für die sinusförmigen Signale. Da der partikulare Ansatz den stationären
Verhältnissen bei Anregung mit sinusförmigen Signalen entspricht, können wir stattdessen
wesentlich effizienter die bereits bekannten Methoden der komplexen Rechnung verwenden.
Wir setzen also beispielsweise für die Spannung an C


ˆ
j C jt 
ˆ
u C , p (t )  U C , p cos(t   C , p )  Re U C , p e e   Re U C , p e jt




 U C, p



(1.3)
an, Analoges gilt für die anderen Signale, insbesondere kann die Anregungsspannung durch
den Zeiger U 0  Uˆ 0 exp( j ) dargestellt werden. Die Information über Amplitude und Phase
ist in dem komplexen Zeiger U C , p (analog für die anderen Größen) enthalten1. Die
komplexen Zeiger kennzeichnen wir dabei durch Unterstreichung, der Zusatzindex „p“
erinnert uns daran, dass wir hier die partikuläre Lösung (für t > 0) betrachten.
Im Komplexen erhalten wir durch die Maschengleichung
U 0  U R, p  U C , p  I p R  I p
1
jC
(1.4)
und daher
Ip 
U0
(1.5)
1
R
jC
bzw. für die Spannung an C
U C, p 
Ip
jC

U0
.
jCR  1
(1.6)
Zurückübersetzt in den Zeitbereich gemäß (1.3) erhalten wir als partikuläre Lösung für uC
u C , p (t )  Uˆ C , p cos(t   C , p )
Uˆ C , p 
C, p
Uˆ 0
1   2 R 2C 2
   arg(1  jRC )    arctan RC 
(1.7)
(Rechnen Sie dies zur Übung nach.)
Für die allgemeine Lösung erhalten wir durch Kombination von Lösung der homogenen
Gleichung mit der partikulären Lösung
uC (t )  uC ,h (t )  uC , p (t )  ke t /   Uˆ C , p cos(t   C , p ) .
Die Berücksichtigung der Anfangsbedingung (1.2) ergibt die Konstante k
uC (0 )  k  Uˆ C , p cos( C , p )
(1.8)
 k  uC (0)  Uˆ C , p cos( C , p )
Fig. 2 zeigt den Verlauf von u C (t ) für den Fall uC (0)  Uˆ 0 / 2, RC  10 und   0 . Die
Kondensatorspannung startet bei Uˆ / 2 und pendelt sich nach einigen Perioden auf einen
0
sinusförmigen Verlauf, der gegenüber der Anregungsspannung um fast 90° nacheilt, ein.
Dieses Nacheilen entspricht der Phasenlage, wie sie in der partikulären Lösung beschrieben
wird. Das Einschwingen wird durch den von der Lösung der homogenen Gleichung
herrührenden Anteil bewirkt. Die Zeitkonstante RC des Einschwingvorganges entspricht in
unserem Beispiel   RC  10 /   10T / 2  1,6 T (T ist die Periodendauer der Schwingung
In der komplexen Rechnung wird die Zeigeramplitude vielfach noch durch 2 dividiert, so dass der Betrag
der komplexen Zeiger gleich dem Effektivwert statt dem Spitzenwert entspricht. Wir verzichten an dieser Stelle
darauf, da wir nicht an den Effektivwerten interessiert sind.
1
1
uc(t)
u0(t)
uc(t)/Û0, u0(t)/Û0
0.5
0
-0.5
-1
0
2
4
t/T
6
8
10
Fig. 2: Einschalten einer cosinusförmigen Spannung an ein RC-Glied, Verlauf der Spannung am
Kondensator und der Anregungsspannung. Die Achsen sind auf den Scheitelwert der Anregungsspannung
bzw. auf die Periodendauer T = 2/ normiert.