F` (x)

Mathematics. -
Ein neues Prin zip für Transzendenzbeweise. Von
POPKEN und K. MAHLER. (Communicated by Prof. J. G.
VAN DER CORP UT).
J.
(Communicated at the meeting of September 28. 1935).
Der erste Verfasser zeigte in seiner Dissertation u. a. das folgende
Ergebnis I) :
Satz 12:
Stellt die Potenzreihe
f(x) =
00
~
ah Xh
h=O
mit algebraischen Koeflizienten ah eine im Ursprung reguläre analytische
Funktion dar, die einer eigentlichen algebrBischen Differentialgleichung
genügt. so ist mit einem geeignet gewählten c 0 für h =- 2
>
entweder ah
=0
oder I ah I =- e-chl!ogh)'.
Dieser Satz kann in manchen Fällen zu Transzendenzbeweisen benutzt
werden; denn genügt eine vorgegebene Potenzreihe einer algebraischen
Differentialgleichung und streben ihre Koefflzienten ah genügend schnell
gegen Nul!. so können diese Koeffizienten. die von nur endlich vielen
Zahlen algebraisch abhängen. nicht alle algebraisch sein.
Zu besonders bemerkenswerten Anwendungen gelangt man bei man~
chen Funktionen aus der Theorie der elliptischen Funktionen; ein solches
Beispie!. das aber durchaus nicht vereinzelt dasteht. wollen wir in dies er
Arbeit im Einzelnen behandeIn. Wir werden nämlich zeigen. dass für
jedes beliebige q mit
mindestens eine der drei Zahlen
q2hn
00
~
n= 1
(
I-q
2
n
)2h
(h = I. 2. 3)
transzendent ist.
Die Methode der vorliegenden Note stammt vom ers ten Verfasser.
die Durchführung des Beispiels vom zweiten.
I)
J.
POPKEN . Über arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. Diss. Groningen
1935. S. 88.
865
1.
Die WEIERSTRAsSsche
_'lU'
e
20)
<1 (u)
2w
= -n
<1~Funktion
nu
sin 2w
jj
gestattet die Darstellung 2)
(
n='
1-
. nu)
2w
sm 2
-
. 2 n n w' •
sm - w
Wird
q=e
gesetzt.
50
dass q der Ungleichung
genügt.
50
folgt
·0
u"
--
e
20l
-inw'
w
nu
<1 (u) = --;- sin 2w "l!.,
2w
U)
00
(
1
+
A
2
• 2 n
"Iq
"sm
-2
w
(1 _ q2 ")2
.
Führen wir die neue VeränderIiche
nu
..
x= 2 l sm 2w
und die beiden Funktionen
ein.
50
"ti uil
--
e
2w
wird also
W
<1(u)= -. xf(x).
nr
1J u2
W
log <1 (u) - -2 = log -.
w
nr
+ log x - F (x).
(1)
Da die Reihe
konvergiert. 50 stellt f (x) eine ganze Funktion von x mit unendlich
vielen Nullstellen dar: f(x) ist also eine ganze transzendente Funktion.
so dass in der TAYLORreihe
2) HALPHEN, Traité des Fonctions elliptiques
1. S. iOO, zweite Formel von (21).
866
unendlich viele Koeffizienten ah von Null verschieden sind. Diese Koeffizien ten lassen sich explizit darstellen in der Form
ah=(-I)h ~ :; ..
ao= 1.
q2 (n, + n2 + ... + nh )
!(I_ q 2n')(1_q2n') ... (I_ q 2n h)j2
!
(h
= 1. 2. 3•... ).
wo die Summation über alle Systeme von h natürlichen Zahlen nl' n2 •..• nh
mit nl
n2
nh erstreckt wird; ihre Absolutbeträge besitzen daher
die obere Schranke
< < .. <
(h = 1. 2. 3 •.. ).
so dass für jedes noch so grosse positive c
I ah I = 0
(e- ch (logh)2)
ist. Wir werden im folgenden Paragraphen zeigen. dass f(x) einer algebraischen Differentialgleichung genügt. Auf Grund von Satz 12 können
daher nicht alle Zahlen
algebraisch sein.
Entsprechenderweise hat F (x) eine TA YLORreihe
00
F(x)= I
h=l
Ah
X2h
h
-
mit den Koeffizienten
(h= 1. 2. 3 .... ).
Aus
f(x) =
e-F(x).
F(O)=O
ist leicht abzuleiten. dass jeder Koeffizient ah ein Polynom in Al' A 2•..• Ah
mit rationalen Koeffizienten ist 3). Also folgt
.. Nicht alle Zahlen
q2hn
(1n=l
q 2n)2h
00
Ah
sind für 0
=I
< I q I < 1 algebraisch".
3) Siehe z.B.
J.
POPKEN. Ioc. cito S. 106.
(h
= 1.2.3•..•)
867
2. Man gelangt folgendermassen zu der Differentialgleichung für f(x):
Es ist bekanntlich
_
d 2 log a (u)
p (u) - du 2
•
. (2)
wo g2 und g3 die rationalen Invarianten sind. Ferner ist nach (1)
1'J u
:n i
.
+ -2
=log--log x+ F(x)
w
w
2
-log a (u)
und also
p
(u)
+ !L __ d
w -
2
log x
du 2
+d
2
F (x)
du 2
'
0 0 nu
0
W elOt er lst
wegen x= 2 I sm
2w:
d2x = (~)2
du2
2w X.
3
d x3 =
du
(~)3VX2+4
2w
und daher
d~~x) = ~: F' (x) V
2
d F 2(x) =
du
3
d F(x)
du 3
ferner
x2+4.
(~)2I(x2
+ 4) F" (x) + X F' (xH.
2w
= (~)3
I{x2+4)F"'(x) +3xF"(X)+F'(x) I V r-t- 4.
2w
868
so dass sich
P(U)=(~:X~4;1] + :2 +(X2+4)F"(x)+xFI(X)~.
p' (U) =
(~:Y ~-
;+
(x 2+4) F"'(x)
+ 3xFII(X)+F'(x)~ V x 2+4.
und damit wegen (2) die Differentialgleichung
r+
r-
~- ~ + (x 2+4) F'" (x) + 3x F" (x) + F ' (x)
=4 ~ 4: 1]
2 + :2 + (x +4) F" (x) +xF' (x)
-
2
(r
4) =
...
(3)
(~:yg2t:21] + ~ +(r+4)F"(x)+xF'(x)~-(~:J g3
für F (x) ergibt. Wegen
(x)
F ' (x ) -- _ f'f(x)
folgt hieraus eine algebraische Differentialgleichung für die Funktion f(x).
3. Die vorige Differentialgleichung für F (x) kann dazu dienen. zwi~
schen den Grössen
00
q2h n
(h= 1. 2. 3 .... )
Ah n-I
~ (1 _ q 2n)2h
=
bestehende algebraische Relationen herzuleiten. Man hat
so dass. wenn
(aO= 2Ad
gesetzt wird.
(x 2 + 4) F" (x)
+ X F ' (x) =
00
4 I ah X2h
h=O
und folglich
(x 2+4) F'" (x)
+ 3 X F" (x) + F' (x) = 8 i
h=1
hah X 2h -
1
869
ist. Die Differentialgleichung (3) für F (x) geht also über in
Weiter ist bekanntlich i)
so dass. wenn noch zur Abkürzung
gesetzt wird. die vorige Beziehung die Gleichung
~-I + h!)hahx2h+2r(X2+4)=
liefert. Wir entwickeln beide Seiten dieser Gleichung nach Potenzen von
x2 und vergleichen die entsprechenden Koeffizienten. Die Koeffizienten
von 1 und von x2 stimmen evidenterweise überein; dagegen ergeben die~
jenigen von Xi und x 6 die Re1ationen:
so dass sich sowohl G 2 und G 3 durch a) und a1' als auch umgekehrt a)
und a2 durch G 2 und G 3 linear mit rationalen Koeffizienten ausdrücken
lassen:
1
a)
= 20 G
2 -
1
a2= 28 G 3
4) HALPHEN , loc. cito S. 40'1, Formel (33).
-
1
240 .
7
60 G 2
31
+ 2160'
870
Allgemein ist für h = 3,4,5, ... der Koeffizient :von
Seite der vorigen Gleichung gleich
- 8h
ah
XZh+2
auf der linken
+ Ph (al' a2' ••• , ah-I),
und auf der rechten Seite gleich
12ah
+ Qh (al' a2"
' "
ah-I,
G 2, G 3):
dabei bedeuten
Polynome in den Argumenten mit rationalen Koeffizienten . Folglich kann
für solche hals Polynom in al' a2' ..• , ah _ I oder auch als Polynom
in G 1 , G 2 , a 3, a4 " '" ah-l mit rationalen Koeffizienten ausgedrückt werden.
lndem wir diese Darstellung der Reihe nach für alle h = 3, 4, 5, . .. benutzen, folgt, dass sich alle Zahlen
ah
(h= 1, 2, 3, ... )
als Polynome in
oder auch in
mit rationalen Koeffizienten ausdrücken lassen. Also lassen sich die Grössen
(h= 1,2,3, .. .)
auch als Polynome in
oder auch in
co 1] co 4 g2 co 6 g3
71: 2
'
71: 4
'
71: 6
mit rationalen Koeffizienten darstellen. Da aber nach § 1 mindestens eine
der Zahlen Ah transzendent ist, so folgt:
Satz A:
Für jedes q mit 0
Reihen
eine transzendente Zahl.
< I q I < 1 ist mindestens
eine der drei
871
Satz B:
Von den drei Grössen
die zu einer nicht ausgearteten p~Funktion gehören. ist stets mindestens
eine nicht algebraisch.
Nachträglich wird uns die Note .. Sur les series entières satisfaisant à
une équation différentielle algébrique" van G. PóLYA (C.R. Paris. 19 août
1935. p. 444-445) bekannt. Ohne Beweis wird hierin u.a. erstens ein
im Wesentlichen zu Satz 12 der POPKENschen Dillsertation äquivalenter
Satz und zweitens der hieraus abgeleitete Transzendenzsatz:
.. Ist 0
< Ih 1< 1.
co
I
sa ist mindestens eine der fünf Zahlen
(-1)'(2r-l)
i
h(2r-1)'
r=1
fr
r=1
(-I)r r 2 hü
'
r=1
(l-h 8r ) (I_h Sr-
i
?
IÏ (l-h Sr ) (l-h Sr - i j2
r=1
transzendent"
mitgeteilt; da die drei ers ten van diesen Zahlen im wesentlichen gleich
sind. sa ist dieses PóL YAsche Ergebnis in dem unsrigen enthalten.
58
Proceedings Royal Acad. Amsterdam. Vol. XXXVIII. 1935.