Intuitionistischer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra

Mathematica. - "lntuitionistisc/ter Beweis des Fundamentatsatzes
der Algebra". By Prof. L. E. J. BROUWER and B. DE LOOK.
(Communicated at the meeting of February !3, 1924.).
+
+ ...
Sei tf1 (x) = ,xn
al x,,-l
a n = 0 eine algebl'aische G leichung
mit I'ationalkomplexen Koeffizientell. Hiermit meinen wir, dass jedes
a. = b. -I- ic. ist, wo b. und c. reelle rationale Zahlen vorstellen.
Diese Gleichnng lässt sich derweise in eine endliche Anzahl von
algebraischen Gleichnngen zerlegen, dass jede dieser Faktorgleichungen ebenfalls rationalkomplexe Koeffizienten besitzt, während
überdies ihr linkes Glied und dessen Derivierte relativ prim sind.
Sei cp (x) xP
el Xp-1
ep
0 ei ne dieser Faktorgleichllngen.
Alsdanrl . können zwei solche ganze rationale Funktionen h (x) und
g (x) mit rationalkomplexen Koeffizienten bestimmt werden, dass
"(x) rp (X)
g(x) (P'(,v) = 1. ist, so dass man zwei solche positive Grössen
a und bangeben kann, dass I(p' (x) I > b gilt für Irp(x) I < a. Wit,
stellen uns zum Ziel, VOII q; (x)
0 eine Wurzel zu bestimmen IInd
wel'den dabei vOI'aussetzen, dass Iq; (0)1 > 0 ist (worin keine Beschränkung gelegen ist).
Sei 1q;1-lrp-.xpl>
0 für lxi ~ rund 1q;'I< q f\ir lxi ~ r.
Sei E eine beliebige positive Gl'össe. lm lnnengebiete des in der
x-Ebene mit dem Radius ./, Ilm den Nullpllnkt geschlagenen Kreises
C (1') bestimmen wil' eine solche endliche Anzahl von Punk ten
PI' P" ... Pm, dass jeder beliebige innel'halb oder auf C (r) gelegene
= +
+ .... =
+
=
k>
E
Punkt einen Abstand < -
q
von der Menge der
.
p~
besitzt. Alsdann
besitzt in der rp-Ebene jeder Bild punkt eilles innerhalb oder auf C (r)
gelegen en Punktes der x-Ebene einen Abstand < E von del' Menge
der Bildpunkte Q. del' P•. Nehmen wir einen Augenblick an, dass
diese Bildpunkte Q. alle einen Modulus > E besässen. Dann könnte
eine solclle positi ve Grösse 11 bestimmt werden. dass von allen in
del' x-Ebene mit Radien (> Sr urn den NuJlpunkt geschlagenen Kreisen
C (Q) die Bilder in der (p-Ebene in einer Entfernung ~ 11 vom Nullpunkte blieben, Dies abel' ist llngereimt,. denn das Bild von C (Q)
umkreist bei einem vollen Umlaufe den Nullpunkt der rp-Ebene
p-mal für (> = rund O-mal, wenn (.I hinreichend klein gewählt wird.
Mithin kann in del' cp-Ebene ein Punkt Q., dessen Modulus ~ Eist,
187
angegeben werden. ,Sei x = XI irn entsprechenden Punkte p. del'
x-Ebene.
Wir setzen nun voraus, dass die irn vorigen Absatze auftretende
positive G"össe E dergestalt gewählt ist, dass erstens E sowohl
k
wIe
a ist, und zweitens innerhalb einas urn einen innel'halb oder
<
<
auf C (1') gelegen en Punkt, wo !'PI> bist, mit dem Radius
~
geschlagenen Kreises die Ungleichung
1
(x'---'-x l )
1 (.11 I -,vI) 'P I 1
rpI-rpi -
p'll
<~
4
. 'untel' d'leser V ol'aussetzung x =
in Kraf! ist. Setzen wIr
2
cp (XI)
U8W ., so
xa=x,-~()'
q) x,
!'p (x l )!
< 116
E,
XI -
l )
cp(x
- ,- ,
'P
wird der Reihe nach !'p(x,)!
(XI)
< 41
E,
uSW., wähl'end die unendliche Reihe
gegen einen bestimmbaren einzigen Grenzwert x' konvergiert. Dann
abel" gilt notwendig cp (x') = 0, und wir haben cp la') - (x-x') X (x),
wo X (x) - x/l- I
It l xp-2
hp- 1'
Für die Gleichung X(x)
0 (die im allgemeinen nicht mehr rationalkomplexe Koeffizienten besitzt) können wir zwei solche positive
1
Grössen c und a
"2 b bestimmen, dass aus lxi a folgt !rpi a
+
+ .....
=
<
<
<
und lx-x'! < c. Dann aber folgt wegen rp'-(x-x')x'+x auslx! < a
weiter I<x-x')x'! > ~ b, mithin, wenn ~ir :c = fJ setzen, Ix'! > {J.
Weil mithin a und {J für X diesel be Rolle spielen, wie a und b fül'
cp, so können wir in derselben Weise, wie wir für cp = 0 eine W nrzel
x' bestimmt haben, für X = 0 eine Wurzel .v" berechnen. Indem wir
in diesel' Weise fortfahren, zel"legen wir zunächst (p(x) in p (i'aktoren
und sodann tp (x) in n Faktoren der Form x-xl"l.
+
+....
+
+ ....
Sei nun "'. (x) - Xn
a.1Xn - 1
a. n für jedes ganze positi ve v,
während alle a.r ratiollalkomplexe Zahlen sind und die nnendliche
Funktionenfolge "'I (x) , lf.'1 (x), .... gegen eine einzige ganze rationale
Fnnktion f (x) = X"
blxn - 1
bn konvergiert. Wit- werden
zeigen, dass auch von der Gleichung f(X) = P eine Wurzel ermittelt werden kann, womit der Fundamentalsatz der Algebra bewiesen
sein wird.
Wenn wir die Wurzeln von tp.(x) = 0 mit x' , ... af..n) bezeichnen,
•
•
13111
188
dann können wir fÜl' ein beliebiges poslllves
EIII
ein solclles v". be-
stimmen, dass für ein beliebiges x~)". Illld fül' eine beliebige natül'liche Zahl A. die U ngleichung
,..
(:c(P) ) I
I't"Y m +).
'I ",
.
<
Eli
m
gilt, so dass für eille il'gendwie allsgewählte WUl'zel
x:
m
von ti'.m (,' 1:)=0
Ilnd fül' ei ne beliebige natül'liche Zahl À das Produkt
Ix..
+l-x.0
111
<
I ,," I·,v.(n) +).-,'1;. I
,0
711
fn
rIl
E:~ und Bomi! wenigslens einel' seiner Faktoren
Es konvel'giel'e
im vorigen Absalz
wobei Wil' dafül'
dal'an wählen ' wir
ist.
EJ
Es
gegen E, Wil' best.imrnen in del'
angegebenen Weise ZIl jedem Em ein passelldes Vin,
sOl'gell, dass slels 1'm+l
v m ist. Im Anschluss
fÜI' 3/ eine beliebige Wllrzel von
(x)
0 und
+ + ' ,"
>
·1
sodann lIach dem vorigen Absatz fül'
Wun~el 'Ion tf.••
<
+1 (x) = 0, dass
In
vel'giel't die unendliche Folge
x:m+l
Enl
"'"I =
jedesmal eine del'al'tige
Ix:"'+1 - .-V: 1<
Em
ist. Alsdarm kon-
111
;//,
111
.,/:0 , ' , "
1I~
gegen einen einzigen
Limesw6l't x: und diesel' Limeswel't ist eine WUJ'zel von f(x) = 0,