In meinem Vortrag werden einige Aspekte der geometrischen

Institut für Informatik, Abteilung I
Seminar „Algorithmische Geometrie und algorithmische Bewegungsplanung“
SS 2004
Prof. Dr.Rolf Klein
Dr. Elmar Langetepe
Geometrische Wahrscheinlichkeit,
Crofton’s Formel und ihre Anwendungen
Herr Alexander Andrushenko
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Mittelwert
Crofton’s Formel
Kumulative Verteilungsfunktion
Sylvester’s vier Punkte Problem
Literaturliste
1
3
6
8
9
23
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1
Abbildung 2
Abbildung 3
Abbildung 4
Abbildung 5
12
15
17
20
22
Einführung
Wie berechnet man den Erwartungswert der Distanz zwischen 2 Punkten, die zufällig in
einem Raum gewählt werden? Summe der Distanzen zwischen 3 Punkten? Und zwischen n
Punkten?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Linien einer vorgegebenen Länge , die auf ein
Viereck zufällig „geworfen“ werden, sich kreuzen? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
wenn sie in eine Sphäre geworfen werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei
Geraden, die auf einer Ebene zufällig gewählt werden, parallel liegen oder Winkel einer
bestimmten Größe bilden? Mit diesen und vielen andere Fragen beschäftigt sich die
Geometrische Wahrscheinlichkeit.
In meinem Vortrag werden einige Aspekte der Geometrischen Wahrscheinlichkeit
betrachtet, nämlich Crofton’s Formel und ihre Anwendungen. Crofton war ein englischer
Mathematiker dessen Werke waren in der zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts erschienen.
Crofton hatte geschickte Lösungen für die Probleme vorgeschlagen, die sehr komplizierte,
manchmal NP-Harte Integrationen erfordern. Seine Methoden machen es möglich, einige
bestimmte Integrale auszurechnen, ohne direkt Integration anzuwenden. Ich möchte hier
Crofton’s Formel herleiten und auf das Vier Punkte Problem (Sylvester’s Problem)
detailliert eingehen.
Bevor ich unmittelbar zur Formel übergehe stelle ich zwei Beispiele vor. Da in folgendem
ziemlich oft das Wort „Wahrscheinlichkeit“ benutzt wird, bietet sich die Abkürzung „WS“
an.
1
Schauen wir uns mal eine Linie L an. Zur Vereinfachung bezeichnen wir die Länge der
Linie auch durch L. Wählen wir 2 Punkte x1 und x2 auf L zufällig. Sei X = ||x1 –x2|| Distanz zwischen beiden Punkten. Unsere Aufgabe ist – die Verteilungsfunktion F(x, L) zu
bestimmen, wobei
F(x, L) = Pr(X
x) ,
x – eine beliebige positive reelle Zahl (für negative x Pr(X
x) = 0), Pr(X
x)
die WS,
dass X kleiner-gleich als x ist . Es ist klar, dass wenn wir ein Punkt (z.B. x1) am Rand von L
„fixieren“ und zweiter zufällig auf L wählen dann gilt:
Pr( X < x | x1 ist ein Endpunkt von L) =
x
.
L
Da allerdings x1 genauso wie x2 durch Zufall auf L gewählt wird kann F(x, L) nicht
einfach durch Integration von
x
L bestimmt werden. Später sehen wir, wie elegant und
einfach F(x, L) mit Hilfe von Crofton’s Formel berechnet werden kann.
Das zweite Beispiel – so genantes Sylvester’s vier Punkte Problem. Es muss nämlich die
Frage beantwortet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass vier zufällig gewählte
Punkte auf einer Ebene ein re-entrantes Viereck (RV) bilden, d.h. ein Viereck in dem einer
der inneren Winkel großer-gleich
Die Antwort für den Fall, dass alle vier Punkte auf
Fläche eines Dreiecks fallen ist einfach :
Pr( RV ) =
1
3
Wie wir noch sehen werden, der Weg zu diesem Ergebnis ist nicht so trivial.
Bevor wir uns mit Crofton’s Formel beschäftigen, definieren wir den Begriff
2
Mittelwert
Angenommen, ein Raum F ist innerhalb eines anderen Raumes A eingeschlossen. Das
kann 1-D(Gerade), 2-D (Ebene), 3-D (Volumen) oder N-D Raum sein. Wählen wir einen
Punkt P aus A zufällig. Die WS p, dass P in F liegt ist:
F
A
p=
(1)
Angenommen, der Raum F sei variabel und mit der gleichen WS die Größen F1, F2, ... ,
Fn annimmt. Die WS, dass einer davon, z.B. Fk
k n) zufällig gewählt wird und dass
Punkt P in Fk liegt ist :
1 Fk
(2)
p(k ) =
n A
Die Räume F1, F2, ..., Fn können zusammengefasst werden. Mittelwert M(F) ist als folgt
definiert:
n
M (F ) =
(3)
∑F
k =1
k
n
Dann wird die WS p, dass ein zufällig gewählter Punkt P aus A aus einem der Räumen Fk
kommt durch folgende Formel berechnet:
p=
(4)
M (F )
A
Entsprechend wird die WS berechnet, dass zwei Punkte, die aus A zufällig gewählt werden,
in F liegen durch p (2) =
M (F 2 )
und WS, dass n Punkte, die zufällig aus A gewählt
A2
werden, in F liegen durch
3
p ( n) =
(5)
M (F n )
An
M (F n )
Die Größe
M ( F )n
( wir können sie auch durch
schreiben) nennt man n-te
M (F n )
Moment. Anschaulich gleicht hier
quasi der Fläche, die n zufällig gewählte Punkte
aus A in Anspruch nehmen.
Wählen wir zufällig 2 Punkte, a und b, auf einer Linie L der Länge d. Den Abstand
zwischen a und b bezeichnen wir durch ab.
Wählen wir auf der Linie L noch n Punkte
(zusätzlich zu a und b ). Punkt a kann mit der WS p (a ) =
2
n+2
zu einem (von zwei)
Randpunkt sein (unter allen n+2 Punkten), und Punkt b wird mit der WS
p (b) =
1
n +1
zu anderem Randpunkt. Deswegen ist die WS , dass alle n zusätzlich gewählten Punkte
innerhalb ab liegen
(6)
Außerdem wissen wir, dass
p=
p=
2
(n + 1)(n + 2)
M (ab) n
dn
(Siehe Formel (5)). Es gilt dann:
2d n
M (ab) =
(n + 1)(n + 2) .
n
(7)
M (F n )
Im Unterschied zu
M (ab) n
bezeichnet hier
den Abstand, den n zufällig gewählte
M (ab) n
Punkte auf einer Linie der Länge d in Anspruch nehmen. In Wirklichkeit enthält
n+2
Punkte, aber zwei Randpunkte sind die Grenzpunkte.
4
Teilen wir die Linie L in n Segmenten S1, S2, ..., Sn mit n-1 Punkten auf, die wir
wiederum durch Zufall bestimmen. Wählen wir dazu noch n Punkten Pn auf L zufällig
(unabhängig von der Aufteilung in n Segmenten). Die WS, dass jedes Segment Sk genau
einen Punkt aus Pn enthält ist
n
p = n!(∏
k =1
(8)
Sk
 S ⋅ S ... ⋅ S n 
) = n! 1 2 n
.
d
d


Hier bezeichnet Sk die Länge des jeweiligen Segmentes, n! steht deswegen, weil es n!
verschiedene Permutationen gibt ( wir haben n Punkten zur Auswahl für S1, n-1 Punkte für
S2 u.s.w). Da alle n-1 Punkte ( und dadurch entstandene n Segmente) durch Zufall gewählt
S1 ⋅ S 2 ⋅ ... ⋅ S n
wurden, stellt das Produkt
nichts anderes als erwarteter Wert
M ( S1 ⋅ S 2 ⋅ ... ⋅ S n )
dar.
Insgesamt haben wir (2n-1) Punkte auf L ( n-1 wurden im ersten Schritt gewählt und n
im zweiten). Es gibt (2n-1)! Möglichkeiten, (2n-1) Punkte in eine Reihe aufzustellen.
Außerdem gibt es (n)! (n-1)! verschiedene Varianten der Punkteauswahl, so dass jeder
Punkt, der im ersten Schritt gewählt wird genau zwischen zwei Punkten des zweiten Schrittes
liegt (Permutationstheorie), oder, m.a.W., dass jeder Punkt des zweiten Schrittes in genau ein
Segment fällt. Daraus folgt:
(10)
n!M ( S1S 2 ...S n ) n!(n − 1)!
=
dn
(2n − 1)!
M ( S1S 2 ...S n ) =
(11)
(n − 1)!d n
(2n − 1)! .
Formel (11) lässt uns den erwarteten Wert des Produktes von n Segmenten ausrechnen, die
durch zufällige Aufteilung einer Linie der Länge d mit (n-1) Punkten entstehen.
5
Crofton’s Formel
Es seien n Punkte x1, x2,..., xn zufällig in einen Raum R gewählt. Sei E- ein Ereignis,
dass durch Position der Punkten eindeutig bestimmt ist. Sei R’ ein Raum, der in R
eingeschlossen ist und fast so groß wie R ist. Angenommen, wir haben
klein, dass
R =R
R’ so
R nur 1 Punkt aus x1, x2,...,xn enthält (oder wir können die Wahrscheinlichkeit,
dass R mehr als 1 Punkt enthält vernachlässigen). Dann können wir Wahrscheinlichkeit,
dass E „stattfindet“ als folgt bestimmen:
P( E ) ≅ P ( E | x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' ) P ( x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' ) +
(12)
+
∑ [P( E | x
n
j =1
j
∈ ∆R; xi ∈ R ' ∀i ≠ j ) P ( x j ∈ ∆R ) P ( xi ∈ R ' ∀i ≠ j )
Wie wir wissen, die WS, dass ein Punkt xk in R liegt ist:
P ( x k ∈ ∆R ) =
]
∆R
R , und die WS,
n
dass n Punkten in R’ liegen :
 R' 
P ( x1 , x 2 ,..., x n ∈ R' ) =   .
 R  Wenn wir
R so klein
wählen, dass die WS, dass in R mehr als 1 Punkt liegt vernachlässigbar ist und Potenzen
von
größer als 1 vernachlässigbar sind dann haben wir:
R n = ( R '+ ∆R ) n ≅ ( R' ) n + n( R' ) n −1 ∆R ⇒
6
⇒ P ( E ) R n ≅ P( E | x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' )( R ' ) n + nP ( E | x k ∈ ∆R; x1 , x 2 ,..., x k −1 , x k +1 ,..., x n ∈ R ' )( R ' ) n −1 ∆
(13)
Gleichung (13) drückt die Tatsache aus, dass entweder alle n Punkte in R’ liegen
oder n-1 Punkte in R’ liegen und 1 Punkt (das kann mit gleicher WS jeder von n sein) in R
liegt ( wir haben
R so klein gewählt dass R maximal 1 Punkt enthält. Beim Übergang zu
infinitesimalem R wird unsere Annahme sicherlich erfüllt).
Außerdem, unter Vernachlässigung von Potenzen von R größer als 1 haben wir:
R n = ( R '+ ∆R ) n ≅ ( R' ) n + n( R' ) n −1 ∆R ⇒
[
]
⇒ P ( E ) ( R' ) n + n( R' ) n −1 ∆R ≅ P ( E | x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' )( R ' ) n +
+ nP ( E | xk ∈ ∆R; x1 , x2 ,..., xk −1 , xk +1 ,..., xn ∈ R' )( R ' ) n −1 ∆R ⇒
⇒ [P( E ) − P ( E | x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' ) ]R ' ≅ n∆R[P ( E | x k ∈ ∆R; x1 , x 2 ,..., x k −1 , x k +1 ,..., x n ∈ R ' ) − P( E )
Jetzt lassen wir R infinitesimal werden: R
P( E ) − P( E | x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ' ) = δP( E )
R. Dann wird die Differenz
-infinitesimales Augment von P(E) und
WS = P( E | x k ∈ ∆R; x1 , x 2 ,..., x k −1 , x k +1 ,..., x n ∈ R ' )
– die Wahrscheinlichkeit,
dass ein der Punkte (hier xk) auf der Grenze R von R liegt. So haben wir die Crofton’s
Formula hergeleitet:
δP ( E ) = [P ( E | x k ∈ δR) − P ( E ) ]nR −1δR
(14)
7
]
Ruben und Reed haben Crofton’s Formula erweitert (1973). Sie haben folgendes gezeigt:
Es seien n k-dimensionale Domänen gegeben: D1, D2,...,Dn mit Volumen V1, V2,...,Vn. In
jeder Domäne Dk werden zufällig Nk Punkte gewählt.
Wir können uns eine Funktion F vorstellen, die nur von Position der Punkte zueinander
abhängt. Das erweiterte Theorem von Crofton besagt:
n 
∂V j 
∂F = ∑  N j ( F ' j − F )

V j 
j =1 

wobei F’j – der Wert der Funktion F in Domäne Dj ist und ein Punkt aus Nj liegt an der
Grenze der Domäne (Vergleiche mit Bemerkung zu Formel (14)).
Kumulative Verteilungsfunktion
Wie angekündigt, kommen wir jetzt zur Berechnung von kumulativer
Verteilungsfunktion F(x, L) = Pr (X
x), wobei X = || x1
x2 ||, x1 und x2 sind zufällig auf L
gewählt , x – eine positive reelle Zahl.
Gemäß Crofton’s Formel haben wir:


δF ( x, L) = 2Pr( X < x | x1 ist ein Endpunkt von L) − F ( x, L) L−1δL


(15)
(vgl. mit (14). Hier haben wir n = 2 ).
Wenn wir ein Punkt (z.B. x1) am Rand von L fixieren und zweiter zufällig auf L wählen dann
gilt:
8
Pr( X < x | x1 ist ein Endpunkt von L) =
(16)
x
L
Eine Ableitung nach L ergibt:
d
F ( x, L ) =
dL
⇒ L2 (
x
2( − F ( x, L))
d
L
⇒ L2 ( F ( x, L)) = 2 x − 2 LF ( x, L) ⇒
L
dL
d
F ( x, L)) + 2 LF ( x, L) = 2 x ⇒ L2 F ( x, L) = 2 xL + Const
dL
(17)
Wir können die Konstante Const ganz einfach bestimmen, da für x = L haben wir
F(x, L) = 1. Daraus folgt, dass Const =
2 und
2 Lx − x 2
F ( x, L ) =
L2
(18)
wobei hier 0
x
L ist. Diese Formel lässt uns WS berechnen, mit der zwei zufällig
gewählten Punkt auf L den Abstand kleiner gleich x haben.
Sylvester’s Vier Punkte Problem
Crofton’s Formel bietet Lösungen für viele komplizierte Probleme. Ein davon –
Sylvester’s Vier Punkte Problem - möchte ich hier vorführen. Wir wollen nämlich die WS
9
berechnen, dass vier Punkte, die zufällig (in einer Ebene) gewählt werden, ein re-entrantes
Viereck bilden, d.h. ein Viereck, in dem ein der inneren Winkel größer gleich
Wir können auf 4 verschiedene Weise einen re-entrantes Viereck bilden, in Abhängigkeit
davon, welcher Winkel eingeknickt ist (liegt innerhalb des Dreiecks, der von drei anderen
Winkel gebildet wird). Jedes Dreieck ist also auch ein re-entrantes Viereck. Der
Erwartungswert der Fläche eines beliebigen Dreiecks abc in einer 2-dimensionaler Domäne
D bezeichnen wir mit E(Area(abc)) , die Fläche der Domäne mit Area(D) und die WS, dass
ein re-entrantes Viereck (durch zufällige Auswahl von vier Punkten aus D) gebildet wird mit
Pr(RV). Wir stellen fest:
Pr( RV ) =
(19)
4 E( Area( abc ) )
Area( D )
Zu beachten ist, dass rechter Teil der Gleichung (19) nich von Fläche der Domäne abhängt,
da Erwartungswert E(Area(abc)) proportional zu Area(D) ist.
Daraus folgt :
∂ Pr( RV )
=0
∂Area( D)
Wenn wir eine Domäne D’ kleiner als D wählen ändert sich Pr(RV) nicht. Gemäß
Crofton’s Formel haben wir:


δ Pr( RV ) = 4Pr( RV | ein Eck liegt an δD) − Pr( RV ) Area −1 ( D)δArea( D)


(20)
10
Da
, folgt:
Pr(RV | ein Eck liegt an D) = Pr(RV).
Zusammenfassend: wir können ein Eck am Rand von D fixieren. Pr(RV) ändert sich dabei
nicht.
Bezeichnen wir durch O einen Punkt, der zufällig an Grenze von D gewählt wird:
D. Einen re-entrantes Viereck kann durch O und drei zufällig gewählte Punkte aus D
auf drei verschiedene Weise entstehen, je nachdem, welcher der drei Punkte innerhalb von
Dreieck liegt, dass durch O und zwei andere Punkte (hier x und y) gebildet wird. Es gilt:
Pr( RV | O ∈ δD) =
3E ( Area(Oxy | O ∈ δD)
Area( D)
(21)
wobei hier E(Area(Oxy)) wieder den Erwartungswert der Fläche von Dreieck bezeichnet,
dass durch O und zwei von drei zufällig in D gewählten Punkte entsteht.
Wir betrachten hier Domäne - Polygone. Berechnen wir E(Area(Oxy)) zuerst für eine
Dreieck- Domäne .
Sei D ein Dreieck abc (siehe Abbildung 1) . Punkt O sei zufällig an der Grenze von D
gewählt ( hier ac - Grenzlinie). F1 bezeichnet den Teil der Domäne, der links von Ob liegt
und entsprechend
11
b
F2
F1
c
a
O
Abbildung 1
F2 – den Teil, der rechts von Ob liegt. Wählen wir 2 Punkte, x und y zufällig aus D .
O kann vorübergehend als ein fixierter Punkt auf ac betrachtet werden. Später heben wir
diese Annahme auf.
Die Relation
E ( Area(Oxy ))
Area(abc)
ist für alle Dreiecke konstant. Dies folgt daraus, dass wir jedes Dreieck (mit zufällig
gewählten x und y innerhalb des Dreiecks) abc auf eine andere Ebene schräg projizieren
können (die Ebene, auf die projeziert wird muss nicht parallel zur Ebene des Dreiecks sein),
so dass ein neues Dreieck a’b’c’ entsteht . Dabei werden zufällig gewählte Punkte
x, y € abc auf x’, y’ € a’b’c’ eindeutig abgebildet. Jede Teilfläche aus abc wird in a’b’c’
um einen konstanten Faktor skaliert und es gilt:
(22)
E ( Area(Oxy ))
E ( Area(O' x' y ' ))
=
Area(abc)
Area(a ' b' c' ) .
12
Der Erwartungswert E(Area(Oxy)) kann als folgt bestimmt werden:
E ( Area(Oxy )) = E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F1 ) Pr( x ∈ F1 ) Pr( y ∈ F1 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F2 ) Pr( x ∈ F2 ) Pr( y ∈ F2 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x ∈ F1 , y ∈ F2 ) Pr( x ∈ F1 ) Pr( y ∈ F2 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x ∈ F2 , y ∈ F1 ) Pr( x ∈ F2 ) Pr( y ∈ F1 )
(23)
Werden entsprechende Werte für Pr’s eingesetzt, ergibt sich:
E ( Area(Oxy )) = E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F1 )
F12
+
Area 2 (abc)
F22
+ E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F2 )
+
Area 2 (abc)
+ 2 E ( Area(Oxy ) | x ∈ F1 , y ∈ F2 )
F1F2
Area 2 (abc)
(24)
Hier sind beide Möglichkeiten
x ∈ F1 , y ∈ F2
x ∈ F2 , y ∈ F1
und
zusammengefasst. Sie sind gleichwahrscheinlich.
Berechnen wir E(Area(Oxy)). Fangen wir mit E(Area(Oxy)| x € F1, y € F2) an.
Fläche eines Dreiecks ist durch seine Höhe und die Seite, die die Höhe mit
gegenüberliegendem Eck verbindet, bestimmt.
13
Es sei zuerst y – ein fixierter Punkt Yfix aus F2. Der Erwartungswert des Abstandes
zwischen x und Oy ist der Abstand zwischen Oy und G1, wobei G1- der Schwerpunkt ( gravity
center) von F1 ist.
E ( Area(OxY fix ) | x ∈ F1 , y = Y fix ∈ F2 ) =
1
|| OY fix || E (|| OY fix zu x ||) =
2
1
|| OY fix || || OY fix zu G1 ||= Area(OY fixG1 )
2
(25)
Es soll klar sein, dass || OYfix zu G1|| die Länge der Senkrechte von G1 zu OYfix
bezeichnet . Allerdings ist y kein fixierter Punkt aus F2 ist, sondern mit gleicher WS nimmt
alle Werte aus F2 an:
E ( Area(Oxy | x ∈ F1 , y ∈ F2 ) =
=
1
|| OG1 || E (|| OG1 zu y ||) =
2
1
|| OG1 || || OG1 zu G2 ||= Area(OG1G2 )
2
(26)
||OG1 zu G2|| bezeichnet hier die Länge der Senkrechte zwischen Linie OG1 und G2,
wobei G2 – der Schwerpunkt von F2 ist. Formel (26) ist für uns wichtig, da wir es jetzt mit
einer bestimmten Größe zu tun haben, und nicht mit Erwartungswerten .
14
Erinnern wir uns daran, dass in einem Dreieck Medianen (Mediane ist Linie, die ein Eck
mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet) Eigenschaft haben, dass sie sich in
einem Punkt kreuzen, der gleichzeitig Schwerpunkt des Dreiecks ist. Außerdem teilt der
Schwerpunkt jede Mediane in Verhältnis 2:3 (Strecke von einem Eck zum Punkt ist doppelt
so groß wie Strecke vom Punkt zur Seite), siehe Abbildung 2.
b
M
G2
G1
c
O
a
Abbildung 2
Die Linie G1G2 ist parallel zu ac, da G1 – Kreuzpunkt der Medianen in Oab und G2 – in
Obc sind. Wenn wir also von b aus 2 Mediane ziehen, eine zu aO und andere zu Oc, dann
beträgt ||bG1|| (b.z.w. ||bG2|| ) 2 Einheiten und ||G1 zu Mitte der aO|| (b.z.w. ||G2 zu Mitte der
Oc|| 1 Einheit, voraus die Parallelität von G1G2 zu ac folgt. Weiter, wenn wir Linie G1G2 in
beide Richtungen verlängern, teilt sie jede senkrechte Linie von b zu ac in Verhältnis 2:3.
Es gilt dann:
(27)
Höhe( OG1G2) = (1/3)Höhe(abc)
Höhe(bG1G2) =(2/3)Höhe(abc)
15
Wir müssen noch ||G1G2 || abschätzen. Projektion aG1 auf ac beträgt (2/3) von Projektion
aM auf ac (aM ist Mediane). Analog, Projektion cG2 auf ac beträgt (2/3) von Projektion cM
(in G2 kreuzen sich Medianen von Ocb). Daraus folgt, dass die Projektion G1G2 auf ac
(1/3)|| ac || beträgt. Da G1G2 parallel zu ac ist, gilt:
|| G1G2 || = (1/3)|| ac ||.
Die Flächen von Dreiecks (OG1G2) und (bG1G2) sind:
(28)
Area(OG1G2) = (1/9)Area(abc)
Area(bG1G2) = (2/9)Area(abc)
Schauen wir uns Formel (26). Wir haben:
E ( Area(Oxy ) | x ∈ F1 , y ∈ F2 ) = Area(OG1G2 ) =
1
1
Area(abc) = Area( D)
9
9
(29)
Es bleibt noch einen Fall zu untersuchen (siehe (24)): E(Area(Oxy)| x,y € F1) ( der
Fall E(Area(Oxy) | x,y € F2) ist symmetrisch).
Wenn wir uns noch mal Abbildung 1 anschauen, können wir feststellen, dass Punkt O
das Dreieck abc in zwei Dreiecke teilt: Oab und Obc . In jedem Dreieck ist O – ein Eckpunkt.
Da wir jetzt den Fall betrachten, wo beide Punkte x und y in F1 liegen, ergibt sich die
Situation, die in Abbildung 3 dargestellt ist.
16
O
V2
V1
L
K
M
Abbildung 3
Hier OM – die Mediane, die KL halbiert. E(Area(Oxy)) können wir durch folgende
Gleichung bestimmen( vgl. (24)):
E ( Area(Oxy )) = E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ V1 ) Pr 2 ( x ∈ V1 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ V2 ) Pr 2 ( y ∈ V2 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x ∈ V1 , y ∈ V2 ) Pr( x ∈ V1 ) Pr( y ∈ V2 ) +
+ E ( Area(Oxy ) | x ∈ V2 , y ∈ V1 ) Pr( x ∈ V2 ) Pr( y ∈ V1 ).
(30)
Die Mediane OM teilt OKL in zwei Dreiecke die gleiche Fläche: V1 = V2. Dies folgt
daraus, dass ||KM|| = ||ML|| ist und die Höhe ||O zu KL|| für beide Dreiecke gleich ist. Es gilt
also:
Pr( x ∈ V1 ) = Pr( x ∈ V2 ) =
1
⇒
2
17
⇒ E ( Area(Oxy )) =
1
[E ( Area(Oxy) | x, y ∈ V1 ) + E ( Area(Oxy) | x, y ∈ V2 ) + 2 E ( Area(Oxy) | x ∈ V1 , y ∈ V2 ]
4
(31)
Da Area(V1) = Area(V2) = 1/2 Area(OKL) ist, gilt:
(32)
E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ V2 )
E ( Area(Oxy )) E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ V1 )
=
=
Area(OKL)
(1 / 2) Area(OKL)
(1 / 2) Area(OKL)
Jetzt können wir (31) umschreiben:
E ( Area (Oxy )) =
1 1
1

E ( Area (Oxy )) + E ( Area (Oxy )) + 2 E ( Area (Oxy ) | x ∈ V1 , y ∈ V 2  ⇒

4 2
2

⇒ E ( Area(Oxy )) =
2
E ( Area(Oxy ) | x ∈ V1 , y ∈ V2 )
3
(33)
Aus (29) wissen wir, dass E(Area(Oxy)|x € V1, y € V2) = Area( OG1G2), wobei
G1 und G2 Schwerpunkte von V1 und V2 sind. Area(OG1G2) haben wir schon in (29)
berechnet. Also gilt:
E ( Area(Oxy )) =
(34)
2
22
4
Area(OG1G2 ) =
Area(OKL) =
Area(OKL).
3
39
27
18
Oben wurde schon gezeigt (22) , dass die Relation
E ( Area(Oxy ))
Area(abc)
für beliebige
Dreiecke konstant ist . So gilt sie auch für Dreiecke aus Abbildung 1.
Zusammenfassend:
E(Area(Oxy) | x,y € F1) = (4/27) Area(Oab)
E(Area(Oxy) | x,y € F2) = (4/27) Area(Obc)
E(Area(Oxy) | x € F1, y € F2) + E(Area(Oxy) | x € F2, y € F1) = (2/9) Area(abc).
Wir können jetzt die entsprechenden Werte in (24) einsetzen :
E ( Area(Oxy ) = E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F1 )
F12
+
Area 2 (abc)
F22
F1 F2
+ E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ F2 )
+ 2 E ( Area(Oxy ) | x ∈ F1 , y ∈ F2 )
=
2
Area (abc)
Area 2 (abc)
=
1
( Area(abc)) 2
[
4 3 4 3 2
F1 +
F2 + Area(abc) F1F2
27
27
9
]
(35)
Unser Ziel ist, den Erwartungswert E(Area(Oxy)) zu finden, wobei x,y zufällig aus abc
gewählt werden. Wenn wir E(Area(Oxy)) wissen, dann können wir auch Pr(RV) ausrechnen.
Wir sind bis jetzt davon ausgegangen, dass O – ein fixierter Punkt auf der Grenze
von D
D = ac, Seite 8 ). Jetzt können wir die Annahme aufheben. In Wirklichkeit
ist O kein fixierter Punkt, sondern ein zufällig gewählter Punkt aus D. Wir summieren für
alle O € ac Area(Oxy) (Siehe Abbildung 4).
19
b
h
F2
F1
c
O
p
a
e
Abbildung 4
In Abbildung 4 h ist die Höhe, p – Abstand von O zu a (variabel, da wir nach ganze ac
integrieren müssen), || ac || = e, F1 = Area(Oab), F2 = Area(Obc). Wir summieren alle Werte
Area((Oxy)|O € (ac), x,y € (abc)), wobei O von a nach c läuft und teilen das Ergebnis durch
e (ac = e ist ein Maß dafür, wie viele mal summiert wurde).
Area(abc) = (1/2) e h;
Area(Oab) = (1/2) p h;
Area(Obc) = (1/2) (e
p) h.
Stellen wir diese Werte in (35) ein:
E ( Area(Oxy ) | O ∈ δD) =
=
1
((1 / 2)eh) 2
e
∫[
0
4
4
21 1
1
dp
(1 / 2) 3 p 3 h 3 + (1 / 2) 3 (e − p ) 3 h 3 +
eh ph (e − p )h ] =
27
27
92 2
2
e
1 3 3 1
4
1
1
p h + (e − p ) 3 h 3 + ep(e − p )h 3  dp =
2 2 ∫
54
36
e
e h 0  54
e
=
20
4  e4h3 e4h3 e4h3 e4h3
= 3 2
+
+
−
72
108
e h  216 216
]=
1
1 1
1
eh = ( eh) = Area(abc).
18
9 2
9
(36)
Das Letzte, was uns noch bleibt – (21) zu beachten:
Pr( RV | O ∈ δD) =
3E ( Area(Oab | O ∈ δD)
Area( D)
Wie wissen jetzt die endgültige Formel für die WS, dass in einer dreieckigen Domäne D
vier zufällig gewählte Punkte ein re-entrantes Viereck bilden:
Pr( RV ) = Pr( RV | O ∈ δD) =
3E ( Area(Oxy ) | O ∈ δD; x, y ∈ D) 1
=
Area( D)
3
(37)
Formel (37) gilt für Dreieck-Domäne. Wir können allerdings unsere Analyse auf
beliebige konvexe Polygone (alle innere Winkel kleiner als
In einem konvexen Polygon Dn mit n Seiten (und n Ecken) wählen wir O zufällig am
Rand einer Seite. Ziehen wir Linien von O zu jedem Eck in Dn. So entstehen n-1 Dreiecke:
1,
2, ...,
n-1.
In Formel (23) haben wir schon überlegt, dass:
21
O
Abbildung 5
n −1
E ( Area(Oxy )) = ∑ [E ( Area(Oxy ) | x, y ∈ ∆ i ) Pr( x, y ∈ ∆ i )] +
i =1
n −1  n −1

+ ∑ ∑ {i ≠ j }( E ( Area(Oxy ) | x ∈ ∆ i ; y ∈ ∆ j ) Pr( x ∈ ∆ i ) Pr( y ∈ ∆ j ).
i =1  j =1

(38)
Alikoski hatte das Sylvester’s Problem für alle reguläre Polygone gelöst (1939). Er hatte
Formel (37) verwendet, die Lösung für Dreiecke liefert. Alikoski hatte bewiesen, dass
Pr( RV ) =
9 cos 2 ω + 52 cos ω + 44
9n 2 sin 2 ω
ω=
wobei
2π
n
(39)
und n – Anzahl der Seiten des Polygons ist. Neugierige können die entsprechenden Werte
einstellen und sich davon überzeigen, dass (39) auch für D3 gilt.
Wir können Pr(RV) für den Fall ausrechnen für n gegen Unendlich läuft:
 2π 
 2π 
+ 52 cos
lim (9 cos 2 

+ 44) = 105,
n →∞
 n 
 n 
da
Außerdem gilt:
1
lim(n ⋅ sin  ) = 1
n →∞
n
und
 2π 
lim cos
 = 1.
n →∞
 n 
k
lim(n ⋅ sin  ) = k .
n →∞
n
22
 2π 
lim(n ⋅ sin 
) = 2π
 n 
Somit: n→∞
und
 2π 
2
lim(9n 2 ⋅ sin 2 
) = 36π
n →∞
n


und deswegen
9 cos 2 ω + 52ω + 44 105
35
=
=
.
2
2
2
n →∞
9n sin ω
36π
12π 2
lim
*********************************************
Literaturliste
H.Solomon. Geometric Probability, 1978
23