Übungsblatt zur Einheit "Die Sprechweise der Stochastik"

Institut für Stochastik,
Fernstudienzentrum
Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung
Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014
Präsenzwoche
Übungsaufgaben zur Einheit: Sprechweise der Stochastik
Aufgabe 8
Gegeben ist die folgende Beobachtungsreihe x (Urliste):
+2.16
+5.08
+5.00
+3.34
+3.76
2.44
3.44
1.74
0.74
2.14
2.90
5.24
2.52
1.04
3.34
2.04 0.58 1.26 1.52 4.02 1.90 2.22
-0.56 2.70 3.06 3.10 2.90 4.26 1.36
4.04 1.14 0.10 6.52 5.16 0.46 7.72
3.20 5.30 5.08 5.08 2.36 2.20 5.12
4.78 4.80 5.38 0.62 3.20 4.14 3.58
(a) Teilen Sie die Beobachtungswerte in gleichlange Klassen ein, und fertigen Sie ein Histogramm an. (7 Klassen wählen, untere Grenze -0.6, obere Grenze 7.8).
(b) Bestimmen Sie das Stichprobenmittel x und die Stichprobenstandardabweichung sx .
(c) Bestimmen Sie den Median x̃, das untere Quartil x̃0.25 , das obere Quartil x̃0.75 und den
Quartilsabstand.
(d) Berechnen Sie das 20 %-gestutzte Mittel x0.2 von x.
(e) Es sei z = (z1 , z2 , . . . , z50 ) die Stichprobe“ mit der Eigenschaft:
”
zi := Mittelpunkt des Intervalls (Klasse), in der xi liegt.
Bestimmen Sie das Stichprobenmittel z und die Stichprobenvarianz s2z zur Stichprobe z.
Aufgabe 9
Zur Qualitätsprüfung von 3 Packungen mit je N Stück elektrischen Schaltungen werden jeder
Packung n Stück entnommen (n ≤ N ). Anschließend werden die entnommenen Schaltungen
kontrolliert, ob sie defekt oder intakt sind. Es sei Aij das Ereignis, dass bei der i-ten Packung
unter den entnommenen Stücken genau j defekt sind, 1 ≤ i ≤ 3, 0 ≤ j ≤ n.
(a) Stellen Sie die folgenden Ereignisse mit Hilfe des Ereignisses Aij dar:
Bi
Ci
D
E
F
:=
:=
:=
:=
:=
Packung i wurde mindestens eine defekte Schaltung entnommen
Packung i wurde höchstens eine defekte Schaltung entnommen
keiner Packung wurde eine defekte Schaltung entnommen
jeder Packung wurde mindestens eine intakte Schaltung entnommen
es wurde insgesamt (genau) eine defekte Schaltung entnommen
(b) Man beschreibe in Worten die folgenden Ereignisse:
Bi ∩ F,
Ai0 ∪ Ai1 ∪ . . . ∪ Aik ,
A13 ∩ A32
Aufgabe 10
Zur Qualitätsüberprüfung von r Packungen mit Reagenzgläsern werden jeder Packung eine
bestimmte Anzahl Gläser entnommen. Anschließend werden die entnommenen Reagenzgläser
kontrolliert, ob sie die vorgeschriebene Hitzebeständigkeit vorweisen oder nicht. Xi sei die Anzahl der defekten Reagenzgläser, die der i-ten Packung, i = 1, . . . , r, entnommen werden.
a) Stellen Sie die folgenden Ereignisse mit Hilfe der Zufallsvariablen Xi dar:
Aij = der Packung i wurden genau j defekte Reagenzgläser entnommen“,
”
Bi = der Packung i wurde mindestens ein defektes Reagenzglas entnommen“,
”
Ck = es wurden insgesamt (genau) k defekte Reagenzgläser entnommen“,
”
D = keiner Packung wurde ein defektes Reagenzglas entnommen“.
”
b) Beschreiben Sie in Worten die folgenden Ereignisse:
{X2 > X1 },
r
∑
{
Xi ≥ 1},
i=1
{ max Xi = X5 }.
i=1,...,r
Aufgabe 11
Die 160 m2 Wohnung der Mathe-Vorkurs-WG kostete bisher 880 Euro. Der Preis pro m2 wurde
um 55 Cent erhöht. Wie viel Prozent betrug die Erhöhung?
Aufgabe 12
Der Familienbetrieb Mathe-Vorkurs plant die Anschaffung eines Autos im Wert von 12000 Euro.
Dieses Auto wird für drei Jahre benötigt. Es stehen für diesen Zeitraum drei Finanzierungsmodelle zur Wahl.
Angebot A: Kreditkauf mit einer Anzahlung von 30 % des Kaufpreises, 36 Raten zu je 270 Euro
und ein nach drei Jahren vereinbarter Wiederverkauf für 5500 Euro.
Angebot B: Barkauf mit 2 % Skonto und ein nach drei Jahren angestrebter Wiederverkaufswert
für 5500 Euro
Angebot C: Leasing für drei Jahre mit Zahlung von 40 % des Kaufpreises und 36 Zahlungen
zu je 110 Euro.
Wie viel Euro würde das Auto den Familienbetrieb insgesamt jeweils am Ende der drei Jahre
gekostet haben? Berücksichtigen Sie sowohl den Kaufpreis als auch den angestrebten Wiederverkaufspreis.
Aufgabe 13
Drei Reisebüros hatten zu Beginn der Saison ein und dieselbe Flugreise zum gleichen Preis im
Angebot. Diese kostete zunächst 1000 Euro. Das Reisebüro Ichwillweg senkte den Preis der
Flugreise zu Saisonende erst um 2 %, dann noch einmal zur Nachsaison um 8 %. Das Reisebüro
Reisefieber verminderte erst den Preis um 4 % und dann noch einmal um 6 %. Bei Fernweh
wurde zweimal um 5 % reduziert.
(a) Vergleichen Sie die Preisangebote der drei Reisebüros nach der zweiten Preissenkung.
(b) Der Preis einer weiteren Reise wird bei Reisefieber als Last-Minute-Angebot von 1240
Euro auf 830 Euro gesenkt. Wie viel Prozent Preisnachlass werden damit gewährt.
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