Inhaltsverzeichnis - Math.Uni

INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
I
Collegium Logicum
1
Die Aussagenlogik
1.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . .
1.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau . . . .
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau . .
1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . .
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . .
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln . . . . . . .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Das Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit . . . . . . .
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . .
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . .
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
2
3
ii
Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . .
Lemma über die Negation . . . . . . . . . . . . . . .
Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . .
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz . . . . . . . . .
Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .
Strukturen und formale Sprachen
2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Symbole für formale Sprachen . . . . . . . . .
2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz über Unterstrukturen . . . . . . . . . . .
2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . .
2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . .
2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . .
2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . .
2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelle und Theorien
3.1 Das Wahrheitsprädikat: Modelle . . . . . . . . . .
3.1.1 Satz über neue Konstanten . . . . . . . . .
3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . .
3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Satz über die Existenz unendlicher Modelle
3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
4
3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . .
3.4.4 Erhaltungssatz für universelle Formeln .
3.4.5 Satz von Łoś-Tarski . . . . . . . . . . .
Einige mathematische Theorien . . . . . . . . .
3.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Gruppen- und Körpertheorie . . . . . . .
3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen
3.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
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Gesetze der Prädikatenlogik
4.1 Ein Axiomensystem für die Prädikatenlogik . . . . . . . . . .
4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz über die Generalisierung . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitsprädikates . . . . . . . .
4.5 Pränexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . .
4.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . .
4.5.4 Das Dualitätsprinzip für die Prädikatenlogik . . . . . .
4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . .
4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Satz über rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . .
4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . .
4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . .
4.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz
4.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen der Mengenlehre
5.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . .
5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . .
5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen
5.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . .
5.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . .
5.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen von Mengen von . . .
6.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . .
6.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . .
6.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen
6.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen .
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INHALTSVERZEICHNIS
6.2
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III
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v
6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . .
6.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . .
Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . .
Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . .
6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . .
6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . .
6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion
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Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . .
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . .
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff .
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . .
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
7.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . .
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
8.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . .
8.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
8.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . .
8.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs .
8.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen
8.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . .
8.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . .
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Grundlagen der Modelltheorie
Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz
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INHALTSVERZEICHNIS
9.1
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9.3
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Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 175
Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Auf und ab: Elementare Substrukturen
10.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . .
10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . .
10.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) .
10.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts)
10.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten
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11.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12 Produkte und Ultraprodukte
12.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem
12.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Modellvollständigkeit
198
13.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV
Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
14 Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
14.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . .
14.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . .
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . .
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
14.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . .
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205
205
207
208
209
209
212
214
INHALTSVERZEICHNIS
vii
15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
15.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
15.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . .
15.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Die Gödelschen Sätze
16.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . .
16.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . .
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz .
16.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . .
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar .
16.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . .
17 Literatur
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238
215
Kapitel 15
Definierbarkeit berechenbarer
Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
Die Theorie PA enthält mit dem Induktionsschema unendlich-viele Axiome, und
es läßt sich nachweisen, daß diese nicht durch endlich-viele ersetzbar sind. Trotzdem genügt es, für manche Überlegungen eine geeignete Teiltheorie zugrundezulegen, die nur endlich-viele Axiome benötigt, etwa die folgende Theorie PA− :
Diese Theorie faßt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften der Zahlentheorie in einer Sprache L mit den Symbolen 0, 1, <, +, · zusammen: Die ersten
Axiome besagen, daß Addition und Multiplikation assoziativ und kommutativ
sind sowie das Distributivgesetz erfüllen, ferner daß 0 und 1 neutrale Elemente
für die jeweiligen Operationen und 0 ein Nullteiler ist:
A1
A2
A3
A4
A5
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
x+y = y+x
x·y = y·x
x · (y + z) = x · y + x · z
A6 x + 0 = x ∧ x · 0 = 0
A7
x·1 = 1
Dabei benutzen wir die in der Algebra üblichen Klammeregeln (· bindet stärker
als +). Für die <-Beziehung gelten die Gesetze einer linearen Ordnung, welche
mit Addition und Multiplikation verträglich ist:
A8
A9
¬x<x
x < y∧y < z → x < z
15.1. E INE ENDLICH - AXIOMATISIERBARE T EILTHEORIE VON PA
216
A10 x < y ∨ x = y ∨ y < x
A11 x < y → x + z < y + z
A12 0 < z ∧ x < y → x · z < y · z
Eine Zahl kann von einen größeren subtrahiert werden:
A13 x < y → ∃z (x + z = y)
und schließlich ist 1 ist der Nachfolger von 0 und 0 das kleinste Element (wobei
wie üblich x ≤ y : ⇐⇒ x = y ∨ x < y):
A14 0 < 1 ∧ ∀x (0 < x → 1 ≤ x)
A15
∀x (0 ≤ x)
Aus den letzten Axiomen folgt, daß allgemeiner x + 1 der Nachfolger von x ist
und damit die Ordnung diskret ist:
x < x + 1 ∧ ∀y (x < y → x + 1 ≤ y).
Einige Modelle von PA−
1. In der P EANO-Arithmetik PA kann man die <-Beziehung definieren durch
x < y ↔ ∃z (x + z + 1 = y) und damit alle Axiome von PA− erhalten. Insbesondere ist das Standardmodell N mit der gewöhnlichen <-Beziehung, den
üblichen Operationen und den natürlichen Zahlen 0,1 ein Modell von PA− .
2. Die Menge Z[X] der Polynome in einer Unbestimmten X und mit ganzzahligen Koeffizienten ist mit den üblichen Operationen ein kommutativer Ring. Man kann diesen Ring ordnen, indem man für ein Polynom p =
an X n + . . . a1 X + a0 mit höchstem Koeffizienten an 6= 0 setzt:
an X n + . . . a1 X + a0 > 0 : ⇐⇒ an > 0
und damit Polynome p, q ∈ Z[X] ordnet durch p < q : ⇐⇒ q − p > 0.
Die Teilmenge Z[X]+ der Polynome p ∈ Z[X] mit p ≥ 0 wird damit zu einem Modell von PA− , in welchem das Polynom X größer als alle konstanten
Polynome und damit “unendlich groß” ist.
In einem Ring liegt bezüglich der Addition eine Gruppe vor, während A13 nur
eine eingeschränkte Inversenbildung zuläßt. Ersetzt man in PA− die Axiome A13
und A15 durch das Axiom
217
15.2. A RITHMETISCHE F ORMELN
A16 ∀x ∃z (x + z = 0)
so erhält man die algebraische Theorie DOR der diskret geordneten Ringe, deren
Modelle z. B. die Ringe Z und Z[X] sind. Jedes Modell M von PA− kann man
zu einem Modell R der Theorie DOR erweitern (nach demselben Muster, wie
man die natürlichen Zahlen zum Ring der ganzen Zahlen erweitert), so daß die
nicht-negativen Elemente von R mit dem ursprünglichen Modell übereinstimmen.
Umgekehrt ist auch für jedes Modell R der Theorie DOR die Einschränkung auf
die nicht-negativen Elemente ein Modell von PA− , so daß man PA− als Theorie
(des nicht-negativen Teils) diskret geordneter Ringe bezeichnen kann.
15.2 Arithmetische Formeln
Für Terme t und Formeln ϕ der Sprache L schreiben wir
∃x < t ϕ für ∃x(x < t ∧ ϕ)
∀x < t ϕ für ∀x(x < t → ϕ)
und nennen ∃x < t und ∀x < t beschränkte Quantoren. Endliche Folgen von Variablen kürzen wir durch ~x,~y, . . . ab.
Definition
ϕ ist ∆0 -Formel: ⇐⇒ ϕ enthält höchstens beschränkte Quantoren,
ϕ ist Σ1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∃~x ψ für eine ∆0 -Formel ψ,
ϕ ist Π1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∀~x ψ für eine ∆0 -Formel ψ,
Dieses ist der Anfang der Hierarchie der arithmetischen Formeln; setzt man
Σ0 = Π0 = ∆0 ,
so kann man fortsetzen:
ϕ ist Σn+1 -Formel ⇐⇒ ϕ = ∃~x ψ für eine Πn -Formel ψ,
ϕ ist Πn+1 -Formel ⇐⇒ ϕ = ∀~x ψ für eine Σn -Formel ψ.
Eine Σ3 -Formel ist also von der Form ∃~x ∀~y ∃~z ψ, wobei ψ höchstens beschränkte Quantoren enthält. Das bedeutet also, daß man beschränkte Quantoren
218
15.3. E NDERWEITERUNGEN
nicht mitzählt, mit Σ bzw. Π anzeigt, daß die Formel mit einer (endlichen) Folge
von ∃-Quantoren bzw. ∀-Quantoren beginnt und der Index die Quantorenblöcke
zählt. Es kommt also weniger auf die Anzahl der Quantoren an als die Anzahl der
Quantorenwechsel.
Bei dieser Klassifizierung unterscheidet man nicht zwischen logisch äquivalenten Formeln, so daß etwa jede Πn -Formel für n < m auch eine Σm - und Πm Formel ist (indem man der Formel einfach zusätzliche Quantoren über nicht vorkommende Variablen voranstellt). Somit kann man dann auch die Formelmengen
∆n = Σn ∩ Πn
definieren. Es ergibt sich daraus folgendes Bild der arithmetischen Hierarchie:
Σ1
∆0
Σ2
@
@
@
∆1
@
@
@
@
∆2
@
@ Π1
......
∆3
@
@
@ Π2
@
@
@
Viele nützliche Eigenschaften natürlicher Zahlen lassen sich mittels ∆0 -Formeln ausdrücken, z. B.:
x ist irreduzibel ↔ 1 < x ∧ ∀u < x ∀v < x ¬(u · v = x).
Von besonderer Bedeutung ist, daß ∆0 -Formeln in einer Struktur dasselbe bedeuten wie in allen Enderweiterungen:
15.3 Enderweiterungen
Bereits bei der Behandlung von Nonstandard-Modellen von PA hatten wir bemerkt, daß sich das Standardmodell in jedes andere Modell von PA einbetten läßt.
Diese Eigenschaft gilt auch für die Modelle von PA− :
219
15.3. E NDERWEITERUNGEN
Definition
L sei eine Sprache, welche ein 2-stelliges Symbol < enthalte, M und N seien LStrukturen mit M ⊆ N. Dann heißt N Enderweiterung von M (und entsprechend
M Anfangssegment von M) genau dann, wenn die größere Menge N unterhalb
eines Elementes von M kein weiteres hinzufügt:
M ⊆end N : ⇐⇒ für alle x ∈ M, y ∈ N : (y <N x ⇒ y ∈ M).
Jede natürliche Zahl n wird im Standardmodell, das wir hier auch einfach mit
N bezeichnen, durch den konstanten Term
n = 1+...+1
(n-mal)
dargestellt, wobei 0 die Konstante 0 ist.
Satz
Es sei M |= PA− . Dann wird durch die Abbildung n 7→ nM eine Einbettung des
Standardmodells N auf ein Anfangssegment von M definiert.
Insbesondere ist (mittels Identifizierung) jedes Modell von PA− isomorph zu
einer Enderweiterung des Standardmodells N.
Beweis: Durch einfache Induktion zeige man für alle natürlichen Zahlen n, k, l:
n = k + l =⇒ PA− ` n = k + l
n = k · l =⇒ PA− ` n = k · l
n < k =⇒ PA− ` n < k
PA− ` ∀x ( x ≤ k
→
x = 0 ∨ . . . ∨ x = k)
Die ersten 3 Aussagen werden wir später für alle rekursiven Funktionen bzw. Relationen verallgemeinern; aus ihnen folgt, daß die Abbildung n 7→ nM ein Homomorphismus und wegen der letzten Aussage eine Einbettung auf ein Anfangssegment von M ist.
15.4. E RHALTUNGSEIGENSCHAFTEN UNTER E NDERWEITERUNGEN
220
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
N, M seien Strukturen der Sprache L von PA− , N ⊆end M,~a ∈ N. Dann gilt:
(i) jede ∆0 -Formel ϕ(~v) ist absolut:
N |= ϕ[~a] ⇐⇒ M |= ϕ[~a],
(ii) jede Σ1 -Formel ϕ(~v) ist aufwärts-persistent:
N |= ϕ[~a] =⇒ M |= ϕ[~a],
(iii) jede Π1 -Formel ϕ(~v) ist abwärts-persistent:
M |= ϕ[~a] =⇒ N |= ϕ[~a],
(iv) jede ∆1 -Formel ϕ(~v) ist absolut:
N |= ϕ[~a] ⇐⇒ M |= ϕ[~a].
Beweis von (i) durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ(~v), wobei nur der
Fall eines beschränkten Quantors von Interesse ist. Da aber M Enderweiterung
von N ist, werden von M unterhalb eines Elementes von N keine neuen Elemente
eingefügt, so daß ein beschränkter Quantor in beiden Strukturen dasselbe besagt.
Wir wollen nun zeigen, daß die rekursiven Relationen mit den Mengen übereinstimmen, die sich durch eine ∆1 -Formeln in den natürlichen Zahlen definieren
lassen, und daß der Graph einer rekursiven Funktion durch eine Σ1 -Formeln in
den natürlichen Zahlen definiert werden kann. Mit N bezeichnen wir im folgenden auch das Standardmodell (N, +, ·,0 , 0, 1).
15.5 Lemma
Für jede ∆0 -Formel θ (~v) ist die Relation
R(~a) ⇐⇒ N |= θ (~a)
primitiv-rekursiv.
221
15.5. L EMMA
Beweis: Wir zeigen durch Induktion über lz(θ ), daß die zugehörige charakteristische Funktion
(
1 falls N |= θ (~x)
cθ (~x) =
0 sonst
primitiv-rekursiv ist: Zunächst sind die Funktionen x + 1, x + y, x · y p.r. und damit
definiert jeder Term in N eine primitiv-rekursive Funktion. Da auch die Funktionen eq(x, y) = sg(|x−y|) und sg(y−̇x) primitiv-rekursiv sind (und die p.r. Funktionen abgeschlossen sind unter Substitution), gilt die Behauptung für die atomaren
Formeln t = s,t < s. Für den Fall der aussagenlogischen Operationen benutze man
c¬θ (~x) = 1−̇cθ (~x), cθ ∧ψ (~x) = min(cθ (~x), cψ (~x)), cθ ∨ψ (~x) = max(cθ (~x), cψ (~x)).
Ist schließlich θ eine ∆0 -Formel, t ein Term und ψ(~x) = ∀y < t(~x) θ (~x, y), so folgt
die Behauptung aus
cψ (~x) = eq(t(~x), (µy < t(~x)(cθ (~x, y) = 0)).
Ähnlich argumentiert man im Falle der Formel ∃y < t(~x) θ (~x, y) (oder führt diesen
Fall mittels der Negation auf den früheren zurück).
Die Umkehrung des obigen Lemmas gilt nicht: es gibt primitiv-rekursive Mengen, die durch keine ∆0 -Formel in den natürlichen Zahlen definierbar sind. - Dagegen kann man die folgenden Prädikate und Funktionen als p.r. nachweisen:
x|y:
P(x):
pn
↔ ∃z ≤ y (x · z = y)
x teilt y
↔ ∀u ≤ x (u|x → u = x ∨ u = 1) x ist Primzahl
= (n + 1)te Primzahl : p0 = 2, p1 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11 . . .
Damit können wir endliche Mengen natürlicher Zahlen durch Zahlen codieren,
z. B.
(n0 , n1 , . . . , nk ) durch pn00 +1 · pn11 +1 · . . . · pnk k +1 .
Definieren wir für x, y ∈ N
(x + y)(x + y + 1)
+ y,
2
so erhalten wir eine Paarfunktion N2 ↔ N, die man durch Iteration erweitern
kann, indem man
hx1 , x2 , . . . xk i = hx1 , hx2 , . . . xk ii
hx, yi :=
setzt. Tatsächlich benötigen wir aber zusätzlich eine Funktion, die uniform jede
endliche Menge natürlicher Zahlen durch eine einzelne Zahl codiert:
222
15.6. G ÖDELS L EMMA
15.6 Gödels Lemma
Es gibt es eine primitiv-rekursive Funktion β , so daß für jedes k und für jede
endliche Folge x0 , x1 , . . . xk−1 ∈ N gilt: es gibt eine natürliche Zahl c mit
für alle i < k : β (c, i) = xi .
Tatsächlich gibt es eine ∆0 -Formel θ (x, y, z), so daß
N |= ∀x, y ∃!z θ (x, y, z),
und die Formel θ (x, y, z) über den natürlichen Zahlen die Funktion β definiert.
Beweis: Es sei x0 , x1 , . . . xk−1 eine Folge natürlicher Zahlen.
Setze m := b! mit b := max(k, x0 , x1 , . . . xk−1 ). Dann ist die Folge der Zahlen
m + 1, 2m + 1, . . . k · m + 1
paarweise teilerfremd. Nach dem Satz über simultane Kongruenzen (Chinesischer
Restsatz) gibt es eine natürliche Zahl a mit
a ≡ xi
mod((i + 1)m + 1) für alle i < k.
Nun kann man ha, mi als Code der Folge x0 , x1 , . . . xk−1 wählen, denn hieraus
erhält man für jedes i < k die xi zurück als Rest der Division von a durch die
Zahl (i + 1)m + 1. Bezeichnet rest(x : y) = z den Rest bei der Division von x durch
y (falls y 6= 0 und rest(x : 0) = 0), so ist dieses eine p.r. Funktion mit einer ∆0 Definition. Eine weitere p.r. Funktion erhalten wir durch
α(a, m, i) = rest(a : (1 + i)m + 1).
Bezeichnen p1 , p2 die Umkehrfunktionen der obigen Paarfunktion hx, yi, für die
also gilt
hp1 (x), p2 (x)i = x, wobei p1 (x), p2 (x) ≤ x,
so sind auch diese p.r., und wir erhalten schließlich die Gödelsche β -Funktion
als
β (c, i) = α(p1 (c), p2 (c), i).
Für eine partielle Funktion f bezeichne Γ f den Graphen von f , also die Relation
Γ f (~x, y) : ⇐⇒ f (~x) = y.
15.7. D EFINIERBARKEITSSATZ F ÜR REKURSIVE F UNKTIONEN
223
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen
Eine partielle Funktion f ist berechenbar genau dann, wenn ihr Graph Γ f über
den natürlichen Zahlen durch eine Σ1 -Formel definierbar ist, d. h. wenn es eine
Σ1 -Formel θ gibt, so daß für alle ~x, y ∈ N gilt:
Γ f (~x, y) ⇐⇒ N |= θ [~x, y].
Beweis: Wir zeigen zunächst den einfacheren Teil (⇐): Sei θ = ∃~z ψ eine Σ1 Formel, welche den Graphen Γ f einer partiellen Funktion f definiere, ψ(~x,~z, y) also eine ∆0 -Formel. Dann erhalten wir nach Lemma 15.5 eine berechenbare Funktion g durch
g(~x) = µz(N |= ∃y,~z ≤ z (hy,~zi = z ∧ ψ(~x,~z, y))).
Es ist dann p1 (g(~x)) das kleinste y mit N |= θ [~x, y], falls ein solches y existiert,
und undefiniert sonst, denn für jedes~x ∈ N gibt es höchstens ein y mit N |= θ [~x, y].
Somit ist p1 (g(~x)) ∼
= f (~x), und damit ist f berechenbar.
Zum Beweis von (⇒) nennen wir partielle Funktionen f , deren Graph sich
durch eine Σ1 -Formel über den natürlichen Zahlen definieren lassen, Funktionen
mit einem Σ1 -Graphen und zeigen, daß die Menge dieser Funktionen die Anfangsfunktionen enthält und unter Substitution, primitiver Rekursion und unter dem µOperator abgeschlossen ist. Dabei beschränken wir uns auf den einzigen Schritt,
der etwas schwieriger ist und die G ÖDELsche β -Funktion benutzt: Die Funktion
f entstehe aus Funktionen g, h durch primitive Rekursion:
f (~x, 0) ∼
= g(~x)
f (~x, y + 1) ∼
= h(~x, y, f (~x, y))
Dabei können wir annehmen, daß die Graphen von g und h durch Σ1 -Formeln
definierbar sind. Um damit den Graphen von f zu beschreiben, beachten wir, daß
sich der Wert von f (~x, y) berechnet durch die vorangegangenen Werte
u0 = f (~x, 0), u1 = f (~x, 1), . . . , uy = f (~x, y),
die wir mittels der β -Funktion durch eine einzige Zahl u codieren können. Wir
müssen nun aber in dieser Folge die Funktion f eliminieren, um eine explizite
Definition zu erhalten. Der erste Wert u0 ist durch den Graphen von g festgelegt ist
und die weiteren ui+1 bestimmen sich aus ui gemäß den Rekursionsbedingungen
mittels des Graphen von h:
15.8. R EPR ÄSENTIERBARKEIT
224
∀i < y ∃r, s ∈ N [β (u, i) = r ∧ β (u, i + 1) = s ∧ Γh (~x, i, r, s)]
Diese Formel läßt sich (indem man ein genügend großes w wählt) umformen zu
∃w ∈ N ∀i < y ∃r, s < w [β (u, i) = r ∧ β (u, i + 1) = s ∧ Γh (~x, i, r, s)].
Der letzte Wert der obigen Folge, die durch die Zahl u codiert wird, ist der
Funktionswert von f an der Stelle (~x, y). Damit erhalten wir als Beschreibung des
Graphen von f :
Γ f (~x, y, z) ⇐⇒ ∃u, v, w ∈ N (Γg (~x, v) ∧ β (u, 0) = v ∧ β (u, y) = z ∧
∀i < y ∃r, s < w [β (u, i) = r ∧ β (u, i + 1) = s ∧ Γh (~x, i, r, s)]),
⇐⇒ N |= Θ[~x, y, z]
für eine Σ1 -Formel Θ.
Nennt man eine Menge A ⊆ Nk , die durch eine Formel in Γ über den natürlichen Zahlen definierbar ist, ein Γ-Menge, so erhalten wir eine neue Charakterisierung der ersten Stufen der arithmetischen Hierarchie:
Korollar
(i) Die Σ1 -Mengen sind die r.e. Relationen R ⊆ Nk ,
(ii) Die Π1 -Mengen sind die Komplemente von r.e. Relationen,
(iii) die ∆1 -Mengen sind die die rekursiven Relationen R ⊆ Nk .
Eine Variante der Definierbarkeitsergebnisse, die sich auf die Beweisbarkeit
in formalen Theorien bezieht, ist etwas schwieriger zu behandeln, ermöglicht es
aber, Grenzen der Beweisbarkeit aufzuzeigen:
15.8 Repräsentierbarkeit
T sei eine Theorie der zahlentheoretischen Sprache L. Eine (totale) Funktion f :
Nk → N ist in T repräsentierbar gdw es eine L-Formel θ (x1 , . . . , xk , y) gibt, so
daß für alle n1 , . . . , nk , m ∈ N
15.8. R EPR ÄSENTIERBARKEIT
(a)
(b)
225
T ` ∃!yθ (n1 , . . . , nk , y)
und
f (n1 , . . . , nk ) = m =⇒ T ` θ (n1 , . . . , nk , m).
Ebenso ist eine Menge S ⊆ Nk in der Theorie T repräsentierbar gdw es eine
L-Formel θ (x1 , . . . , xk ) gibt, so daß für alle n1 , . . . , nk ∈ N
(c)
(d)
(n1 , . . . , nk ) ∈ S ⇒ T ` θ (n1 , . . . , nk )
und
(n1 , . . . , nk ) 6∈ S ⇒ T ` ¬θ (n1 , . . . , nk ).
Ist die Funktion f (oder die Menge S) durch eine Σ1 -Formel repräsentierbar, so
heißt f (bzw. S) Σ1 -repräsentierbar. Die Definition der Repäsentierbarkeit ist so
gewählt, daß diese Eigenschaft erhalten bleibt, wenn man die Theorie T erweitert.
Satz
(i) Jede rekursive Funktion f : Nk → N ist in PA− Σ1 -repräsentierbar.
(ii) Jede rekursive Menge S ⊆ Nk ist in PA− Σ1 -repräsentierbar.
Beweis von (i): f : Nk → N sei eine rekursive Funktion, ihr Graph Γ f ist also über
den natürlichen Zahlen durch eine Σ1 -Formel ∃~z ϕ(~x, y,~z) definierbar, wobei ϕ nur
beschränkte Quantoren enthält. Da jede Formel der Form ∃~z ϕ in PA− äquivalent
ist zu ∃u ∃~z (~z < u ∧ ϕ), können wir annehmen, daß~z nur eine einzelne Variable z
ist. Wir bilden nun die ∆0 -Formel ψ(~x, y, z)
ϕ(~x, y, z) ∧ ∀u, v ≤ y + z (u + v < y + z → ¬ϕ(~x, u, v))
und weisen nach, daß die Σ1 -Formel ∃z ψ(~x, y, z) die Funktion f in T repräsentiert:
Zunächst zeigen wir (b) und nehmen dazu an, daß f (n1 , . . . , nk ) = m gilt, also
N |= ∃z ϕ(n1 , . . . , nk , m, z). Die Zahl m ist dabei als Funktionswert eindeutig bestimmt. Wähle l als die kleinste Zahl, so daß N |= ϕ(n1 , . . . , nk , m, l). Dann gilt
offenbar auch N |= ψ(n1 , . . . , nk , m, l), also auch N |= ∃zψ(n1 , . . . , nk , m, z). Als
Σ1 -Satz bleibt dieser Satz bei allen Enderweiterungen des Standardmodells zu einem Modell von PA− erhalten, gilt also in allen Modellen von PA− , und somit
gilt PA− ` ∃zψ(n1 , . . . , nk , m, z) nach dem Vollständigkeitssatz.
Der Nachweis von (a) benutzt ein ähnliches Argument: Es sei f (n1 , . . . , nk ) =
m und l wieder die kleinste Zahl, so daß N |= ψ(n1 , . . . , nk , m, l) gilt. Sei M |= PA.
Dann ist zu zeigen, daß m das einzige Element von M ist, welches die Formel
ψ(n1 , . . . , nk , x, l) in M erfüllt. Daß es überhaupt in M die Formel erfüllt, liegt
an der Absolutheit von ∆0 -Formeln. Sind a, b ∈ M zwei Elemente, so daß M |=
15.8. R EPR ÄSENTIERBARKEIT
226
ψ(n1 , . . . , nk , a, b), so müssen (nach der Definition von ψ) a, b ≤ k + l und damit
in N sein. Damit gilt dann wieder wegen der Absolutheit von ∆0 -Formeln auch
N |= ψ(n1 , . . . , nk , a, b), woraus N |= ∃z ψ(n1 , . . . , nk , a, z) und damit a = m folgt.
Der Teil (ii) folgt nun hieraus: Ist S rekursiv, so ist die charakteristische Funktion cS berechenbar, also nach (i) durch eine Σ1 -Formel θ (~x, y) in PA− repräsentiert.
Dann wird S repräsentiert durch die Formel θ (~x, 1), denn es gilt
PA− ` ¬θ (~x, 1) ⇐⇒ PA− ` θ (~x, 0).