Klausur 19.2.2014

H. Schmidli
Einführung in die Stochastik
WS 13/14
Klausur 19.2.2014
1. In einem Medikamententest wird an kranke Patienten je eine Packung Tabletten abgegeben. 50% der Patienten erhalten Medikament A, 40% Medikament B und 10%
Medikament C. Die Patienten wissen nicht, welches Medikament sie erhalten. Hersteller A behauptet, dass 90% der Patienten, die sein Medikament einnehmen innerhalb
einer Woche gesund werden. Hersteller B behauptet, dass 95% der Patienten mit seinem Medikament innerhalb einer Woche gesund werden. Hersteller C behauptet, dass
97% der Patienten mit seinem Medikament innerhalb einer Woche gesund werden. Wir
nehmen nun an, dass alle diese Behauptungen richtig seien. Ein Patient kommt nach
einer Woche zu einem Arzt in die Praxis und ist immer noch krank.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient Medikament A, B, bzw. C
erhalten hat?
b) Der Arzt kann zweifelsfrei feststellen, dass der Patient nicht Medikament A erhalten hat. Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient Medikament
B bzw. C eingenommen hat?
c) Die Ehefrau des (immer noch kranken) Patienten hat ein Medikament des selben
Herstellers B oder C wie ihr Mann eingenommen, wurde aber gesund. Wie gross
ist nun die Wahrscheinlichkeit für Medikament B bzw. C, wenn wir annehmen,
dass der Genesungserfolg der beiden Eheleute unabhängig voneinander ist?
2. Zwei Spieler A und B zahlen den Einsatz a beziehungsweise b. Danach werfen sie
abwechslungsweise einen Würfel, wobei Spieler A beginnt. Der erste, der eine Sechs
wirft, gewinnt den Einsatz a + b.
a) Wie gross ist der mittlere Gewinn für Spieler A und für Spieler B?
b) Wie gross muss a und b sein, damit das Spiel fair ist, wenn a + b = 11e?
c) Nachdem A vier Mal und B drei Mal gewürfelt haben, muss das Spiel abgebrochen
werden. Wie muss man den Einsatz fair aufteilen?
3. Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 auf dem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, IIP). Wir definieren die Mengenabbildung IIe
P : Ω →
[0, ∞),
2 2
A 7→ IIE[eθX−θµ−θ σ /2 1IA ] ,
wobei θ ∈ IR, 1IA (ω) = 1, falls ω ∈ A und 1IA (ω) = 0, falls ω ∈
/ A.
1
a) Zeigen Sie, dass IIE[eθX ] = eθµ+σ
2 θ 2 /2
.
b) Zeigen Sie, dass IIe
P ein Wahrscheinlichkeitsmass ist.
c) Bestimmen Sie die Verteilung von X bezüglich des Masses IIe
P.
4. Sei N eine Zufallsvariable mit Werten in IIN und Verteilung pk = IIP[N = k]. Seien
{Xk : k ∈ IIN} unabhängige Zufallsvariablen, unabhängig von N , mit Mittelwert µ =
IIE[Xk ] und P
Varianz σ 2 = IIEP
[(Xk − µ)2 ], wobei µ und σ 2 nicht von k abhängt. Wir
N
setzen S = k=1 Xk , wobei 0k=1 Xk = 0.
a) Erklären Sie für eine (messbare) Funktion die Formel
IIE[f (S)] =
∞
X
k
h X
i
pk IIE f
X` .
k=0
Hinweis: Es gilt
P∞
k=0 1IN =k
`=1
= 1.
b) Zeigen Sie IIE[S] = IIE[N ]µ.
c) Zeigen Sie IIE[S 2 ] = IIE[N 2 ]µ2 + IIE[N ]σ 2 .
d) Zeigen Sie Var[S] = Var[N ]µ2 + IIE[N ]σ 2 .
5. Betrachten wir die logarithmische Verteilung
IIP[N = k] =
qk
,
−k log(1 − q)
k = 1, 2, 3, . . . ,
q ∈ (0, 1) .
a) Berechnen Sie IIE[N ].
Wir beobachten die Daten N1 , N2 , . . . , Nn .
b) Geben Sie eine (soweit wie möglich vereinfachte) Gleichung an, um den MaximumLikelihood-Schätzer für q zu bestimmen.
c) Geben Sie eine (soweit wie möglich vereinfachte) Gleichung an, um den Momentenschätzer von q zu bestimmen.
6. Seien {Xi } unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in IIN. Die folgende Tabelle zeigt
die Häufigkeiten der verschiedenen Werte:
Wert
Häufigkeit
0
6
1
7
2
33
3
39
4
9
5
6
Werte, die 5 überschreiten sind nicht aufgetreten. Es wird vermutet, dass die Daten
von einer Poissonverteilung stammen.
a) Schätzen Sie den Parameter der Poissonverteilung.
b) Testen Sie auf dem 5% Niveau, ob die Daten von einer Poissonverteilung mit dem
unter a) geschätzten Parameter stammen.
2
Untere Quantile der χ2-Verteilung
1
ν/2
2 Γ(ν/2)
ν\P
1
2
3
4
Z
q(P)
xν/2−1 e−x/2 dx =
0
P
.
100
0.1
1.6 · 10−6
0.0020
0.0243
0.0908
0.5
3.9 · 10−5
0.0100
0.0717
0.2070
1
1.6 · 10−4
0.0210
0.1148
0.2971
2.5
9.8 · 10−4
0.0506
0.2158
0.4844
5
0.0039
0.1026
0.3518
0.7107
10
0.1579
0.2107
0.5844
1.0636
15
0.0358
0.3250
0.7978
1.3665
20
0.0642
0.4463
1.0052
1.6488
25
0.1015
0.5754
1.2125
1.9226
50
0.4549
1.3863
2.3660
3.3567
5
6
7
8
9
0.2102
0.3811
0.5985
0.8571
1.1519
0.4117
0.6757
0.9893
1.3444
1.7349
0.5543
0.8721
1.2390
1.6465
2.0879
0.8312
1.2373
1.6899
2.1797
2.7004
1.1455
1.6354
2.1673
2.7326
3.3251
1.6103
2.2041
2.8331
3.4895
4.1682
1.9938
2.6613
3.3583
4.0782
4.8165
2.3425
3.0701
3.8223
4.5936
5.3801
2.6746
3.4546
4.2549
5.0706
5.8988
4.3515
5.3481
6.3458
7.3441
8.3428
10
11
12
13
14
1.4787
1.8339
2.2142
2.6172
3.0407
2.1559
2.6032
3.0738
3.5650
4.0747
2.5582
3.0535
3.5706
4.1069
4.6604
3.2470
3.8157
4.4038
5.0088
5.6287
3.9403
4.5748
5.2260
5.8919
6.5706
4.8652
5.5778
6.3038
7.0415
7.7895
5.5701
6.3364
7.1138
7.9008
8.6963
6.1791
6.9887
7.8073
8.6339
9.4673
6.7372
7.5841
8.4384
9.2991
10.165
9.3418
10.341
11.340
12.340
13.339
15
16
17
18
19
3.4827
3.9416
4.4161
4.9048
5.4068
4.6009
5.1422
5.6972
6.2648
6.8440
5.2293
5.8122
6.4078
7.0149
7.6327
6.2621
6.9077
7.5642
8.2307
8.9065
7.2609
7.9616
8.6718
9.3905
10.117
8.5468
9.3122
10.085
10.865
11.651
9.4993
10.309
11.125
11.946
12.773
10.307
11.152
12.002
12.857
13.716
11.037
11.912
12.792
13.675
14.562
14.339
15.338
16.338
17.338
18.338
20
21
22
23
24
5.9210
6.4467
6.9830
7.5292
8.0849
7.4338
8.0337
8.6427
9.2604
9.8862
8.2604
8.8972
9.5425
10.196
10.856
9.5908
10.283
10.982
11.689
12.401
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
13.604
14.439
15.279
16.122
16.969
14.578
15.445
16.314
17.187
18.062
15.452
16.344
17.240
18.137
19.037
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
25
26
27
28
29
8.6493
9.2221
9.8028
10.391
10.986
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
17.818
18.671
19.527
20.386
21.247
18.940
19.820
20.703
21.588
22.475
19.939
20.843
21.749
22.657
23.567
24.337
25.336
26.336
27.336
28.336
30
31
32
33
34
11.588
12.196
12.811
13.431
14.057
13.787
14.458
15.134
15.815
16.501
14.953
15.655
16.362
17.074
17.789
16.791
17.539
18.291
19.047
19.806
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
20.599
21.434
22.271
23.110
23.952
22.110
22.976
23.844
24.714
25.586
23.364
24.255
25.148
26.042
26.938
24.478
25.390
26.304
27.219
28.136
29.336
30.336
31.336
32.336
33.336
35
36
37
38
39
14.688
15.324
15.965
16.611
17.262
17.192
17.887
18.586
19.289
19.996
18.509
19.233
19.960
20.691
21.426
20.569
21.336
22.106
22.878
23.654
22.466
23.269
24.075
24.884
25.695
24.797
25.643
26.492
27.343
28.196
26.460
27.336
28.214
29.093
29.974
27.836
28.735
29.635
30.537
31.441
29.054
29.973
30.893
31.815
32.737
34.336
35.336
36.336
37.335
38.335
40
50
60
70
80
90
100
17.916
24.674
31.738
39.036
46.520
54.155
61.918
20.707
27.991
35.534
43.275
51.172
59.196
67.328
22.164
29.707
37.485
45.442
53.540
61.754
70.065
24.433
32.357
40.482
48.758
57.153
65.647
74.222
26.509
34.764
43.188
51.739
60.391
69.126
77.929
29.051
37.689
46.459
55.329
64.279
73.291
82.358
30.856
39.754
48.759
57.844
66.994
76.195
85.441
32.345
41.449
50.641
59.898
69.207
78.558
87.945
33.660
42.942
52.294
61.698
71.144
80.625
90.133
39.335
49.335
59.335
69.334
79.334
89.334
99.334
3
Obere Quantile der χ2-Verteilung
1
ν/2
2 Γ(ν/2)
Z
∞
xν/2−1 e−x/2 dx =
q(P)
P
.
100
ν\P
1
2
3
4
50
0.4549
1.3863
2.3660
3.3567
25
1.3233
2.7726
4.1083
5.3853
20
1.6424
3.2189
4.6416
5.9886
15
2.0723
3.7942
5.3170
6.7454
10
2.7055
4.6052
6.2514
7.7794
5
3.8415
5.9915
7.8147
9.4877
2.5
5.0239
7.3778
9.3484
11.143
1
6.6349
9.2104
11.344
13.277
0.5
7.8794
10.597
12.838
14.860
0.1
10.827
13.815
16.266
18.466
5
6
7
8
9
4.3515
5.3481
6.3458
7.3441
8.3428
6.6257
7.8408
9.0372
10.219
11.389
7.2893
8.5581
9.8032
11.030
12.242
8.1152
9.4461
10.748
12.027
13.288
9.2363
10.645
12.017
13.362
14.684
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
16.750
18.475
20.278
21.955
23.589
20.515
22.457
24.321
26.124
27.877
10
11
12
13
14
9.3418
10.341
11.340
12.340
13.339
12.549
13.701
14.845
15.984
17.117
13.442
14.631
15.812
16.985
18.151
14.534
15.767
16.989
18.202
19.406
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
29.588
31.264
32.909
34.527
36.124
15
16
17
18
19
14.339
15.338
16.338
17.338
18.338
18.245
19.369
20.489
21.605
22.718
19.311
20.465
21.615
22.760
23.900
20.603
21.793
22.977
24.155
25.329
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
37.698
39.252
40.791
42.312
43.819
20
21
22
23
24
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
23.828
24.935
26.039
27.141
28.241
25.038
26.171
27.301
28.429
29.553
26.498
27.662
28.822
29.979
31.132
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
39.997
41.401
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