Lernumgebung Wurzeln

Wurzeln
Seitenlängen von Quadraten lassen
sich manchmal sehr leicht und
manchmal etwas schwerer
bestimmen. Dann braucht man
Wurzeln. Treffender müsste man
von Quadratwurzeln sprechen.
Sie stehen in enger Beziehung zu
Quadratzahlen.
1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
lässt sich die Seitenlänge einfach bestimmen. Bestimme
die Seitenlänge der einzelnen Quadrate.
Grundwissen Wurzeln
Das Ziehen der Quadratwurzel ist
die Umkehroperation des
Quadrierens. Gesucht ist also die
positive Zahl, die mit sich selbst
multipliziert die Zahl unter dem
Wurzelzeichen ergibt.
Zum Beispiel:
Welche Zahl im Quadrat ergibt 64?
64 = 8  8 = 8
denn 8 2 = 64
Man schreibt auch a = x
a, x > 0
2
Es gilt daher auch 1 = 1 und damit
1 1
Die Zahlen mit ganzzahligen Wurzeln
sind die Quadratzahlen.
Die Wurzeln von natürlichen Zahlen
sind entweder natürlich oder
unendliche nicht periodische
Dezimalbrüche, zum Beispiel:
7 = 2,645575...
Solche Zahlen nennt man
irrationale Zahlen. Die zugehörige
Menge heißt .
Die Zahl unter der Wurzel nennt
man Radikand. Daher spricht man
statt vom Wurzel ziehen auch vom
Radizieren.
2. Bei Quadraten, deren Flächenmaßzahl A keine
Quadratzahl ist, bezeichnet man die Seitenlänge mit
A . Sprich: „Wurzel aus A.“
Wie groß sind folgende Wurzeln ungefähr?
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 100
3. Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt die
Wurzel?
Beispiel: 3  12  4 da
9 < 12 < 16
37, 45, 65, 80, 110, 150,
200, 410, 930, 1000, 2000
4. Bestimme folgende Wurzeln und formuliere eine
Gesetzmäßigkeit.
a)
160000, 1600, 16, 0,16, 0,0016
b)
1440000, 14400, 144, 1, 44, 0,0144
5. Finde mindestens 10 (natürliche oder rationale)
Zahlen zwischen 1 und 25, aus denen du die Wurzel
genau bestimmen kannst.
6. Finde weitere Beispiele.
a) Die Wurzel ist eine natürliche Zahl: 289  17
b) Die Wurzel ist ein Dezimalbruch mit einer Stelle nach
dem Komma:
11,56  3, 4
c) Die Wurzel ist ein Dezimalbruch mit mehreren
Stellen nach dem Komma:
1,7956  1,34
d) Die Wurzel ist größer als die ursprüngliche Zahl:
0,3364  0,58
e) Die Wurzel liegt zwischen 100 und 101:
10020, 01  100,1
f) Die Wurzel ist kleiner als 1:
0,5  0,707...
Rechenregeln für Wurzeln
8. Quadriere ohne Taschenrechner
a)
2²
(2²)²
(2³)²
(24 )²
(25 )²
(2x )²
b)
( 2)²
2²
(2 2)²
( 8)²
(2 4)²
(4 2)²
c)
10²
(10 10)²
100²
1000²
(100 10)²
Welche Rechenregel ergibt sich?
a2
 a =
2
=
Ergänze: Quadrieren und Wurzelziehen _____________________
9. Richtig oder falsch? Kreuze an und kontrolliere mit dem Taschenrechner.
4  9  13
rf
2,25  2,25  4,5
rf
400  100  100
1  41  41
rf
8 2 2
rf
rf
1 1 4
rf
25  25  100
rf
0,5  0,5  2
rf
Markus behauptet
Gilt das auch für
a  b  a  b . Was sagst du dazu?
a  b  a b ?
10. Richtig oder falsch? Kreuze an und kontrolliere mit dem Taschenrechner.
3  7  21
rf
82  4
rf
4 9 6
rf
2,25  1, 44  1,8
rf
Welche Rechenregel ergibt sich?
11. Richtig oder falsch? Kreuze an und kontrolliere mit dem Taschenrechner.
15 : 3 = 5
rf
rf
8:2  2
36 : 9  2
rf
6,25 : 0,25  5
rf
Welche Rechenregel ergibt sich?
1,96 : 0, 49  2
rf
12.Immer drei Terme haben den gleichen Wert. Welcher Term hat jeweils ein anderes Ergebnis?
Begründe durch Umformungen ohne Verwendung des Taschenrechners.
a)
16
8
2
b)
c)
d)
16 : 16
8: 8
1 1
10 : 10
8 2
2 2
16  16
4 2
8:2
10
1 : 0,5
2 5
2 5
Rechengesetze
13. Überprüfe die Gleichheit folgender Terme auch mit Hilfe des Taschenrechners:
Welches Rechengesetz gilt jeweils?
9  16 und 16  9
4  5 und 5  4
a)
bzw.
_____________________
b)
c)


4  9  16 und
4


4


9  16 bzw.


4  9  16 und
4

9  16
_____________________
144  49 und
4  144  4  49 bzw.
64 : 4  10 : 4 und



64  10 : 4
_____________________
Die Rechengesetzte aus  ______________________________________
14. Vereinfache ohne Taschenrechner:
a) 3 5  2 5
e)
h)
b) 5 7  3 7  6 7
x  3 x  4 x f) 17 a  5 b  12 a  3 b
x

x 3


i) 2 y 5  y

c)
2  5  3 2  10 2
d) 2 a  7 a
g) x y  3 y  2 x  y
Radizieren:
15. Ziehe die Wurzel aus folgenden Zahlen und Termen. Verwende den Taschenrechner nur
zur Kontrolle.
Beispiele:
24  2  2  2  2  2  2  4
16  42  4
4x4  2x² 2x²  2x²
a)
10²
104
106
108
b)
26
62
34
43
c)
22
81
28
d)
26
a2
4a2
(4a)4
25a2b2
Teilweises radizieren:
16. Ziehe die Wurzel aus folgenden Zahlen und Termen. Verwende den Taschenrechner nur
zur Kontrolle.
Beispiele:
24  5  2  2  2  2  5  2  2  2  2  5  2  2  5  4  5
4 x3  4  x 2  x  4 x 2  x  2 x x
45  9  5  32  5  32  5  3 5
a)
103
105
109
1013
b)
25
63
37
73
c)
a3
x5
22 x5
33 x5
d)
27
20
12x 4
50a2b5
Faktor unter die Wurzel bringen:
17. Bringe den Faktor bei folgenden Termen unter die Wurzel
Beispiele:
2 3  22 3  22  3  4  3  12
x x  x 2 x  x 2  x  x3
a)
10 10
2 2
4 2
3 5
b)
a 3
2a 3
a2 3
x 2x
Zusammengesetzte Übungen
18. Vereinfache die folgenden Terme
a)
3

75  27

 8  2x  2
g)  a  2  h)  3  5a 
k)  2 x  3 y  y  2 x 
d)
2
n)
12 x3  4 x 75 x
 63  175  : 7
e)  18 x  36 y  : 6
i)  a  b    a  b 
l) 0,5a   8  4 a 
b)
2
o) 2
3
4
a 5
a
4
25
Ich wünsche dir viel Spaß und
Erfolg beim Trainieren mit
Wurzeln!
Platz für Notizen:
c)
f)
6

54  18


49 x3  14 x : 7 x



j) 2 7  3 2 2 7  3 2

m) 2 2 x  8x  32 x
 3
5   3
5 
x  3 x    2
x  3 x 
p)  2
9   4
9 
 4
Lösungen:
1. 1 cm2 1 cm 4 cm2 2 cm 9 cm2 3 cm 16 cm2  4cm
2.
ca. 3,2,
3.
6  37  7
6  45  7
8  65  9
8  80  9
10  110  11
12  150  13
14  200  15
20  400  21
30  900  31
31  1000  32
44  2000  45
4.
a)
4,5 5,5
6,3
160000  400
7,1
7,7
1600  40
8,4
8,9
10
16  4
0,16  0, 4
0,0016  0,04
Mögliche Lösung:
- Verschiebt man das Komma um 2 Stellen, verschiebt sich das Komma im Ergebnis um
eine Stelle.
- Liegt eine gerade Anzahl an Nullen oder Kommastellen vor, dann zieht man zunächst die
Wurzel ohne die Nullen/Kommastellen und fügt dann die HÄLFTE der
Nullen/Kommastellen im Ergebnis ein.
b)
5
1440000  1200
Bsp:
14400  120
( 1  1)
1, 44  1, 2
1, 44  1, 2
9 3
16  4
1,69  1,3
1,96  1, 4
2, 25  1,5
42
b)
1, 44  1, 2
1,69  1,3
10, 24  3, 2
16,81  4,1
16  4
100  10
1,96  1, 4
6, 25  2,5
usw…
16,81  4,1
6.
a)
0,0144  0,12
( 25  5 )
42
10, 24  3, 2
9 3
144  12
361  19
2, 25  1,5
400  20
625  25
6, 25  2,5
usw…
c)
0,0004  0,02
0,0121  0,11
1,0201  1,01
39,0625 =6,25
d)
0,0004  0,02
0,0121  0,11
0,09  0,3
0,01  0,1
Die Wurzel ist immer dann größer, als die ursprüngliche Zahl, wenn die ursprüngliche Zahl
KLEINER als 1 ist.
e)
10000  x  10201
 nimm irgendeine Zahl zwischen 100 und 101 und quadriere sie.
100,52  10100,25
e)
0,04  0, 2
0,9  0,9486...
0,0121  0,11
Zieht man die Wurzel aus einer Zahl kleiner 1, so ist auch das Ergebnis kleiner als 1.
8a) 4
b) 2
c) 10
16
4
100
64
256
4∙2=8
8
100∙10=1000 1000
a a
2
Rechenregel:
1024
22 x
4∙4=16
16∙2=32
10000∙10=100000
 
2
a
a
Quadrieren und Wurzelziehen hebt sich gegenseitig auf
9.
2+3≠
13 = 3,605… f
1,5 + 1,5 ≠
4,5 = 2,12… f
20 – 10 = 10
1 1
1 
2 2
w
2 2 2 2
w
w
1+1=2
w
5 + 5 = 10
w
1
1
1
4

2

 2 w
2
2
2
2
Wurzeln kann man nicht addieren oder subtrahieren, indem man die Radikanden unter EINER
Wurzel addiert.
a  b  a b
a  b  a b
10.
3  7  21
2∙3 = 6
w
w
8 2  2 2 2  2
 2
2
 22  4
1,5 ∙ 1,2 = 1,8
w
f
Wurzeln kann man multiplizieren, in dem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden
(Zahl unter der Wurzel) zieht.
11.
15 : 3  5
w
6:3 = 36 : 9  4 = 2 w
2,5 : 0,5 = 5
f
8: 2 2 4
w
1,4 : 0,9 = 2 ( 1,96 : 0, 49  4 )
w
Wurzeln kann man dividieren, in dem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden
(Zahl unter der Wurzel) zieht.
12
a) 4
16:4 = 4
16 – 4 = 12
b)
2 2
8:
2∙2 = 4
c)
2
d)
 10 
8 =2 2
2
2
2 +3 + 4 = 2 + (3 + 4)
c)
2 ∙ (12 + 7 ) = 2∙12 + 2∙7 = 19
1:
1
 1 2  2
2
Es gilt das Kommutativgesetz
2∙3∙4 = 2∙(3∙4)

2 oder
2 5
10
5 2
b)
1
=
2
1:
2
10
13 (aktualisierte Lösung)
a) 3 + 4 = 4 + 3
2 5 =
8:2–
2 2
2 2:2=
: 10  10
16 = 4

10 : 2 = 8  10 : 2
Es gilt das Assoziativgesetz
Es gilt das Distributivgesetz
Die Rechengesetze aus  gelten weiterhin auch in 
b)  5  3  6  7  8 7
14 a) 5 5
d)  2  7  a  5 a
c)
15
a) 10
b)
c)
d)
23=8
2
4
 y
2
5  3  10



2  7  5  2
e) 1  3  4  x  0 x  0 f) 17  12  a   5  3 b  5 a  8 b
g)  x  3  2 x  y   3x  3 y
i) 2 y  5  2

h)
 x
2
3 x  x3 x
 10 y  2 y
102=100
103=1000
104=10000
6
23  8
2a
4 2  4 = 42  4  4  2  8
32 = 9
9
2 4 =16
(4a)2 = 16a2
5ab
16
a)
10 10
104 10  10 4  10  102 10  100 10
106 10  1000000 10
108 10  10 8  10  104 10  10000 10
b)
24  2  2 4  2  2 2 2  4 2
c)
a2  a  a2  a  a a
d)
33  3 3
45  2 5
x2 x
6 6
33 3  27 3
22  x 4  x  2 x 2 x
4  3  x4  2 x2 3
7 7
9 x 2 3x
25  2  a 2  b4  b  5ab2 2b
17
a)
102 10  102 10  100 10  1000
b)
3a 2
 2a 
 3  4a 2  3  12a 2
2
3  75  3  27
a 
2 x 2  x  2 x3
2 2
 3  3a 4
 9  25
 35
 2
b)
8  2  2x 2
d)
16  2  32
63 : 7  175 : 7
 225  81
 15  9
6
18 a)
22  2  8
6  54  6  18
c)
 3x  6 y
 42 x
 324  108
 16  108
18 x : 6  36 y : 6
e)
 16  4 x
45
49 x3 : 7 x  14 x : 7 x
f)
 7 x2  2
x 7 2
 2 7   3 2 
2
2
g)
a  2  2  a  22
a4 a 4
2
3  2 3 5a  5a
h)
2
 3  2 15a  5a



2 x y  2 x  2 x  3 y  y  3 y 2 x
k)
2
a  b
 a b
i)

l)  0,5a  2 2  2a a
 2 xy  4 x  3 y  6 xy
 a 2  2a a
2 2 x  2 2 x  16  2 x
 2 2x  2 2x  4 2x
n)
 4 2x
2
o)
j)  4  7  9  2
 10
0,5a  8  0,5a  4 a
 4 x  3 y  4 xy
m)
2
2
1
2
2    3a  5   a
2
5
1
2
 2
3a  5 
a
2
5
 3a  2 a
2 x 3x  20 x 3x
 22 x 3x
2
p)
 3   5 
x    3 x 
 2
 4   9 
3
5
 4 x 9 x
4
9
 3x  5 x
 2 x
2
2