Zusammenfassung Algebra

Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Zusammenfassung
Algebra
Diese Zusammenfassung basiert neben meiner Vorlesungsmitschrift auch auf dem Algebra-Skript
von Prof. Dr. Helmut Schwichtenberg (Universität
München).
Hinweis: Es gilt jeweils die letzte Festlegung für
Bezeichnungen. Sie werden (insb. am Anfang von
Lemmata und Sätzen) nicht notwendigerweise wiederholt.
1. Gruppen
1.1 Grundbegriffe
Definition: Gruppe: Assoziativität, Neutrales Element (genau eines), Inverse Elemente (eindeutig)
Abelsch, wenn kommutativ
Lemma: G nicht leere Menge und ◦ : G × G → G
Abbildung. Dann:
G Gruppe ⇔ (Assoziativität und ∀α, β ∈ G : ∃γ ∈
G : α ◦ γ = β und ∀α, β ∈ G : ∃δ ∈ G : δ ◦ α = β)
Definition: Untergruppe: Abgeschlossenheit, Neutrales und inverse Elemente enthalten
Satz: (Untergruppenkriterium)
i) U ⊆ G Teilmenge der Gruppe G. Dann:
U Untergruppe ⇔ (U 6= ∅ und ∀x, y ∈ U :
xy −1 ∈ U )
ii) U endl. Dann:
U Untergruppe ⇔ (U 6= ∅ und ∀x, y ∈ U :
xy ∈ U )
Definition: G, H Gruppen und f : G → H Abb.
f heißt:
Homomorphismus: wenn ∀x, y ∈ G : f (xy) =
f (x)f (y)
Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus: wenn f Homomorphismus und injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist
Endo- bzw. Automorphismus: wenn G = H und f
Homo- bzw. Isomorphismus ist.
G und H heißen zueinander isomorph G ∼
= H, wenn
es einen Isomorphismus g : G → H gibt.
Bemerkungen: f : G → H Homomorphismus.
Dann:
i) f (e) = e und ∀x ∈ G : f (x−1 ) = f (x)−1
ii) U Untergruppe von G ⇒ f (U ) Untergruppe
von H. V Untergruppe von H ⇒ f −1 (V ) Untergruppe von G, insb. also auch Kern(f ).
iii) Kern(f ) = {e} ⇔ f injektiv
iv) f Isomorphismus ⇔ ∃ Homomorphismus g :
H → G : g ◦ f = idG und f ◦ g = idH
Definition: G Gruppe, U Untergruppe. x ∈ G.
Dann heißt xU := {xu | u ∈ U } die von x erzeugte
Linksnebenklasse bzgl. U (Rechtsnebenklasse analog).
G/U := {xU | x ∈ G} ( G modulo U“)
”
|G/U | heißt Index und wird mir [G : U ] geschrieben.
Bemerkungen:
xU = yU ⇔ x−1 y ∈ U und
S
G = i∈I xi U , falls (xi )i∈I alle Repräsentanten der
Linksnebenklassen xU sind.
Satz: (Lagrange) |G| = |U | · [G : U ]
Folgerung: (Kleiner Fermat) G endl. ⇒ ∀x ∈ G :
x|G| = e
1.2 Zyklische Gruppen
Definition: Eine Gruppe (G, ◦) heißt zyklisch,
wenn ∃a ∈ G : G = {ai | i ∈ Z} =: hai.
Beispiele: nZ := {nx | x ∈ Z}, Zn := {0, . . . , n −
1}
Lemma: Die Untergruppen von Z sind genau alle
nZ, n ∈ N.
Lemma: G zyklisch ⇔ (G ∼
= Z oder G ∼
= Zn ,
n ∈ N)
Definition:
( a ∈ G. Dann heißt
kleinstes n > 0: an = e falls ex.
ord(a) :=
∞
sonst
die Ordnung von a.
Satz: Sei G endliche Gruppe. Dann ord(a) | |G|
(teilt). |G| prim ⇒ G zyklisch.
Satz: Jeder Untergruppe einer zyklischen Gruppe
ist zyklisch. Jedes homomorphe Bild einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
1.3 Normalteiler
G, H Gruppen, f : G → H Homomorphismus und
N := Kern(f ). Es gilt dann ∀x ∈ G : xN = N x.
Definition: N ⊆ G Untergruppe. Dann heißt N
Normalteiler (in G), wenn gilt ∀x ∈ G : xN = N x.
Satz: Definiere kan : G → G/N , x → xN . Dann
induziert die Verknüpfung in G (genau) eine Verknüpfung in G/N , so dass G/N Gruppe und kan
Homomorphismus wird.
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Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Folgerung: N Normalteiler ⇔ ∀x ∈ G : xN ⊆ N x
⇔ N = Kern(f ) für einen Gruppenhomomorphismus f : G → H
Satz:
(Klassengleichung) C ⊆ G, so dass G =
S
˙
y∈C Gy. Dann:
P
|G| = |ZG | + y∈C, [G:Gy ]>1 [G : Gy ]
Satz: N ⊆ G Normalteiler, N ⊆ Kern(f ). Dann
gibt es genau einen Homomorphismus g : G/N →
H mit g ◦ kan = f .
Folgerung: ist G p-Gruppe, so gilt |ZG | ≥ p.
Satz: (Homomorphie) f : G → H Epimorphismus,
N = Kern(f ). Dann: G/N ∼
=H
Satz: (1. Isomorphiesatz von Noether) U ⊆ G Untergruppe, N ⊆ G Normalteiler. Dann: U ∩ N
Normalteiler in U , U N Untergruppe von G und
U/(U ∩ N ) ∼
= U N/N
Satz: (2. Isomorphiesatz von Noether) f : G → H
Epimorphismus, M ⊆ H Normalteiler und N :=
f −1 (M ). Dann: G/N ∼
= H/M .
Definition: N maximaler Normalteiler :⇔ ∀M :
(N ⊆ M ⊆ G und M Normalteiler ⇒ M = N oder
M = G)
G einfach :⇔ G hat nur G und {e} als Normalteiler
( keine echten Normalteiler“).
”
Lemma: N maximaler Normalteiler ⇔ G/N einfach.
1.4 Operationen einer Gruppe auf einer
Menge
Definition: G Gruppe, p prim. G heißt p-Gruppe,
wenn |G| = pn , n ∈ N. ZG := {x ∈ G | xy =
yx ∀x ∈ G} heißt Zentrum von G.
Bemerkungen: ZG ist Normalteiler in G.
Definition: S Menge, m : G × S → S Abb. Abkürzung: xs := m(x, s).
i) m heißt Operation von G auf S, wenn gilt: ∀s ∈
S, x, y, ∈ G : (xy)s = x(ys) und
∀s ∈ S : es = s.
ii) m Operation von G auf S, s ∈ S:
Gs := {xs | x ∈ G} heißt Bahn oder Orbit von
s
Gs := {x ∈ G | xs = s} heißt Stabilisator oder
Isotopiegruppe von s
1.5 Auflösbare Gruppen
Definition: G Gruppe, M ⊆ G Teilmenge. hM i :=
{x11 · · · xnn | n ≥ 0, x1 , . . . , xn ∈ M, 1 , . . . , n =
±1} heißt die von M erzeugte Untergruppe von
G. Nach Definition ist hM i die kleinste Untergrupe
von G, die M enthält.
Definition: x, y ∈ G. Das k ∈ G mit xy = kyx (also k := xyx−1 y −1 ) heißt Kommutator von x und
y. k misst die Abweichung vom kommutativen Gesetz.
KG := {xyx−1 y −1 | x, y ∈ G} heißt Kommutatormenge von G. Die Gruppe G0 := hKG i heißt
Kommutatorgruppe von G oder erste Ableitung
von G.
Bemerkungen:
i) G abelsch ⇔ G0 = {e}
ii) hKG i = {k1 · · · kn | n ≥ 0 und k1 , . . . , kn ∈
KG }
Satz: H ⊂ G Untergruppe. Dann: G0 ⊆ H ⇔ H
ist Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe G/H
Definition: Die n-te Ableitung G(n) von G wird
rekursiv definiert durch: G(0) := G, G(n+1) :=
(G(n) )0 . Eine endliche Familie von Untergruppen
Gi ⊂ G, i = 0, . . . , n, heißt Normalreihe in G, wenn
gilt:
i) G = G0 ⊇ · · · ⊇ Gn = {e}
ii) Gi−1 enthält Gi als Normalerteiler (i =
1, . . . , n)
Die Gruppen Gi−1 /Gi heißen Faktoren der Normalreihe.
Satz: Zu G gibt es Normalreihe mit abelschen Faktoren ⇔ ∃n ∈ N0 : G(n) = {e}.
Definition: G heißt auflösbar, wenn eine der beiden letzten Eigenschaften (also beide) erfüllt.
Satz: S Menge,
m : G × S → S Operation. Dann:
S
i) S = ˙ i∈I Gsi für eine Familie (si )i∈I in S.
ii) G endl. ⇒ |Gs| = [G : Gs ] für jedes s ∈ S
Lemma:
i) U ⊆ G Untergruppe ⇒ U (n) ⊆ G(n)
ii) H Gruppe, f : G → H Homomorphismus ⇒
(f (G))(n) = f (G(n) )
iii) N ⊆ G Normalteiler ⇒ (G/N )(n) = G(n) N/N
Folgerung: G endl. Gruppe, C ⊆ S, so dass S =
S
˙
s∈C G
Ps . Dann: P
|S| = s∈C |Gs| = s∈C [G : Gs ]
Satz: G auflösbare Gruppe. Dann
i) Jede Untergruppe von G ist auflösbar
ii) Jedes homomorphe Bild von G ist auflösbar
Bemerkungen: Gs ist Untergruppe von G.
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Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Satz: G Gruppe, N ⊆ G Normalteiler. Dann: N
und G/N auflösbar ⇒ G auflösbar.
ii) ∀x, y ∈ K : ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)
iii) ϕ(1) = 1
Folgerung: Jede p-Gruppe ist auflösbar.
Bemerkungen: Es folgt ∀x ∈ K ∗ : ϕ(x) 6= 0, d. h.
jeder Körperhomomorphismus ist injektiv.
Definition: G0 ⊇ · · · ⊇ Gm Normalreihe. Eine
Normalreihe H0 ⊇ · · · ⊇ Hn heißt Verfeinerung von
G0 ⊇ · · · ⊇ Gm , wenn es eine ordnungstreue injektive Abbildung π : {0, . . . , m} → {0, . . . , n} gibt, so
dass ∀i : Gi = Hπ(i) .
Lemma: G = H0 ⊇ · · · ⊇ Hn = {e} Normalreihe
mit abelschen Faktoren. Dann hat jede Verfeinerung dieser Normalreihe ebenfalls abelsche Faktoren.
Satz: ϕ1 , . . . , ϕn verschiedene Körperhomomorphismen K → L. Dann sind ϕ1 , . . . , ϕn linear unabhängig über dem L-Vektorraum der Abbildungen
K → L.
Satz: F := {x ∈ K | ϕ1 (x) = · · · = ϕn (x)}. Dann
ist F Teilkörper von K und [K : F ] ≥ n.
Satz: Jede auflösbare Gruppe hat eine Normalreihe, deren Faktoren zyklische Gruppen von Primzahlordnungen sind.
Definition: Wenn L = K und id ∈ {ϕ1 , . . . , ϕn },
nennt man F Fixkörper.
Aut(K) bezeichnet die Automorphismengruppe
(Gruppe der Isomorphismen K → K).
Lemma: Sei n ≥ 5, U ⊆ Sn Untergruppe, U ⊆ U
Normalteiler und U/U abelsch. Enthält U alle 3Zykeln, so müssen sie schon in U liegen.
Definition: G endliche Untergruppe von Aut(K).
Dann
heißt die Abb. spG : K → K, x →
P
ϕ(x)
die G-Spur in K.
ϕ∈G
Satz: Sn ist für n ≥ 5 nicht auflösbar.
Lemma: F = {x ∈ K | ϕ(x) = x∀φ ∈ G} =: Fix G
Fixkörper von G. Dann: {0} =
6 spG (K) ⊆ F
2. Körper
Satz: [K : F ] = |G|
2.1 Grundbegriffe
Definition: Körper K: Menge mit zwei Verknüpfungen (+ und ·). (K, +) abelsche Gruppe, (K ∗ :=
K \ {0}, ·) abelsche Gruppe. ∀x, y, z ∈ K : x(y +
z) = (xy) + (xz).
Definition: K Körper, E ⊆ K Teilmenge. Dann
heißt E Teilkörper oder Unterkörper von K und K
heißt Körpererweiterung von E ( K/E“), wenn E
”
abgeschlossen und (E, +, ·) Körper.
Bemerkungen: (Teilkörperkriterium) E Teilkörper ⇔ {0, 1} ⊆ E und ∀x, y ∈ E : x − y ∈ E und
∀x, y ∈ E, y 6= 0 : x · y −1 ∈ E
Definition: K ⊇ E Körpererweiterung. Dann
kann K als E-Vektorraum aufgefasst werden. Dabei
heißt [K : E] := dimE (K) der Grad der Körpererweiterung K ⊇ E.
Bemerkungen: [K : E] = 1 ⇔ 1(∈ K) ist Basis
des E-VRs K ⇔ K = E
2.3 Die Galoisgruppe, galoissche Erweiterungen
Definition:
L/K
Körpererweiterung.
Gal(L/K) := {ϕ ∈ Aut(L) | ϕ(x) = x ∀x ∈ K}
heißt Galoisgruppe von L/K.
L/K heißt galoissch, falls [L : k] < ∞ und
Fix Gal(L/K) = K
Satz: | Gal(L/K)| < ∞ Dann: L/K galoissch ⇔
[L : K] = | Gal(L/K)|
Lemma: L/E/K Körpererweiterungen. Dann:
L/K galoissch ⇒ L/E galoissch
Satz: (Hauptsatz der Galois-Theorie) L/K galoissche Körpererweiterung.
Φ
i) Die Abbildungen F −
→ Gal(L/F ) ⊆
Gal(L/K), F Zwischenkörper von L/K, und
Ψ
2.2 Monomorphismen zwischen Körpern
Gal(L/K) ⊇ U −
→ Fix U ⊆ L, U Untergruppe, sind invers zueinander.
ii) Es gilt [L : E] = | Gal(L/E)| und [E : K] =
[Gal(L/K) : Gal(L/E)]
iii) E/K galoissch ⇔ ∀ϕ ∈ Gal(L/K) : ϕ(E) = E
⇔ Gal(L/E) ⊆ Gal(L/K) ist Normalteiler
Definition: K, L Körper, ϕ : K → L Abb. ϕ heißt
Körperhomomorphismus, wenn
i) ∀x, y ∈ K : ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)
Lemma: L/K galoissch, ϕ : E → L Homomorphismus mit ϕ|K = idK . Dann ∃ϕ
e ∈ Gal(L/K) mit
ϕ|
e E = ϕ.
Satz: (Gradsatz) L Zwischenkörper (K ⊇ L ⊇ E).
Dann: [K : E] = [K : L] · [L : E]
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Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
3. Ringe
3.1 Grundbegriffe
Definition: Ring A: Menge mit zwei Verknüpfungen (+ und ·). (A, +) abelsche Gruppe, Assoziativität bei Multiplikation. ∀x, y, z ∈ K : x(y + z) =
(xy)+(xz) und (x+y)z = (xz)+(yz). Im Folgenden
werden nur kommutative Ringe mit 1 betrachtet.
Definition: A heißt nullteilerfrei, wenn ∀x, y ∈ A :
(xy = 0 ⇒ x = 0 oder y = 0).
Gilt im A Ring A zusätzlich zur Nullteilerfreiheit
1 6= 0, so heißt A Integritätsring.
Definition: A Ring und U ⊆ A Teilmenge. U heißt
Unterring von A, wenn 1 ∈ U und U abgeschlossen
bzgl. + und · und (U, +) Untergruppe von (A, +).
Definition: A, B Ringe. Eine Abb. f : A → B
heißt Ringhomomorphismus, wenn
i) ∀x, y ∈ A : ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)
ii) ∀x, y ∈ A : ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)
iii) ϕ(1) = 1
Definition: A Ring. a ⊆ A heißt Ideal, falls a eine
Untergruppe von (A, +) ist, und Aa ⊆ a.
Bemerkungen:
i) f : A → B Ringhomomorphismus. B ⊇ b Ideal
⇒ f −1 (b) Ideal von A
A ⊇ a Ideal und f surjektiv ⇒ f (a) Ideal von
B
ii) A Körper ⇒ {0} und A sind einzige Ideale von
A
Satz: (Konstruktion des Restklassenrings) A Ring,
a Ideal. Definiere A/a := {x + a | x ∈ A} und
kan : A → A/a, x → x + a. Dann existiert auf
A/a genau eine Struktur eines Ringes, so dass kan
Ringhomomorphismus wird mit Kern(kan) = a.
Folgerung: a ⊆ A Teilmenge. Dann a Ideal ⇔ ∃
Ringhomomorphismus f : A → B mit Kern f = a
Satz: (Universelle Eigenschaft des Restklassenrings) f : A → B Ringhomomorphismus, a ⊆ A
Ideal mit a = Kern f . Dann ex. genau ein Ringhomomorphismus g : A/a → B mit g ◦ kan = f .
Folgerung: (Homomorphiesatz) f surjektiv, a :=
Kern f . Dann: A/a ∼
=B
Definition: a, b ⊆ A Ideale.
i) a + b := {x + y | x ∈ a, y ∈ b}
ii) M ⊆ A Teilmenge. (M ) := {x1 a1 + · · · +
xn an | n ≥ 0, a1 , . . . , an ∈ M, x1 , . . . , xn ∈
A}. Schreibe im Folgenden (a1 , . . . , an ) statt
({a1 , . . . , an }).
4
Bemerkungen: Die definierten Teilmengen sind
Ideale in A. (M ) ist das kleinste Ideal von A, das
M enthält.
Definition: u ∈ A. u Einheit :⇔ ∃v ∈ A : uv = 1.
A∗ := {u ∈ A | u Einheit}
Satz: A Integritätsring, a, b ∈ A. Dann: (a) =
(b) ⇔ ∃u ∈ A∗ : a = ub
Satz: (Konstruktion des Quotientenkörpers)
i) Auf {(x, y) | x, y ∈ A, y 6= 0} wird durch
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) :⇔ xy 0 = x0 y eine Äquivalenzrelation definiert.
ii) Bei Bezeichnung der Äquivalenzklasse (x, y)
mit xy und der Menge aller Äquivalenzklassen
mit Q(A) werden eine Addition und Multipli0 +x0 y
0
0
0
und xy · xy0 = xx
kation durch xy + xy0 = xy yy
0
yy 0
(wohl-)definiert.
iii) (Q(A), +, ·) ist Körper
iv) Die Abb. kan : a → Q(A), x → x1 ist injektiver
Ringhomomorphismus.
Satz: (Universelle Eigenschaft des Quotentenkörpers) f : A → K Ringhomomorphismus, K Körper.
Dann gibt es genau einen Körperhomomorphismus
g : Q(A) → K mit g ◦ kan = f .
3.2 Primideale und maximale Ideale
Definition: A Ring, a ( A Ideal. a heißt
Primideal, falls ∀x, y ∈ A : xy ∈ a ⇒ (x ∈ a oder
y ∈ a).
a heißt maximal, wenn ∀b ∈ A, b Ideal: (a ⊆ b ⊆
A ⇒ a = b oder b = A).
Satz:
i) A/a Integritätsring ⇔ a Primideal
ii) A/a Körper ⇔ a max. Ideal
Bemerkungen: a max. Ideal ⇒ a Primideal
Definition: K Körper. f : Z → K, n → n · 1
Ringhomomorphismus. Wegen Kern(f ) Ideal in Z
gilt ∃p ≥ 0 : Kern(f ) = pZ. Dieses p ∈ N0 heißt
Charakteristik von K. Es gilt stets p 6= 1, da 0 6= 1
in K.
Der kleinste Unterkörper von K, Durchschnitt aller
Unterkörper von K, heißt Primkörper.
3.3 Hauptidealringe
Definition: A Ring. Ein Ideal a ⊆ A heißt
Hauptideal, wenn ∃a ∈ A : a = (a). A heißt
Hauptidealring, wenn A Integritätsring und jedes
Ideal von A ein Hauptideal ist.
Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Definition: A Integritätsring. x ∈ A heißt irreduzibel, wenn x 6= 0 und x 6∈ A∗ und ∀a, b ∈ A : (x =
ab ⇒ a ∈ A∗ oder b ∈ A∗ ).
Zwei Elemente x, y ∈ A heißen assoziiert, x ∼ y :⇔
∃a ∈ A∗ : x = ay.
Definition: A heißt faktoriell, wenn jedes Element
x ∈ A \ {0} eine Darstellung x = p1 . . . pn , pi irreduzibel, besitzt und für jede weitere Darstellung
x = q1 . . . qm , qi irreduzibel, gilt, dass n = m und
pi ∼ qσ(i) für eine Permutation σ ∈ Sn .
Definition: f ∈ A[X] und xP∈ A. Dann heißt x
Nullstelle von f , falls f (x) = ni=0 ai xi = 0
Satz: Sei f ∈ K[X] mit f 6= 0, deg f = n. Dann
hat f höchstens n Nullstellen.
Lemma: G endliche abelsche Gruppe. Gibt es in
G ein Element x maximaler Ordnung m, so gilt
∀y ∈ G : y m = e.
Satz: Jede endliche Untergruppe von (K ∗ , ·) ist zyklisch.
Satz: Jeder Hauptidealring ist faktoriell.
4. Algebraische Körpererweiterungen
Folgerung: A Hauptidealring, a ∈ A, a 6= 0, a 6∈
A∗ . Dann: (a) Primideal ↔ (a) maximales Ideal
⇔ a irreduzibel
4.1 Algebraische Elemente
3.4 Polynomringe
Satz: A Ring, A[X] Menge aller Folgen (a0 , a1 , . . . )
von Elementen aus A, ak = 0 für fast alle k ∈ N0 .
i) Definiere (a0 , a1 , . . . ) + (b0 , b1 , . . . ) = (a0 +
b0 , a1 + b1 , . . . ) und (a0 ,P
a1 , . . . ) · (b0 , b1 , . . . ) =
k
(c0 , c1 , . . . ) mit ck :=
i=0 ai bk−i . Dann ist
A[X] ein Ring mit Nullelement (0, 0, . . . ) und
Einselement (1, 0, 0, . . . ).
ii) Die Abbildung kan : A → A[X], x →
(x, 0, 0, . . . ), ist ein Ringhomomorphismus.
iii) Identifiziert man X = (0, 1, 0, . . . ), so hat jedes
Element in
\ {0} eine eindeutige DarstelPA[X]
n
lung f = i=0 ai X i mit a ∈ A und an 6= 0.
Satz: A, B Ringe, x ∈ B und f : A → B Ringhomomorphismus. Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus g : A[X] → B mit g(X) = x und
g ◦ kan = f .
Definition:
A[X1 , . . . , Xn+1 ] := (A[X1 , . . . , Xn ])[Xn+1 ].
Bemerkungen: Zu jedem 0 6= f ∈ A[X1 , . . . , Xn ]
gibt es genau eine endliche Teilmenge I ⊆ Nn0 und
eindeutig bestimmte ai1 ...in ∈ A\{0}, (i1 , . . . , in ) ∈
I mit
X
f=
ai1 ...in X1i1 · · · Xnin
(i1 ,...,in )∈I
P
Definition: Sei f = ni=0 ai X i ∈ A[X], an 6= 0.
Dann heißt n = deg g der Grad von f .
Satz: K Körper, f, p ∈ K[X], p 6= 0. Dann: ∃q, r ∈
K[X] : f = q · p + r und deg r < deg p
Folgerung: K[X] ist Hauptidealring und daher
faktoriell.
Satz:
i) A, B Ringe, A ⊆ B, a1 , . . . , an ∈ B. Dann ist
das Bild von
(a1 \
, . . . , an ) : A[X1 , . . . , Xn ] → B,
X
f=
ai1 ...in X1i1 · · · Xnin
(i1 ,...,in )∈I
→
X
ai1 ...in ai11 · · · ainn
(i1 ,...,in )∈I
=: f (a1 , . . . , an )
der kleinste Teilring von B, der A∪{a1 , . . . , an }
enthält. Dieser Ring wird mit A[a1 , . . . , an ] bezeichnet. ( Ringadjunktion“)
”
ii) L/K Körpererweiterung, a1 , . . . , an ∈ L. Dann
ist
K(a1 , . . . , an )
f (a1 , . . . , an )
={
| f, g ∈ K[X1 , . . . , Xn ],
g(a1 , . . . , an )
g(a1 , . . . , an ) 6= 0} ⊆ L
der kleinste Teilkörper, der K ∪ {a1 , . . . , an }
enthält. ( Körperadjunktion“)
”
Bemerkungen:
L/K
Körpererweiterung,
a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ L. Dann:
L[a1 , . . . , an ][b1 , . . . , bm ] = L[a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ],
analog für Körperadjunktion.
Definition: L/K Körpererweiterung, a ∈ L
i) a heißt algebraisch über K, wenn f (a) = 0 für
ein f ∈ K[X] \ {0}.
ii) a heißt transzendent über K, wenn f (a) 6= 0
für alle f ∈ K[X] \ {0}.
iii) L/K heißt algebraisch, wenn jedes a ∈ L algebraisch über K ist.
Satz: a ∈ L algebraisch. Dann:
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Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
i) K[a] = K(a)
ii) 0 6= f ∈ K[X], f (a) = 0. Dann:
f hat minimalen Grad unter allen Polynomen
g ∈ K[X] \ {0} mit g(a) = 0 ⇔ Kern(b
a) =
(f ) ⇔ f irreduzibel
Es gibt genau ein solches diese Eigenschaften
erfüllendes normiertes Polynom f , es heißt das
Minimalpolynom. Es gilt: K(a) ∼
= K[X]/(f )
mit a → X + (f ).
iii) 1 = a0 , a1 , . . . , an−1 mit n := deg(f ) sind KBasis für K(a)
Satz: [L : K] < ∞ ⇔ L algebraische Erweiterung
von K der Form L = K(a1 , . . . , an )
Satz: (Kronecker) g ∈ K[X], deg g > 0. Dann ex.
eine Erweiterung L/K : ∃x ∈ L : g(x) = 0.
4.2 Zerfällungskörper
Lemma: A, A0 Ringe, ϕ : A → A0 IsomomorphisPn
i
0 [X],
mus.
Dann
ist
ϕ
b
:
A[X]
→
A
i=0 ai X →
Pn
i
i=0 ϕ(ai )X ein Isomorphismus.
Satz: L/K und L0 /K 0 Körpererweiterungen, a ∈
L, a0 ∈ L0 , p ∈ K[X], p0 ∈ K 0 [X] mit p, p0
irreduzibel, p(a) = 0 = p0 (a0 ), ϕ : K → K 0
Isomorphismus. Dann existiert ein Isomorphismus
ϕ̄ : K(a) → K 0 (a0 ) mit ϕ̄(a) = a0 und ϕ̄|K = ϕ.
Folgerung: L/K Körpererweiterung, p ∈ K[X]
irred., a, b ∈ L : p(a) = 0 = p(b). Dann gilt
K(a) ∼
= K(b).
Definition: f ∈ K[X]. Dann heißt L/K Zerfällungskörper von f über K, falls
i) f = b(X − a1 ) · · · (X − an ) mit ai ∈ L, b ∈ K
ii) L/E/K und f zerfällt über E in Linearfaktoren wie in i), dann ist L = E. (Minimalität von
L)
Bemerkungen: L Zerfällungskörper von f =
b(X − a1 ) · · · (X − an ). Dann: L = K(a1 , . . . , an )
Satz: ∀f ∈ K[X] : ∃ Zerfällungskörper L ⊇ K und
[L : K] < ∞
Satz: K, K 0 Körper, ϕ : K → K 0 Isomorphismus,
f ∈ K[X], f 0 ∈ K 0 [X] und ϕ(f
b ) = f 0 . Seien L
0
und L Zerfällungskörper von f und f 0 über K
und K 0 , so existiert ein Isomorphismus ϕ̄ : L →
L0 und ϕ̄|K = ϕ und ϕ̄({Nullstellen von f }) =
{Nullstellen von f 0 }
Folgerung: Ein Zerfällungskörper von f ∈ K[X]
ist eindeutig bis auf Isomorphismus, der die Elemente in K festhält.
6
4.3 Separable Erweiterungen
Definition: K Körper, f ∈ K[X], L ⊇ K Zerfällungskörper von f . Für eine Nullstelle a von
f heißt µ(f, a) = max{n ∈ N | (x − a)n teilt
f } Vielfachheit. (Wohldefiniert wegen Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers.)
Definition: L/K Körperweiterung.
i) f ∈ K[X] heißt separabel, falls jeder irreduzible Faktor von f nur einfache Nullstellen besitzt.
ii) a ∈ L heißt separabel, falls a Nullstelle eines
separablen Polynoms ist.
iii) L/K heißt separabel, falls jedes a ∈ L separabel ist.
Lemma: L/K galloisch, a ∈ L und a1 , . . . , an die
Bilder von a unter ϕ ∈ Gal(L/K). Dann:
i) p = (X − a1 ) · · · (X − an ) ∈ K[X]
ii) p ist separabel.
iii) p ist Minimalpolynom von a.
Satz: L/K Körpererweiterung. Dann: L/K galoissch ⇔ Z ist Zefällungskörper eines separablen
Polynoms über K
Satz: char K = 0 ⇒ ∀f ∈ K[X] : f separabel
4.4 Normale Erweiterungen
Definition: L/K Körpererweiterung. L/K heißt
normal, wenn L/K algebraisch und jedes irreduzible Polynom f ∈ K[X], das in L eine Nullstelle hat,
über L in Linearfaktoren erfällt.
Satz: L/K galoissch ⇔ L/K endlich, normal und
separabel ⇔ L ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms
Satz: L/K endlich. Dann: L/K normal ⇔ L ist
Zerfällungskörer eines Polynoms f ∈ K[X] ⇔
∀L0 /L Körpererweiterung, ϕ : L → L0 Homomorphismus mit ϕ|K = idK : ϕ(L) ⊆ L
Satz: K endlicher Körper. Dann ist |K| = pd mit
p prim und d ∈ N. Ferner: Sei K0 ∼
= Z/pZ der
Primkörper von K, so ist K der Zerfällungskörper
d
d
von X p − X über K0 . Insbesondere ist xp − X
separabel und K/K0 galoissch.
Bemerkungen: p prim, d ∈ N. Dann hat der Zerd
fällungskörper von X p − X ∈ (Z/pZ)[X] genau pd
Elemente.
Satz: K ∗ ist zyklische Gruppe.
Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
4.5 Teilbarkeit ganzzahliger Polynome
Lemma: (Gauß) f, g ∈ Z[X] nicht konstant. Dann:
Sind die Koeffizienten von f und g jeweils teilerfremd, so auch die Koeffizienten von f g.
Satz: (Gauß) f ∈ Z[X] nicht konstant. Dann: f
irreduzibel in Z[X] ⇒ f irreduzibel in Q[X]
Satz: (Eisenstein’sches Irreduzibilitätskriterium)
f = an X n + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] mit teilerfremden Koeffizienten, an 6= 0, n > 0. Dann: ∃p
prim: p|a0 , . . . , p|an−1 , p - an , p2 - a0 ⇒ f irreduzibel in Z[X].
5. Anwendungen der Galois-Theorie
5.1 Einheitswurzeln
K Körper, n ∈ N kein Vielfaches von char K
Lemma: Die Nullstellen des Polynoms X n − 1 heißen n-te Einheitswurzeln. X n − a, a 6= 0, hat nur
einfache Nullstellen.
Lemma: Die n-ten Einheitswurzeln in K bilden
eine (abelsche endliche) multiplikative Gruppe.
Satz:
i) Die n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe. Die erzeugenden Elemente heißen primitive n-te Einheitswurzeln.
ii) ε primitive Einheitswurzel, 1, ε, ε2 , . . . , εn−1
Gruppe der EWn. Dann: εi primitiv ⇔
ggT(i, n) = 1
Insb. gibt es genau ϕ(n) primitive n-te EWn,
wobei mit ϕ die Euler’sche Funktion gemeint
ist.
Satz: ε n-te EW, Z = K(ε). Dann ist Z/K galoissch und Gal(Z/K) ist isomorph zu einer Untergruppe von (Z/nZ)∗ .
Definition: ε1 , . . . , εϕ(n) primitive n-te EWn.
Dann heißt fn := (X −ε1 ) · · · (X −εϕ(n) ) das Kreisteilungspolynom.
Satz: fn ist ganzzahlig.
Satz: fn ∈ Q[X] ist irreduzibel.
Satz: Z Zerfällungskörper von X n − ∈ Q[X]. Dann
ist Z/Q galoissch mit Gal(Z/Q) ∼
= (Z/nZ)∗ .
Satz: L/K Körpererweiterung, n ≥ 2, char K - n,
K enthalte alle alle n-ten EWn. Dann:
i) L Zerfällungskörper eines reinen Polynoms ⇒
L/K galoissch mit zyklischer Galoisgruppe
ii) L Zerfällungskörper eines irred. Polynoms
X n − a ∈ K[X] ⇔ L/K galoissch mit zyklischer Galoisgruppe und [L : K] = n.
5.3 Auflösbarkeit von Polynomen durch
Radikale
Definition: L/K Körpererweiterung, f ∈ K[X].
i) L/K heißt Radikalerweiterung, wenn es einen
Körperturm K = K(a0 ) ⊆ K(a0 , a1 ) ⊆ · · · ⊆
K(a0 , . . . , ar ) = L und n1 , . . . , nr ∈ N gibt, so
dass ∀i ∈ {1, . . . , r} : ani i ∈ K(a0 , . . . , ai−1 ).
ii) f heißt auflösbar durch Radikale, wenn es eine
Radikalerweiterung L/K gibt und f in L in
Linearfaktoren zerfällt.
Satz: L/K Radikalerweiterung wie in der Definition (f zerfällt in L), char K - ni , 1 ≤ i ≤ r.
Dann existiert eine Körpererweiterung L0 /L, so
dass L0 /K eine Radikalerweiterung ist, zu der ein
Körperturm K = K(b0 ) ⊆ · · · ⊆ K(b0 , . . . , bs ) = L0
mit zugehörigen m1 , . . . , ms ∈ N existiert und es
gilt:
i) L0 /K galoissch, f zerfällt in L0
ii) {n1 , . . . , nr } = {m1 , . . . , ms }
iii) K(b0 , b1 , . . . , bi ) ist Zerfällungskörper des
i
über
separablen Polynoms X mi − bm
i
K(b0 , . . . , bi−1 ) für 1 ≤ i ≤ s
Satz: K Körper mit char K = 0, f ∈ K[X], f nicht
konstant. Dann: f ist auflösbar durch Radikale ⇔
Gal(Zf /K) auflösbar, wobei Zf der Zerfällungskörper von f ist
5.4 Die allgemeine Gleichung n-ten Grades
Definition: K Körper, K(U1 , . . . , Un ) Quotientenkörper des Integritätsrings K[U1 , . . . , Un ] (Ui sind
Unbestimmte). Dann heißt f = X n − U1 X n−1 +
U2 X n−2 − · · · + (−1)n Un X 0 ∈ K(U1 , . . . , Un )[X]
das allgemeine Polynom n-ten Gerades.
5.2 Reine Polynome
Satz: f ist separabel (bzgl. K) und die Galoisgruppe von f ist Sn .
Definition: Ein Polynom der Form X n − a heißt
rein.
Folgerung: (Abel) Die allg. Gleichung N -ten Gerades ist auflösbar genau dann, wenn n ≤ 4.
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Algebra – Prof. Dr. Henning Krause, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
5.5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Definition: z1 , . . . , zn ∈ C, z1 = 0, z2 = 1, M1 :=
{z1 , . . . , zn } und Mr+1 := Mr ∪ {z ∈ C | z ist
i) Schnittpunkt zweier Geraden, die verschiedene
Punkte aus Mr verbinden,
ii) Schnittpunkt einer Geraden wie in i) und eines
Kreises um einen Punkt aus Mr mit einem Radius gleich einem Abstand zweier Punkte aus
Mr oder
iii) Schnittpunkt zweier Kreise wie in ii) }.
S∞
Dann heißt K(z1 , . . . , zn ) =
r=1 Mr die Menge der Elemente in C, die mit Zirkel und Lineal
konstruierbar sind.
Satz: K(z1 , . . . , zn ) ist der kleinste Unterkörper
von C mit:
i) z1 , . . . , zn ∈ K
ii) z 2 ∈ K ⇒ z ∈ K (Abschluss Wurzelziehung)
iii) z ∈ K ⇒ z̄ ∈ K (Abschluss Konjugation)
Folgerung: K = Q(z1 , . . . , zn , z̄1 , . . . , z̄n ). Dann:
Ist z ∈ C aus z1 , . . . , zn mit Zirkel und Lineal
konstruiertbar, so ist z algebraisch über K mit
[K(z) : K] = 2s für ein s ∈ N0 .
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