Manuskript
Werbung
Zusatzkurs
WirtschaftsMathematik
Fernhochschule
Riedlingen
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Internet
WirtschaftsMathematik
Fernhochschule
Riedlingen
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Lösungen im Internet
http://www.cs-geiger.de/zusatzkursriedlingen.htm
Manuskript
WirtschaftsMathematik
Fernhochschule
Riedlingen
Dozent
Dipl. Math. (FH) Roland Geiger
Inhaltsverzeichnis
Lösungen im Internet ...................................................................................................3
Grundlagen ................................................................................................................ 13
Symbole .................................................................................................................. 13
Griechische Buchstaben ...................................................................................... 14
Deutsche Schriftzeichen ...................................................................................... 15
Rechenzeichen .................................................................................................... 15
Unäre Operatoren ............................................................................................... 16
Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen) ................................................... 16
Intervalle ............................................................................................................ 18
Differentialrechnung ........................................................................................... 18
Integrale ............................................................................................................. 19
Geometrie ........................................................................................................... 19
Mengenlehre ...................................................................................................... 19
Mengenoperationen ........................................................................................... 19
Mengenrelationen .............................................................................................. 20
Zahlenmengen .................................................................................................... 20
Elementare arithmetische Funktionen ................................................................ 21
Grundbegriffe des Rechnens ...................................................................................... 22
Die Grundrechenarten ............................................................................................ 22
Die Addition ........................................................................................................ 22
Die Subtraktion ................................................................................................... 22
Die Multiplikation ............................................................................................... 22
Die Division ......................................................................................................... 22
Rangfolge der Grundrechenarten ........................................................................... 23
Variablen ................................................................................................................ 23
Termumformungen und Gleichungen ..................................................................... 24
Was ist eine Termumformung? ........................................................................... 24
Was ist eine Gleichung? ...................................................................................... 24
Beispiele für Termumformungen ........................................................................ 24
Beispiele für Gleichungen ................................................................................... 24
Das Lösen von Gleichungen durch Probieren .......................................................... 25
Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade ................................................................. 25
Ungleichungen ........................................................................................................ 26
Teiler und Vielfache ................................................................................................ 27
Vielfache: ............................................................................................................ 27
5-271
Aussagen und Aussageformen ................................................................................ 27
Aussageform ....................................................................................................... 28
Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen ........................................................ 29
Runden von Zahlen ................................................................................................. 29
Kaufmännisches Runden ..................................................................................... 30
Mathematische Rundung .................................................................................... 30
Indizierung von Variablen ....................................................................................... 31
Mengen ...................................................................................................................... 32
Grundbegriffe ......................................................................................................... 32
Menge, Element .................................................................................................. 32
Zahlenmengen .................................................................................................... 32
Zahlenbereiche ................................................................................................... 33
Die Zeichen , ................................................................................................. 34
Elementare Rechenoperationen ................................................................................. 35
Grundlagen ............................................................................................................. 35
Regeln und Gesetze: ........................................................................................... 36
Rechengesetze der Addition................................................................................ 36
Addition und Subtraktion von Termen ................................................................ 37
Die Terme sind gleichartig .................................................................................. 37
Verschiedene Arten von Termen ......................................................................... 38
Eine Klammer kommt hinzu ................................................................................ 38
Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“: ............................... 38
Weitere Klammern kommen hinzu ...................................................................... 38
Multiplikation; Rechengesetze ............................................................................ 39
Multiplikation als Addition: ................................................................................. 39
Rechengesetze der Multiplikation ....................................................................... 39
Kurzschreibweisen .............................................................................................. 40
Ein Faktor ist 0 .................................................................................................... 40
Bruchrechnung ....................................................................................................... 41
Grundlagen des Bruchrechnens........................................................................... 41
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen: ........................................................ 43
Potenzen ................................................................................................................ 45
Der Potenzbegriff ................................................................................................ 45
Die Basen 1 und –1 : ........................................................................................... 46
Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten ....................................................... 46
Zehnerpotenzen ..................................................................................................... 48
6-271
Die Herleitung der "Potenzgesetze" ........................................................................ 49
Die "Potenzgesetze" auf einen Blick ....................................................................... 52
Wurzel ....................................................................................................................... 53
Sinn und Zweck der Wurzel .................................................................................... 53
Definition der Wurzel ............................................................................................. 53
Multiplikation von gleichartigen Wurzeln ........................................................... 55
Division von gleichartigen Wurzeln ......................................................................... 55
Verschachteln von Wurzeln .................................................................................... 55
Einige Rechenbeispiele ........................................................................................... 56
Das Rechnen mit Potenzen ..................................................................................... 57
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: .................................................. 57
Potenzen von Produkten ..................................................................................... 57
Addition und Subtraktion von Potenzen .............................................................. 57
Multiplikation eines Faktors mit einer Summe .................................................... 58
Binomische Formeln ................................................................................................... 59
Grundlagen ............................................................................................................. 59
Formeln .................................................................................................................. 59
Bedeutung .............................................................................................................. 60
Logarithmen ........................................................................................................... 61
Einfühhrung ........................................................................................................ 61
Logarithmengesetze ............................................................................................ 63
Logarithmen zu einer beliebigen Basis ................................................................ 65
Summenzeichen ......................................................................................................... 66
Motivation und Definition ...................................................................................... 66
Rechengesetze ........................................................................................................ 67
Indexverschiebung .................................................................................................. 68
Produktzeichen ....................................................................................................... 69
Binomialkoeffizient und Fakultät................................................................................ 70
Gleichungen ............................................................................................................... 71
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen ............................................................. 71
Lineare Gleichungen ............................................................................................... 72
Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen: .............................................................. 72
Die Variable „verschwindet“: .............................................................................. 72
Quadratische Gleichungen ...................................................................................... 73
Kleine Lösungsformel ............................................................................................. 74
Der Vietasche Satz .................................................................................................. 76
7-271
Große Lösungsformel ............................................................................................. 78
Bruchgleichungen ................................................................................................... 79
Betragsgleichungen ................................................................................................ 81
Merkmale einer Betragsfunktion ......................................................................... 81
Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen ...................................... 84
Gleichungen mit Parametern .................................................................................. 88
Textgleichungen ..................................................................................................... 89
Polynome und Polynomgleichungen ........................................................................... 91
Faktorisierung ........................................................................................................ 91
Bausteine zur Faktorisierung ............................................................................... 92
Kubische Polynome ................................................................................................ 93
Polynomdivision ..................................................................................................... 95
Rechenvorgang ................................................................................................... 95
Biquadratische Gleichungen ................................................................................... 98
Lineare Gleichungssysteme ........................................................................................ 99
Gleichsetzungsverfahren ...................................................................................... 100
Fallunterscheidungen ........................................................................................ 102
Das Einsetzungsverfahren ..................................................................................... 103
Additionsverfahren ............................................................................................... 105
Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren ....................................... 116
Der Gauß‘sche Algorithmus .................................................................................. 118
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern ......................................................... 125
Ungleichungen ......................................................................................................... 126
Lineare Ungleichungen ......................................................................................... 126
Quadratische Ungleichungen ................................................................................ 128
Bruchungleichungen ............................................................................................. 135
Betragsungleichungen .......................................................................................... 138
Matrizen .................................................................................................................. 139
Typ einer Matrix ................................................................................................... 140
Zeilenmatrix ......................................................................................................... 140
Spaltenmatrix ....................................................................................................... 140
Nullmatrix ............................................................................................................ 140
Zeilen- und Spaltenvektoren ................................................................................. 141
Gleichheit von Matrizen ....................................................................................... 141
Transponieren ...................................................................................................... 142
Quadratische Matrix ............................................................................................. 143
8-271
Die Haupt- und Nebendiagonale: ...................................................................... 143
Diagonalmatrix ..................................................................................................... 143
Einheitsmatrix ...................................................................................................... 144
Untere Dreiecksmatrix .......................................................................................... 144
Obere Dreiecksmatrix ........................................................................................... 144
Symmetrische Matrix ............................................................................................ 145
Schiefsymmetrische Matrix .................................................................................. 145
Addition von Matrizen .......................................................................................... 146
Subtraktion von Matrizen ..................................................................................... 146
Skalar-Matrix-Multiplikation ................................................................................. 147
Matrizen-Multiplikation ........................................................................................ 147
Gesetze ............................................................................................................. 151
Determinanten ......................................................................................................... 152
Die Determinantenfunktion .................................................................................. 152
Determinanten .................................................................................................. 153
Zweireihige Determinanten .................................................................................. 153
3-reihige Determinanten ...................................................................................... 155
Sarrus-Regel ......................................................................................................... 156
Eigenschaften von Dreier-Determinanten ............................................................. 158
n-reihige Determinanten ...................................................................................... 162
Einreihige Determinanten ..................................................................................... 162
Schnittpunktelement ............................................................................................ 163
Unterdeterminante .............................................................................................. 164
Vorzeichen-Faktor ................................................................................................ 164
Entwicklungsformel........................................................................................... 165
Beispiel zur Entwicklungsformel ........................................................................ 167
Folgen und Reihen ................................................................................................... 168
Folgen .................................................................................................................. 168
Monotonie ........................................................................................................ 168
Schranke ........................................................................................................... 168
Grenzwert und Konvergenz: .............................................................................. 169
Arithmetische Folgen ............................................................................................ 171
Geometrische Folgen ............................................................................................ 171
Alternierende Folge .............................................................................................. 172
Rekursive Folge .................................................................................................... 173
Wachstum ............................................................................................................ 174
9-271
Exponentielle Abnahme ........................................................................................ 176
Reihen .................................................................................................................. 177
Arithmetische Reihe ............................................................................................. 178
Geometrische Reihe ............................................................................................. 181
Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation .................................................................... 182
Grenzwerte von Funktionen ................................................................................. 182
Stetige Funktionen ............................................................................................... 184
Differentialrechnung ................................................................................................ 186
Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ...................... 186
Der Differenzenquotient und der Differentialquotient ......................................... 187
Lineare Funktionen ........................................................................................... 187
Nichtlinearen Funktionen .................................................................................. 187
Differentiationsregeln .......................................................................................... 191
Höhere Ableitungen ............................................................................................. 194
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung ........................ 196
Zahlenmengen ...................................................................................................... 196
Definitionsmenge: ................................................................................................ 196
Wertemenge: ....................................................................................................... 196
Symmetrieeigenschaften ...................................................................................... 196
Extrema ................................................................................................................ 197
Wendepunkte ....................................................................................................... 200
Kurvendiskussion .................................................................................................. 201
Schema der Kurvendiskussion ........................................................................... 201
Beispiel 161:......................................................................................................... 202
Differentiation parameterabhängiger Funktionen ................................................ 205
Funktionen ............................................................................................................... 206
Relationen und Funktionen................................................................................... 206
Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften ............................................ 206
Ganzrationale Funktionen n - ten Grades ............................................................. 206
Verlauf des Graphen ......................................................................................... 207
Symmetrie ........................................................................................................ 208
Nullstellensatz .................................................................................................. 209
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen................................................... 210
Form gebrochen rationaler Funktionen ............................................................. 210
Eigenschaften von Wurzelfunktionen ................................................................... 211
Exponent kleiner als 1 ....................................................................................... 211
10-271
Exponent größer als 1 ....................................................................................... 211
Eigenschaften von Exponentialfunktionen ............................................................ 212
Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x ........................................................ 212
Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x . .......................................................... 213
Verschiebung der Kurve K: y = e x . ...................................................................... 214
Eigenschaften von Logarithmusfunktionen ........................................................... 219
Eigenschaften für die Kurvendiskussion ............................................................ 219
Logarithmusfunktionen ........................................................................................ 220
Trigonometrische Funktionen ............................................................................... 220
Integration ............................................................................................................... 221
Geometrische Definition des Integrals .................................................................. 221
Orientierter Flächeninhalt ................................................................................. 221
Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) .......................................................... 221
Grundintegrale .................................................................................................. 222
Analytische Definition des Integrals ..................................................................... 223
Rechenregeln für Integrale ................................................................................... 223
Faktorregel ....................................................................................................... 223
Summenregel .................................................................................................... 223
Integration durch einfache Substitution ............................................................ 227
Integration durch erweiterte Substitution ........................................................ 228
Die erweiterte Substitution quadratischer Terme ............................................. 229
Das bestimmte Integral ........................................................................................ 230
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ................................................ 231
Intervalladditivität ............................................................................................ 232
Flächenberechnungen .......................................................................................... 233
Flächenberechnung zwischen zwei Graphen ......................................................... 234
Prozentrechnung ...................................................................................................... 243
Zinsen ...................................................................................................................... 246
Allgemeine Bezeichnungen ................................................................................... 246
Einfache Verzinsung ............................................................................................. 246
Einfache Verzinsung - kaufmännischer Diskont ......................................................... 248
Dekursiver Zinseszins ............................................................................................... 249
Abzinsen eines Anfangskapitals......................................................................... 249
Herleitung der Barwert-Formel aus der Zinseszins-Formel ................................ 249
Berechnung der Zinsen ..................................................................................... 250
Berechnung des Zinssatzes ................................................................................ 250
11-271
Berechnung der Laufzeit ................................................................................... 251
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik .......................................................... 252
Unterjährige Verzinsung ........................................................................................... 253
Stetige Verzinsung ................................................................................................ 254
Gemischte Verzinsung - Sparbuch ............................................................................ 255
Rentenrechnung ....................................................................................................... 256
Berechnung des nachschüssigen Renten-Endwerts ............................................... 257
Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Endwert ............................ 257
Berechnung des vorschüssigen Renten-Endwerts ................................................. 258
Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Endwert .............................. 258
Berechnung des nachschüssigen Renten-Barwertes ............................................. 259
Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Barwert ............................. 259
Berechnung des vorschüssigen Renten-Barwertes ................................................ 260
Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Barwert ............................... 260
Unterjährige Renten ................................................................................................. 262
Ewige Renten ........................................................................................................... 263
Rentenumwandlung ................................................................................................. 264
Tilgungsrechnung oder Annuitätendarlehen ............................................................ 265
Annuitätentilgung ............................................................................................. 269
12-271
Grundlagen
Symbole
Es werden viele Symbole in der Mathematik verwendet. Man kenn t zwar das eine oder andere Symbol, aber bei dem einen oder anderen weiß man nicht mehr so genau
was es bedeuten soll. Die folgende Liste soll Ihnen helfen mit solchen Symbolen zu
Recht zu kommen.
13-271
Griechische Buchstaben
Große Schrift
Kleine Schrift
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
14-271
Name
Deutsche Schriftzeichen
Kleinbuchstaben
Großbuchstaben
Rechenzeichen
15-271
Unäre Operatoren
Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen)
16-271
Verhältniszeichen (nicht symmetrische Relationen)
17-271
Intervalle
Differentialrechnung
18-271
Integrale
Geometrie
Mengenlehre
Mengenoperationen
19-271
Mengenrelationen
Zahlenmengen
20-271
Elementare arithmetische Funktionen
21-271
Grundbegriffe des Rechnens
Die Grundrechenarten
Die Addition
Zusammenzählen heißt addieren, der Rechenvorgang heißt Addition, die einzelnen
Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis heißt Summe oder Summenwert.
Beispiel:
2
Summand
+
3
=
5
plus
Summand
gleich
Summenwert
unausgerechnete Summe
Summe
Die Subtraktion
Abziehen heißt subtrahieren, der Rechenvorgang heißt Subtraktion, das Ergebnis
heißt Differenz oder Differenzwert.
Beispiel:
10
-
3
minus
=
7
gleich
Differenzwert
unausgerechnete Differenz
Differenz
Die Multiplikation
Malnehmen heißt multiplizieren, der Rechenvorgang heißt Multiplikation, die einzelnen Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt oder Produktwert.
3
4
=
12
Faktor
mal
Faktor
gleich
Produktwert
Beispiel:
unausgerechnetes Produkt
Produkt
Die Division
Teilen heißt dividieren, der Rechenvorgang heißt Division, das Ergebnis heißt Quot ient oder Quotientwert.
Beispiel:
12
:
3
geteilt durch
unausgerechneter Quotient
22-271
=
4
gleich
Quotientwert
Quotient
Rangfolge der Grundrechenarten
Beispiel 1:
2+34
1.
(2+3)4
2.
= 2 + 12
=
5
=
=
20
4.
14
( 10 – 6 ) : 2
=
4
=
2
:2
4
10 – 6 : 2
= 10 -
3
= 7
24 : 2 4
5.
3.
24 : ( 2 4 )
6.
=
12 4
= 24 :
=
48
= 3
8
Definition 1:
Vorrangregeln:
Punktrechnung vor Strichrechnung ( , :
vor + , - ) .
Bei gleichem „Rang“ (nur Punktrechnung oder nur Strichrechnung) wird von links
nach rechts gerechnet.
Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet.
Beispiel 2:
Berechnen Sie ( Schreibweise wie in den obigen Beispielen ):
1 10 – 4 + 2
.
2. 20 – 3 4
3. 50 – 5 (2 + 4)
4 24 : 6 2
.
5. (12 + 8) : 4 – 2
6. 20 - (10 – 6 : 3) 2
Variablen
Beispiel 3:
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet: u = 2 a + 2 b .
Der Buchstabe a ist z.B. stellvertretend für irgendeine Länge. Man sagt: a ist die Variable für die Länge, b ist die Variable für die Breite, u ist die Variable für den Umfang.
Sind für zwei dieser Variablen feste Zahlen bekannt, so lässt sich der Wert der dritten
Variablen berechnen.
Was sind Variablen?
Variablen sind Stellvertreter, Platzhalter, Unbekannte. Sie werden durch Buchstaben
dargestellt und können durch bekannte Zahlen oder Größen ersetzt werden.
23-271
Termumformungen und Gleichungen
Was ist eine Termumformung?
Wir haben bereits Terme kennen gelernt, z.B.
2 + 3 4 ; ( 10 – 6 ) :
Definition 2:
Eine Zahl, eine Variable oder eine Zusammenstellung von Zahlen, Klammern, Rechenzeichen, Variablen heißt Term. Wird ein Term in einen gleichwertigen Term umgewandelt, so spricht man von einer Termumformung.
Termumformungen werden häufig mit Gleichungen verwechselt, weil in beiden Fällen
das Gleichheitszeichen benutzt wird.
Was ist eine Gleichung?
Beispiele von Gleichungen: u = 2 a + 2 b ; 5 x = 30 ; 240 = 2 a + 100 ;
4+7=5+6
Definition 3:
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen verbunden
sind. Die Terme heißen Seiten der Gleichung.
Bemerkung 1:
Es ist empfehlenswert, bei Termumformungen die umgeformten Terme mit dem
Gleichheitszeichen davor untereinander zu schreiben. Bei Gleichungen steht das
Gleichheitszeichen immer zwischen den beiden Termen.
Beispiel 4:
Beispiele für Termumformungen
(6+5)3–2
1.
4 € 5 + 12 €
2.
=
11
3–2
= 20 €
=
33
–2
= 32 €
=
31
+ 12 €
Beispiele für Gleichungen
1.
5 x = 30
Lösung
x = 6
weil 5 6 = 30
2.
Lösung
10 + 2 x = 32
x = 11
weil 10 + 2 11 = 32
24-271
3. = 2 a + 100
240 =
70
Lösung a =
2 70 + 100
weil 240
Das Lösen von Gleichungen durch Probieren
In diesem Kapital sollen Gleichungen durch reines Probieren gelöst werd en. Die Rechentechniken zum Lösen von Gleichungen werden in späteren Kapiteln ausführlich
behandelt. Auch wenn Sie es anders können, lösen Sie durch Probieren.
Beispiel 5:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung: 5 (x + 1) – 3 = 17.
Vorgehensweise durch Probieren:
Für x = 1 erhält man
5(1+1)–3=
(un7
gleich)
17 .
Für x = 2 erhält man
5(2+1)–3=
12
17 .
Für x = 3 erhält man
5(3+1)–3=
17
=
17 !!! Die Lösung lautet x =
3.
Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade
Für den Vergleich von Zahlen verwendet man folgende Zeichen:
kleiner als
größer als
= gleich
ungleich
Beispiel 6:
2 3 ; 7 5 ; 4 = 4 ; 4 5.
Die Anordnung von Zahlen kann man mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen:
-3 -2 -1
0
1
2
3
Jeder Punkt auf der Zahlengeraden stellt eine Zahl dar. Von zwei Zahlen steht die gr ößere immer weiter rechts auf der Zahlengeraden. So gilt z.B. – 1 4 ; 2,4 - 3,5 ; 0
- 3 ; -10 -1!
Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen, links von der 0 liegen die negativen
Zahlen.
Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4 usw. heißen natürliche Zahlen.
Die Zahlen 1; 2; 3; 4 usw. heißen positive ganze Zahlen.
Die Zahlen -1; - 2; -3; -4 usw. heißen negative ganze Zahlen.
25-271
Zur Verdeutlichung können positive Zahlen mit einem Pluszeichen gekennzeichnet
werden, z.B. +1; +2; +3; +4 usw. Das zur Kennzeichnung von Zahlen verwendete Plusbzw. Minuszeichen nennt man Vorzeichen der Zahl.
Ungleichungen
Formulierungen wie 2 3; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie
können auch eine Variable (oder mehrere) enthalten, z.B. x + 3 18 – x.
Diese Ungleichungen mit Variablen sollen zunächst ebenfall s durch Probieren gelöst
werden. Später werden wir auch Lösungsverfahren kennenlernen.
Beispiel 7:
x+39
Hier tauchen Probleme auf!
- Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9.
- Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden?
Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst
In diesem Kapitel soll x eine Variable für natürliche Zahlen sein.
Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann:
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5.
Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen
Sinn:
≦kleiner als oder gleich ( auch )
≧ größer als oder gleich ( auch )
Für die obigen Beispiele bedeutet dies:
zu 1. x + 3 ≦9 :
neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3 = 9 .
zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 .
Definition 4:
Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung.
Streng genommen enthalten Ungleichungen mit den Zeichen oder je eine Gleichung und eine Ungleichung, x + 3 9 bedeutet z.B. x + 3 9 oder x + 3 = 9 .
26-271
Teiler und Vielfache
Die folgenden Begriffe gelten für positive ganze Zahlen.
Definition 5:
Eine positive ganze Zahl n heißt teilbar durch eine positive ganze Zahl m, wenn der
Quotientwert von n : m wieder eine positive ganze Zahl ist. Die Zahl m heißt Teiler
der Zahl n.
Beispiel 8:
Ist 12 teilbar durch 1; 2; 3; 4; 6; 12. Die Teiler von 18 sind 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Definition 6:
Den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit ggT.
Beispiel 9:
Der ggT der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 6.
Vielfache:
Definition 7:
Als Vielfache einer positiven ganzen Zahl bezeichnet man alle Zahlen, die durch diese
Zahl teilbar sind.
Beispiel 10:
Vielfache von 12 sind 12; 24; 36; 48 usw. ; Vielfache von 18 sind 18; 36; 54; 72 usw..
Definition 8:
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit kgV.
Beispiel 11:
Das kgV der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 36.
Aussagen und Aussageformen
Mit Hilfe der Begriffe „Aussage“ und „Aussageform“ lassen sich Begriffe wie Gle ichungen, Ungleichungen, Lösungen sowie logische Schlussfolgerungen genau erk lären.
Definition 9:
Eine Behauptung, die wahr oder falsch ist, heißt Aussage.
Beispiel 12:
1.
2 + 3 = 5 ist eine wahre Aussage.
2.
2 + 3 = 6 ist eine falsche Aussage.
3.
7 + 5 13 ist eine wahre Aussage.
4.
„Ist eine Zahl durch 10 teilbar, dann ist sie auch durch 5 teilbar“ ist eine wahre
Aussage.
Diese Aussage lässt sich auch mit dem Folgepfeil „
27-271
“ formulieren:
5
„Eine Zahl ist durch 2 und 3 teilbar
falls eine wahre Aussage.
die Zahl ist durch 6 teilbar“ ist eben-
In diesem Fall gilt der Folgepfeil auch für die Umkehrung der Aussage in 5.a). Man
kann in solchen Fällen das Zeichen „ “ benutzen (lies: ist äquivalent mit ).
„Die Zahl ist durch 6 teilbar
die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“.
Aussageform
Definition 10:
Enthält eine Behauptung ( mindestens ) eine Variable, so spricht man von einer Aussageform.
Bei sämtlichen Gleichungen oder Ungleichungen mit Variablen handelt es sich um
Aussageformen. Der Begriff „Lösung“ einer Gleichung bzw. Ungleichung läs st sich so
formulieren:
Definition 11:
Unter der Lösung einer Gleichung bzw. Ungleichung versteht man die Zahlen,
die beim Einsetzen für die Variable eine wahre Aussage liefern.
Beispiel 13:
Welche der folgenden wahren Aussagen lassen sich umkehren?
Die letzte Ziffer einer positiven ganzen Zahl ist die 0
die Zahl ist durch 5 teilbar.
Die Quersumme einer positiven ganzen Zahl ( Summe aller Ziffern ) ist durch 3 teilbar
die Zahl ist durch 3 teilbar.
28-271
Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen
Runden von Zahlen
Definition 12:
Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise,
meist eine Dezimalzahl, durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (b edeutungstragender) Stellen ersetzt wird. Dabei wird der Untersch ied zwischen ursprünglicher und gerundeter Zahl, der Rundungsfehler, so gering wie möglich geha lten.
Zweck einer Rundung ist,
Platz für die Darstellung zu sparen, insbesondere bei Dezimalbrüchen und Glei tkommazahlen, oder
die Anzahl der Ziffern der Genauigkeit eines Rechenergebnisses anzupassen
(siehe Fehlerrechnung)
die Genauigkeit des Ergebnis der darstellbaren bzw. messbaren Einheit anzupa ssen (kleinste mögliche Währungseinheit z.B. Cent, ganze Gramm bei Küche nwaagen,...).
Meist verringert man die Anzahl der Dezimalstellen und damit die Anzahl der dargestellten Ziffern. Doch werden auch große Ganzzahlen gerundet.
Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeit slosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber
die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant gekennzeichnet.
Definition 13:
Zahlen verändern
Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von Aufrunden, wird sie verkle inert, von Abrunden. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. Werden
Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von Abschneiden.
Das Runden verändert in den meisten Fällen den Wert der gerundeten Zahl. Gängige
Rundungsverfahren lassen sich gemäß der Richtung einteilen:
Definition 14:
Rundungsverfahren
aufwärts
abwärts
Richtung null
zur nächstgelegenen Rundungszahl.
29-271
Kaufmännisches Runden
Das Kaufmännische Runden geschieht wie folgt:
Definition 15:
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0,1,2,3 oder 4, dann wird
abgerundet.
Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5,6,7,8 oder 9, dann wird
aufgerundet.
Bemerkung 2:
Diese Rundungsregel wird durch die Norm DIN 1333 beschrieben. Das Runden wird so
auch häufig in der Schule gelehrt
Mathematische Rundung
Die Mathematische (auch geodätische oder unverzerrte) Rundung ist wie folgt definiert:
Definition 16:
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die
nicht alle null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur
Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade
wird.
Bemerkung 3:
Diese Art der Rundung wird in der Mathematik und Ingenieur wissenschaften verwendet. Sie ist im IEEE-754-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in
Computern vorgesehen. Weitere Namen für diese Art der Rundung sind Wissenschaftliches oder Symmetrisches Runden.
Beispiel 14:
Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle):
2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1)
2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2)
2,2500 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
2,3500 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
Bemerkung 4:
Kaufmännisches und unverzerrtes mathematisches Runden unterscheiden sich nur
darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten
Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.
30-271
Indizierung von Variablen
Darstellung verschiedener Variablen mit dem gleichen Buchstaben mittels Durc hnummerierung (Index)
Indizes sind z.T. selbst Variablen, deren Werte der Indexmenge entstammen
Das Prinzip der Durchnummerierung lässt sich auf Doppel-/Mehrfachindizierungen
ausweiten.
Die Indexmengen haben oft eine einfache Struktur, die etwa eine Anordnung der Variablen
in einem Rechteckschemaermöglichen (m, n seien natürliche Zahlen):
31-271
Mengen
Grundbegriffe
Für viele Teilbereiche der Mathematik liefert die Mengenlehre gün stige und logisch
einwandfreie Schreibweisen.
Menge, Element
Definition 17:
Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Dingen zu einem Ganzen.
Die einzelnen Dinge der Menge heißen Elemente.
Zahlenmengen
Für bestimmte Zahlenmengen gibt es eine feste Schreibweise, nämlich ein Großbuc hstabe mit einem Doppelstrich, z. B.:
ℕ=
{ 0;1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen,
ℕ*=
{ 1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null,
ℤ =
{ ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen,
ℤ* = { ...;-3;-2;-1;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen ohne Null,
ℤ_ = { ...;-3;-2;-1} die Menge der negativen ganzen Zahlen,
ℚ =
{x|x lässt sich als Bruchzahl schreiben} die Menge der rationalen Zahlen
(ℚ von Quotient; Begriff Bruchzahl: siehe unten),
ℚ* + = {x|x ist eine positive rationale Zahl},
ℚ+= {x | x = 0 oder x ist ein positive rationale Zahl}
ℝ = {x|x ist eine Zahl auf der Zahlengeraden} die Menge der reellen Zahlen.
32-271
Definition 18:
Merken Sie sich folgende Systematik in der Schreibweise:
ein * bedeutet: Die Null ist ausgeschlossen. (siehe ℤ*)
ein * mit einem + bedeutet: Es sind nur positive Zahlen. (siehe ℚ* + )
ein _ bedeutet: Es handelt sich um negative Zahlen. (siehe ℤ_ )
ein + ohne * bedeutet: Es sind positive Zahlen mit der Null. (siehe ℚ + )
Es gibt Zahlen, die sich nicht als Bruchzahl schreiben lassen, z. B.: = 3,14 ...; ist
eine irrationale Zahl. Die irrationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen, aber
nicht zu den rationalen Zahlen.
Zahlenbereiche
Mit Hilfe der beschreibenden Form und der Ungleichheitszeichen lassen sich Zahle nbereiche erfassen. Diese können auf der Zahlengeraden dargestellt werden.
Beispiel 15:
a)
[
Klammer nach außen bedeutet: die Zahl 3 gehört nicht dazu
M = {xx< 3}
b)
]
Klammer nach innen bedeutet: die Zahl 3 gehört dazu
M = {xx 3}
c)
[
M = {xx 1} oder M = {x1 x}
d)
[
]
M = {x1 x 3}
Menge aller Zahlen zwischen 1 und 3
einschließlich der Grenzen
e)
]
M = {x1 x 3}
]
33-271
Die Zeichen ,
Mit diesen Zeichen kann man ausdrücken, ob ein Element zu einer Menge gehört oder
nicht.
bedeutet „ist Element von“
bedeutet „ist nicht Element von“
Beispiel 16:
4 1;2;3;4;5;6; 4 ℕ; ℝ; 71;2;3;4;5;6; ℚ; 2 xx<2
34-271
Elementare Rechenoperationen
Grundlagen
Zahlen als Pfeile ( Vektoren )
Jede Zahl hat als Punkt einen festen Platz auf der Zahlengeraden. Sie hat damit einen
bestimmten Abstand von der Null. So ist z.B. die Zahl +3 auf der abgebildeten Zahlengeraden
3 cm ( 3 Längeneinheiten ) von der Null entfernt.
-4
-3
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
3 Längeneinheiten
Eine Zahl kann somit auch durch die Länge einer Strecke veranschaulicht werden. Nun
ist aber die Zahl –3 ebenfalls 3 cm von Null entfernt. Beide Zahlen haben bezüglich
der Null die gleiche Streckenlänge. Man sagt: Sie haben den gleichen Betrag.
Definition 19:
Unter dem Betrag einer Zahl a (a R ) versteht man die Länge der Strecke ( in Längen-Einheiten) von der Null bis zur Zahl a.
Der Betrag einer Zahl ist immer positiv ( Länge einer Strecke!), mit einer Ausnahme:
Der Betrag von 0 ist 0.
Um den Betrag einer Zahl a von der Zahl a unterscheiden zu können, wird eine eigene
Schreibweise benötigt: Die Zahl wird zwischen die sogenannten Betragsstriche in folgender Form geschrieben: a lies: Betrag von a. So gilt z.B.: -3= 3, +3 = 3 .
Um Zahlen wie –3 und +3 geometrisch unterscheiden zu können (gleicher Betrag!),
gibt man zusätzlich eine Richtung an, man erhält einen Pfeil (Vektor).
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(+3)
(-3)
Die Richtung des Pfeils wird durch das Vorzeichen bestimmt. Ein „+“ bedeutet: Pfeil
nach rechts, ein “-“ bedeutet: Pfeil nach links. Schreibweise für einen Pfeil: Die Zahl
wird einschließlich des Vorzeichens in eine Klammer gesetzt (siehe Abbildung).
Zwei Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzter Richtung, heißen auch Gegenzahlen. So ist die Zahl –3 Gegenzahl von +3 (und umgekehrt).
35-271
Regeln und Gesetze:
Definition 20:
Regeln für Addition und Subtraktion
Die Verbindung von Rechen- und Vorzeichen:
+
(+)
ergibt +,
d.h.
+
(+a)
=
+a
+
(-)
ergibt -,
d.h.
+
(-a)
=
-a
-
(+)
ergibt
-,
d.h.
-
(+a)
=
-a
-
(-)
ergibt
+,
d.h.
-
(-a)
=
+a
Das Vorzeichen + kann wegfallen, d.h. +a = a
Zwei Rechen- bzw. Vorzeichen dürfen nie hintereinander stehen, sie werden durch
eine Klammer getrennt.
Nach den Rechenregeln folgen nun Rechengesetze, die vor allem beim Rechnen mit
Variablen benötigt werden.
Rechengesetze der Addition
Die folgenden Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen.
Definition 21:
Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a + b = b + a
Beispiel 17:
2+3 = 3+2
Beachten Sie: 3 - 2 ≠ 2 - 3, aber 3 + (-2) = (-2) + 3, d. h. 3 - 2 = -2 + 3
Sie sehen: Fasst man die Subtraktion als Addition auf, kann man das Vertauschu ngsgesetz anwenden. Das Minuszeichen muss dabei mit vertauscht werden.
Definition 22:
Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz):
a + b + c = (a + b) + c ; a + b + c = a + (b + c)
Beispiel 18:
136 + 447 + 553 = ?
Sie können rechnen: (136 + 447) + 553 = 583 + 553 = 1136,
einfacher geht es so: 136 + (447 + 553) = 136 + 1000 = 1136
Beachten Sie: Mit Minuszeichen können Sie nicht in beliebiger Reihenfolge rechnen,
z. B. 344 - 186 - 44 = ?
(344 - 186) – 44 = 158 - 44 = 114,
im Vergleich dazu: 344 - (186 - 44) = 344 - 142 = 202
Hier gilt die Vorrangsregel 2, d.h. das Ergebnis 114 ist richtig.
36-271
Definition 23:
Die Zahl 0 ist das neutrale Element der Addition: a + 0 = a bzw. 0 + a = a
Die Addition von Gegenzahlen ergibt 0: a + (-a) = 0 bzw. -a + a = 0
Beispiel 19:
(+30) - (-12) + (-15)
2.
=
30
+
12
=
42
-
15
=
27
+15 + 98 + (-15)
-
15
=
98
+
15
=
98
+
0
=
98
+
(-15)
Addition und Subtraktion von Termen
Die Terme sind gleichartig
Beispiel 20:
10 – 3 + 8
,
=
=
7
10x
=
=
15
15x
10 € - 3 € + 8 €
+
-
8
3x
,
10x – 3x + 8x
=
+
7€
8x
= 15 €
+
,
+10x + (-3x) + 8x
8€
=
7x
=
15x
+
8x
Sie sehen:
Es handelt sich hier um Addition bzw. Subtraktion „gleicher Dinge“ (nur reine Zahl en,
nur €, nur x), die Terme sind jeweils gleichartig.
Die Art spielt für die Zusammenfassung keine Rolle. Terme wie 10x, 3x, 8x bestehen
aus einer Variablen und einer Beizahl (statt Beizahl sagt man auch Koeffizient).
Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Beizahlen addiert bzw. subtrahiert und die Variable beibehält.
Das Ergebnis kann auch negativ sein, so gilt z.B. auf dem Thermometer:
2°C – 5°C = -3°C .
Ebenso gilt: 2x - 5x = -3x .
37-271
Verschiedene Arten von Termen
Man kann nicht 4 Meter und 3 Gramm addieren (4m + 3g), auch nicht 4 Meter und 3
Quadratmeter (4m + 3m²).
Es handelt sich um ungleichartige Terme. Ausdrücke wie 4x + 3y, 4x + 3x² oder 4x +
3xy lassen sich also nicht durch Addition weiter zusammenfassen.
Dagegen gilt z.B.: 2 Äpfel + 7 Birnen + 3 Äpfel + 5 Birnen = 5 Äpfel + 12 Birnen,
2x + 7y + 3x + 5y = 2x + 3x + 7y + 5y = 5x + 12y
Eine Klammer kommt hinzu
Beispiel 21:
10a + (12b + 3a)
= 10a + 12b + 3a
= 13a + 12b
Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“:
Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, werden die Rechen- bzw. Vorzeichen in
der Klammer bei Auflösung der Klammer umgekehrt. Dagegen bringt ein Pluszeichen
vor einer Klammer bei deren Auflösung keine Veränderung.
Bemerkung 5:
In der Vorrangsregel 3 heißt es zwar: „Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet werden“. Beim Rechnen mit Variablen ist dies meist nicht möglich. Daher werden
Regeln für die Auflösung von Klammern benötigt.
Beispiel 22:
Aufgaben wie 10 – (4 + 3) können auf beide Arten gelöst werden: 10 – 4 – 3 = 3; 10 –
7=3
Weitere Klammern kommen hinzu
Beispiel 23:
1. 10 – (3 + 2x) - (6 - 5x)
= 10 – 3 - 2x – 6 + 5x
= 1 + 3x
Definition 24:
Sind mehrere Klammern ineinander geschachtelt, dann werden die Klammern von
innen nach außen aufgelöst (innere Klammer vor äußerer Klammer!).
38-271
Multiplikation; Rechengesetze
Multiplikation als Addition:
2 + 2 + 2 = 3 2 = 6;
(-3) + (-3) = 2 (-3) = -6;
x + x = 2x = 2x ;
2x + 2x + 2x = 3 2x = 6x
Die Multiplikation ist die Kurzform der Addition gleicher Summanden.
Man könnte die Multiplikation ebenfalls an der Zahlengeraden erklären.
Auf dieses relativ aufwendige Verfahren soll hier verzichtet werden.
Das Vorzeichen eines Produkts:
+4(+3) = +12
+4(-3) = -12
-4(+3) = -12 vergleichen Sie: 20 – 4 3 = 20 - 12
-4(-3) = +12 vergleichen Sie: 20 - (4 (-3)) = 20 - (-12) = 20 + 12
Definition 25:
Regeln:
Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv, das Produkt zweier
Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen ist negativ.
Besteht ein Produkt aus mehr als 2 Faktoren, dann entscheidet die Anzahl der Minu szeichen.
Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus (je 2 Minuszeichen ergeben ein Plus)
eine ungerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Minus.
Rechengesetze der Multiplikation
Die gewählten Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen.
Definition 26:
Das Vertauschungsgesetz: a b = b a
Beispiel: 3 4 = 4 3 .
Beachten Sie: 3 : 4 4 : 3 .
Das Verbindungsgesetz: a b c = (a b) c oder a b c = a (b c)
Beispiel: 2 3 4 = ?
Achtung: 24 : 6 : 2 =?
(2 3) 4 = 6 4 = 24 oder 2 (3 4) = 2 12 = 24
(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2. Falsche Rechnung: 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8
Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: a 1 = a bzw. 1 a = a
39-271
Kurzschreibweisen
Statt 1x schreibt man 1x oder x. Statt -1x schreibt man –1x oder –x. Statt 2x (entspricht 21x) schreibt man 2x. Statt x2 schreibt man ebenfalls 2x (nicht x2!). Statt ab
schreibt man ab.
Steht die Beizahl(der Koeffizient) vor der Variablen, kann der Malpunkt weggelassen
werden. Ebenso kann er zwischen Faktoren wegfallen, die Variablen sind.
Ein Minus als Vorzeichen kann als Faktor –1 aufgefasst werden. Das kann über manche Hürde hinweghelfen! (z.B. 12x – x = 12x - 1x = 11x)
Ein Faktor ist 0
Für jede Zahl reelle Zahl gilt: 0 a = 0 bzw. a 0 = 0.Auch wenn ein Produkt aus vielen Faktoren besteht: Wenn ein Faktor Null ist, dann ist das ganze Produkt gleich
Null.
Beispiel 24:
4x05=4x0=40=0
40-271
Bruchrechnung
Grundlagen des Bruchrechnens
Nachfolgend werden die wesentlichen Zusammenhänge der Bruchrechnung angeführt. Der Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteilt-Zeichen. Es gilt:
Hat ein Bruch im Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so können diese gekürzt
werden:
Da der Faktor 5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, können jeweils Zähler
und Nenner durch diesen Faktor gekürzt werden.
Beim Kürzen steht zwischen den Ausdrücken ein Gleichheitszeichen; somit gilt die
Regel des Kürzens auch "rückwärts".
Brüche können also im Zähler und Nenner gleichzeitig mit beliebigen Faktoren mult ipliziert werden.
Dieses Verfahren nennt man Erweitern des Bruches.
Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteina nder multipliziert werden:
Dividiert (geteilt) werden Brüche, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird:
Auch, wenn Brüche dividiert werden, kann natürlich das "Geteilt -Zeichen" durch einen Bruchstrich ersetzt werden:
41-271
Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist etwas komplizierter. Sollen zwei Brüche
addiert oder subtrahiert werden, so müssen sie zunächst auf den Hauptnenner gebracht werden. Am besten lässt sich das Verfahren an einem Beispiel verdeutlichen:
Bei dem ersten Ausdruck steht 9 und bei dem zweiten 5 im Nenner. Die Brüche kö nnen erst addiert werden, wenn bei beiden das Gleiche im Nenner steht. Hierzu müssen die Brüche erweitert werden. Der erste Bruch kann mit dem Nenner des zweiten
und der zweite Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert werden:
Nun, da beide Brüche den gleichen Nenner haben, dürfen die Zähler addiert werden:
Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder
Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden. Z.B.:
Wenn die Nenner gemeinsame Faktoren enthalten, kann man sich allerdings die A rbeit leichter machen. Dies wird anhand des nachfolgenden Beispiels gezeigt:
Hier reicht es, den zweiten Bruch mit 3 zu erweitern, denn dann haben alle Brüche
den gleichen Nenner.
Die Nenner brauchen also zum Addieren oder Subtrahieren nur auf das kleinste g emeinsame Vielfache gebracht zu werden.
Auch die Addition von Brüchen lässt sich "umdrehen". Ein Bruch kann z.B. folgende rmaßen in mehrere Brüche aufgespalten werden:
42-271
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen:
Definition 27:
Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind, s o
kann man den Bruch kürzen. Bei dem folgenden Beispiel steckt die 3 sowohl im Zähler, als auch im Nenner und kann entsprechend gekürzt werden.
Bei dem folgenden Term kann man a kürzen. (Wichtig ist, dass das a aus a llen Termen die im Zähler mit + oder - verbunden sind gekürzt wird.)
Definition 28:
Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern. Hierbei werden Zähler und
Nenner mit einem bestimmten Faktor multipliziert (mal genommen):
Definition 29:
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man
jeweils die Werte im Zähler und die Wert im Nenner miteinander multipliziert:
Definition 30:
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn
mit dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt).
Es wurde bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen
durch einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann.
Definition 31:
Zwei Brüche werden addiert (zusammen gezählt), indem man sie zunächst
auf einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt. Dieses erreicht
man, indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren erweitert. Man
kann z.B. jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Als Formel
ergibt sich in diesem Fall:
43-271
Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man
prinzipiell genauso vor:
Wenn die Nenner der Brüche (b und d) gemeinsame Faktoren enthalten, so
braucht man nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man
muss hierbei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen.
Dieses ist der Hauptnenner.
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner
ungleich Null ist:
Nachfolgend werden einige typische Fehler angeführt:
Hier wurde falsch gekürzt, beim Kürzen müssen alle Terme im Zähler die mit
"+" oder "-" verbunden sind jeweils einzeln durch den Term im Nenner geteilt werden. Es müsste also auch die 5 noch durch b geteilt werden:
Bei der Addition (bzw. auch der Subtraktion) dürfen nicht die Terme im Ne nner addiert (bzw. subtrahiert) werden. Stattdessen müssen die Brüche z unächst auf den Hauptnenner gebracht werden, Nachfolgend können die
Terme im Zähler addiert (bzw. subtrahiert) werden:
44-271
Potenzen
Der Potenzbegriff
Die Multiplikation gleicher Faktoren lässt sich kürzer durch Potenzen ausdrücken, z.B.
2 2 2 2 2 = 2 5 (Berechnung mit dem Taschenrechner: 2 y x 5 = 32).
Definition 32:
a aaa ... a
= a n für a ℝ , n ℕ*
n Faktoren
a n heißt Potenz (gelesen: a hoch n).
a heißt Basis, n heißt Exponent (Hochzahl).
Das ausgerechnete Ergebnis von a n heißt Potenzwert. (32 ist der Potenzwert von 2 5 ).
Für das Rechnen mit Potenzen ist folgende Schreibweise nützlich: a = a 1 .
Der Potenzbegriff deckt sich mit den bekannten Schreibweisen in der Geometrie, z.B:
Flächeninhalt: 1m 1m = 1m², kürzer mm = m²;
Rauminhalt: 1m 1m1m = 1m³, kürzer mmm = m³.
Vorsicht bei einer negativen Basis:(-2)³ = (-2) (-2) (-2) = - 8 ; (-2)4 = (-2) (-2) (-2)
(-2) = + 16 .
Definition 33:
Wird eine negative Zahl potenziert, dann gilt: Das Ergebnis ist positiv, falls der Exp onent gerade ist, es ist negativ, falls der Exponent ungerade ist.
Vorsicht beim Taschenrechner!!
Bei der Tastenfolge 2 ± y x 3 erhalten sie unter Umständen die falsche Anzeige ERROR,
d.h. manche Taschenrechner „können keine Potenzwerte von Potenzen mit negativer
Basis berechnen“. Rechnen Sie in diesem Fall mit positiver Basis und beachten Sie
anschließend die vorstehende Regel.
Nochmals Vorsicht! -2 4 = -2 2 2 2 = -16 im Unterschied zu (-2) 4 = +16. Im 1. Fall
hat die Potenz 2 4 das Vorzeichen Minus, im 2. Fall gehört das Minuszeichen zur Basis.
45-271
Die Basen 1 und –1 :
Für alle natürlichen Zahlen gilt :
Definition 34:
1 n = 1 ; (-1) n = 1, falls n gerade ; (-1) n = -1, falls n ungerade.
Definition 35:
Vorrangregeln:
Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung. Sind Klammern vorhanden,
haben diese Vorrang!
Beispiel 25:
60 – 4 2³ = 60 – 4 8 = 28
( 9 – 4 ) ( 2 3 )² = 5 6² = 5 36 = 180
Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten
Vom Addieren bekannt ist die Schreibweise
"2a" für a + a.
Ebenso schreibt man
5a für a + a + a + a + a.
Eine ähnlich kurze Schreibweise gibt es für die Multiplikation: die Potenzen.
Potenzen sehen so aus:
an
Die Zahl a heißt die Grundzahl oder Basis der Potenz.
Die Zahl n heißt der Exponent. a 3 steht dabei für a · a · a ,
also a 3 = a · a · a.
Potenzen sind aber nicht nur für positive ganzzahlige Exponenten, sondern auch für
negative ganze Exponenten und den Exponenten 0 definiert.
Später werden sie auch für rationale Zahlen (Brüche) und die reellen Zahlen definiert,
aber das kommt an anderer Stelle.
Auf einen Blick sieht die Definition der Potenzen so aus:
Sei k eine ganze Zahl.
Sei a eine beliebige Zahl ungleich 0.
Dann wird definiert:
46-271
Definition 36:
Man sollte sich hier von dem -k in der untersten Zeile der Definition nicht verwirren
lassen. k ist kleiner als Null, also ist -k positiv.
n
Ist a = 0, so wird für alle n ungleich Null definiert: a = 0
Der Fall 0 0 ist nicht definiert.
Aus der Definition wird klar:
Es gilt die folgende Vereinbarung:
Punkt vor Strich
Potenz vor Punkt
Also ist 4·2 3 = 4·8 = 32 und nicht etwa (4·2)3 = 8 3 = 512.
Ebenso muss ich einen Exponenten, den ich auf ein Produkt anwende, auf alle Fa ktoren des Produkts anwenden. Wie im obigen Beispiel erhalte ich:
(4·2)3 = 4 3 · 2 3 = 64 · 8 = 512.
Noch ein weiteres Wort der Vorsicht:
Öfters habe ich bei Schülern gesehen, dass sie bei Summen oder Differenzen dann
genauso vorgehen.
Das führt dann zu Rechnungen, in denen behauptet wird
(a + b) 2 sei dasselbe wie a 2 + b 2 .
Mit Hinweis auf die binomischen Formeln sei gesagt, dass ist falsch.
47-271
Zehnerpotenzen
In der Schule begegnet man häufig den Zehnerpotenzen, d.h. Potenzen mit der Basis
10.
Nach der obigen Definition gilt dann also:
Hier gilt derselbe Hinweis wie oben: In der untersten Zeile ist k kleiner als Null, also -k
positiv.
Die 10er-Potenzen treten oft bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen auf.
So ist 10 35 natürlich genau die gleiche Zahl wie
100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000,
nur eben sehr viel kürzer in der Notation.
So erklärt sich dann auch die folgende Schreibweise:
2 · 10 9 , was nichts anderes als eine 2 mit 9 Nullen dahinter, also 2.000.000.000, sprich
zwei Milliarden darstellt.
Bei kleinen Zahlen ist das ähnlich: 2 · 10 -9 ist also gleich:
Zwei Faustregeln zum Umgang mit der Schreibweise mit Zehnerpotenzen erklärt an
Beispielen:
14 · 10 2 = 14 · 100 = 1.400
1,4 · 10 2 = 14 · 100 = 140
Also:
Ist der Exponent k größer als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach
rechts".
Also:
Ist der Exponent k kleiner als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach
links".
48-271
Die Herleitung der "Potenzgesetze"
Das Folgende wird oft als die "Potenzgesetze" bezeichnet.
Diese Gesetze sind Ergebnisse der obigen Definition.
Da sie in verschiedenen Mathe-Büchern verschieden durchnummeriert werden, erspare ich mir hier eine solche Nummerierung.
Wichtiger als zu wissen ob es sich um das erste, zweite oder fünfte Potenzgesetz ha ndelt ist, dass man die Definition verstanden haben muss und sie anwenden kann.
Das geschieht z.B. bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Als erstes
betrachten wir also, wie wir die Potenzen an und a m mit einander multiplizieren. Sind
m und n beide größer oder gleich 0, so ergibt sich aus der Definition folgende Rechnung:
Das ist, wenn man sich die Definition ansieht kein großartig überraschendes Ergebnis.
Wir nehmen a n-mal mit sich selbst mal und multiplizieren das mit a m-mal mit sich
selbst malgenommen. Dann haben wir also n viele a und m viele a, die mit einander
multipliziert werden.
Das bedeutet also, dass a n+m mal mit sich selbst malgenommen wird, und dass ist
nach der obigen Definition eben a n + m .
An einem konkreten Beispiel sieht man es noch deutlicher:
Es stellt sich die Frage, was passiert, wenn m oder n negativ ist, oder wenn gleich
beide negativ sind. Auch dann gilt: a n· a m = a n + m .
Auch das kann man aus der Definition herleiten, allerdings ist die Herleitung, oder der
Beweis, ein wenig aufwendiger. Dieser Beweis ist sehr ausführlich, die folgenden Beweise kürzer.
Damit kann man sich dann auch sehr schnell die Division von Potenten gleicher Basis
klar machen. Dort gilt:
Wir hatten oben der Definition entnommen, dass
Damit gilt:
49-271
Weiter geht es mit der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten, also
dem Fall, dass a n· b n .
Dann gilt folgendes: a n· b n=(ab) n
Betrachtet man den Fall n > 0, so ist dieses Ergebnis klar per Definition:
Noch einfacher ist es für n = 0, denn dann ist a 0 b 0 =1 · 1 = 1 = (ab) 0
Bleibt die Frage, was geschieht im Fall n < 0?
Auch hier lässt sich das Ergebnis direkt überprüfen, in dem man sich vor Augen hält,
dass potenzieren mit einer negativen Zahl zur Folge hat, dass man die Potenz im Ne nner wieder findet.
Dann ergibt sich in diesem Fall der Beweis durch die Multiplikationsregel von zwei
Brüchen.
Ein Beispiel zum Zwecke der Klarheit:
a 3 · b 3 = a·a·a·b·b·b = a·b·a·b·a·b = ab·ab·ab = (ab) 3
Ähnliches gilt für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten folgendes:
Nach der Definition ist das für den Fall n = 0 sehr einfach, denn man beweist wieder
einmal, dass 1 = 1, und das ist klar.
Der Fall n > 0 ist auch nicht viel schwerer:
Damit bleibt der Fall n < 0 , der im Endeffekt der gleiche Beweis ist, nur dass man mit
Kehrbrüchen arbeiten muss.
50-271
Damit kommen wir zum letzten Teil, dem Potenzieren von Potenzen, also dem Fall
(a n )m . Dabei gilt:
Zuerst betrachten wir den Fall, der am einfachsten zu sehen ist, nämlich n = 0 oder m
= 0. Für diese Fälle zeigt man im Endeffekt wieder 1 = 1.
Sind m und n beide positiv, so nimmt man a n mal m mal mit sich selbst mal:
Ist m negativ und n positiv, so gilt:
Ist m positiv und n negativ, so gilt:
Sind m und n beide negativ, so gilt:
51-271
Die "Potenzgesetze" auf einen Blick
Was bis hierhin hergeleitet wurde, nennt man die "Potenzgesetze". Auf einen Blick
sind sie:
Definition 37:
52-271
Wurzel
Sinn und Zweck der Wurzel
Mit Hilfe der Potenzschreibweise haben wir eine Möglichkeit, lange Terme wie
a · a · a · a · a · a · a als a 7 zu schreiben.
Wir können also Gleichungen lösen, die von der Form
ab = x sind, wenn a und b ganze Zahlen sind,
indem wir sie mit Hilfe der Definition der Potenz ausrechnen.
b
Was ist nun aber, ich die Gleichung x = a lösen will?
Dann muss ich mich fragen "Welche Zahl hoch b gibt mir die Zahl a?"
2
Habe ich den Fall x = 25 so kann ich mir die Lösung "5" mit ein bisschen Denken einfallen lassen, wenn ich noch länger darüber nachdenke, komme ich eventuell noch
auf "-5". Aber was ist mit den folgenden Gleichungen:
x3 = 25 oder
xn = 1 für eine beliebige ganze Zahl n.
Dabei helfen einem die Wurzeln, denn die sind so definiert, dass man solche Gle ichungen lösen kann.
Definition der Wurzel
Die n-te Wurzel aus einer Zahl a ziehen bedeutet eine Zahl x zu suchen, die zur n -ten
Potenz erhoben a ergibt. In Zeichen:
Man sagt: "Die n-te Wurzel aus a ist x."
Die Gleichung ist also richtig, wenn x n = a ist. a heißt dann Radikand, n heißt Wurzelexponent und das Ergebnis x heißt die n-te Wurzel aus a.
Der Wurzelexponent 2 wird häufig weggelassen, also schreibt man dann
Definiert wird die n-te Wurzel aus einer Zahl mit Hilfe der Potenzen. Man definiert für
eine ganze Zahl a und ein Zahl n ungleich Null:
Dabei ist auch dieser Fall per Definition abgedeckt:
53-271
Das mag auf den ersten Blick seltsam vorkommen.
Wir hatten gesagt, a n soll für ein n > 0 bedeuten, dass a n-mal mit sich selbst malgenommen werden soll.
Davon sind wir jetzt gar nicht weit entfernt.
Die zweite Wurzel aus 25 soll eine Zahl sein, die 2 mal mit sich selbst malgenommen
wieder 25 ergeben soll.
Die n-te Wurzel aus einer Zahl a soll eine Zahl sein, die n mal mit sich selbst malg enommen wieder a ergibt, also wollen wir, dass:
Das erreichen wir durch eine allgemeinere Definition. Wir definieren:
Nach dieser Definition haben wir dann was wir wollten. Die n-te Wurzel einer Zahl a
mit n potenziert ergibt wieder a selbst:
Wie schon bei der Definition der Potenz ist noch eine Vereinbarung zu erwähnen:
1. Wurzel vor Punkt
2. Punkt vor Strich
Also ist
Ebenso wie bei den Potenzen von Summen und Differenzen sollte man auch bei den
Wurzeln nicht auf die Idee kommen, die Wurzeln aus jedem Summand einzeln zu zi ehen. So ist z.B.
und
und da 7 nun mal nicht gleich 5 ist,
ist auch
!!!
54-271
Multiplikation von gleichartigen Wurzeln
Es gilt:
Dass diese Rechenregel gilt, sieht man an dem folgenden Beweis:
Division von gleichartigen Wurzeln
Es gilt:
Der Beweis sieht dann so aus:
Verschachteln von Wurzeln
Es gilt:
Der Beweis dafür ist dieser:
Die Beweise geben schon einen guten Hinweis in die Richtung, wie man meiner Meinung nach am besten mit Wurzeln umgeht: man behandelt sie wie Potenzen.
Im ersten Fall wird zum Beweis das Potenzgesetz über die Multiplikation von Pote nzen mit gleichem Exponenten verwendet.
Im zweiten Fall ist es das Potenzgesetz über die Division von Potenzen mit gleichem
Exponenten.
Im dritten Fall ist es das Potenzieren von Potenzen, was man auch als "Verschachteln"
von Potenzen sehen kann.
Diese Herangehensweise hat einen praktischen Grund:
55-271
Wenn man in der Schule zu den Wurzeln kommt, hat man die Potenzgesetze bereits
hinter sich und (hoffentlich) begriffen, zumindest hat man sie bis zum Abwinken ei ngeübt.
Wurzeln kann man jetzt genauso behandeln. Alles, was man dafür noch können muss,
ist die Addition und Multiplikation von zwei Brüchen, also:
Also anstatt Wurzeln als etwas exotisches und neuartiges zu behandeln, kann man
sehr gut mit dem arbeiten was man kennt, nämlich Potenzgesetzen und Brüchen.
Ich weiß, dass vielen die Bruchrechnung verhasst ist und sie bei den Aufgaben, wie sie
unten vorkommen, gerne den Taschenrechner zücken.
Dagegen ist eigentlich auch nichts zu sagen, wenn man mit dem Gerät umgehen kann.
Dann schreibt man eben
0,1111111111111111111111111 statt
1
1
und 0,125 statt
9
8
und fragt sich wie genau das mit dem Runden noch mal ging.
Man sieht den Rechenweg nicht, also auch nicht wo man sich eventuell vertan hat,
und die Potenzgesetze kann man zwar auch anwenden, aber eventuell nur mit prima
langen Dezimalzahlen im Exponenten.
Einige Rechenbeispiele
Hier also einige Rechenbeispiele mit Wurzeln. Dabei werde ich zum Teil die Potenzg esetze und Bruchrechnung anwenden.
Bei den Zahlenbeispielen kann man das ganze auch mit dem Taschenrechner machen.
Im Idealfall kommt dann das gleiche heraus.
Beispiel 26:
a
3 4
a
a
a
111
432
a a
1
1
24
a
23
24
24 a 23
56-271
Das Rechnen mit Potenzen
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
Beispiel 27:
2³ 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 = 128
x³ x4 = x7
2x³ 5x4 = 2 5 x3 x4 = 10x 7
8 cm 2 2 cm = 16 cm 3
a 2 b3 a 3 b4 = a2 a3 b 3 b4 = a5 b7 = a 5 b7
Definition 38:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert
und die Basis beibehält, kurz: a m a n = a (m+n) (die Klammer kann auch wegfallen).
Potenzen von Produkten
Beispiel 28:
(2 3)2 = 6 2 = 36 oder (2 3) 2 = 2 2 3 2 = 4 9 = 36
(2 x)3 = 2 3 x 3 = 8x 3
(3ab) 3 = 3 3 a 3 b 3 = 27a 3 b 3
Definition 39:
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die Potenzen
miteinander multipliziert, kurz: (a b)n = a nb n .
Addition und Subtraktion von Potenzen
Addieren Sie: 3x² + 4x³
Hoffentlich haben sie nicht als Ergebnis 7x 5 errechnet! Das ist leider falsch! Warum?
Beachten Sie: Eine Zerlegung ergibt 3x² + 4x³ = x² + x² + x² + x³ + x³ + x³ + x³
Man kann 3x² + 4x³ nicht zusammenfassen! Denken Sie an die Geometrie:
3 cm² und 4 cm³ lassen sich ebenfalls nicht zusammenfassen.
Die Terme müssen gleichartig sein, z.B.
4x² + 5x² + y³ + 3y³ = 9x² + 4y³.
Definition 40:
Nur gleiche Potenzen und Vielfache von gleichen Potenzen lassen sich durch Addition
bzw. Subtraktion zusammenfassen.
57-271
Beispiel 29:
1.
4a² 3a³ + 6a5 ;
4.
2a² + 3a³ - a² - 6a³ ; 5.
2.
3 (4x)² + (-2x)² ;
3.
(4x²)³ 2x (-2x)³
x³ 2y² 3x4 5y ;
6.
18 34 - 2 34 5
Multiplikation eines Faktors mit einer Summe
Beispiel 30:
3 (4 + 5)
3 (4 + 5)
oder
die Zahlen 4 und 5 werden mit 3 multipliziert
=
3 9 = 27
=
3 4 + 3 5 = 27
2. 3 (a + b) = 3 a + 3 b = 3a + 3b .
(Statt 3 (a + b) ist auch die Kurzschreibweise 3 (a + b) erlaubt.)
Definition 41:
Das Distributivgesetz: (Gesetz zum „Ausmultiplizieren“ einer Klammer)
Für beliebige Zahlen a; b; c IR gilt :
a (b + c) = a b + a c bzw. (b + c) a = b a + c a
a (b – c) = a b – a c bzw. (b - c) a = b a – c a
Das Gesetz gilt auch für mehr als zwei Summanden in der Klammer, z.B.
a (b + c – d) = a b + a c – a d = ab + ac – ad
Vorsicht! 20 – 3 (6 – 2x) = 20 – 18 + 6x = 2 + 6x
58-271
Binomische Formeln
Grundlagen
Ein Binom (lat. bis, zwei; nomen, Name) ist in der Mathematik ein geklammerter Au sdruck, der aus der Summe, Differenz oder sonstiger Aneinanderreihung zweier Platzhalter (Variablen) oder Zahlen besteht: (a+b) oder (a-b).
Binome finden Verwendung in den Binomischen Formeln zur Erleichterung der Mult iplikation von zweistelligen Zahlen. Sie werden ebenfalls benötigt bei der Quadrat ischen Ergänzung, einem Lösungsverfahren für Quadratische Gleichungen. Der sichere
Umgang mit Binomen gehört zum notwendigen Rüstzeug für Herleitungen von R echenregeln, etwa der Differentialrechnung.
Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur
Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen.
Definition 42:
Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von
Klammerausdrücken erleichtern.
Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung), was bei der Vereinfachung von Bruchtermen,
beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige
Lösungsstrategie darstellt.
Definition 43:
Formeln
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
2. Binomische Formel (Minus-Formel)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:
Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der
binomischen Formel bestimmen. Beispielsweise ist
oder ausführlich
59-271
Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten,
die mittels des Pascal'schen Dreiecks leicht zu bestimmen sind.
Bedeutung
Mit Hilfe der binomischen Formel lassen sich Multiplikation und Division auf die ei nfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Ver doppeln zurückführen:
Die erste und zweite Binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen a und
b:
60-271
Logarithmen
Einfühhrung
61-271
Beispiel 31:
62-271
Logarithmengesetze
63-271
Beispiel 32:
64-271
Logarithmen zu einer beliebigen Basis
65-271
Summenzeichen
Motivation und Definition
Sehr oft haben wir es in der Mathematik mit Summen vieler einzelner Summanden
zutun.
Es hat sich herausgestellt, dass der Umgang mit diesen Summen sich erheblich verei nfacht, wenn man ein Zeichen für die Summation einführt.
Definition 44:
Gewählt wurde das große Sigma
.
Für die Summe a m + a m+1 + a m+2 + ::: + a n schreiben wir kürzer
n
a
k m
k
Sprich: "Die Summe von k = m bis n über a k ."
Dabei ist k die Laufvariable, die alle natürlichen Zahlen von m bis n durchläuft, die
einzelnen Summanden lauten a k mit dem jeweiligen Index k.
Von der Motivation zur Definition:
Für alle m, n N mit n m wird rekursiv definiert:
n 1
n
k m
k m
a k : a n 1 a k
Und als Anfangswert dieser Rekursion
m 1
a
k m
k
: 0
Wobei wir diesen Startwert auch als leere Summe bezeichnen. Denn es wurden alle a k
mit m k m 1 aufsummiert. Das es keine solchen k gibt, wurde also gar nicht
summiert. Außerdem definieren wir noch für alle n m 1
n
a
k m
k
: 0
66-271
Rechengesetze
Es gelten entsprechend die Rechengesetze der Addition beim Umgang mit dem Su mmenzeichen, Kommutativität und Assoziativität sind redundant. Die Distributivität
drückt sich wie folgt aus (für c R ):
Definition 45:
n
n
k m
k m
c a k c a k
Auch die Addition ist selbsterklärend; falls in zwei solchen Summen die oberen und
unteren Grenzen übereinstimmen, lassen sich die Summanden in der Notation z usammenlegen, also:
Definition 46:
n
n
n
k m
k m
k m
a k b k (a k b k )
Schwieriger wird es jedoch bei der Multiplikation:
n
n
k m
k m
a k b k
Um eine vereinfachte Schreibweise zu gewinnen, multiplizieren wir dieses Produkt in
einzelne Summanden aus und notieren diese wie folgt:
Man kann nun die Summanden jeder Zeile/Spalte addieren und anschließend die Ze ilen-/Spaltensummen aufsummieren. Das Addieren der Zeilensummen sieht dann wie
folgt aus:
n
n
a
k m im
k
bi
n
Hier ist
a k b i die Zeilensumme der k-ten Zeile und
im
n
n
a
k m im
k
b i ist entsprechend die
Addition dieser Zeilensummen. Analog kann man Spaltensummen berechnen:
n
n
a
im k m
k
bi
Diese Doppelsummen bzw. die Summationsreihenfolgen sind folglich vertauschbar,
d.h. es gilt:
67-271
Definition 47:
n
n
a
k m im
n
n
k bi a k bi
i m k m
Häufig lassen sich durch diese Vertauschung Doppelsummen erheblich vereinfachen.
Indexverschiebung
Bei Rechnungen mit dem Summenzeichen erweist es sich als hilfreich die Grenzen der
Laufvariablen k formal zu verschieben. Die Summanden jedoch dürfen sich dabei nicht
verändern, d.h. diese Verschiebung der Grenzen muss in der Definition der Summa nden wieder aufgehoben werden. In Formeln (Indexverschiebung um t):
n
ak
k m
nt
a
k m t
k t
Wichtig ist hierbei darauf zu achten in der Definition der Summanden nur zu k die
Verschiebung t zu addieren, nicht zu anderen Elementen der Definition (Konstanten).
Die Rechengesetze des Summenzeichens lassen sich alle mühelos durch vollständige
Induktion beweisen.
Beispiel 33:
n
a)
1 2 3 n i
i 1
b)
10
1
1
1
1
2 3 3 4
10 11 i 2 i i 1
68-271
Produktzeichen
Definition 48:
Das Produkt der reellen Zahlen a m , ..., a n kann man abkürzen in der Form
Definition 49:
n
a m a m1 a n ai
i m
(sprich: Produkt der a i, für i = m bis n).
Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt a n
n
a (für n N und a
0
= 1) dar.
i 1
Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir a n als die n- te Potenz von a. Dabei heißt a Basis
und die Hochzahl n Exponent.
69-271
Binomialkoeffizient und Fakultät
Definition 50:
Seien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir
n
n! i 1 2 3 n und 0! = 1
i 1
(sprich: n- Fakultät);
n n n 1 n k 1
n!
n k ! k!
1 2 k
k
n
(sprich: n über k). Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten.
k
Beispiel 34:
a)
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24.
b)
2
2!
1,
0 2!0!
c)
2 2 3 4
4 ,
1 2 3
3
d)
1 2 5
1 3 3 3 10
.
3
1 2 3
162
1
e)
71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl).
6
6! 1 2 3 4 5 6
15 .
4 2!4! 1 2 1 2 3 4
Beispiel 35:
5
5
5!
5!
5!
3 (5 3)!*3! 5 3 (5 3)!*(5 (5 3))! 2!*3!
Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form
(a + b) n „auszumultiplizieren“, d.h. in eine Summe zu entwickeln wie folgt:
70-271
Gleichungen
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen
Denken Sie bei dem Begriff „Gleichung“ an „Gleichgewicht auf beiden Seiten“. Mit
diesem Ansatz lässt sich das Grundprinzip des Lösungsverfahrens für Gleichungen
veranschaulichen.
Definition 51:
Es sind nur Umformungen erlaubt, wenn auf beiden Seiten das gleiche durchgeführt
wird (Äquivalenzumformung).
Dieser Vorgang lässt sich mathematisch mit Hilfe einer Rechenanweisung folgendermaßen darstellen:
x+2= 5
-2
Definition 52:
Der Begriff „äquivalente Gleichung“ : Zwei Gleichungen heißen äquivalent (oder:
gleichwertig), wenn sie bezüglich der gleichen Definitionsmenge die gleiche Lösung smenge haben.
Definition 53:
Der Begriff „Äquivalenzumformung“: Formt man eine Gleichung in eine äquivalente
Gleichung um, so spricht man von einer Äquivalenzumformung. Die Lösungsmenge
ändert sich bei einer Äquivalenzumformung nicht.
Definition 54:
Regeln für Äquivalenzumformungen bei Gleichungen:
Man kann die beiden Seiten einer Gleichung vertauschen.
Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung
die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term addieren;
die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term subtrahieren;
mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) multiplizieren;
mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) dividieren.
Bemerkung 6:
Beachten Sie:
Eine Multiplikation mit 0 auf beiden Seiten ergibt immer 0=0, eine Division durch 0 ist
nicht möglich.
Es ist nicht vorgeschrieben, in welcher Reihenfolge einzelne Umformungen durchzuführen sind.
71-271
Lineare Gleichungen
Vorgehensweise beim Lösen von Gleichungen mit der Variablen x:
In sehr vielen Fällen ist folgende Reihenfolge bei den Umformungen empfehlenswert:
Auflösen von Klammern (falls vorhanden).
Auf beiden Seiten gleichartige Terme zusammenfassen.
Umformungen durch Addition und Subtraktion so, dass auf einer Seite die A nzahl der x steht und auf der anderen Seite eine Zahl.
Division durch den Faktor vor x (falls dieser 1).
Prüfen, ob das Ergebnis ein Element der Definitionsmenge ist und Lösungsme nge bestimmen (eventuell mit Probe).
Beispiel 36:
3 (2x – 4) + 6 = 16 + 4 (x + 2), D = ℤ. Die Lösungsmenge ist L = {15} ; Probe!
Bemerkung: Enthält eine Gleichung viele Brüche, dann ist es oft günstiger, zunächst
die Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner umzuformen. Dazu folgendes Beispiel:
1
3
x+
x
1
4
=
12 ( 31 x + 41 x)
1
2
12
(x + 4)
=
12
1
2
6 x + 24
(x + 4) Klammern auflösen
zusammenfassen
4x + 3x
=
7x
=
6 x + 24
- 6 x
x
=
24
L = {24}
Versuchen Sie zur Übung, die Lösung nach obigem Schema zu finden.
Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen:
Die Variable „verschwindet“:
Es gibt zwei Möglichkeiten:
eine falsche Aussage entsteht:
Beispiel 37:
4 (2x + 3)
=
8 (x + 2)
Klammern auflösen
8x + 12
=
8x + 16
- 12
8x
=
8x + 4 - 8x
0
=
4
L = { }, da 0 = 4 eine falsche Aussage ist.
eine wahre Aussage entsteht:
72-271
Beispiel 38:
4 (2x + 4)
=
8 (x + 2)
Klammern auflösen
8x + 16
=
8x + 16
- 16
8x
8x
- 8x
=
0 = 0 L = D ! Wieso?
Setzen Sie für x eine beliebige Zahl ein (z.B. x=17,8), man erhält immer die wahre
Aussage 0 = 0.
Eine Lösung „verschwindet“:
Beispiel 39:
5x = 2x
1.
Weg
5x = 2x
: x 5 = 2 L = { } , das ist falsch!
2.
Weg
5x = 2x
- 2x 3x = 0
: 3 x = 0 L = {0}
Probe: 5 0 = 2 0 ist eine wahre Aussage.
Der Fehler im 1. Weg entsteht bei der Division durch die Variable x. Es handelt sich
hier um eine „heimliche“ Division durch 0, da tatsächlich (siehe 2. Weg) x = 0 gilt.
Vermeiden Sie nach Möglichkeit eine Division durch einen Term, der die Variable en thält. Der Fall „Term = 0“ muss sonst beachtet werden.
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung (auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form
Definition 55:
ax 2 + bx + c = 0,
bzw. eine, die auf diese Form gebracht werden kann. Dabei sind a, b und c fixe (bekannte) Zahlen (sie heißen Koeffizienten der Gleichung) und a 0. (Wäre a = 0, wäre
die Gleichung ja in Wahrheit eine lineare). Da a 0 ist, kann man beide Seiten der
Gleichung durch a dividieren.
Mit den Bezeichnungen b/a = p und c/a = q ergibt sich, dass eine quadratische Gleichung auch immer in der Form
x2 + px + q = 0
geschrieben werden kann. (Dies kann man auch als Normalform der quadratischen
Gleichung bezeichnen).
Manchmal wird sie auch p-q-Form genannt. Die Zahlen p, q heißen Koeffizienten der
Gleichung in Normalform oder Parameter. Sie "nummerieren" gewissermaßen die
Menge aller quadratischen Gleichungen durch: Für jede konkrete Wahl dieser Zahlen
ist (x2 + px + q = 0) eine quadratische Gleichung).
Als Grundmenge G wollen wir die Menge R der reellen Zahlen annehmen.
73-271
Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind:
x2 = 1
(sie besitzt zwei reelle Lösungen: 1)
x2 = 0
(sie besitzt eine reelle Lösung: 0)
x2 = -1
(sie besitzt keine reelle Lösung)
Diese drei Beispiele charakterisieren, was auch in allgemeineren Fällen passieren
kann.
(Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform!)
Antworten:
x2 - 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = -1,
x2 = 0, das entspricht p = 0 und q = 0,
x2 + 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = 1.)
Kleine Lösungsformel
Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform ( x2 + px + q =
0) vorliegt, gibt es eine handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel. Sie
lautet
Definition 56:
x1/ 2
p
2
p2
q
4
Bemerkung 7:
Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p2 /4 - q (also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl. Da man
(im Rahmen der reellen Zahlen) die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen
kann, gibt es keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }.
Ist p 2 /4 - q = 0, so steht unter dem Wurzelzeichen 0, und da 0 = 0 ist, gibt es
eine einzige Lösung, x = - p/2. Die Lösungsmenge ist L = {-p/2}. Die Lösungsformel gilt insofern, als sie zwei gleiche Zahlen beschreibt: x1 = x2 = - p/2.
Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl. In diesem
Fall gibt es zwei reelle Lösungenx1 und x2 , die gerade von der Lösungsformel angezeigt werden. Die Lösungsmenge ist L = {x1 , x2 }, wobei
Die Kombination p2 /4 - q entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie wird Diskriminante genannt.
Halten wir fest: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder keine Lösung. Wir werden uns später von einem anderen Blickwinkel mit quadratischen Au sdrücken beschäftigen und einen geometrischen Grund dafür kennen lernen.
74-271
Beachten Sie beim Rechnen, dass die Wurzel aus einer reellen (nicht-negativen) Zahl
per Definition immer 0 ist. (So hat etwa 4 nur einen Wert, nämlich 2, während 4
für 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2).
Beispiel 40:
Gegebene Gleichung:
x2 - 5 x + 6 = 0
(das entspricht p = - 5 und q = 6)
Die Lösungsformel ergibt:
x1/ 2
5
52
5
1
5 1
6
2
4
2
4
2 2
Da unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl auftritt (nämlich 1/4), gibt es zwei
reelle Lösungen, und es darf weitergerechnet werden.
Die Wurzel aus 1/4 ist gleich 1/2, und daher ergibt sich x1,2 = 5/2 1/2, also
x1 = 5/2 - 1/2 = 2 und
x2 = 5/2 + 1/2 = 3.
Die Lösungsmenge ist L = {2, 3}.
Beispiel 41:
Gegebene Gleichung:
x2 - 2 = 0
(das entspricht p = 0 und q = - 2)
Sie kann als x2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen 2 ergeben. Die
Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig. Wird sie dennoch benützt, so ergibt
sich
0
02
x1/ 2
2 2
2
4
Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der Lösungsformel ersichtlich
ist:
Für ganzzahlige Koeffizienten p, q enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen
Zahlen (d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können).
Sie sind daher im Allgemeinen irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als
Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln selbst wieder rational
(oder sogar ganzzahlig).
75-271
Der Vietasche Satz
Unkonventionelle Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die
Lösungen 1 und 2 hat!
Antwort: Versuchen Sie's mit der Gleichung
( x - 1) ( x - 2 ) = 0 . (Nennt man auch Faktorisierung)
Ohne jede Rechnung ist ersichtlich, dass sie für x = 1 eine wahre Aussage ist (denn
dann ist ja der erste der beiden Faktoren Null), und dass sie für x = 2 eine wahre Aussage ist (denn dann ist der zweite der beiden Faktoren Null).
Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus
und finden
( x - 1 ) ( x - 2 ) = x2 - 3 x + 2.
Beachten Sie, dass das keine Gleichung ist, sondern eine Identität. Wir haben hier
einfach zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Dies können wir b enützen, um die Gleichung (( x - 1) ( x - 2 )) in der Form
x2 - 3 x + 2 = 0
anzuschreiben. Die linke Seite ist nach wie vor das Produkt aus x - 1 und x - 2, nur
sieht man das jetzt nicht mehr so schnell. Folglich sind die Lösungen die Zahlen 1 und
2. Mit dieser Methode zaubern Lehrer/Innen quadratische Gleichungen hervor, deren
Lösungen sie im Voraus kennen!
Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und
nach beim Fortschreiten des Stoffs klarer werden.
Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen, wiederholen wir das Arg ument, legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen nicht fest, sondern bezeichnen
sie lediglich mit x 1 und x2 . Die quadratische Gleichung, die x1 und x2 als Lösungen hat,
lautet
( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 .
Wieder multiplizieren wir den Term auf der linken Seite aus und erhalten
( x - x1 ) ( x - x2 ) = x2 - ( x1 + x 2 ) x + x1 x2 ,
und wieder ist das eine Identität: zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Daher kann die Gleichung (( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0) auch in der Form
x2 - ( x1 + x2 ) x + x1x 2 = 0
angeschrieben werden, und wieder wissen wir ohne weitere Rechnung, dass sie die
Lösungen x1 und x2 besitzt. Diese Gleichung ist aber nichts anderes als die Norma lform, d.h. sie ist von der Form x2 + px + q = 0 .
Man kann die Lösungen, die herauskommen sollen, also vorgeben und sich mit Hilfe
dieser Formeln die Gleichung ausrechnen!
Diese Aussage heißt Satz von Vieta (auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird
üblicherweise in der Form
76-271
Definition 57:
x1 + x 2 = - p
x1x 2 = q
angeschrieben. In Worten ausgedrückt lautet sie: Falls die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0 zwei reelle Lösungen x1 und x2 hat, so ist die Summe der beiden Lösungen - p, und ihr Produkt ist q.
Der Satz gilt auch, wenn die Gleichung nur eine Lösung (näm lich -p/2) hat und x1 = x 2 (
= -p/2) gesetzt wird.
Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen, i ndem die Lösungsformeln für x1 und x2 verwendet werden.
Beispiel 42:
Die Gleichung x2 - 5 x + 6 = 0 , die oben bereits betrachtet und gelöst wurde, hat die
Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5) und ihr
Produkt ist 6 (also gerade q).
Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten ist die Tatsache, dass jeder
Term der Form x2 + p x + q, sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. (Ein linearer - genauer: linearinhomogener - Term ist ein Ausdruck der Form a x + b.
Er heißt auch Polynom erster Ordnung. Ein Term der Form x2 + p x + q oder, ein bisschen allgemeiner, a x2 + b x + c, heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter
Ordnung).
Beispiel 43:
Schreiben Sie den Term x2 - 5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren!
Lösung:
Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon oben berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität x2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ), was durch Ausmultiplizieren der Klammern überprüft werden kann.
Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt, wie ma nche quadratische Ausdrücke in elementarere Bestandteile ''zerlegt'' werden können.
Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer natürlichen Zahl: Die Zahl 35 lässt sich als 5×7 schreiben, wobei 5 und 7 auch als ''Bestan dteile'' gedeutet werden können.
77-271
Große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form
ax 2 + bx + c = 0,
gegeben sein.
Dabei muss, wie bereits festgestellt, a 0 sein, und der Zusammenhang zur Normalform ist durch p = b/a und q = c/a gegeben (was sich nach Division beider Seiten
durch a ergibt).
Dann lautet die entsprechende (große) Lösungsformel
Definition 58:
x1/ 2
b b 2 4ac
2a
Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b2 - 4 ac negativ, 0 oder
positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei reelle Lösungen . Die große ergibt
sich aus der kleinen Lösungsformel, indem einfach p = b/a und q = c/a eingesetzt
wird.
Die Kombination b2 - 4 ac entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie übernimmt die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel die Kombination p2 /4 - q gespielt
hat und wird, wie diese, Diskriminante genannt.
78-271
Bruchgleichungen
Definition 59:
Ein Quotient, dessen Nenner (mindestens) eine Variable enthält, heißt Bruchterm.
Eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm heißt Bruchgleichung. Eine Gle ichung nur mit x heißt dagegen lineare Gleichung.
Bemerkung 8:
Das bedeutet: Es folgen nun Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner steht
(und im Zähler stehen kann). „Variablen im Nenner“ bedeutet „Vorsicht!!“, dieser
Nenner darf nicht 0 werden. Meist muss die Grundmenge eingeschränkt werden.
In allen Beispielen soll G = ℤ sein. Gesucht sind jeweils die Definitionsmenge und die
Lösungsmenge.
Beispiel 44:
10
x
=2;
Bestimmung von D: Der Nenner x darf nicht 0 sein, d.h. D = ℤ \ { 0 }.
Bestimmung von L:
Probe:
10
5
10
x
= 2 x 10 = 2x 5 = x , L = { 5 }
= 2 ist eine wahre Aussage.
Der Rechenschritt „x“ ausführlich:
10
x
=2x
10 x
x
= 2 x kürzen 10 = 2x
Beispiel 45:
8
x+2
=
4
x -1
;
Bestimmung von D:
Der Nenner x + 2 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = -2;
der Nenner x – 1 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = 1 D = ℤ \ { -2; 1 } .
Bestimmung von L:
8
x+2
=
Probe:
4
x -1
| (x + 2) (x – 1) 8 (x – 1) = 4 (x + 2) 8x – 8 = 4x + 8 L = { 4 }.
8
4+2
=
4
4 -1
ist eine wahre Aussage ( 86 =
4
3
).
Der Rechenschritt „ (x + 2) (x – 1) “ ausführlich: Man erhält
8
x+2
(x + 2) (x – 1) =
4
x 1
∙ (x + 2) (x – 1)
8 (x – 1) = 4 (x + 2) .
79-271
8 (x + 2) (x - 1)
(x + 2)
=
4 (x + 2) (x - 1)
(x - 1)
| kürzen
Definition 60:
Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen:
Bei gegebener Grundmenge muss zunächst die Definitionsmenge bestimmt werden;
für jeden Nenner, der die Variable enthält, muss der Fall „Nenner = 0“ ausgeschlossen
werden.
Für die Bestimmung der Lösungsmenge ist es vorteilhaft, wenn möglichst bald die
Nenner „verschwinden“.
Dies kann man immer erreichen, wenn die Gleichung mit dem Hauptnenner multipl iziert wird.
Nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man alle Nenner „wegkürzen“.
Die Variable x eliminieren.
80-271
Betragsgleichungen
Merkmale einer Betragsfunktion
Definition 61:
Das Hauptmerkmal einer Betragsfunktion ist, dass der Betrag immer positiv ist.
Beispiel 46:
17 17
Definition 62:
Die Schreibweise von einer Betragsfunktion
Betragsfunktionen werden innerhalb von Betragsstrichen geschrieben.
Wie zum Beispiel x (gelesen: Betrag von x).
Die Funktionsterme der Betragsfunktionen werden hinter einer geschwungenen
Klammer geschrieben.
Beispiel 47:
x
x
x
x0
x0
Beispiel 48:
wenn x 2 0 d .h. x 2
x 2
x2
x2
( x 2) wenn x 2 0 d .h.
Die Zeichnung eines Graphen einer Betragsfunktion
81-271
Beispiel 49:
So sieht zum Beispiel der Graph von x aus.
Dieser Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Die Gerade des Graphs gehen, wie auf der Zeichnung zu sehen, durch den Pun kt
P 1 (1 | 1)
und
P 2 (-1 | 1)
82-271
Beispiel 50:
So sieht beispielsweise der Graph der Funktion 2 x 3 aus.
Dieser Graph ist symmetrisch zu dem Punkt P (1,5 | 0).
Die Geraden dieses Graphs gehen durch den Punkt
P 1 (0 | 3)
und
P 2 (3 | 3)
Die Besonderheit:
Die Besonderheit dieses Graphen ist, dass er auf der x-Achse nach rechts verschoben
ist. Das weist darauf hin, dass es einen negativen x-Wert geben muss.
Bemerkung 9:
Die Verschiebung berechnet man, indem man die im Betrag nicht mit x multiplizierte
Zahl (in diesem Falle (-3)) durch die mit x multiplizierte Zahl (in diesem Falle 2) teilt.
So erhält man die Verschiebung, die in diesem Falle (-1,5) entspricht, auf der x-Achse.
Bemerkung 10:
Bei einer negativen Zahl wird der Graph auf der x-Achse nach rechts, und bei einer
positiven Zahl nach links verschoben.
83-271
Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen
Es gibt verschiedene Arten von Betragsfunktionsgraphen sowie Betragsfunktionen:
Beispiel 51:
x 3
Beispiel 52:
x 3
84-271
Beispiel 53:
x3
85-271
Beispiel 54:
x3
Beispiel 55:
x 3
86-271
Beispiel 56:
x 3
Beispiel 57:
x 3
87-271
Gleichungen mit Parametern
Beispiel 58:
4x + 14a
=
7b –3x Lösungsvariable x
4x + 14a
=
7b –3x + 3x
7x + 14a
=
7b
7x
=
7b – 14a
x
=
b – 2a
-14a
:7
L = { b – 2a}
Auch hierbei ist eine Probe möglich:
4 (b – 2 a) + 14 a = 7b – 3 (b – 2a) ist eine wahre Aussage (Rechnung!)
Beispiel 59:
12a – 2x
=
4a + 2x
Rechnen Sie:
a) falls x Lösungsvariable ist;
b) falls a Lösungsvariable ist.
Im Fall a) erhalten Sie x = 2a ;
im Fall b) erhalten Sie a = 0,5x .
Umstellen von Formeln
Beispiel 60:
Aus der Physik: v =
s
t
( Geschwindigkeit =
Weg
Zeit
). Diese Formel soll nach t aufgelöst
werden.
v=
s
t
t t v = s : v ( v 0 ! v = 0 ergibt keinen Sinn) t =
88-271
s
v
Textgleichungen
Bei Textaufgaben muss die Gleichung noch aufgestellt werden.
Beispiel 61:
Eine Erbschaft von 18.600 € soll an 4 Personen A, B, C, D folgendermaßen verteilt
werden:
B erhält doppelt so viel wie A, C erhält 1000 € mehr als A, D erhält die Hälfte von C.
a) Wie viel € erhält A?
b) Wie viel € erhalten B, C und D?
Man kann versuchen, die Lösungen durch reines Probieren zu finden. Vielleicht g elingt es. Meist weniger zeitaufwendig ist es, eine derartige Aufgabens tellung in eine
Gleichung zu „übersetzen“
(x – Ansatz), deren Lösungsmenge bestimmt wird.
Lösung zu a):
1. Schritt:
Anhand der Fragestellung wird eine Variable x festgelegt. Da der Anteil von A gesucht
wird,
wird dieser mit x bezeichnet.
2. Schritt:
Weitere Unbekannte, die von x abhängen, werden durch x ausgedrückt:
Anteil von A in € : x
Anteil von B in € : 2x
Anteil von C in € : x + 1000
Anteil von D in € :
1
2
∙(x + 1000) .
3. Schritt:
Mit Hilfe des Textes wird eine Gleichung gebildet. In diesem Fall muss die Summe a ller Anteile gleich der Gesamtsumme sein, d.h.:
x + 2x + x + 1000 +
1
2
∙(x + 1000) = 18600 .
4. Schritt:
Die Gleichung wird gelöst, die Frage wird beantwortet.
Lösung: x = 3800 (rechnen Sie), A erhält 3800 € .
Lösung zu b):
Die Anteile lassen sich direkt mit Hilfe von a) (2. Schritt) bestimmen.
B erhält 7.600 €, C erhält 4.800 €, D erhält 2.400 € . Probe: 3.800 + 7.600 + 4.800 +
2.400 = 18.600€ .
89-271
Definition 63:
Lösungsschema für Textgleichungen mit einer Variablen:
1. Festlegung von x .
2. Weitere Unbekannte (falls vorhanden), die von x abhängig sind, werden durch x
ausgedrückt.
3. Bildung einer Gleichung.
4. Lösung der Gleichung und Beantwortung der Frage (Schlusssatz).
90-271
Polynome und Polynomgleichungen
Faktorisierung
Definition 64:
Dazu müssen Sie folgendes anwenden können:
lineare und quadratische Gleichungen lösen können;
das Ausklammern beherrschen;
wissen und anwenden können, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor
Null ist;
die Vielfachheit von Nullstellen erkennen und interpretieren können.
Funktionen mit Termen wie z. B.
f(x) = x 3 – 4x2 + 4x oder g(x) = -0,5x 5 + 2x4 –1,5x 2 + 2x - 3
heißen ganzrationale Funktionen, die Terme werden auch als Polynome bezeichnet.
Die höchste auftretende Potenz von x gibt den Grad an, z. B. ist der Grad von f gleich
3 und der Grad von g gleich 5.
Definition 65:
Eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstelen, wie der Grad angibt.
Also hat f z. B. höchstens drei Nullstellen; das folgende Beispiel zeigt aber, dass es
genau zwei sind.
Beispiel 62:
f(x) = x 3 – 4x2 + 4x = x(x-2)2
faktorisierte Form
hat die Nullstellen
x1 = 0 (einfach)
x2 = 2 (doppelt)
VZW (Schnittpunkt)
kein VZW (Berührpunkt)
91-271
Bemerkung 11:
Aus der faktorisierten Form lassen sich die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten abl esen.
Eine Nullstelle mit einer ungeraden Vielfachheit (1, 3, 5, ...) be deutet am Graphen
einen Vorzeichenwechsel (VZW – Schnittpunkt)), aus einer geraden Vielfachheit (2, 4,
... - Berührunkt) folgt dagegen, dass an einer solchen Nullstelle kein VZW auftritt.
Mit Hilfe der Nullstellen lässt sich ein Term in seine faktorisierte Form überführen.
Es gilt:
Definition 66:
Hat f(x) genau die Nullstellen x 1 , x2 und x 3 mit den Vielfachheiten n(1), n(2) und n(3),
so lässt sich f(x) schreiben als f(x) = c(x – x 1 )n(1) (x – x2 )n(2)(x – x3 ) n(3) p(x) mit einer
geeigneten Konstante c und einem nullstellenfreien Restpolynom p(x).
Beispiel 63:
f(x) = x 4 –4x3 + 2x 2
x4 –4x3 + 2x2 = 0
x2 (x 2 –4x + 2) = 0
erste Nullstelle: x 1 = 0 (doppelte Nst.)
x2 –4x + 2 = 0
x2 / 3
4 16 4 2
2 2 (jew. einfache N.)
2
Gleichung lösen
Nullstellen: x1 0 x2 2 2 x3 2 2
Die Lösungen sind die Nullstellen
f(x) = x 2 (x – x2 )(x – x3 ) =
x2 (x 2 2 )(x 2 2 )
f(x) in vollständig faktorisierter Form
Bausteine zur Faktorisierung
Ausklammern
Definition 67:
Jeder Summand muss durch den ausgeklammerten Term dividiert werden!
Beispiel 64:
3x + 9y – 12 =
3(x + 3y – 4)
2x3 – 4x 2 + 6x =
2x(x2 – 2x + 3)
3 (x + 5) – 6x (x + 5) =
(x + 5)(3 – 6x)
92-271
Binomische Formeln
Beispiel 65:
x2 + 6x + 9 = x 2 +
23x
+ 32
9x2 - 30xy + 25y 2
=
81a 2 – 64b 2 =
(9a + 8b)(9a – 8b)
=
(x + 3) 2
(3x – 5y)2
Linearfaktorenzerlegung
Wie oben kennengelernt.
Kubische Polynome
Schon seit Jahrtausenden werden kubische Gleichungen untersucht. Bevor im 16.
Jahrhundert ein allgemeines Verfahren zur Lösung gefunden wurde, hat man sich mit
speziellen Gleichungen befasst, an denen man Erfahrungen sammeln konnte.
Die Gleichungen
x3 = 0
(x-1)*(x 2 +1) = 0
(x-1)2 *(x-2) = 0
(x-1)*(x-2)*(x-3) = 0
zeigen uns, dass es Gleichungen 3. Grades gibt, die 1, 2, oder 3 Lösungen haben.
Bemerkung 12:
Mindestens eine reelle Lösung gibt es immer.
Das kann man einsehen, wenn man den Graph der Funktion y = a x 3 + b x 2 +c x +d untersucht.
Wenn man eine Gleichung vorliegen hat, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, so
hilft der folgende Satz weiter:
Definition 68:
Sind die Koeffizienten der Gleichung
x3 +b x2 + c x + d = 0
alle ganzzahlig, so sind alle Lösungen ganzzahlig und Teiler des Absolutglieds d.
93-271
Beispiel 66:
Gegeben ist die Gleichung
x3 + x 2 + 4 = 0
Die Teiler des Absolutglieds sind 1, -1, 2, -2, 4, -4
Positive Lösungen kann es sicher nicht geben, so wird also der Suchbereich eingeengt
auf -1, -2, -4.
(-1)3 + (-1)2 + 4 = 4
(-2)3 + (-2)2 + 4 = 0
(-4)3 + (-4)2 + 4 = -44
Wir haben also tatsächlich eine Lösung gefunden: x = -2
Nun können wir von der linken Seite der Gleichung den linearen Faktor (x + 2) a bspalten.
Dazu verwenden wir die Polynomdivision.
94-271
Polynomdivision
Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein algorithmisches, mathematisches Rechenverfahren. Das Verfahren verläuft analog zur üblichen und aus der
Schule bekannten Division von Zahlen mit Rest, nur dass hier statt zweier Zahlen zwei
Polynome durcheinander dividiert werden und als Ergebnis wieder zwei Polynome –
der „Ganzteil“ und der Rest der Division – stehen.
Definition 69:
Eine Anwendung ist das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn eine Lösung x n
zum Beispiel durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision
Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken.
Eine weitere Anwendung findet die Polynomdivision bei der Kurvendiskussion mit der
Bestimmung der Näherungskurven einer rationalen Funktion.
Rechenvorgang
Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden.
Man überlegt zuerst, wie oft (x+5) in das erste Polynom hineinpasst. Das ist hier n atürlich etwas unklarer als bei Zahlen.
Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen (also x³ aus
dem ersten und x aus dem zweiten Polynom) und fragt, wie oft x in x³ hineinpasst.
Anders gefragt: Mit was muss man x malnehmen, damit x³ herauskommt?
Natürlich mit x². Das ist das erste Glied unseres Ergebnisses:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
Hinweis: x³ = x·x²
Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebni sses mal den Divisor und schreibt ihn passend unter den Dividenden ("passend" b edeutet hier, gleiche Potenzen von x untereinander zu schreiben):
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
(x³ + 5x²)
Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·x²
Dabei wird (wie bereits erwähnt) darauf geachtet, dass gleiche Potenzen von x unte reinander stehen. Nun wird subtrahiert und (im Unterschied zur Division von Zahlen)
alles gleich "heruntergeholt":
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x²
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
95-271
Hinweis: x² = 6x² - 5x²
Aha: Der Rest hat nur noch den Polynomgrad 2! Durch den nächsten Schritt reduzi eren wir den Grad des Restes weiter, indem wir das x² aus dem Rest herauswerfen.
Wieder die Frage: Wie oft paßt das x aus dem Divisor in das x² (die höchste Potenz
des Restes)? Antwort: x-mal, denn x mal x ergibt x². Der nächste Summand des Quotienten (des Ergebnisses) ist + x.
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
Das x wird mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x) = (x+5)·x
-2x - 10
Frage: Wie oft passt x in -2x? Antwort: -2 mal. Also sind die nächsten Schritte, -2 an
das Ergebnis anzuhängen, mit (x+5) zu multiplizieren und das Produkt vom Rest abz uziehen:
(x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x - 2
-(x³ + 5x²)
x² + 3x - 10
-(x² + 5x)
-2x - 10
-(-2x - 10)
0 Es geht ohne Rest auf.
Beispiel 67:
(alle Aufgaben gehen ohne Rest auf)
1.)Teilen Sie (x3 + 3x 2 - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1)
2.)Teilen Sie (x 3 - 13x - 12) durch (x+3) , durch (x+1) und durch (x-4)
3.)Teilen Sie (x 4 + 6x 3 – 4x2 - 54x - 45) durch (x+5), (x+3), (x-3) und (x+1)
4.)Teilen Sie (x 7 - 1) durch (x - 1)
5.)Teilen Sie (9x 2 - 121) durch (3x + 11) und (3x - 11)
96-271
Beispiel 68:
Berechnen Sie
1.)
(6x 3 + 8x 2 – 7x – 3) : (3x + 1)
2.)
(–2x 4 – 9x 3 – 7x2 + 9x + 6) : (–2x3 – 5x2 + 3x + 3)
3.)
(6x 2 + 14x + 8) : (3x + 4)
4.)
(16/3x 5 + 64/5x 3 + 36/5x) : (8/3x 3 + 4x)
5.)
(3x 4 – 9x 3 + 7x 2 – 3x + 2) : (3x 2 + 1)
6.)
(2x 3 + 9/2x 2 + x) : (4x 2 + x)
7.)
(2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 10x 2 + 8x + 8) : (2x + 4)
8.)
(2x 4 – x 3 – 4x 2 – 3x – 9) : (2x + 3)
Lösung:
1.)
2x2 + 2x – 3
2.)
x+2
3.)
2x + 2
4.)
2x2 + 9/5
5.)
x2 – 3x + 2
6.)
1/2x + 1
7.)
x4 + 2x 2 + x + 2
8.)
x3 – 2x2 + x – 3
Beispiel 69:
Wir führen eine Polynomdivision durch
(x3 + x2 + 4) : (x+2) = x 2 - x + 2
x3 + 2 x2
- x2
- x2 -2x
2x+4
2x + 4
0
Auch hier ergibt sich also
x3 + x 2 + 4 = (x 2 - x + 2)*(x+2)
Unsere Gleichung ist also umgeformt zu
(x2 - x + 2)*(x+2) = 0
Jetzt kann man weitere Lösungen suchen, allerdings hat das Polynom x 2 - x + 2 keine
reellen Nullstellen.
Letztlich funktioniert diese Methode nur, wenn die Gleichung sehr „gutartig“ ist.
97-271
Biquadratische Gleichungen
Eine biquadratische Gleichung
⇔
ax4 + bx² + c = 0
a(x²)² + bx² + c = 0
wird wie folgt gelöst:
Definition 70:
Das Quadrat der Variablen wird durch eine neue Variable ersetzt (substituiere/ersetze
x² = y)
die entstehende quadratische Gleichung ay² + by + c= 0
gelöst und
die Substitution wieder rückgängig gemacht.
Beispiel 70:
2x4 – 3x² - 20 = 0
Substitution: x² = y
2y² - 3y – 20 = 0
also x² =
Lösen dieser Gleichung ergibt: y 1 =
5
oder x² = 4
2
L = 2,2
98-271
5
; y2 = 4
2
Lineare Gleichungssysteme
Eine Gleichung, die nur eine Unbekannte hat, kann man (in allen euch bekannten Fällen) nach dieser Unbekannten auflösen und somit die Lösungsmenge bestimmen. U nter der Lösungsmenge sind alle Zahlen zu verstehen, die man für die Unbekannte ei nsetzen kann, so dass die Gleichung wahr ist, also "stimmt".
Manche Fragestellungen beinhalten jedoch zwei oder mehr Unbekannte, wobei man
aber auch zwei oder mehr voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen kann.
Beispiel 71:
10a + 12b = 38
15a + 2b = 19,4
Leider kann man hier keine der einzelnen Gleichungen für sich genommen so nach
einer Variablen auflösen, dass man den Einzelpreis ablesen kann, denn man bekommt
die andere Variable nicht weg.
Man weiß aber, dass die zu findenden Lösungen für a und b für beide Gleichungen
gleichzeitig gelten müssen. Man hat hier dadurch ein System zweier Gleichungen mit
zwei Unbekannten.
Alle Verfahren, das Problem zu knacken, beruhen darauf, aus den n Gleichungen mit n
Unbekannten (wobei mit n die Anzahl der Gleichungen und Variablen gemeint ist) nur
noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen. Es gibt dabei im Wesentlichen neben dem Erraten und dem graphischen Lösungsverfahren vier algebraische
Verfahren:
Gleichsetzungsverfahren
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Eliminationsverfahren
Hat man mehr als zwei Gleichungen, dann führt in jedem Verfahren immer jeder ei nzelne Schritt zu einer Gleichung, die jeweils eine Variable weniger enthält.
99-271
Gleichsetzungsverfahren
Löst man die Gleichung (2) aus dem obigen Beispiel nach b auf, so erhält man:
b = -7,5a + 9,7.
Diese umgeformte Gleichung nennen wir sinnvollerweise (2').
Da auf der rechten Seite noch das a vorkommt, hängt b also von a ab. Immerhin kann
man hier für jeden Wert von a sofort ein zugehöriges b berechnen.
b = -7,5a + 9,7 beschreibt eine lineare Funktion beschreibt mit der Steigung -7,5 und
dem y-Achsenabschitt 9,7. Zu dieser Funktion kann man einen Graph zeichnen, der
eine Gerade ist.
Dasselbe kann man auch mit der ersten Gleichung durchführen: Auflösen nach b und
Zeichnen des zugehörigen Graphen
b = -5/6a + 19/6 (1').
Der Schnittpunkt beider Graphen ist der Punkt des gesuchten Lösungspaares (a|b),
denn er liegt auf beiden Graphen, und seine Koordinaten (a|b) "passen" somit in be ide Gleichungen. Wenn man einigermaßen genau zeichnet, kann man d ie Koordinaten
und damit die Preise ablesen.
Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnet man indem man die Funkt ionsterme gleich setzt. In unserem Beispiel sind die Funktionsterme
-7,5a + 9,7 und -5/6a + 19/6.
Man setzt sie also gleich und erhält dadurch eine Gleichung, die nur noch eine Unbekannte enthält. Man kann mit ihr also die Lösung für a bestimmen. Das ist das Gleic hsetzungsverfahren:
II' = I'
-7,5a + 9,7 = -5/6·a + 19/6
-45a + 58,2 = -5a + 19
58,2 = 40a + 19
39,2 = 40a
| ·6
| + 45a
| - 19
| : 40
0,98 = a
Mit diesem Wert kann man b leicht ausrechnen: Man muss nur in eine der beiden
nach b umgeformten Gleichungen für a den Wert 0,98 einsetzen:
Einsetzen in (1'):
b = -5/6·a + 19/6 = -5/6·0,98 + 19/6 = 2,35
Einsetzen in (2'):
b = -7,5·a + 9,7 = -7,5·0,98 + 9,7 = 2,35
100-271
Man wählt sinnvollerweise die angenehmere Gleichung, was hier sicherlich (2') ist.
Definition 71:
Das Gleichsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte:
Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.
Setze die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich.
Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.
Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 ein und
berechne so die andere Variable.
Beispiel 72:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
45x+75y=58,5 und
20x+40y=29
Lösung:
Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst.
45x+75y=58,5
|-45x
75y=-45x+58,5 |:75
y=-45/75+58,5/75
y=-0,6x+0,78
und
20x+40y=29 |-20x
40y=-20x+29
|:40
y=- ½ x+29/40
y=-0,5x+0,725
Deshalb wenden wir das Gleichsetzungsverfahren an und setzen beide Gleichungen
gleich und lösen sie nach x auf.
-0,6x+0,78=-0,5x+0,725
0,78=0,1+0,725
0,055=0,1x
|+0,6x
|-0,725
| 10
x=0,55
Nun brauchen wir diesen x-Wert nur noch in eine der beiden aufgelösten Gleichungen
einzusetzen und y berechnen.
x=0,55
y=0,45
101-271
Fallunterscheidungen
Beim Gleichsetzungsverfahren gibt es 3 Fallunterscheidungen:
1. Möglichkeit /1. Fall:
Es gibt ein Schnittpunkt und die Aufgabe hat nur eine Lösung, bzw. die Geraden h aben einen Schnittpunkt.
g1
g2
2. Möglichkeit / 2. Fall:
Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel.
g1
g2
3. Möglichkeit / 3. Fall:
Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist, d.h. die Graphen und ihre
Funktionsgleichungen sind identisch.
102-271
Das Einsetzungsverfahren
Gegeben sei das Gleichungssystem
5 - 4x = y
(1)
7x - 3y = 51,5
(2)
Wenn man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst hat, so weiß
man ihren Wert in Abhängigkeit von der anderen Variablen. In unserem Beispiel ist
Gleichung (1) bereits nach y aufgelöst. Alle y, die Lösung des Gleichungssystems sein
wollen, müssen gleich 5 - 4x sein.
Wenn man nun in der anderen Gleichung alle y durch diesen Term ersetzt, der nach
der ersten Gleichung gleich y ist, so erhält man eine Gleichung, die nur noch x enthält:
(2):
7x - 3y = 51,5
Für das y wird (5 - 4x) eingesetzt:
(1) in (2):
7x - 3(5 - 4x) = 51,5
Achtung:
Man muss den Term in Klammern setzen, denn sonst würde man nicht das "ko mplette" y (also 5 - 4x) mal -3 nehmen, sondern nur die 5.
Nun kann man wie oben die Gleichung nach x auflösen und das Resultat in (1) einse tzen, um y zu berechnen:
7x - 3(5 - 4x) = 51,5
| Klammer auflösen
7x - 15 + 12x = 51,5
| Zusammenfassen
19x - 15 = 51,5
| + 15
19x = 66,5
| : 19
x = 3,5
In (1):
y = 5 - 4x = 5 - 4·3,5 = -9
Definition 72:
Das Einsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte:
Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf. (Eventuell liegt eine geg ebene Gleichung schon passend vor. Verfahren Sie sonst so, dass Sie möglichst
keine oder zumindest "einfache" Brüche erhalten.)
Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.
Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so
die andere Variable.
103-271
Beispiel 73:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
(1) x=3y-2 und (2) 4x-9y=1
Lösung:
1. Schritt:
Einsetzen von x in I
4(3y-2)-9y=1
12y-8-9y=1 |+8
3y=9
|:3
y=3
2. Einsetzen von y in I
x=3 3-2=9-2=7
3. Angabe der Lösungsmenge
L={7; 3}
104-271
Additionsverfahren
Das Additionsverfahren dient dazu, ein "System" von zwei Gleichungen zu lösen, d.h.
herauszubekommen, welche Zahlen man für die beiden vorkommenden Variablen
einsetzen muss, damit die beiden Gleichungen aufgehen.
Zum Beispiel könnte man bei der Gleichung 4x + 3y = 10 für x=1 einsetzen und für
y=2, und dann würde die Gleichung aufgehen.
Man könnte aber auch für x=4 einsetzen und für y=-2, und es würde auch gehen. Es
gibt bei einer Gleichung zumeist unendlich viele solcher Lösungen, wenn sie zwei Unbekannte hat.
Wenn die Lösung, also die Werte für x und y, allerdings noch eine zweite Gleichung
erfüllen sollen, dann gibt es in den meisten Fällen nur eine einzige Möglichkeit. So lche zwei zusammengehörenden Gleichungen nennt man dann "Gleichungssystem".
Beispiel 74:
4x + 3y = 10
-5y = 2x - 19
Jetzt formt man erst mal beide Gleichungen so um, dass alle Variablen auf der linken
Seite stehen, d.h. bei der zweiten Gleichung müssen die 2x auf die linke Seite g ebracht werden:
4x + 3y = 10
-5y = 2x - 19
| -2x
4x + 3y = 10
-2x - 5y = -19
Durch irgendein Verfahren muss nun aus diesen ZWEI Gleichungen, die jeweils BEIDE
Variablen enthalten, eine einzige gemacht werden, die nur noch eine enthält. Beim
Additionsverfahren werden beide Gleichungen entweder addiert oder voneinander
subtrahiert, das kommt auf die Faktoren an. Dazu später mehr.
Beim Addieren zweier Gleichungen müssen die Faktoren vor den Variablen und die
Zahlen getrennt behandelt werden:
Wenn man die beiden Gleichungen 4x + 3y = 10 und -2x - 5y = -19 addiert, dann addiert man also die beiden Faktoren vor dem x getrennt:
4 + (-2) = 4 - 2 = 2
Für y sieht es so aus:
3 + (-5) = 3 - 5 = -2;
und für die einzelnen Zahlen so:
10 + (-19) = 10 - 19 = -9.
105-271
Die Addition der beiden Gleichungen ergibt damit:
4x + 3y = 10
+
-2x - 5y = -19
=
2x - 2y = -9
Damit ist aber, wie man sieht, keine Variable verschwunden, d.h. wir haben immer
noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten!
Das ganze sähe aber schon viel besser aus, wenn z.B. bei der zweiten Gleichung vor
dem x eine -4 stehen würde, dann fiele nämlich das x heraus, denn 4 + (-4) = 4 - 4 = 0!
Und so multipliziert man einfach die komplette zweite Gleichung mit 2:
4x + 3y = 10
-2x - 5y = -19 | ·2
4x + 3y = 10
-4x - 10y = -38
Addieren ergibt jetzt:
0x - 7y = -28
also: -7y = -28
Damit kann y bestimmt werden:
-7y = -28
| : (-7)
y=4
Jetzt wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen für y eingesetzt, und
diese Gleichung wird nach x aufgelöst:
4x + 3y = 10
4x + 3·4 = 10
4x + 12 = 10 | - 12
4x = -2
|:4
x = -0,5
Zur Probe die herausgefundenen Werte in beide Gleichungen einsetzen und überpr üfen, ob es stimmt:
1. Gleichung:
4x + 3y = 10
4·(-0,5) + 3·4 = 10
-2 + 12 = 10
stimmt.
106-271
2. Gleichung:
-2x - 5y = -19
-2·(-0,5) - 5·4 = -19
1 - 20 = -19
stimmt auch.
Beispiel 75:
3x + 4y = -12
4x - 7y = 21
Ein immer funktionierender Trick ist bei solchen Situationen, jede Gleichung mal den
entsprechenden Faktor in der anderen Gleichung zu nehmen. Die erste Gleichung
wird also mal 4 genommen, weil in der zweiten Gleichung 4x auftreten. Die zweite
Gleichung wird mal 3 genommen, da in der ersten 3x auftreten:
3x + 4y = -12
·4
4x - 7y = 21
·3
12x + 16y = -48
12x - 21y = 63
Nun bringt Addieren in diesem Falle nichts, denn dadurch bekäme man 24x. Hier muss
nun subtrahiert werden! Wir ziehen die zweite von der ersten Gleichung ab und e rhalten:
Bei x:
12x - 12x = 0x, x fällt also weg!
Bei y:
16y - (-21y) = 16y + 21y = 37y
Bei den Zahlen:
-48 - 63 = —111
also:
12x + 16y = -48
—
12x - 21y = 63
=
37y = -111
| :37
y = -3
Einsetzen in zweite Gleichung:
4x - 7y = 21
4x - 7·(-3) = 21
4x + 21 = 21
4x = 0
| -21
| :4
x=0
Probe:
1. Gleichung:
107-271
3x + 4y = -12
3·0 + 4·(-3) = -12
0 - 12 = -12 stimmt.
2. Gleichung:
4x - 7y = 21
4·0 - 7·(-3) = 21
Definition 73:
Das Additionsverfahren erfordert folgende Schritte:
Beide Gleichungen so umformen, dass die Variablen (mit ihren Faktoren) auf
einer Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und auf der anderen Seite
(rechts) eine einzelne Zahl.
Suche jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor x und vor y.
Wähle die Variable aus, bei der das kleinere kgV auftritt, und multipliziere beide
Gleichungen so, dass vor dieser Variablen jeweils gleiche Faktoren stehen (das
ist dann nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache).
Man kann auch ohne Umschweife die erste Gleichung mit dem Faktor vor dem x
der zweiten Gleichung multiplizieren und umgekehrt.
Falls die (betragsmäßig gleichen) Faktoren das selbe Vorzeichen haben, dann
subtrahiere die Gleichungen voneinander. Wenn sie unterschiedliche Vorzeichen
haben, dann addiere sie.
Dies geschieht komponentenweise, d.h. die Faktoren vor x werden untereina nder addiert, die Faktoren vor dem y (oder entsprechenden anderen Variablen),
und die einzelnen Zahlen werden für sich behandelt.
Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Diese wird nun durch
normale Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst.
Der erhaltene Wert wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweil ige Variable eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch
eine Variable, nämlich die andere, enthält.
Nach dieser auflösen!
Probe machen, indem die Lösungen in beide Gleichungen eingesetzt werden. Die
Lösungen stimmen nur dann, wenn beide Gleichungen "aufgehen".
Definition 74:
Der Grad gibt an, wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte das Gleichungssy stem hat; im Falle 3 also drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
108-271
Beispiel 76:
3a - b = c
a + 2c = 4 - 4b
2b + c = 1
Es kommt relativ häufig vor, dass nicht in allen Gleichungen alle Variablen vorko mmen. Hier fehlt z.B. in III das a. Man kann nun diese 3. Gleichung ausnutzen, um in I
und II c zu eliminieren (eliminieren = auslöschen). Dazu lösen wir sie zunächst nach c
auf, um sie dann in I und II einzusetzen:
III:
2b + c = 1 | - 2b
III': c = 1 - 2b
in I: 3a - b = c
3a - b = 1 - 2b | +2b
3a + b = 1
in II: a + 2c = 4 - 4b
a + 2(1 - 2b) = 4 - 4b
a + 2 - 4b = 4 - 4b
| +4b -2
a=2
Damit sind zwei Gleichungen mit insgesamt zwei Unbekannten (a und b) entstanden,
also dieses Gleichungssystem:
3a - b = 1 - 2b
a=2
Freundlicherweise kommt in der zweiten Gleichung gar kein b mehr vor, womit die
Lösung für a schon bekannt ist und in die erste eingesetzt werden kann, um b zu b erechnen:
3a + b = 1
3·2 + b = 1 | -6
b = -5
Mit den nunmehr bekannten Werten für a und b kann c berechnet werden. b allein
reicht dafür auch schon aus, da in III' kein a vorkommt:
in III': c = 1 - 2b
c = 1 - 2·(-5) = 1 + 10 = 11
Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung
Das folgende Gleichungssystem hat keine Lösung:
109-271
x - z = 2y - 5
y - 4x + z = 6
2x + 3y = 3 - z
I:
x - z = 2y - 5
I':
x = 2y + z - 5
| +z
in II: y - 4(2y + z - 5) + z = 6
-7y - 3z + 20 = 6
II':
| -20
-7y - 3z = -14
in III: 2(2y + z - 5) + 3y = 3 - z
III'
7y + 2z - 10 = 3 - z
| +z
7z + 3z - 10 = -3
| ·(-1)
-7z - 3z + 10 = -3
| -10
-7y - 3z = -13
Vergleiche II' mit III'. Die linken Seiten sind identisch, die rechten jedoch nicht. Weit eres Gleichsetzen führt auf die falsche Aussage -14 = -13. In solchen Fällen existiert
keine Lösung.
Wäre dagegen das Gleichungssystem so gegeben:
x - z = 2y - 5
y - 4x + z = 7
2x + 3y = 3 - z
dann bekommt man mit analogen Schritten
...
II':
-7y - 3z = -14
...
III'
-7y - 3z = -14
Also zwei identische Gleichungen. Man sagt in einem solchen Fall, die Gleichungen
sind linear abhängig. Tatsächlich erhält man III, wenn man I+2·II bildet. Man hat demnach eigentlich nur zwei unabhängige Gleichungen mit drei Unbekannten und kann
keine eindeutige Lösung ermitteln.
Man geht in diesen Fällen von einer freien Variablen aus, z.B. z, und beschreibt die
übrigen in Abhängigkeit von ihr: y = 2 - 3/7·z, x = 1/7·z - 1.
110-271
Beispiel 77:
Gleichungssystem mit vier Unbekannten lösen
I:
6p - q + m = 12n - 5
II: -2q - 8 = -6p + 8n - 2m
III: 2m = 4n - 3p + 5
IV: 3p = 9 + 4n + q
Gleichung IV nach q auflösen:
3p = 9 + 4n + q
IV': q = 3p - 4n - 9
IV' in I:
6p - q + m = 12n - 5
6p - (3p - 4n - 9) + m = 12n - 5
6p - 3p + 4n + 9 + m = 12n - 5
| +5 -4n
I': 3p + 14 + m = 8n
IV' in II:
-2q - 8 = -6p + 8n - 2m
-2(3p - 4n - 9) - 8 = -6p + 8n - 2m
-6p + 8n + 18 - 8 = -6p + 8n - 2m
10 = -2m
-5 = m
| -8n +6p
| :(-2)
sehr schön!
in I':
3p + 14 + (-5) = 8n
3p + 9 = 8n
p = 8/3n - 3
III: 2m = 4n - 3p + 5
2(-5) = 4n - 3(8/3n - 3) + 5
-10 = 4n - 8n + 9 + 5
-10 = -4n + 14
-24 = -4n
| -14
| :(-4)
111-271
6=n
p = 8/3n - 3
(siehe oben)
p = 8/3·6 - 3
p = 13
IV': q = 3p - 4n - 9 = 3·13 - 4·6 - 9 = 6
Derartige Gleichungssysteme löst man systematischer mit dem ®Gaußschen Verfahren
Beispiel 78:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.
6y=9x-81 und 6x-4y=12
Lösung: L={}
Lösung:
1. Schritt:
Rechnung:
6y=9x-81
|:6
y=1 ½ x-13 ½
6x-4y=12
|-6x
-4y=-6x+12 |:(-4)
y=-1 ½ x-3
2. Gleichsetzen von I und II
1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½
1 ½ x=1 ½ x+10 ½
|-1 ½ x
10 ½=0
3. Angabe der Lösungsmenge
L={}
112-271
Beispiel 79:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen
4x-7y=41 und 5x+3y=63
{
}
Lösung:
1. Schritt:
4x-7y=41
|-4x
-7y=-4x+41 |:(-7)
4
6
y= x+5
7
7
5x+3y=63 |-5x
3y=-5x+63 | :3
2
y=-1 x+21
3
2. Gleichsetzen von I und II
4
6
2
6
x-5 =-1 x+21 |+5
7
7
3
7
4
2
6
2
x=-1 x+26
|+1 x
7
3
7
3
47 168
47
x=
|:
21
7
21
3
x=
4
3. Einsetzen von x in I
4 3 6 3 6
3
-5 = -5 =-5
7 4 7 7 7
7
4. Angabe der Lösungsmenge
{
}
Beispiel 80:
113-271
Fallunterscheidung mit Beispielen
Die 3 Fallunterscheidungen gibt es auch bei dem Gleichsetzungsverfahren. Hier möc hte ich Ihnen die ganzen Fälle mit Beispielen zeigen
1. Möglichkeit:
Es gibt einen Schnittpunkt und die Gleichung hat nur eine Lösung.
g1
g2
Beispiel 81:
6x+14y+8=0 und 8y=x-9
1. Schritt:
Rechnung:
6x+14y+8=0 |-8
6x+14y=-8 |-6x
14y=-6x-8 | :14
3 4
y=- x7 7
8y=x-9 | :8
1
1
y= x-1
8
8
2. Gleichsetzen von I und II
3 4 1
1
- x- = x-1 | 56
7 7 8
8
-24x-32=7x-63 |+32
-24x=7x-31
|-7x
-31x=-31
|:(-31)
x=1
3. Einsetzen von x in I
3
4 3 4
- 1- =- - =-1
7
7 7 7
4. Angabe der Lösungsmenge
L={1; -1}
114-271
2. Möglichkeit:
Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel.
g1
g2
Die Lösungsmenge ist dann L={}.
Beispiel 82:
6y=9x-81 und 6x-4y=12
1. Schritt:
Rechnung:
6y=9x-81 |:6
y=1 ½ x-13 ½
6x-4y=12 |-6x
-4y=-6x+12 | :(-4)
y=1 ½ x-3
2. Gleichsetzen von I und II
1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½
1 ½ x=1 ½ x+10 ½
|-1 ½ x
x=0
3. Angabe der Lösungsmenge
L={}
Wenn die Funktionsgleichungen das gleiche m, aber ein unterschiedliches b haben,
verlaufen die Graphen parallel.
3. Möglichkeit:
Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist. D.h. die Graphen und ihre
Funktionsgleichungen sind identisch. Und die Graphen „liegen aufeinander“.
Die Lösungsmenge ist dann L={(x; y)|y=8x+3; x R }
Beispiel 83:
2x+ y=4 und 10x+7,5y=20
1. Schritt:
115-271
Rechnung:
2x+ y=4
|-2x
y=-2x+4 |:
y=- x+
10x+7,5y=20 |-10x
7,5y=-10x+20 | :7,5
y=- x+
2. Gleichsetzen von I und II
- x+ =- x+
|+ x
=
L={(x; y)|y=- x+ }
Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren
I 4x-7y=28
II 2x-12=2y
Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man die II Gleichung nur
noch durch 2 dividieren muss.
I 6x+11y=31
II -2x-7y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die II Gleichung nur noch
mit 3 multiplizieren muss.
I 3x+40=y
II y=12-5x
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die beiden Gleichu ngen gleichsetzen kann, sie sind schon nach y umgeformt.
I y=4x-7
II 2x-12y=9
Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man y gleich in die I I Gleichung einsetzen kann.
I 4x-9y=3
II -8x-4y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die I Gleichung nur noch
mit –2 multiplizieren muss.
I x=-4y+9
II -7y-8=x
116-271
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Glei chung gleichsetzen kann.
I -7x-9y=4
II 7x-8y=12
Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man y gleich auflösen kann.
I 9x-4y=8
II -18y-4x=7
Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Gleichungen
gleichsetzen kann.
117-271
Der Gauß‘sche Algorithmus
Dieses Verfahren dient zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
Es eignet sich zur Bestimmung einer speziellen Lösung als auch zur Angabe der g esamten Lösungsmannigfaltigkeit.
Durch moderne Rechneranlagen lässt sich das Gauß‘sche Eliminationsverfahren sehr
gut durchführen und hat deshalb an Bedeutung gewonnen.
Seine Idee besteht darin, aus einem System von m linearen Gleichungen mit n Variablen m-1 Gleichungen so umzuformen, dass eine der Variablen, etwa x1 , in diesen m-1
Gleichungen nicht mehr vorkommt, also eliminiert wird.
Aus m-2 von diesen m-1 neuen Gleichungen lässt sich nun z.B. x2 entfernen. Indem
man so fortfährt, erhält man schließlich eine einfach zu lösende Gleichung, die nur
noch eine Variable xn aufweist.
Das Gleichungssystem lässt sich dann einfach nach allen anderen Variablen auflösen,
da immer nur eine unbekannte Variable vorhanden ist.
Rechenschema:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 a 24 x 4 b2
a31 x1 a32 x 2 a33 x3 a34 x 4 b3
a 41 x1 a 42 x 2 a 43 x3 a 44 x 4 b4
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
a x2 a x a x4 b
'
22
'
23 3
'
24
'
2
'
'
'
a32
x 2 a33
x3 a34
x 4 b3'
'
'
'
a 42
x 2 a 43
x3 a 44
x 4 b4'
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
x2 a x a x4 b
'
23 3
'
24
'
2
''
''
a33
x3 a34
x 4 b3''
''
''
a 43
x3 a 44
x 4 b4''
x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1
x2 a x a x4 b
'
23 3
'
24
'
2
''
x3 a34
x 4 b3''
x 4 b4'''
1
2
3
4
1'
2'
3'
4'
1' '
2' '
3' '
4' '
1' ' '
2' ' '
3' ' '
4' ' '
118-271
Im allgemeinen Teil wird ein Gleichungssystem mit 4 Variablen veranschaulicht:
(1‘) erhalten wir durch Division von (1) durch a 11 (Vor. a 11 ≠0)
Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 21 und subtrahieren von (2) und erhalten (2‘).
Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 23 und subtrahieren von (3) und erhalten (3‘).
Entsprechend erhält man (4‘)
Anschließend wird (2‘) zu (2‘‘) vereinfacht und zur Umformung von (3‘) in (3‘‘) und
von (4‘) in (4‘‘) verwendet.
Dies wird analog bis ( 4‘‘‘) fortgesetzt, so dass man nach der Variablen auflösen kann.
119-271
Beispiel 84:
x1
2 x3 x 4 11
(1)
4 x1 x 2 3x3 2 x 4 23
( 2)
3x1 2 x 2 x3
(3)
x4 6
x1 x 2 x3 2 x 4 14
x1
1
x2
0
x3
2
x4
1
4
3
1
2
3
1
2 23
1
6
1
1
1
2
x1
x2
x3
x4
1
0
0
1
2
1
11
5 2 21
0
0
2
1
5 4 27
1 1
3
x1
1
x2
0
x3
2
0
0
0
1
0
0
5 2 21
5
0
15
4
3
24
x1
x2
x3
1
0
0
0
1
0
2
1
11
5 2 21
1
0
3
0
0
04
3
12
x1
1
x2
0
x3
2
x4
1
b
11
0
0
0
1
0
0
5 2 21
1
0
3
0
1
4
( 4)
b
11
x4
1
x4
14
b
b
11
b
1 * x4 4 x4 4
1 * x3 0 * x 4 3 x3 3
1 * x 2 5 * x3 2 * x 4 21 x 2 2
1 * x1 0 * x 2 2 * x3 1 * x 4 11 x 2 1
120-271
Sonderfälle:
Unlösbare Gleichungssysteme
4 x3 2 x 4 14
2 x1
4 x1 x 2 3 x3 2 x 4 15
3 x1 2 x 2 x3 x 4 10
x1 x 2 x3 x 4 10
x1
2
x2
0
x3
4
x4
2
4
3
1
1
2
1
3
1
1
2 15
1 10
1 10
x1
x2
x3
1
0
0
1
2
1
7
5 2 13
0
0
2
1
5 4 11
1 2 3
x1
1
x2
0
x3
2
0
0
1
0
5 2 13
5
0
15
0
0
4
0
16
x1
x2
x3
x4
b
1
0
0
1
2
1
7
5 2 13
0
0
0
0
1
0
x4
x4
1
0
0
b
14
b
b
7
3
4
0 4 Widerspruch Gleichungssystem unlösbar
Entsteht bei einer Umformung ein Widerspruch, so ist das Gleichungssystem
unlösbar.
Handelt es sich bei dem Gleichungssystem um ein homogenes System (rechte
Seite = 0), so kann dieser Fall nicht auftreten.
121-271
Das Gleichungssystem hat mehrere Lösungen
x1
x2
x3
x4
b
2
0
4
2
14
4
3
1
2
3
1
2 15
1 10
1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
1
0
0
1
2
1
7
5 2 13
0
2
5 4 11
0
1
1 2
1
x1
1
x2
0
x3
2
b
7
0
1
5 2 13
0
0
5
0
15
0
0
4
0
12
x1
x2
x3
x4
b
1
0
2
1
7
0
1
0
0
x4
1
6
b
5 2 13
1
0
3
0 0
0
0
0
0´ 0 x 4 ist frei wählbar
x4 p
x3 3
x 2 5 3 2 p 13
x2 2 2 p
x1 2 3 1 p 7
x1 1 p
Gleichungen, die auf beiden Seiten 0 sind, können gestrichen werden. Reichen die
verbleibenden Gleichungen nicht aus zur Auflösung, so sind eine oder mehrere Var iablen frei wählbar.
122-271
Beispiel 85:
Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems.
I
3x-y+4z=12
II
x-2y+z=5
III
6x-4y+3z=16
Lösung: L={1; -1; 2}
Lösung:
I
3x-y+4z=12
II
x-2y+z=5
III
6x-4y+3z=16
| (-3)
I
3x-y+4z=12
II
5y+z=-3
III
| (-2)
|2
|5
-2y-5z=-8
I
3x-y+4z=12
II
5y+z=-3
III
+
-23z=-46
-23z=-46 | :(-23)
z=2
III in II :
5y+2=-3 |-2
5y=-5
| :5
y=-1
y=-1 und z=2 in I
3x-(-1)+4 2=12
|-9
3x=3
|:3
x=1
Angabe der Lösungsmenge
L={1; -1; 2}
123-271
Beispiel 86:
Beispiel 87:
124-271
Beispiel 88:
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
Werden genauso gelöst.
125-271
Ungleichungen
Formulierungen wie 2 3 ; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie
können auch eine Variable (oder mehrere ) enthalten, z.B. x + 3 18 – x.
Beispiel 89:
x+39
Hier tauchen Probleme auf!
- Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9.
- Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden?
Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst
Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann:
x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5.
Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen
Sinn:
≦kleiner als oder gleich ( auch )
≧ größer als oder gleich ( auch )
Für die obigen Beispiele bedeutet dies:
zu 1. x + 3 ≦9 : neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3
=9.
zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 .
Definition 75:
Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung.
Lineare Ungleichungen
Definition 76:
Grundgedanke:
Man formt mit Äquivalenzumformungen komplizierte Ungleichungen so um, dass man
einfachere Ungleichungen erhält, aus denen man die Lösungsmenge ablesen kann.
Durch Äquivalenzumformungen wird die Lösungsmenge der Ungleichung nicht verändert.
Definition 77:
1. Äquivalenzumformung
Addiert man zum Linksterm und zum Rechtsterm die gleiche Zahl a (a Q), so verändert man die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.
Die gleiche Regel gilt auch für die Subtraktion.
126-271
Beispiel 90:
x + 6 14
/ -6
(Auf beiden Seiten 6 subtrahieren.) G = Q
x + 6 – 6 14 – 6
(Zusammenfassen.)
x8
(Lösungsmenge angeben.)
L = {x| x 8}
(Die Lösungsmenge kann nicht in aufzählender
Form angegeben werden. Man wählt die beschreibende Form: L = { x | x8}
Beispiel 91:
x – 4 29
/ +4
G=Q
x – 4 + 4 29 + 4
x 33
= { x | x 33}
Definition 78:
2. Äquivalenzumformung
Liest man eine Aussageform von rechts nach links, so erhält man eine dazu äquivale nte Aussageform.
Beispiel 92:
17 x – 9
/ +9
7+9x–9+9
26 x
x 26
L = { x | x 26 }
Definition 79:
3. Äquivalenzumformung
Multipliziert man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung mit der gle ichen positiven Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur ursprünglichen Ungle ichung äquivalent ist.
Die Regel gilt ebenfalls für die Division mit einer positiven Zahl.
!!! Achtung: Die Multiplikation mit der Zahl 0 ist keine Äquivalenzumformung.
127-271
Beispiel 93:
4x 34
/:4
(Beide Seiten durch 4 teilen.)
G=Q
4x : 4 34 : 4
x 8,5
L = { x | x 8,5 }
Definition 80:
3. Äquivalenzumformung
Multipliziert (bzw. dividiert) man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung mit der gleichen negativen Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur u rsprünglichen äquivalent ist, wenn man durch bzw. durch ersetzt und umgekehrt. (Inversionsgesetz)
Beispiel 94:
2,5 x 6,25 / : (2,5) [Beide Seiten durch ( 2,5) dividieren] G = Q
x 2,5
! Achtung: Das Zeichen kehrt sich um!
L = { x| x 2,5}
Quadratische Ungleichungen
Für das Lösen quadratischer Ungleichungen gelten die gleichen Regeln, die bereits
vom Lösen von Ungleichungen bekannt sind.
Zuerst betrachten wir an einigen Beispielen die Äquivalenzumformungen für Ungle ichungen:
Addition / Subtraktion der gleichen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung:
Beispiel 95:
x2 4 12
| 4
x2 16
|
x 4,
bzw.
also
4 x4
x 4;4
Beispiel 96:
x2 7 16
| 7
x2 9
|
x 3,
bzw.
also
x 3 oder x 3
x ;3 3;
128-271
Beispiel 97:
x 32 9 16
| 9
x 32 25
|
x3 5
Positiven und negativen Fall betrachten:
x 3 5 oder x 3 5
also
x 8 und x 2
bzw.
x 8;2
Addition / Subtraktion des gleichen Vielfachen einer Variablen auf beide n Seiten:
Beispiel 98:
x2 7x 4 3x
| 3x
x2 4x 4 0
|
x 22 0
Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also für alle x R erfüllt.
Beispiel 99:
3x2 2x2 1
| 2 x 2
x2 1
|
x 1,
bzw.
also
1 x 1
x 1;1
Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) positive(n) Konstante auf beiden Seiten:
Beispiel 100:
0,5x2 18
| 2
x 2 36
|
x 6,
bzw.
also
6 x6
x 6;6
129-271
Beispiel 101:
3x2 12 12x
|: 3
x2 4 4 x
| 4 x
x2 4x 4 0
x 22 0
Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also unlösbar.
Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) negative(n) Konstante auf beiden Seiten, wobei jedoch das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss!
Beispiel 102:
15 x 2 20
| 5
x2 100
|
x 10 ,
bzw.
also
10 x 10
x 10;10
Beispiel 103:
4x2 12x 9 25 |: 4
x 2 3x 94
x 32 2 254
x 32
25
4
|
5
2
x 32 52 oder x 32 52
also
x 1 oder x 4
bzw.
x ;1 4;
Bei Multiplikation mit dem / Division durch das Vielfache(n) einer Variablen könnte
diese Variable prinzipiell einen positiven oder einen negativen Wert besitzen; da man
i.a. aber nicht weiß, welcher Fall vorliegt, ist eine Fallunterscheidung notwendig:
130-271
Beispiel 104:
x
4
x
| x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
x2 4
oder
x2 4
x 2
oder
x 2
x2
oder
x2
x 2 (!)
oder
x2
bzw.
x ;2 0;2
Beispiel 105:
20 x
9
5x
| 5x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
100x2 9
oder 100x2 9
10 x 3
oder
10 x 3
oder 10 x 3
x 0,3 (!)
oder
bzw.
10 x 3
x 0,3
x 0,3;0 0,3;
131-271
Beispiel 106:
1
4
x3 8x x 2
x x2 32 4x2
| 4 und Ausklammern von x
|: x
I. Fall: x 0
oder II. Fall: x 0
x2 32 4x
oder
x2 32 4x
x2 4x 32 0
oder
x2 4x 32 0
x 4 x 8 0
oder
x 4 x 8 0
Im letzten Schritt wurde jeweils die linke Seite der Ungleichung faktorisiert. Dazu ist
natürlich die Kenntnis der Nullstellen. nötig; man erhält sie entweder mit Hilfe des
Satzes von Vieta oder über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen .
Nun ist aber der Wert eines Produktes genau dann negativ, wenn beide Faktoren ve rschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv, wenn beide Faktore n das gleiche Vorzeichen haben. Wir betrachten die obigen Fälle nochmals gesondert und e rhalten ...
im I. Fall ( x 0 ):
( x 4 0 und x 8 0 )
oder ( x 4 0 und x 8 0 )
( x 4 und x 8 )
oder ( x 4 und x 8 )
Insgesamt im I. Fall also:
4 x 0 oder x 8
im II. Fall ( x 0 ):
( x 4 0 und x 8 0 )
oder ( x 4 0 und x 8 0 )
( x 4 und x 8 )
oder ( x 4 und x 8 )
x 4
oder
Insgesamt im II. Fall also:
x8
x8
Die Ungleichung wird also gelöst, wenn 4 x 0 oder x 8 .
Um die Betonung vor allem auf die genannten Äquivalenzumformungen zu legen, w aren alle vorangegangenen Beispiele so gewählt, dass sie si ch ohne große Mühe lösen
ließen. Erst im letzten Beispiel ist die wesentliche
Strategie zur Lösung von quadratischen Ungleichungen zu erkennen:
132-271
Definition 81:
Zuerst bringt man alle Summanden auf die linke Seite der Ungleichung.
Der dabei entstandene Term ax2 bx c (im obigen Beispiel x2 4x 32 ) wird faktorisiert. Dazu muss man zuerst seine Nullstellen bestimmen.
Das Produkt x x1 x x2 (im obigen Beispiel x 4 x 8 ) ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv,
wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben. Dieser Ansatz führt schließlich
auf die Lösung der Ungleichung.
Beispiel 107:
x2 12 8x
| 8x
x2 8x 12 0
NR:
x1/ 2 8
x2 8x 12 0
6448
2
824 4 2
x1 2 , x2 6 ;
x 2 x 6 0
Die Faktoren müssen also verschiedene Vorzeichen besitzen:
( x 2 0 und x 6 0 )
oder ( x 2 0 und x 6 0 )
( x 2 und x 6 )
oder ( x 2 und x 6 )
also
x 2;6
Dies kann man auch schön am Graphen interpretieren,
denn die Ungleichung x2 8x 12 0 beschreibt diejenigen x-Werte, für welche f x x2 8x 12 negative
Werte annimmt, also die zugehörige Parabel unterhalb
der x-Achse verläuft.
Alternativ könnten als Lösungsweg also auch die Nullstellen. der entsprechenden Funktion bestimmt werden
und anschließend die Bereiche des Graphen, die durch
die Ungleichung beschrieben werden.
Im folgenden Beispiel werden beide Lösungswege dargestellt!
133-271
Beispiel 108:
2x2 3x 14
| 3x 14
2x2 3x 14 0
NR:
2x2 3x 14 0
x1/ 2 3
9112
4
3411
x1 2 , x2 3,5 ;
1. Weg:
x 2 x 3,5 0
Die Faktoren müssen also das gleiche Vorzeichen besitzen:
( x 2 0 und x 3,5 0 ) oder ( x 2 0 und x 3,5 0 )
( x 2 und x 3,5 )
oder ( x 2 und x 3,5 )
x 2
oder
also
x 3,5
x ;2 3,5;
2. Weg:
Die zugehörige Funktion f x 2x2 3x 14 haben wir schon in einem
vorherigen Beispiel. betrachtet, rechts ist nochmals ihr Graph abgebildet.
Die Ungleichung 2x2 3x 14 0 beschreibt diejenigen x-Werte, an denen die Funktion nicht-negative Werte annimmt. Dem Graphen entnimmt man, dass dies „außerhalb“ der Nullstellen. der Fall ist.
Liegt der Graph nicht vor, so überlegt man sich entweder, dass die Parabel nach oben
geöffnet sein muss (weil der Koeffizient von x 2 , nämlich 2, positiv ist), oder behilft
sich mit einfachem Ausprobieren, indem man einen Wert zwischen den beiden Nullstelle einsetzt, am einfachsten hier z.B. x 0 ; man erhält f 0 14 , und da dieser Wert
negativ ist, weiß man, dass die Parabel zwischen den Nullstelle unterhalb der x-Achse
verlaufen muss, außerhalb der Nullstelle also oberhalb der x-Achse.
Diese Bereiche „außerhalb“ (und inklusive) der Nullstelle. sind nun aber – genau wie
auch im obigen Lösungsweg bestimmt – die Bereiche mit x 2 oder x 3,5 . Also
erhalten wir auch hier:
x ;2 3,5;
134-271
Bruchungleichungen
Definition 82:
Es gelten die Äquivalenzumformungen für Ungleichungen.
Da die Variable im Nenner vorkommen kann, muss eine Definitionsmenge auf jeden
Fall angegeben werden.
Es muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
Bemerkung 13:
Bevor wir mit Rechnungen beginnen, sollten zwei wichtige Dinge geklärt werden.
1. Was ist ein Bruchterm und
2. Was ist eine Bruchungleichung? Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch,
dessen Nenner - das ist die Zahl unter dem Bruchstrich - eine Variable enthält. Und
eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält.
Bruchungleichungen lassen sich wie auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformu ngen lösen.
Zuvor muss jedoch ein Blick auf die Nenner der Bruchungleichungen geworfen werden, um die Definitionsmenge zu bestimmen.
Es gilt:
Es darf kein Wert für eine Variable eingesetzt werden, welcher zu einer Division durch
Null führt.
Zu bestimmen sind also die Nennernullstellen, denn genau diese Werte gehören nicht
zur Definitionsmenge.
Ebenfalls zu beachten ist, dass bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder
bei der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden
muss.
Wird eine Bruchungleichung mit einer Variablen multipliziert oder durch sie dividiert,
muss eine Fallunterscheidung gemacht werden.
135-271
Beispiel 109:
Zunächst bestimmen wir die Definitionsmenge. So darf x = 5 nicht in die Ungleichu ngen eingesetzt werden, da sonst eine Division durch Null erfolge n würde. Im Anschluss überlegen wir uns die Bedingungen, für die ein Bruch größer als Null wird.
Dies ist der Fall Nr. 1, wenn Zähler und Nenner größer Null werden oder Fall Nr. 2,
wenn Zähler und Nenner kleiner Null werden. Fall 1 und Fall 2 werden berech net und
die jeweils schärfere Bedingung wird angesetzt ( Es wird die Bedingung genommen,
welche die andere mit einschließt ).
136-271
Beispiel 110:
1.Schritt: Definitionsbereich bestimmen
2.Schritt: Mit Nenner (3x–2) multiplizieren (Fallunterscheidung nötig)
3.Schritt: Brüche kürzen: Brüche fällen weg
4.Schritt: Ungleichungssysteme lösen
5.Schritt: Lösungsmenge bestimmen (Vereinigungsmenge der Lösungen)
137-271
Betragsungleichungen
Definition 83:
Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit
Hilfe einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung
oder Ungleichung gelöst werden kann.
Beispiel 111:
|
|
Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.
1. Fall:
{
}
2. Fall:
{
}
{
}
138-271
Matrizen
Definition 84:
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema.
Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und
senkrecht verlaufenden Spalten.
Verdeutlichung am Beispiel:
Bemerkung 14:
Eine Matrix besteht aus reellen Zahlen, die man Elemente nennt. Z.B. sind die
Elemente a 21 und a 22 Elemente der Matrix oben, genauer gesagt die Elemente
der zweiten Zeile der Matrix.
Eine Matrix wird in runde Klammern geschrieben.
Eine Matrix wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet, deren Elemente mit
kleinen Buchstaben. Beispiel: Die Matrix A besteht aus den Elementen a 11 , a 12 ,
a 21 , ...
Anhand der Bezeichnung des Elementes kann man erkennen, zu welcher Matrix
es gehört, am Index eines Elementes kann man erkennen, in welch er Zeile und
Spalte das Element steht: z.B. ist das Element a 32 in der 3.Zeile und 2.Spalte der
Matrix A zu finden.
Weites Beispiel: Das Element c 97 steht in der 9.Zeile und 7.Spalte der Matrix C.
Weitere Bezeichnungen:
Definition 85:
Für die Matrix A (siehe Bild) gibt es eine kürzere Schreibweise:
A=(a ik) mit 1<i<3 und 1<k<2. Oder noch kürzer: A=(a ik) (3,2).
Allgemein schreibt man: A=(a ik)(m,n) für eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten, die
aus den Elementen a ik besteht.
139-271
Typ einer Matrix
Definition 86:
Hat eine Matrix m Zeilen und n Spalten, so sagt man, dass die Matrix vom Typ (m,n)
ist, z.B. ist die Matrix A (siehe Bild) vom Typ (3,2).
Zeilenmatrix
Definition 87:
Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile, so nennt man sie Zeilenmatrix.
Das Beispiel zeigt eine Zeilenmatrix:
Eine Zeilenmatrix ist somit vom Typ (1,n)
Spaltenmatrix
Definition 88:
Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte, so heißt sie Spaltenmatrix.
Das Beispiel zeigt eine Spaltenmatrix:
Eine Spaltenmatrix ist somit vom Typ (m,1)
Nullmatrix
Definition 89:
Besteht eine beliebige Matrix nur aus Nullen, so nennt man sie eine Nullmatrix. Das
Beispiel zeigt eine Nullmatrix von Typ (3,4):
140-271
Zeilen- und Spaltenvektoren
Definition 90:
Die Zeilen einer Matrix bezeichnet man auch als Zeilenvektoren, analog bezeichnet
man die Spalten als Spaltenvektoren.
Beispiel:
Die folgende Matrix besteht aus drei Zeilen und zwei Spalten, also aus drei Zeilenve ktoren (oder aus zwei Spaltenvektoren):
Es gilt also:
1.Zeilenvektor von A = (a 11 ,a 12 )
2.Zeilenvektor von A = (a 21 ,a 22 )
3.Zeilenvektor von A = (a 31 ,a 32 )
1.Spaltenvektor von A = (a 11 ,a 21 ,a 31 )
2.Spaltenvektor von A = (a 12 ,a 22 ,a 32 )
Gleichheit von Matrizen
Definition 91:
Zwei Matrizen A=(a ik ) und B=(b ik ) sind gleich, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt
sind:
Die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ
Die Matrizen stimmen in jedem Element überein:
a ik = b ik (für alle i,k)
Beispiel 112:
Folgende zwei Matrizen sind gleich:
141-271
Transponieren
Definition 92:
Vertauscht man die Zeilen und die Spalten einer Matrix A, so heißt die entstandene
Matrix die "Transponierte der Matrix A".
Die Transponierte der Matrix A nennt man A T .
Beispiel 113:
Als Beispiel sei folgende Matrix vom Typ (3,2) gegeben:
Vertauschen wir nun die Zeilen und Spalten der Matrix, so erhalten wir A T , d.h. die
Transponierte der Matrix A:
Bemerkung 15:
Ist die Matrix A vom Typ (m,n), so ist die A T vom Typ (n,m)
Transponiert man eine Matrix zweimal, so erhält man wieder die ursprüngliche Matrix. Als Formel: (A T )T = A
Die Elemente der Matrix A und der Matrix A T stehen in folgenden Zusammenhang:
142-271
Quadratische Matrix
Definition 93:
Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl
der Spalten übereinstimmt.
Quadratische Matrizen sind also Matrizen vom Typ (m,m).
Die Haupt- und Nebendiagonale:
Definition 94:
Quadratische Matrizen (und nur diese) haben eine so genannte Hauptdiagonale sowie
eine Nebendiagonale.
Die Hauptdiagonale beginnt immer links oben (beim Element a 11 ) und endet rechts
unten (im Beispiel beim Element a 33 ).
Die Nebendiagonale beginnt rechts oben und endet links unten.
Transponiert man eine Matrix A, so entspricht dies einer Spiegelung an der Hauptdi agonalen.
Diagonalmatrix
Definition 95:
Ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte Diagonalmatrix, bei der
alle außerhalb der Hautdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind.
Eine Diagonalmatrix hat also immer die folgende Gestalt:
Beispiel 114:
143-271
Einheitsmatrix
Definition 96:
Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrix, die wiederum ein Spezialfall
der quadratischen Matrix ist:
Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente gleich 1 sind, nennt man Ei nheitsmatrix.
Beispiel 115:
Untere Dreiecksmatrix
Definition 97:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "untere Dreiecksmatrix". Bei ihr sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null.
Eine "untere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt:
Beispiel 116:
Obere Dreiecksmatrix
Beispiel 117:
Neben der unteren gibt es auch eine obere Dreiecksmatrix.
Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen
gleich Null.
Eine "obere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt:
144-271
Beispiel 118:
Symmetrische Matrix
Definition 98:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "symmetrische
Matrix":
Bei der "symmetrischen Matrix" sind alle Elemente spiegelbildlich zur Hauptdiagon alen angeordnet:
a ik = a ki
Beispiel 119:
Folgende zwei Matrizen sind symmetrische Matrizen:
Schiefsymmetrische Matrix
Definition 99:
Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "schiefsymmetr ische Matrix":
Eine "schiefsymmetrischen Matrix" liegt vor, wenn gilt:
Die Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegen, sind vom Betrag
gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen.
Die Hauptdiagonalenelemente sind gleich Null.
Beide Teile der Definition kann man durch folgende Formel
zusammenfassen:
a ik= -a ki
Beispiel 120:
Folgende zwei Matrizen sind schiefsymmetrische Matrizen:
145-271
Addition von Matrizen
Definition 100:
Zwei Matrizen werden addiert, indem Elemente mit gleichem Index addiert werden.
Wichtige Anmerkung
Die beiden Matrizen die addiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein, d.h.
die Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzahl der Spa lten muss bei beiden Matrizen gleich sein.
Gesetze
Für die Matrizenaddition gelten folgende Gesetze:
Kommutativgesetz: A+B = B+A
Assoziativgesetz: A+(B+C) = (A+B)+C
Beispiel:
Subtraktion von Matrizen
Definition 101:
Zwei Matrizen werden subtrahiert, indem Elemente mit gleichem Index subtr ahiert
werden.
Wichtige Anmerkung
Die beiden Matrizen die subtrahiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein,
d.h. die Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzahl der
Spalten muss bei beiden Matrizen gleich sein.
Gesetze
Für die Matrizensubtraktion gilt weder das Assoziativgesetz noch das Kommutativg esetz.
Beispiel 121:
146-271
Skalar-Matrix-Multiplikation
Definition 102:
Ein Skalar (eine Zahl) wird mit einer Matrix A multipliziert, indem man jedes Matr ixelement mit dem Skalar multipliziert.
Gesetze:
Für die Skalar-Matrix-Multiplikation gelten folgende Gesetze:
Assoziativgesetz:
1 (2 A) = (1 2 )A
Distributivgesetze: (1 +2 )A = 1 A+2 A
1 (A+B) = 1 A + 1 B
Beispiel 122:
Bemerkung 16:
Das Beispiel bzw. die Definition kann man auch anders herum lesen:
Ein Faktor der in allen Elementen einer Matrix enthalten ist, darf vor die Matrix
geschrieben werden.
Den "Multiplikationspunkt" haben wir, so wie es üblich ist, fortgelassen, z.B.
müsste man für 1 (2 A) genau genommen 1 ·(2 ·A) schreiben.
Matrizen-Multiplikation
Definition 103:
Das Produkt einer Matrix A=(a ik ) mit einer Matrix B=(b ik ) ist ebenfalls eine Matrix, die
wir Matrix C=(c ik) nennen.
Die Elemente c ikder Matrix C werden auf folgende Weise gebildet:
Das Element c ik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem kten Spaltenvektor der Matrix B.
Beispiel 123:
Gegeben sei eine Matrix A=(a ik ) und eine Matrix B=(b ik). Das Produkt der beiden Matrizen ist laut Definition wieder eine Matrix, die wir in der Definition C=(c ik) genannt
hatten:
147-271
Warum die Matrix C vom Typ (3,2) ist wird erst auf der nächsten Seite erklärt. Jetzt
wollen wir die Matrix erst einmal berechnen:
Um die Matrix C zu bestimmen muss man nun (mit Hilfe der Definition) deren El emente c ik bestimmen. Exemplarisch bestimmen wir c 32 :
Laut Definition ist c 32 gleich dem Skalarprodukt aus dem 3.Zeilenvektor der Matrix A
und dem 2.Spaltenvektor der Matrix B:
Nun können wir das Element c 32 in die Matrix C eintragen:
Die Berechnung der restlichen Elemente (c 11 , c 12 , c21 , c22 und c 31 ) erfolgt analog. Das
Ergebnis lautet:
Bemerkung 17:
Das Matrizenprodukt A·B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der Matrix A
mit der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmt.
Man sagt auch: Ist eine Matrix A vom Typ (m,n) so kann sie nur dann mit einer
Matrix B multipliziert werden, wenn die Matrix B vom Typ (n,r) ist.
Erklärung:
Nehmen wir an, die Spaltenzahl der Matrix A würde nicht mit der Zeilenzahl der Ma trix B übereinstimmen, sondern wäre z.B. kleiner:
Nun berechnen wir z.B. c 11 . Laut Definition ist c 11 gleich dem Skalarprodukt aus dem
1.Zeilenvektor von A und dem 1.Spaltenvektor von B.
(a 11 , a 12 )·(b 11 , b 21 , b 31 )
148-271
Dieses Skalarprodukt ist aber gar nicht definiert. Das Skalarprodukt ist nämlich nur
zwischen Vektoren definiert, die gleich viele Komponenten haben.
Ist das Skalarprodukt nicht definiert, so gilt dies auch für das Matrizenprodukt.
Bemerkung 18:
Die Matrix C=A·B hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten wie die
Matrix B.
Man sagt auch: Ist die Matrix A vom Typ (m,n) und B vom Typ (n,r), so ist die Matrix C
vom Typ (m,r).
Warum ist das so? Wir erklären dies am Beispiel der Vorseite.
Laut obigen Satz hat die Matrix C genau 3 Zeilen.
Nun beweisen wir, dass die Matrix C keine 4 Zeilen haben kann:
Nehmen wir an, die Matrix C hätte 4 Zeilen, dann gäbe es z.B. ein Element c 41 . Dieses
wäre definiert als das Skalarprodukt aus dem 4.Zeilenvektor von A und dem
1.Spaltenvektor von B.
Da die Matrix A aber keinen 4.Zeilenvektor hat, kann man kein Element c 41 bilden,
und somit hat die Matrix C keine 4 Zeilen.
Beispiel 124:
Gegeben seien die Matrizen A und B, gesucht das Matrizenprodukt C=A·B
Als erstes werden wir das Element c 11 berechnen. Laut Definition gilt:
c11 ist gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem
1.Spaltenvektor der Matrix B:
Jetzt tragen wir c 11 in die Ergebnismatrix ein:
149-271
Analog berechnen wir das Element c 12 der Ergebnismatrix: Laut Definition ist c 12
gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem
2.Spaltenvektor der Matrix B:
Auch c 12 tragen wir in die Ergebnismatrix ein:
Schließlich müssen wir nur noch die Elemente c 21 und c 22 berechnen:
c21 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem
1.Spaltenvektor der Matrix B.
c22 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem
2.Spaltenvektor der Matrix B.
Will man eine Matrix berechnen, so kann man das am einfachsten mit dem folgenden
Schema machen:
Das Falk-Schema
Gegeben seien zwei Matrizen A und B. Gesucht ist deren Produkt C=A·B:
Die Matrix A schreibt man nach links, die Matrix B nach oben:
150-271
Will man nun ein Element berechnen, so stehen die Vektoren die man dazu braucht
links bzw. oberhalb des gesuchten Elementes.
Exemplarisch haben wir die Elemente c 11 und c 32 berechnet:
Gesetze
Für die Multiplikation von Matrizen gelten folgende Gesetze:
Kommutativgesetz: nein, gilt im Allgemeinen nicht
Assoziativgesetz:
(AB)C = A(BC)
Distributivgesetze: A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
151-271
Determinanten
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Um das folgende zu verstehen, muss der Begriff der "Funktion" kurz wiederholt we rden:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift die jedem Element einer Me nge genau ein Element einer zweiten Menge zuordnet.
Bei einer "ganz normalen" Funktion wird also einer Zahl wieder eine Zahl zugeordnet.
Das Bild zeigt eine solche Funktion:
Diese Funktion ordnet den Zahlen 1 bis 6 der linken Menge eindeutig eine Zahl zu,
d.h. jeder Zahl der linken Menge wird genau eine Zahl der rechten Menge zugeordnet.
Die Determinantenfunktion
Man kann aber auch Funktionen definieren, die einer quadratischen Matrix eine Zahl
zuordnen. Zu dieser Art von Funktionen gehört die Determinantenfunktion:
152-271
Determinanten
Die Determinantenfunktion ordnet Matrizen einen Funktionswert (Zahl) zu. Diesen
Funktionswert nennt man "Determinanten".
Im vorigen Bild gilt z.B.:
Die Determinante der Matrix E ist die Zahl 2, die Determinante der Matrix F ist die
Zahl 8 und die Determinante der Matrix G ist die Zahl 4.
Zweireihige Determinanten
Vorbemerkung zur Definition:
Auf der vorigen Seite hatten wir gesagt, das die Determinantenfunktion einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet.
Diese Zahl hatten wir den Namen Determinante gegeben.
Nun müssen wir natürlich noch definieren, welchen Wert diese Zahl hat. Zuerst def inieren wir 2-reihige Determinanten:
Definition 104:
Die Determinantenfunktion ordnet nur quadratischen Matrizen eine Zahl zu. Für
nichtquadratische Matrizen ist die Determinantenfunktion nicht definiert.
Natürlich ist die Determinantenfunktion wie jede andere Funktion eindeutig, d.h. j eder quadratischen Matrix wird genau eine Determinante (Zahl) zugeordnet.
Beispiel 125:
2-reihige Matrix berechnen. Gegeben sei folgende Matrix:
Nun berechnen wir die Determinante nach oben genannter Formel:
Lösung: Die Determinante ist die Zahl 4.
153-271
Beispiel 126:
Schreibweisen:
Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion definiert, und zwar für
den Fall einer 2-reihigen Matrix:
Der Zahl "rechts vom Pfeil" hatten wir Determinante D genannt, die der Matrix A z ugeordnet wurde.
Wir nennen die Zahl deshalb auch det A:
Oft schreibt man stattdessen auch |A|:
Eine Variante dieser Bezeichnungsart ist folgende, bei der nochmals alle Elemente
aufgezählt werden:
154-271
Sprechweisen
Ich berechne die Determinante |A| heißt, ich berechne welcher Wert der Matrix A
durch die Determinantenfunktion zugewiesen wird.
3-reihige Determinanten
Definition 105:
Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion für 2-reihige Matrizen
definiert. Jetzt wollen wir das gleiche für 3-reihige Matrizen machen. Die Definition
lautet:
mit |A| = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 31 a 22 a 13 - a 32 a 23 a 11 - a 33 a 21 a 12
Beispiel 127:
Als Beispiel sei folgende Matrix gegeben:
Die Determinantenfunktion ordnet der Matrix A die Determinante |A| zu:
Will man nun die Determinante berechnen, so muss man die obige Definition benu tzen:
|A| = 0·5·1 + 2·4·3 + 5·6·2 - 3·5·5 - 2·4·0 - 1·6·2 = 0+24+60-75-0-12 = -3
Die Determinante |A| hat also den Wert -3.
155-271
Sarrus-Regel
Was ist die Sarrus-Regel?
Die auf der vorigen Seite gelernte Definition für 3-reihige Determinanten kann man
sich mit der Regel von Sarrus merken. Sie ist also keine neue Definition, sondern eine
simple Merkhilfe.
Erklärung der Regel:
Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts
neben dieselbe:
Die drei im folgenden Bild eingezeichneten Diagonalen nennt man die Ha uptdiagonalen. Das Produkt je einer Hauptdiagonalen nennt man Hauptdiagonalenprodukt. Wir
haben also drei Hauptdiagonalenprodukte (kurz HP's):
Die anderen drei Diagonalen nennt man Nebendiagonalen bzw. ihre Produkte die N ebendiagonalen-Produkte.
Addiert man die drei Hauptdiagonalen-Produkte und subtrahiert davon die drei Nebendiagonalen-Produkte, so erhält man die von der Vorseite bekannte Formel für
|A|:
156-271
|A|=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 31 a 22 a 13 -a 32 a 23 a 11 -a 33 a 21 a 12
Beispiel 128:
Gegeben sei die folgende Determinante, deren Wert noch nicht bestimmt ist. Wir benutzen das Lösungsschema der vorigen Seite.
Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts
neben dieselbe:
Jetzt bestimmen wir die drei Hauptdiagonalenprodukte (HP's):
Danach bestimmen wir die drei Nebendiagonalenprodukte (NP's):
Schließlich addieren wir die drei Hauptdiagonalen-Produkte, subtrahieren davon die
drei Nebendiagonalen-Produkte und erhalten die Determinante |A|:
|A| = 0+24+60-75-0-12 = -3
157-271
Beispiel 129:
Eigenschaften von Dreier-Determinanten
158-271
159-271
Beispiel 130:
=60(40+10)=3000
Hier wurde am Ende die erste Zeile von der 2. subtrahiert, was die beiden Nullen e rgeben hat.
160-271
Beispiel 131:
Hier wurde am Ende die 2. Spalte von der dritten subtrahiert.
Beispiel 132:
161-271
n-reihige Determinanten
Anmerkung
Genauso wie für 2- und 3-reihige Determinanten müssten wir auch für 4-, 5-, 6-, ... ,
n-reihige Determinanten eine Formel angeben, mit der man sie berechnen kann.
Dabei stößt man aber schnell an Grenzen, denn schon eine Determinante mit 5 Re ihen hat eine Lösungsformel mit 120 Summanden! Das ist zu viel Arbeit!
Wir werden aber bald eine Definition (=Lösungsformel) der Determinantenfunktion
kennen lernen, die wesentlich kürzer und eleganter ist.
Da die Berechnung von Determinanten mit mehr als 3 Reihen sehr aufwendig aber
doch Routinearbeit ist, werden sie oft mit Computerprogrammen oder Taschenrec hnern berechnet!
Einreihige Determinanten
Bis jetzt haben wir noch keine einreihigen Determinanten definiert.
Die Definition der "Einreihigen Determinante" ist kurz und simpel.
Definition 106:
Eine einreihige Determinante hat den gleichen Wert wie ihr (einziges) Element. Die
Formel dazu:
|a 11 | = a 11
Beispiel
Welchen Wert hat die Determinante |4711|?
Antwort: Die Determinante hat den Wert 4711.
162-271
Schnittpunktelement
Definition 107:
Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und außerdem eine belieb ige Spalte k, so nennt man das Element a ik das Schnittpunktelement.
Das Schnittpunkt-Element a ik ist also genau das Element, dass sowohl in der gestrichenen Zeile als auch in der gestrichenen Spalte steht.
Beispiel 133:
Als Beispiel sei eine 3-reihige Determinante gegeben:
Als Beispiel streichen wir die dritte Zeile und die zweite Spalte:
Das Schnittpunkt-Element ist dann das Element a 32 :
163-271
Unterdeterminante
Definition 108:
Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und eine beliebige Spalte k,
so nennt man die übrig bleibenden Elemente die Unterdeterminante D ik .
Beispiel 134:
Gegeben sei eine dreireihige Determinante |A|:
Nun streichen wir eine Zeile i und eine Spalte k.
Als Beispiel streichen wir die 3.Zeile und die 2.Spalte:
Es bleiben vier Elemente übrig die nicht gestrichen wurden.
Diese vier Elemente bilden die so genannte Unterdeterminante D 32 :
Beachte:
Hat die Determinante n Reihen, so haben alle Unterdeterminanten n -1 Reihen.
Vorzeichen-Faktor
Vorbemerkung zur Definition
Man kann eine Funktion definieren, die jeder Unterdeterminante D ik einen Vorzeichenfaktor zuordnet.
Der Vorzeichenfaktor kann den Wert (+1) oder (-1) haben.
Die Funktion nennen wir die "Vorzeichenfunktion".
Definition 109:
Der Unterdeterminante D ik wird durch die Vorzeichenfunktion
der Vorzeichenfaktor V ik zugeordnet. Dieser berechnet sich so:
D ik -> V ik = (-1)i+k
164-271
Beispiel 135:
Nehmen wir an, wir streichen in einer Determinante z.B. die 3.Zeile und die 2.Spalte,
so dass die Unterdeterminante D 32 entsteht:
Der Unterdeterminante D 32 wird dann der Vorzeichenfaktor V 32 zugeordnet, der sich
nach obiger Definition berechnen lässt:
V ik = (-1)i+k = (-1)3+2 =(-1)5 =(-1)
Anmerkung
Das Produkt aus Vorzeichenfaktor V ik und Unterdeterminante D ik nennt man auch "algebraisches Komplement" A ik:
A ik = V ik · D ik
Entwicklungsformel
Jetzt definieren wir eine n-reihige Determinante durch ihre Unterdeterminanten.
Die Formel nennen wir Entwicklungsformel. Auf den nächsten Seiten werden wir dann
sehen, wozu diese Formel zu gebrauchen ist.
165-271
Definition 110:
Gegeben sei eine n-reihige-Determinante, im Beispiel eine 3-reihige:
Hat die Determinante n-Reihen, so schreiben wir sie n-mal nebeneinander, d.h. in
unserem Beispiel 3-mal:
Nun streichen wir in allen Determinanten die erste Reihe, sowie in de r n-ten Determinante die n-te Spalte:
Es entstehen n Unterdeterminanten (im Beispiel entstehen drei):
Diese Unterdeterminanten addieren wir: D 11 +D 12 +D 13 +...+D 1n
Jetzt multiplizieren wir noch jede Unterdeterminante mit dem gleichnamigen Vorze ichenfaktor und Schnittpunkt-Element:
V 11 a 11D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1n a 1nD 1n
Schließlich definieren wir, dass diese Formel gleich der gegebenen Determinante D
sein soll:
D = V 11a 11 D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1na 1nD 1n
Meist schreibt man die Entwicklungsformel mit dem -Zeichen:
166-271
Beispiel zur Entwicklungsformel
Beispiel 136:
Als Beispiel sei eine 3-reihige-Determinante gegeben:
Laut Definition müssen wir die Determinante 3x aufschreiben:
Dann müssen wir die erste Zeile streichen und je eine der Spalten:
Es entstehen drei Unterdeterminanten:
Jetzt addieren wir diese drei Unterdeterminanten:
Jede Unterdeterminante multiplizieren wir mit ihrem gleichnamigen Vorzeichenfaktor
und Schnittpunktelement:
Die drei Vorzeichenfaktoren müssen wir noch berechnen:
V 11 = (-1)1+1 =1
V 12 = (-1)1+2 = -1
V 13 = (-1)1+3 =1
Die 3-reihige Determinante D, ausgedrückt durch 2-reihige Unterdeterminanten, lautet somit:
=-123
167-271
Folgen und Reihen
Folgen
Definition 111:
Als (reelle) Zahlenfolge bezeichnet man eine geordnete Folge von Zahlen. Zum Unterschied von Mengen schreibt man Folgen in spitzen Klammern: a 1 , a 2 , a 3 , ...
Das n-te Folgenglied schreibt man a n oder a(n). n heißt Index von a n. (Manchmal beginnt man die Zählung auch mit a 0 .)
Eine Folge kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:
Definition 112:
Man gibt an, wie man aus einem Folgenglied das nächste bere chnet (rekursive Darstellung) oder wie man aus n das n-te Folgenglied berechnet (explizite Darstellung).
Beispiel 137:
(1)
<2, 4, 6, 8, 10, ... >
a 1 = 2, a n+1 = a n + 2
a n = 2n
Bemerkung 19:
Monotonie
Definition 113:
Eine Folge a n ist monoton wachsend,
wenn die Folgenglieder immer größer werden
a n a n+1 für alle n N
Eine Folge a nist monoton fallend, wenn die Folgenglieder immer kleiner werden:
a n a n+1 für alle n N
Wenn < oder > gilt, spricht man von strenger Monotonie.
Schranke
Definition 114:
Eine Zahl s o heißt obere Schranke der Folge a n, wenn alle Folgenglieder kleiner
oder gleich s o sind:
a n s o für alle n N
Eine Zahl s u heißt untere Schranke der Folge a n , wenn alle Folgenglieder größer
oder gleich s u sind:
a n s u für alle n N
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.
168-271
Grenzwert und Konvergenz:
Bei manchen Folgen stellen wir fest, dass sich die Folgenglieder einer bestimmten
Zahl annähern. Diese Zahl heißt Grenzwert oder Limes der Folge:
Definition 115:
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge a n, wenn die Differenz |a n - a| für genügend
große n beliebig klein wird.
Man schreibt:
(a = Limes von a n für n gegen unendlich).
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent (sie konvergiert bzw. strebt
gegen a).
Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.
Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie konvergent.
Beispiel 138:
Die Folge
konvergiert gegen 0.
Die Folgenglieder nehmen zwar nie den Wert 0 an, aber die Differenz |a n - 0| wird
kleiner als jede beliebige Zahl . Setzen wir z.B. = 0,01:
Ab dem 101. Folgenglied ist also die Differenz kleiner als 0,01.
Ebenso können wir zu jedem anderen einen Index n finden, ab dem gilt:
Definition 116:
|a n - 0| < .
169-271
Beispiel 139:
Wir untersuchen die Folge auf Monotonie, Schranken und Grenzwerte.
Monotonie:
Vermutung: Die Folge ist monoton wachsend. Wir müssen also zeigen:
a n a n+1 für alle n N
Um a n+1 zu erhalten, ersetzen wir im Bildungsgesetz n durch n+1:
Diese Aussage ist immer wahr, die Vermutung ist daher bewiesen.
(Wir durften die Ungleichung mit n(n+1) multiplizieren, weil dieser Ausdruck für alle
natürlichen Zahlen n positiv ist.)
Schranken:
Vermutung: 3 ist obere Schranke.
Diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n.
Vermutung: 0 ist untere Schranke.
Auch diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n.
Grenzwert:
Um den Grenzwert der Folge zu berechnen, dividieren wir Zähler und Nenner durch n
und wenden die Grenzwertsätze an:
170-271
Definition 117:
Wenn in der Termdarstellung auch höhere Potenzen von n vorkommen, dividiert man
Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.
Ab wann ist |a n - 2| < 0,01?
Ab dem 101. Folgenglied ist die Differenz |a n - 2| < 0,01.
Arithmetische Folgen
Bei der Beispielfolge 2, 4, 6, 8, 10, ... erhält man das jeweils nächste Glied, indem
man zum vorigen eine positive Konstante k addiert. Eine solche Folge heißt arithmetische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
Eine arithmetische Folge wird durch eine lineare Funktion dargestellt.
Sie ist für k > 0 monoton wachsend, für k < 0 monoton fallend, in jedem Fall unbeschränkt.
Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn.
Geometrische Folgen
Bei der Beispielfolge <10, 20, 40, 80, 160, ... > erhält man das jeweils nächste Glied,
indem man das vorige mit einer Konstante q multipliziert.
Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
Eine geometrische Folge wird durch eine Exponentialfunktion dargestellt.
Sie ist für q > 1 monoton wachsend, für 0 < q < 1 monoton fallend. Ist q < 0, so sind
die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ.
Für |q| < 1 ist die Folge beschränkt und konvergiert gegen 0.
Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn.
171-271
Alternierende Folge
Definition 118:
Eine Folge deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen tragen, heißt eine
alternierende Folge.
Beispiel 140:
Diese sogenannten „Vorzeichenfolgen“ sollte man sich gut merken:
172-271
Rekursive Folge
Definition 119:
Eine Folgendefinition heißt rekursiv, wenn man jedes Glied aus seinem Vorgänger
berechnen muss. Natürlich muss ein „Anfangsglied“ gegeben sein, damit man weiß,
wo man mit der Berechnung beginnen kann. Dies muss aber nicht unbedingt a 1 sein.
Man kann beispielsweise auch a 5 vorgeben und von dort aus nicht nur die nachfolgenden Glieder, sondern auch die Vorgänger berechnen.
Beispiel 141:
173-271
Wachstum
Beispiel 142:
Lösung:
174-271
Beispiel 143:
Lösung:
175-271
Exponentielle Abnahme
Beispiel 144:
Lösung:
176-271
Reihen
Addiert man die Glieder einer Folge, so erhält man eine Reihe.
Die Summe a 1 + a 2 + ... + a n bezeichnet man als n-te Teilsumme s n .
Mit dem Summenzeichen kann man das kürzer schreiben:
Definition 120:
∑
Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert.
Den Grenzwert s bezeichnet man dann als "Summe der unendliche Reihe":
Definition 121:
Unter einer Reihe versteht man die Folge der Teilsummen einer Folge.
Diese Teilsummen beginnen stets beim Anfangslied a 1 oder a 0 :
Statt Teilsummen sagt man auch Partialsummen.
177-271
Arithmetische Reihe
Definition 122:
Die zu einer arithmetischen Folge gehörende Folge der
Teilsummen heißt eine arithmetische Reihe.
Die Formel lautet:
Beispiel 145:
Beispiel 146:
178-271
Beispiel 147:
Beispiel 148:
179-271
Beispiel 149:
Beispiel 150:
180-271
Geometrische Reihe
Definition 123:
Die Formel lautet:
Die erste Formel verwendet man für |q| > 1, die zweite für |q| < 1. In diesem F all
konvergiert die Reihe, und wir erhalten die Formel für die Summe der unendlichen
geometrischen Reihe:
| |
Beispiel 151:
Beispiel 152:
181-271
Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation
Grenzwerte von Funktionen
Definition 124:
Eine Zahl g heißt Grenzwert der Funktion für x bzw. x ,
wenn für jede Urbildfolge (x n ) mit x bzw. x und x n D f die Bildfolge
f(x n)) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann
lim f ( x ) g
x
bzw. lim f ( x ) g
x
Beispiel 153:
Schreibt man den Funktionsterm anders auf, so lassen sich die Grenzwerte leichter
bestimmen.
f ( x)
x
x
1
1
(Beachte aber den anderen Definitionsbereich.)
1
1
2x 1 x 2
2
x
x
Somit erhält man lim f ( x) lim
x
x
x
1
1
lim
x
1
2x 1
2
2
x
1
0 .
x x
wegen lim
Die Gerade a(x) = 0,5 ist somit eine Asymptote des Graphen von f(x).
Eine Untersuchung auch an der Stelle x 0 = 0,5 ist von beiden Seiten her (also von links
und von rechts) nötig.
Definition 125:
Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion f(x) für x
wenn bei jeder Folge (xn ) mit x n D f , x x0 und x n
Grenzwert g hat.
x0 ,
xo die Bildfolge (f(x 0 )) denselben
Man schreibt dann
lim f ( x ) g
xx0
Bemerkung 20:
Verwendet man statt einer beliebigen Folge (x n ) die Nullfolge (h n ), so schreibt man für
den Grenzwert
lim f ( x ) g : lim f ( x 0 h) g mit h > 0.
xx0
h0
182-271
Beispiel 154:
Für die Funktion f ( x)
x
betrachtet man somit das Verhalten
2x 1
von links x 0 - h und von rechts x 0 + h, also -0,5 - h bzw. -0,5 +h .
Verhalten für eine Annäherung von links an der Stelle x 0 = -0,5:
0,5 h
0,5 h
0,5 h
lim f ( x0 h) lim
lim
lim
lim
h 0
h0 2( 0,5 h) 1
h0 1 2h 1
h 0
h 0
2h
0,5
1
h
2
Verhalten für eine Annäherung von rechts an der Stelle x 0 = -0,5:
0,5 h
0,5 h
0,5 h
lim f ( x0 h) lim
lim
lim
lim
h 0
h 0 2(0,5 h) 1
h 0 1 2h 1
h 0
h 0
2h
0,5
1
h
2
Es existieren also keine Grenzwerte; die Funktion hat an der Stelle x = - 0,5
(man nennt dies eine Polstelle) eine senkrechte Asymptote.
183-271
Stetige Funktionen
Der Graph einer stetigen Funktion lässt sich – umgangssprachlich formuliert – in einem Zuge zeichnen und kann daher keine „Sprünge“ aufweisen.
Betrachten wir zunächst einmal eine Funktion, die sich eben nicht in einem Zuge
zeichnen lässt, um so vielleicht zum Kern der Stetigkeit vorstoßen zu können. Wir
wählen dazu die Funktion
f:
x für x 1
mit x
x 1 für x 1
Offenbar macht die Funktion an der Stelle x = 1 einen Sprung – lässt sich also nicht in
einem Zuge zeichnen; denn es ist
lim f ( x) 1
x 1
lim f ( x) 2
x 1
An der Sprungstelle sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert voneinander
verschieden, was somit die Unstetigkeit der Funktion an der Stelle x = 1 begründet.
Die Unstetigkeitsstelle x = 1 lässt sich auch mit dem --Kriterium charakterisieren.
Wir können nämlich wegen des Sprunges sagen, dass wir nicht zu jedem > 0 ein
()> 0 finden, so dass gilt:
x 1
f (x) 2 ,
Stetigkeit würde also nur dann vorliegen, wenn zu jedem beliebig vorgegebenen „Toleranzbereich“
U f (1) U 2 2 ,2
sich stets eine Umgebung U 1 angeben ließe, so dass die Funktionswerte aller x
U 1 sich im Toleranzbereich befinden.
Mit den vorangehenden Betrachtungen können wir nun präzise formulieren, was unter Stetigkeit zu verstehen ist.
Definition 126:
Gegeben sei eine Funktion f : ID IW. Die Funktion f heißt im Punkte a ID stetig,
wenn
lim f (x) f (a ) lim f (x )
x a
x a
ist. Gleichbedeutend mit dieser Aussage ist, daß
lim f ( x ) f (a )
x a
gilt.
184-271
Mit Hilfe des --Kriteriums definiert man: Die Funktion f ist stetig im Punkte a ID,
wenn es zu jedem > 0 ein (,a) > 0 gibt mit
x a , a
f (x) f (a ) .
Die Funktion f heißt stetig auf ID, wenn sie in jedem Punkt von ID stetig ist.
185-271
Differentialrechnung
Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Bei den eindeutigen Zuordnungen zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen,
den Funktionen, ist es meistens nicht nur interessant zu wissen, welcher Wert die
abhängige Variable (Funktionswert y) zu einem bestimmten Wert der unabhängigen
Variablen (Argument x) gehört y = f(x), sondern auch, wie sich y mit x ändert. Diese
Änderung beschreibt, wie rasch diese Funktionswerte bei Argumentänderungen aboder zunehmen, das heiß, wie stark die Funktion steigt oder fällt oder wie groß die
Steigung ist, wenn sich die unabhängige Variable x ändert. In vielen Fällen ist diese
unabhängige Variable die Zeit t. Dann spricht man von einer Änderu ngsgeschwindigkeit oder kurz Geschwindigkeit.
Den Aktieninhaber interessiert nicht nur der aktuelle Wert seines Papiers, sondern
auch die Änderung, also dessen Wertzuwachs oder Wertverlust. Zur Realisierung von
Gewinne hoffen alle Aktieninhaber auf eine große positive Änderungsgeschwindigkeit
bzw. Steigung. Starke Verluste treten auf, wenn die Änderungsgeschwindigkeit einen
großen Betrag und ein negatives Vorzeichen hat. Dann ist der Wert des Papiers eve ntuell gesunken, bevor der Inhaber Gegenmaßnahmen ergreifen kann.
Die Funktion der Aktienentwickung (= Aktienwertverlauf) ist sowohl eine Reaktion
auf den Verlauf gesamtwirtschaftlicher Kenndaten, als auch auf den Verlauf unte rnehmensspezifischer Kenndaten. Dabei sind die Angaben über den vergangenen und
den zukünftigen Verlauf interessant. Diese Daten werden zusätzlich zu den absoluten
Werten meist in relativen Werten, d.h. in Prozent bezogen auf den Wert zu einem
bestimmten Ausgangszeitpunkt angegeben, um die Änderungsgeschwindigkeit deu tlich zu machen. (Der zukünftige Verlauf der Funktionen ist zwar noch nicht bekannt,
aber aufgrund des vergangenen Verlaufs werden Extrapolationen oder Prognosen
gewagt.)
Ein weiteres Beispiel ist die Kostenfunktion. Ein Unternehmer interessiert sich nicht
nur für die Höhe der Kosten bei einer bestimmten Produktionsmenge, sondern auch
dafür, wie stark sich die Kosten ändern, wenn die Produktionsmenge variiert.
Diese Beispiele zeigen, dass es oft darauf ankommt, Aussagen über die Änderungsg eschwindigkeit oder die Steigung von Funktionen zu machen. Die Differentialrechnung
beschäftigt sich mit der Steigung von Funktionen. Sie stellt einfache Methoden zur
Berechnung der Steigung zur Verfügung, das Differenzieren.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Differentialrechnung ist die Kurvendiskussion.
Da Minima, Maxima und Wendepunkt einer Funktion sich durch ein spezifisches Ste igungsverhalten auszeichnen, kann ihre Lage mit Hilfe der Differentialrechnung b estimmt werden.
Eine weitere Anwendung ist die näherungsweise Beschreibung von komplizierten
Funktionen durch einfachere. Mit Hilfe einer Taylorreihe wird eine Funktion durch ein
Polynom angenähert (approximiert). Weiterhin ermöglicht es die Differentialrechnung
näherungsweise die Nullstellen von Funktionen zu finden, nämlich nach de m Verfahren von Newton.
186-271
Der Differenzenquotient und der Differentialquotient
Lineare Funktionen
Eine lineare Funktionen wird in der graphischen Darstellung durch eine Gerade b eschrieben:
y
10
9
P2
8
7
f(x2)-f(x1)
P1
6
x2-x1
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
Definition 127:
Die Steigung m einer Geraden ist durch den Differenzenquotienten bestimmt. Dabei
werden zwei Punkte P 1 und P 2 auf der Geraden markiert und der Quotient der Differenzen ihrer Koordinaten y 2 -y1 = f(x 2 )-f(x 1 ) durch x 2 -x1 berechnet:
m tan
f ( x2 ) f ( x1 )
.
x2 x1
Die Steigung m hängt zusammen mit dem Steigungswinkel a. Wird die Steigerung prozentual ausgedrückt, dann ist der Quotient zu erweitern auf
f ( x 2 ) f ( x1 )
m
f ( x1 ) ( x 2 x1 ) f ( x1 ) .
Diese Steigung ist für jede Stelle der Geraden die gleiche, es ist also unerheblich, wie
die beiden Punkte P 1 und P 2 gewählt wurden. Dies liegt daran, dass die Verbindungslinie zwischen P 1 und P2 immer deckungsgleich mit der Geraden selbst ist. Das ist anders bei den
Nichtlinearen Funktionen
Dort macht es durchaus einen Unterschied, wie die Punkte gewählt werden:
9
y
8
P2
7
P 2
6
P 2
5
4
P1
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
187-271
Betrachtet man die verschiedenen Geraden durch P 1 und P 2 , P 2 ’ oder P 2 “, so erhält
man jeweils einen anderen Differenzenquotienten, der als durchschnittliche Steigung
der Kurve innerhalb des Intervalls P 1 bis P 2 , P 2 ’ oder P 2 “ aufgefasst werden kann. Die
Verbindungslinien, die Sekanten heißen, liegen hier nicht mehr auf der Kurve der
Funktion f(x).
Wenn man P 2 über P 2 ’ und P 2 “ immer näher an P 1 rücken lässt, passt sich die durchschnittliche Steigerung zwischen P 1 und P 2 immer mehr der Steigung der Kurve im
Punkt P 1 an. Die Steigungen der Sekanten nähern sich der Steigung der Tangente im
Punkt P 1 .
Diese Tangentensteigung im Punkt P1 der Kurve entspricht der Steigung der Kurve in
diesem Punkt, beide haben die gleiche Richtung.
Mathematisch ausgedrückt bedeutet das für die Sekantensteigung, dass sie gleich
dem Differenzenquotienten ist:
Definition 128:
mSekante
f ( x 2 ) f ( x1 )
x 2 x1
Lässt man nun x 2 x1 gehen (P 2 geht gegen P 1 ), so werden beide Differenzen gegen 0
gehen. Aus der graphischen Bedeutung ist allerdings klar, dass es auch für x2 x1
eine Steigung gibt. Man erhält die Steigung der Tangente im Punkt P 1 als Grenzwert
für diesen Übergang:
mTangente lim
x 2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
x2 x1
Diesen bezeichnet man als Differentialquotienten und schreibt
f ( x1 ) lim
x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
,
x2 x1
wobei f(x1 ) die Steigung der Funktion f an der Stelle x 1 ist.
Definition 129:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion. Dann heißt f an der Stelle x 0 I
differenzierbar, wenn der Grenzwert
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) df
( x0 )
dx
x x0
existiert. (Man spricht: f Strich von x 0 gleich df nach dx an der Stelle x0 )
f (x0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0 und f heißt differenzierbar in I,
falls f für alle x I differenzierbar ist.
188-271
Definition 130:
Ist die Funktion f im Punkt x 0 differenzierbar, so ist sie in x 0 auch stetig.
Da ein existierender Grenzwert eindeutig sein muss, müssen auch hier die beiden für
x > x 0 und x < x 0 unterschiedlich gebildeten Grenzwerte übereinstimmen. Man def iniert dazu die rechts- und linksseitige Ableitung:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion sowie x 0 I. Dann heißt der
Grenzwert
(a)
f r( x0 ) lim
f ( x) f ( x0 )
x x0
rechtsseitige Ableitung von f in x 0 ;
(b)
f l( x0 ) lim
f ( x) f ( x 0 )
x x0
linksseitige Ableitung von f in x 0 .
x x0
x x0
x x0
x x0
Die Bestimmung der ersten Ableitung einer Funktion nennt man auch Differenzieren.
Wann ist eine Funktion differenzierbar bzw. wann stimmen links- und rechtsseitige
Ableitung überein? Aus der graphischen Darstellung ergibt sich die
Bemerkung 21:
Eine stetige Funktion ohne Ecken und Spitzen o.ä. ist differenzierbar.
Wie werden solche Differentialquotienten berechnet? Man kann für einige einfache
Funktionen die Differentialquotienten direkt berechnen. Für umfangreichere Funkti onen gibt es dann eine Reihe von Differentiationsregeln.
189-271
Beispiel 155:
Zuerst ein Beispiel für die Berechnung des Differentialquotienten für die Funktion
f : f (x) = x2 . Die Untersuchung der Funktion soll in 2 Schritten erfolgen:
a) Ist f differenzierbar an der Stelle x 1 = 1 ?
f ( x2 ) f (1)
x 1
( x 1)( x2 1)
lim 2
lim 2
lim( x2 1) 2
lim
x2 1
x2 1
x2 1
x2 1 x2 1
x2 1
x2 1
2
Der Differentialquotient existiert, das bedeutet f ist im Punkt (1;1) differenzierbar mit
der Steigung f (1) = 2.
b) Ist f im gesamten Definitionsbereich differenzierbar?
f ( x) f ( x0 )
x 2 x0
( x x0 )( x x0 )
lim
lim
lim( x x0 ) 2 x0
lim
x x0
x x0
x x0
x x0
x x0
x x
x x0
2
gilt für jede Stelle x 0 . Damit ist f differenzierbar im gesamten Definitionsbereich und
f ( x0 ) 2x0 .
Weiter Funktionen, deren Differentialquotienten auf diese Weise bestimmt werden,
sind
f : f ( x) x n
f : f ( x) e x
selbst!).
f ( x0 ) n x0n1
f ( x0 ) e x0
für alle n IN 0 ,
(die Ableitung der Exponentialfunktion ist sie
Die Differentialquotienten sind wiederum Funktionen von x 0 . Diese Funktion heißt
Ableitungsfunktion oder Ableitung. Zur Darstellung als Funktion wird x 0 durch x ersetzt:
Funktion
Ableitung
Allgemein
f : f ( x) x n
f : f ( x) n x n1
Beispiele
f : f ( x) x 2
f : f ( x) 2 x1 2 x
f : f ( x) x155
f : f ( x) 155 x154
(lineare Funktion)
f : f ( x) x1 x
f : f ( x) 1 x 0 1
(konstante Funktion)
f : f ( x) x 0 1
f : f ( x) 0 x 1 0
Allgemein
f : f ( x) e x
f : f ( x) e x
190-271
Differentiationsregeln
Die Differentiationsregeln erlauben es, die Ableitungen weiterer Funktionen zu b erechnen.
Definition 131:
Die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion f : f ( x) x a mit a IR lautet:
f : f ( x) a x a1
Funktion
allgemein
f : f ( x) x a
Beispiele
f : f ( x) x 1 1
Ableitung
f : f ( x) a x a1
f : f ( x) 1 x 2 1
x
x2
f : f ( x) x1 / 2 x
1
f : f ( x) 1 x 1 / 2
2
2 x
f : f ( x) x 6 / 5 5 x 6
f : f ( x) 6 x1 / 5 6 5 x
5
5
Funktionen h(x), die aus elementaren Funktionen beispielsweise durch Multiplikation
mit Konstanten, Addition, Multiplikation oder Division von mehreren Funktionen z usammengesetzt sind, lassen sich nach den folgende Regeln differenzieren. Dabei wird
vorausgesetzt, dass beide Funktionen f(x) und g(x) auf der rechten Seite von Gleichungen differenzierbar sind.
Definition 132:
Konstantenregel: Die Ableitung der Funktion h : h( x) f ( x) mit IR lautet:
h : h( x) f ( x)
Funktion
Ableitung
allgemein
h : h( x) f ( x)
h : h( x) f ( x)
Beispiele
h : h( x) 3 x 2
h : h( x) 3 2 x1 6 x
1
1
h : h( x) x 6
3
3 x6
1
h : h( x) (6) x 7 2 x 7
3
h : h( x) 8 x
h : h( x) 8
(Konstante)
h : h( x) 127 127 x 0
Die Ableitung einer Konstanten ergibt stets 0.
191-271
1
2 x
h : h( x) 127 0 0
4
x
Definition 133:
Summenregel: Die Ableitung einer Summe h : h( x) f ( x) g( x) lautet:
h : h( x) f ( x) g ( x)
Wegen der Gültigkeit der Konstantenregel und der Summenregel wird die Differenti ation auch als linear bezeichnet:
Die Ableitung einer Linearkombination h( x) f ( x) g( x) kann über die gleiche
Linearkombination der Ableitungen h( x) f ( x) g ( x) berechnet werden.
Definition 134:
Produktregel: Die Ableitung des Produkts h : h( x) f ( x) g( x) lautet:
h : h( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x) .
Die beiden Funktionen f(x) und g(x) sind vertauschbar.
Funktion
Ableitung
allgemein
h : h( x) f ( x) g( x)
h : h( x) f ( x) g ( x)
Beispiele
h( x) x 6 e x
h( x) 6 x 5 e x
(Linearkombination)
h( x) 15 x 2 7 x
h( x) 15 2 x 7 1 30x 7
allgemein
h : h( x) f ( x) g( x)
h : h( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x)
Beispiele
h( x) x 6 e x
h( x) 6x 5 e x x 6 e x e x (6x 5 x 6 )
h( x) (4 2x 2 ) ( x 1) h( x) 4x ( x 1) (4 2x 2 ) 6x 2 4x 4
Definition 135:
Quotientenregel: Die Ableitung des Quotienten h( x )
für alle x mit g(x) 0: h( x)
f ( x)
lautet
g( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x)
Im Gegensatz zur Produktregel dürfen hier f(x) und g(x) nicht vertauscht werden.
Die bisher genannten Differenzierungsregeln erlauben bereits die Ableitung sehr vi eler Funktionen. Allerdings gibt es noch verhältnismäßig einfache Funktionen, die sich
mit den bisherigen Kenntnissen nicht ableiten lassen, wie folgende Beispiele zeigen:
192-271
Beispiel 156:
h( x) x 1
h( x) ln 3x
h( x) ( x 2 3x)100
Diesen drei Funktionen ist gemeinsam, dass man sie sich nämlich als Einsetzen, einer
Funktion f(x) (inneren Funktion) in eine anderen g(x) (äußere Funktion) vorstellen
kann. Die Funktionen werden nacheinander ausgeführt und zwar in der Reihenfolge
der Klammerung zuerst innen, dann außen.
h g f : h( x) g( f ( x)) heißt dann die Verkettung oder die verkettete Funktion.
verkettete Funktion h(x)
innere Funktion f(x)
äußere Funktion g(x)
h( x) x 1
z f ( x) x 1
g ( z) z
h( x) ( x 2 3x)100
z f ( x) x 2 3x
g(z) z100
z f ( x) x 2 4
g ( z) e z
h( x ) e x
2
4
Zur Ableitung solcher verketteter Funktionen gibt es die Kettenregel.
Definition 136:
Kettenregel: Es seien die Funktionen f : I IR in x 0 I und g : IR IR in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar.
Dann ist die verkettete Funktion h( x) g( f ( x)) in x0 differenzierbar und es gilt für die
Ableitung von h g f : h( x0 ) ( g f )( x0 ) ( g ( f ( x0 ))) g ( f ( x0 )) f ( x0 )
Funktion
Ableitung
f ( x)
g( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x)
allgemein
h( x )
Beispiele
ex
h( x ) 2
x
e x x 2 e x 2 x e x ( x 2)
h( x)
x4
x3
x4 5
h( x )
x3
h( x)
h( x)
4 x 3 ( x 3) ( x 4 5) 1
( x 3) 2
4 x 4 12 x 3 x 4 5 3x 4 12 x 3 5
( x 3) 2
( x 3) 2
allgemein h g f : h( x) g( f ( x)) h( x) ( g f )( x) ( g( f ( x))) g ( f ( x)) f ( x)
Beispiele
h( x) x 1
h( x) ( x 2 3x)100
h( x ) e x
2
4
h( x)
1
2 z
1
1
2 x 1
h( x) 100 ( x 2 3x) 99 (2x 3)
h( x) e z 2 x e x
193-271
2
4
2x
Höhere Ableitungen
Durch Differentiation einer Funktion f in ihrem gesamten Definitionsintervall I erhält
man Ableitung von f. Diese Ableitung ist wiederum eine Funktion von x, die auf ihre
Differenzierbarkeit hin untersucht werden kann.
Existiert der Differentialquotient
f ( x) f ( x0 )
,
lim
x x0
x x0
so heißt dieser die Ableitung der Funktion f (x) oder die zweite Ableitung f (x0 ) der
Funktion f (x). Damit gibt es eine ganze Reihe von Ableitungen beginnend bei der
Funktion selbst über die erste f (x), zweite f (x), dritte f (x) bis zur n-ten f (n)(x).
Beispiel 157:
f ( x)
1 7 1 4
x x 2 x 13
7
4
Funktion
f (x) = x6 x3 + 2
1. Ableitung
f (x) = 6x5 3x2
2. Ableitung
f (x) = 30x4 6x
3. Ableitung
f (4) (x) = 120x3 6
4. Ableitung
f (5) (x) = 360x2
5. Ableitung
f (6) (x) = 720x
6. Ableitung
f (7) (x) = 720
7. Ableitung
f (8) (x) = 0
8. Ableitung
Alle weiteren höheren Ableitungen sind Null, weil 0 als Konstante abgeleitet je weils
wieder 0 ergibt.
Die erste Ableitung hat wegen der Erklärung über das Steigungsdreieck die Bedeutung
der Steigung der Funktion f. Damit kann die erste Ableitung zur Bestimmung des M onotonieverhaltens herangezogen werden:
Definition 137:
Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR differenzierbar in I. Dann gilt:
(a)
f ist genau dann monoton bzw. streng monoton wachsend, falls gilt:
f (x) 0
(b)
bzw. f (x) > 0;
f ist genau dann monoton bzw. streng monoton fallend, falls gilt:
f (x) 0
bzw. f (x) < 0.
Gilt f (x) = 0 für ein Intervall der Funktion, verläuft sie in diesem Intervall parallel zur
x-Achse. Gilt f (x) = 0 für einzelne Punkte der Funktion, liegen kritische Punkte an
diesen Stellen vor, welche im folgenden Abschnitt eingeführt werden.
194-271
Für die Untersuchung der Monotonie bzw. der Steigung einer Funktion wird zuerst die
1. Ableitung dieser Funktion gebildet und dann geprüft, für welche Definitionsinte rvalle f (x) > 0, f (x) < 0 bzw. f (x) = 0 ist.
Beispiel 158:
f(x) = 2x 7 + 3x 5 +2
f (x) = 14x 6 + 15x4
für x = 0 ist f (x) = 0
Für x 0 gilt aufgrund der geraden Potenzen stets f (x) > 0, d.h. die Funktion ist
streng monoton steigend.
Wenn die Steigung einer Kurve f(x) zunimmt, dann hat diese eine monoton steigende
Ableitungsfunktion f’(x). Eine steigende Ableitung bedeutet aber, dass die zweite Ableitung positiv f“(x) > 0 sein muss. Gleichzeitig verläuft diese Kurve nach links g ekrümmt, solch eine Kurve heißt konvex.
Umgekehrt verhält es sich, wenn die Steigung einer Kurve f(x) abnimmt, dann hat
diese eine monoton fallende Ableitungsfunktion f’(x). Eine fallende Ableitung bede utet wiederum, dass die zweite Ableitung negativ f“(x) < 0 sein muss. Gleichzeitig ve rläuft diese Kurve nach rechts gekrümmt, solch eine Kurve heißt konkav.
Daher gibt die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion an.
Definition 138:
Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR zweimal differenzierbar in I. Damit
ist
(a)
f konvex, falls für alle x I gilt: f(x) 0;
(b)
f konkav, falls für alle x I gilt: f(x) 0.
Beispiel 159:
f(x) = x 4
f (x) = 4 x 3
f (x) = 12 x 2
für x 0 gilt f (x) > 0
konvex
für x = 0 gilt f (x) = 0
Die Kurve ist überall linksgekrümmt.
195-271
Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung
Bei der Untersuchung von Funktionen, die ökonomische Zusammenhänge beschreiben, ist die Frage nach den kritischen Punkten, an denen die Funktion f(x) selbst, die
erste Ableitung f’(x) oder die zweite Ableitung f“(x) zu 0 werden interessant. Beso nders die Extremwerte (Minima und Maxima) sind von großer Bedeutung. Mit Hilfe der
Differentialrechnung lassen sich alle Minima, Maxima und Wendepunkte einer Fun ktion innerhalb des Definitionsintervalles leicht berechnen.
Zahlenmengen
Definitionsmenge:
Unter der Definitionsmenge D versteht man allgemein alle Zahlen, die für x eingesetzt
werden dürfen.
Wertemenge:
Unter der Wertemenge oder unter dem Wertebereich W versteht man allgemein alle
Zahlen, die bei der Einsetzung von Zahlen in x heraus kommen.
Symmetrieeigenschaften
Es gibt verschiedene Arten von Symmetrien.
Achsensymmetrie zur Ordinate
f x f x
Achsensymmetrie zu einer Vertikalen
f x a f x a
Punktsymmetrie zum Ursprung
f x f x
Punktsymmetrie zum Punkt a, b 2
b f x a f a x b
196-271
Extrema
Ein Extremum einer Funktion liegt dann vor, wenn in einer Umgebung um diesen
Punkt alle anderen Funktionswerte kleiner oder größer sind. Im ersten Fall P1 liegt
ein lokales Maximum, im zweiten Fall P2 ein lokales Minimum vor. Aus der Grafik geht
hervor, dass ein lokales Maximum in einer Rechtskrümmung (konkav) liegt und ein
lokales Minimum P2 in einer Linkskrümmung (konvex) und dass an beiden Stellen die
Tangenten waagrecht verlaufen:
9
y
8
7
6
P1
5
P2
4
3
2
1
0
0
x1
1
x2
2
3
4
x
Man definiert daher:
Definition 139:
Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion.
f besitzt in x 1 I ein lokales Maximum bzw. in x 2 I ein lokales Minimum, falls es
eine hinreichend kleine Umgebung U (x1 ) I gibt, so dass für alle x U (x1 ) gilt:
f(x) f(x1 ) ,
bzw. falls es eine hinreichend kleine Umgebung U (x2 ) I gibt, so dass für alle x
U (x2 ) gilt:
f(x) f(x2 ) .
Mit Hilfe der Ableitungen kann man eine notwendige Bedingung für das Vorhande nsein eines Extremums formulieren:
Definition 140:
notwendige Bedingung
Die Funktion f : I IR sei differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Besitzt dann f
in x0 ein lokales Extremum, so gilt:
f (x) = 0 .
Am Extremum wechselt die Steigung das Vorzeichen. Durch Berechnung der Nullste llen der Ableitung f (x) ermittelt man also die Punkte, bei denen die Funktion f(x) lokale Extrema besitzen kann. Man bezeichnet diese Stellen auch als stationäre Punkte.
Es handelt sich hier deshalb nur um eine notwendige Bedingung, weil eine Funktion
nicht an jeder Nullstelle ihrer Ableitung ein Extremum besitzen muss (wenn ein Ext197-271
remum bei x 0 vorhanden ist, dann ist die Ableitung dort 0, nicht umgekehrt!). So ist
z.B. bei der Funktion f(x) = (x 1)3 die Ableitung f (x) = 3(x 1)2 = 0 für x = 1, es existiert dort aber kein Extremum. Die Bedingung ist deshalb nicht hinreichend.
Es gibt die Möglichkeit, dass eine Tangente waagrecht f’(x) = 0 verläuft, ohne dass ein
Extremum vorliegt:
10
y
9
8
7
6
P0
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
-1
x0
-2
7
8
9
x
-3
-4
-5
Solche Punkte werden Sattelpunkte genannt. Ein Sattelpunkt liegt nicht in einer konkaven oder konvexen Krümmung, sondern dort wechselt gerade die Krümmung. Das
bedeutet, dass an dieser Stelle nicht nur f’(x)=0, sondern auch f“(x)=0 ist. Andere rseits wechselt die Steigung am Sattelpunkt nicht ihr Vorzeichen. Durch Betrachtung
der höheren Ableitungen ergibt sich die hinreichende Bedingung:
Definition 141:
Sei f : I IR zweimal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann besitzt f in
x0 ein
lokales Maximum, falls gilt:
f (x0 ) = 0
und
f (x0 ) < 0 ,
lokales Minimum, falls gilt:
f (x0 ) = 0
und
f (x0 ) > 0 .
Für den Fall, dass alle bis zur (n-1)-ten Ableitung gleich Null sind, gilt die Erweiterung:
Sei f : I IR n mal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann gilt, für n gerade:
Die Funktion hat an der Stelle einen Extremwert und
f (n) (x0 ) < 0
(n)
f (x0 ) > 0
bei x 0 ist ein Maximum,
bei x 0 ist ein Minimum,
n ungerade: Die Funktion hat einen Sattelpunkt.
198-271
Beispiel 160:
Bei den Funktionen f(x) = x2 , g(x) = x 3 und g(x) = x 4 sind erstmals die 2. Ableitung, die
3. Ableitung und die 4. Ableitung an der Stelle x0 = 0 ungleich 0. f hat an der Stelle 0
einen Extremwert, g hat dort einen Sattelpunkt und h hat an der Stelle 0 einen Ex tremwert.
f(0) = x 2 = 0
f(0) = x 3 = 0
g(0) = x 4 = 0
Funktionswert
f(0) = 2x 1 = 0
f(0) = 3x 2 = 0
g(0) = 4x 3 = 0
1. Ableitung
f(0) = 2 0
f(0) = 6x 1 = 0
g(0)=12x 2 = 0
2. Ableitung
f(0) = 6 0
g(0)=24x 1 = 0
3. Ableitung
g(4)(0) = 24 0
4. Ableitung
Zur Bestimmung der lokalen Extrema befolge man folgendes Schema:
1
Bildung von f
2
Bestimmung der Nullstellen von f: f (x) = 0
3
Bestimmung der 2. Ableitung f
4
Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f
5
f (x0 ) > 0
an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor
f (x0 ) < 0
an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor
f (x0 ) = 0
weiter bei 5.
Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung
ungleich Null wird
f (n) (x0 ) > 0 und n gerade:
an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor
f (n) (x0 ) < 0 und n gerade:
an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor
f (n) (x0 ) 0 und n ungerade: an der Stelle x 0 liegt ein Sattelpunkt vor
Viele ökonomische Funktionen haben einen eingeschränkten Definitionsbereich. In
diesen Fällen müssen zur Bestimmung der absoluten Extremwerte sowohl diese lok alen Extremwerte innerhalb des Intervalls als auch die Randextrema berücksichtigt
werden.
199-271
Wendepunkte
Bei einem Sattelpunkt änderte sich die Krümmung und damit das Vorzeichen der
zweiten Ableitung. Wenn nicht gleichzeitig die Tangente waagrecht erläuft, heißen
diese Stellen Wendepunkte. Dort geht also entweder eine Linkskrümmung in einer
Rechtskrümmung oder eine Rechtskrümmung in einer Linkskrümmung über.
Das bedeutet, dass eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepun ktes an der Stelle x 0 f (x0 ) = 0 ist.
Definition 142:
Die Funktion f : I IR sei in einer Umgebung von x 0 I dreimal differenzierbar. Ist
dann f(x0 ) = 0 und f(x0 ) 0, so besitzt die Funktion in x 0 einen Wendepunkt.
Hinreichend ist die Bedingung, dass f (x0 ) = 0 ist und dass in x0 ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung stattfindet und damit f (x0 ) 0 ist. Gilt f (x 0 ) = 0, ist eine Aussage über die Existenz eines Wendepunktes nicht ohne die Untersuchung höherer
Ableitung möglich. Tritt bei der Untersuchung der n-ten Ableitungen zum ersten Mal
f (n) (x0 ) 0 mit ungeradem n auf, so liegt an der Stelle x 0 ein Wendepunkt vor.
Das Schema zur Bestimmung von Wendepunkten verläuft analog zu dem für Extre mwerte:
1
Bildung von f
2
Bestimmung der Nullstellen von f : f (x) = 0
3
Bestimmung der 3. Ableitung f
4
Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f
5
f (x0 ) 0
an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt vor
f (x0 ) = 0
weiter bei 5.
Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung
ungleich Null wird
f (n) (x0 ) 0 und n ungerade:
vor
an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt
200-271
Kurvendiskussion
Die Kurvendiskussion dient zum Verständnis der Eigenschaften einer Funktion, welche
in analytischer Darstellung gegeben ist. In einer Kurvendiskussion sollen die markante
Punkte und Verhaltensweisen einer Funktion analysiert werden. Die Ergebnisse der
Analyse werden dann in einer Skizze veranschaulicht.
Schema der Kurvendiskussion
1) Bestimmung des Definitionsbereichs: Besonders bei wirtschaftswissenschaftlichen
Funktionen ist es wichtig zu berücksichtigen, für welche x-Werte die Funktion definiert ist; zum Beispiel nur für ganzzahlige Stückzahlen oder nur für den positiven B ereich.
2) Untersuchung der Definitionslücken: Untersuchung auf behebbare Lücken, Polste llen, Sprungstellen.
3) Untersuchung der Funktion für unendlich große bzw. kleine x-Werte: Diese Untersuchung ist nur sinnvoll bei solchen Funktionen, die nicht ausschließlich in einem I ntervall definiert sind.
4) Bestimmung der Nullstellen
5) Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte: In diesem Untersuchungsschritt
sollen sowohl die relativen als auch die absoluten Extremwerte bestimmt werden.
6) Bestimmung der Wendepunkte
7) Untersuchung der Steigung und Krümmung: Anhand der Ergebnisse aus den Pun kten 3., 5. und 6. können die Steigung und Krümmung einer Funktion im Allgemeinen
ohne rechnerische Untersuchung gefolgert werden. Ansonsten sollten sie analytisch
ermittelt werden.
8) Skizze: In der Skizze sollen die für die untersuchte Funktion in der Analyse festg estellten markanten Verhaltensweisen und Punkte dargestellt werden. In den Einzelfällen ist es sinnvoll, zusätzlich für einige Punkte eine Wertetabelle aufzustellen, um
exakter zeichnen zu können.
201-271
Beispiel 161:
Funktion:
f ( x) 3x 4 8x3 6x 2
Definitionsbereich:
unbegrenzt
Definitionslücken:
keine
x
f(x)
sitzt
da höchste Potenz positive Vorzahl be-
x
f(x)
Vorzahl
da höchste Potenz gerade und positive
Nullstellen:
f ( x) 3x 4 8x 3 6x 2 0
x 2 (3x 2 8x 6) 0 doppelte Nullstelle bei x 1 = 0
8
4
16
3x 2 8x 6 0 x 2 x 2 0 x 2 ,3
2
3
9
3
nicht lösbar, also keine weiteren Nullstellen
Extremwerte:
12 x 3 24 x 2 12 x 0 12x( x 2 2x 1) 0 x1 = 0
lokale Extrema: f ( x ) 0 oder
x 2 2x 1 0
x3a ,b 1 1 1 1 x3
3
2
f ( x) 12 x 24 x 12 x 0
f ( x) 36 x 2 48 x 12
bei
Minimum
f ( x1 ) f (0) 12
x1 0
f ( x3 ) f (1) 36 48 12 0 weitere Untersuchung
f ( x ) 72 x 48
f ( x3 ) f (1) 72 48 0 bei x3 1 Sattelpunkt
Maximum existiert nicht, weil f(x) (Punkt 3.) Miabsolute Extrema:
nimum bei x 1 : (0;0)
4
1
f ( x ) 0
Wendepunkte:
36 x 2 48 x 12 0
x2 x 0
2
3
3
f ( x) 36 x 48 x 12 0
2
4 1 2 1
x2 a ,b
3
9 3 3 3
Sattelpunkt (= x3 1 aus Punkt
x2b 1:
1
x2a 3 x2 : f ( x ) 72 x 48
5.)
f ( x2 ) f ( 13 ) 24 48 0 x2 13 Wendepunkt
Krümmung und Steigung:
x [ ; x1 = 0[ : f(x) streng monoton fallend, konvex
x ]x1 ; x2 13 ] : f(x) streng monoton steigend, konvex
x [x2 ; x3 = 1[ : f(x) streng monoton steigend, konkav
x ]x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex
202-271
Skizze:
f(x) = x² (3x² - 8x + 6)
10
8
6
y
4
2
0
-1
-0,5
x1
x3
0
x2
0,5
1
1,5
2
-2
x
Die Differentialrechnung hilft also, das Verhalten von Funktionen zu beschreiben und
zu verstehen. Voraussetzung dafür ist, dass die Funktion in analytischer Form vorliegt,
also, dass der Verlauf durch eine Formel gegeben ist. Bei nicht vorausberechenbaren
Funktionen wie den Aktienkursen trifft das allenfalls für die Vergangenheit zu.
Beispiel 162:
Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
1. Definitionsbereich
von y=ƒ(x)
D ƒ=R
2. Symmetrie
oder
x R
Achssymmetrie zur y-Achse
- ƒ( x ) = ƒ(- x )
im Funktionsterm tritt x nur mit geraden Exponenten auf
Punktsymmetrie zum Ursprung (0;0)
- ƒ( x ) = -ƒ(- x )
im Funktionsterm tritt x nur mit ungeraden Exponenten auf
3. Schnittpunkte mit x-Achse ƒ( x ) = 0 liefert die Nullstelle(n)
der
y-Achse ƒ(0) liefert die Ordinate des Schnittpunktes mit y-Achse
x- und
x=0
y-Achse
4. Verhalten im
Unendlichen
Die höchste Potenz von x und x → +
ƒ( x ) →
Vorzeichen des Koeffizienten entscheiden über das Verhalten
x → - ƒ( x ) → im Unendlichen.
Die vier Möglichkeiten:
ƒ( x )= a x gerade ƒ( x )= a x ungerade
ƒ( x )= - a x gerade ƒ( x )=- a x ungerade
203-271
a positiv
a positiv
a negativ
a negativ
5. Bilden der
Ableitungen
6. Extrempunkte
ƒ( x )= a x n +… →
ƒ′( x )= a n x n-1 +…
( ) notwendige Bedingung
ƒ′( x ) = 0
( ) hinreichende Bedingung
ƒ′( x ) = 0
und
ƒ′′( x e) 0
Ablauf:
- Berechnen der Nullstellen von ƒ′(x)
- Einsetzen der Nullstellen von
ƒ′( x ) in ƒ′′( x )
ist ƒ′′( x e) > 0 = TP
ist ƒ′′( x e) < 0 = HP
ist ƒ′′( x e) = 0 = weitere Untersuchung unter Punkt 7. und 8.
- Berechnen der y-Werte durch Einsetzten der x-Werte in ƒ( x )
7. Wendepunkte
( ) notwendige Bedingung ƒ′′( x ) = 0
( ) hinreichende Bedingung ƒ′′( x ) = 0
und ƒ′′′( x w ) 0
Ablauf:
-Berechnen der Nullstellen von ƒ′′( x )
- Einsetzen der Nullstellen von ƒ′′( x ) in ƒ′′′( x )
- wenn ƒ′′′( x w ) 0, so liegt ein Wendepunkt vor
- Berechnen der y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in ƒ( x )
8. Sonderfall zu 7.
Sattelpunkt
Bedingung für einen Sattelpunkt (S):
ƒ′( x )
= 0
ƒ′′( x s) = 0
ƒ′′′( x s) 0
- es liegt ein Sattelpunkt (Terassenpunkt) vor, wenn der x-Wert
des Wendepunktes eine Nullstelle von ƒ′( x ) ist.
9. Graph zeichnen
- die ermittelten Kurvenpunkte eintragen
- evtl. eine ergänzende Wertetabelle anlegen
204-271
Differentiation parameterabhängiger Funktionen
Es gelten die gleichen Bedingungen wie im vorherigen Kapitel. Die Funktion ist in di esem Fall noch zusätzlich von einem Parameter abhängig. Dieser Parameter ist wie e ine Konstante oder ein konstanter Faktor zu sehen.
Die Funktion ist in diesem Fall nicht mehr eindeutig, je nach eingesetztem Wert für
den Parameter erhält man eine neue Funktion. Man spricht auch von einer Funktion sschar.
205-271
Funktionen
Relationen und Funktionen
Definition 143:
Eine Relation liegt vor, wenn es zu jedem Element x der Menge M 1 genau einen Partner y in der Menge M 2 gibt.
Definition 144:
Hat jedes
ein zugeordnetes
. Handelt es sich um Zahlen die in einem
Koordinatensystem aufgetragen werden können
Eine überall auf M 1 definierte eindeutige Relation heißt Funktion oder auch Abbildung
von M 1 in M 2 .
Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften
Ganzrationale Funktionen n - ten Grades
Definition 145:
Eine Funktion der Form
y = f(x) = a n xn + a n-1 x n-1 + ....a 1 x 1 + a 0 x0 mit nN und a 0 , a 1 , ....a n R
heißt ganzrationale Funktion.
n heißt Grad der Funktion
a i heißt Koeffizient der Funktion
f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 ist eine ganzrationale Funktion 3.Grades
g(x) = -3x5 + 2x 4 – x² +8 ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades
f(x) = x³ - x ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den Koeffizienten
a 3 = 1; a 2 = 0; a 1 = -1; a 0 = 0
Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen.
206-271
Verlauf des Graphen
Definition 146:
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden
mit der höchsten Potenz bestimmt.
n gerade
n ungerade
Verlauf von II nach I
Verlauf von III nach I
Verlauf von III nach IV
Verlauf von II nach IV
207-271
Symmetrie
Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit ger aden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die
nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymme trisch sind.
Definition 147:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn
deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn
deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.
Definition 148:
Zerlegungssatz:
f (x) hat genau dann eine Nullstelle x o , wenn f(x) durch (x-x o) teilbar ist:
f(x0 ) = 0 für alle x gilt: f(x) = (x-x0 ) g(x)
g(x) ist eine ganzrationale Funktion, deren Grad um 1 niedriger ist als der Grad von f.
208-271
Beispiel 163:
a) Bestimmen Sie eine Zerlegung von f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 wenn die Nullstelle x 0 = 3
gegeben ist.
Dazu wird die Polynomdivision verwendet
(x³ - 3x² - 5x + 15) : (x-3) = x 2 –5
- (x³ - 3x²)
- 5x + 15
- (-5x + 15)
0
Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) ( x² - 5 ).
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f und zerlegen Sie f vollständig in Faktoren.
Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) (x -√ ) ( x +√ )
Nullstellensatz
Definition 149:
Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen:
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mehrfach gezählt werden.
Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die A nzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen.
Lösung:
209-271
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen
Definition 150:
Eine gebrochen rationale Funktion hat folgende Form
f ( x)
an x n an 1 x n 1 ......... a1 x a0
bm x m bm 1 x m 1 ......... b1 x b0
Es befindet jeweils im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion.
y
3( x 1)²( x 4)( x 1)( x 2)
( x 1)( x 4)²( x 1)( x 2)
Definition 151:
Man nennt den größten Exponenten m im Zähler den Grad des Zählers und den
höchsten vorkommenden Exponenten n im Nenner den Grad des Nenners. Das Zählerpolynom u(x) hat also den Grad m, das Nennerpolynom den Grad n. Die Differenz
m - n ist der sogenannte Asymptotengrad.
Form gebrochen rationaler Funktionen
Von den oben angeschriebenen Funktionen hat
f 1 den Zählergrad 2, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad 0.
f 2 den Zählergrad 3, den Nennergrad 1 und den Asymptotengrad 2
f 3 den Zählergrad 1, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad -1
210-271
Eigenschaften von Wurzelfunktionen
Definition 152:
n
√ ist die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion y = x .
Die Wurzelfunktion
Ist n gerade so ist die Potenzfunktion nicht injektiv (umkehrbar eindeutig) und daher
nicht eindeutig umkehrbar.
Es gibt es zwei Möglichkeiten die Wurzelfunktion zu definieren:
√
√ .
Dabei wird im Allgemeinen die positive Variante als die Umkehrfunktion angesehen.
Falls n ungerade ist, so ist die Wurzelfunktion auf ganz R umkehrbar.
Exponent kleiner als 1
Alle haben den Definitionsbereich R +
Der Graph ist monoton steigend
Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1)
Für x<1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x.
Für x>1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x.
Je mehr sich der Exponent
Geraden y=x.
der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der
Exponent größer als 1
Alle haben den Definitionsbereich R +.
Der Graph ist streng monoton steigend
Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1)
Für x<1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x.
Für x>1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x.
Je mehr sich der Exponent
Geraden y=x.
der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der
211-271
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x
Es gibt weitere Exponentialfunktionen, deren Schaubilder aus der Kurve y = e x durch
Spiegelung, Verschiebung oder Streckung entstehen. Das Erkennen dieser Eigenscha ften hilft bei Aufgaben oft weiter. Daher werden auf den nächsten Seiten diese Abbi ldungen besprochen.
212-271
Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x .
213-271
Verschiebung der Kurve K: y = e x .
Definition 153:
Die Kurve y=e x+2 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 2 nach links.
Die Kurve y=e x−3 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 3 nach rechts.
214-271
215-271
216-271
217-271
218-271
Eigenschaften von Logarithmusfunktionen
Bei der Logarithmusfunktion handelt es sich um die Umkehrfunktion zur e -Funktion.
Eigenschaften für die Kurvendiskussion
219-271
Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Im Falle von e x
heißt die Umkehrung natürlicher Logarithmus und wird mit ln(x) bezeichnet.
Die Logarithmusfunktionen sind streng monoton wachsend und haben eine Nullstelle
bei x0= 1.
Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen (oder auch Winkelfunktionen) werden am Einheitskreis definiert. Betrachtet man nebenstehende Skizze, dann definieren wir:
Diese beiden Funktionen heißen Sinus und Kosinus
(Cosinus).
Die Bezeichnung Winkelfunktion rührt von der Tatsache her, dass das Argument ein Winkel ist.
Der Winkel wir im Allgemeinen im Bogenmaß gemessen.
Dabei entspricht
.
220-271
Integration
Geometrische Definition des Integrals
Orientierter Flächeninhalt
- Flächeninhalte oberhalb der x-Achse haben ein positives Vorzeichen.
- Flächeninhalte unterhalb der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen.
Definition 154:
Gegeben sei eine Funktion f, die über einem Intervall [a; b] definiert ist, dann ve rsteht man unter dem Integral der Funktion von a bis b die Summe der orientierten
Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x=a und
x=b.
Schreibweise:
b
f (x)dx
a
a: untere Grenze
b: obere Grenze
Stammfunktionen (unbestimmtes Integral)
Definition 155:
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x).
Beispiel 164:
Welche Funktion hat die Ableitung f(x) = x?
Eine mögliche Antwort ist F( x )
x2
.
2
Eine beliebige Stammfunktion ist von der Form F( x )
x2
C
2
(C ist eine beliebige Konstante), weil konstante Summanden beim Differenzieren we gfallen.
Wenn von der Funktion sonst nichts bekannt ist, müssen wir also immer die Integrat ionskonstante C dazuschreiben.
Die Stammfunktion bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral:
F( x ) f ( x )dx
221-271
Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen lauten:
f(x) = k
F(x) = kx + C
f(x) = x n (n 1)
F(x) = ln |x| + C
f(x) = sin x
F(x) = -cos x + C
f(x) = cos x
F(x) = sinx + C
f(x) = e x
F(x) = e x
Grundintegrale
n
x dx
x n 1
c
n 1
1
xdx ln x c
x
a dx
ax
c
ln a
sin xdx cos x c
cos xdx sin x c
1
cos
2
x
2
x
1
sin
dx tan x c
dx cot x c
1
1 x2
1
1 x
2
dx arcsin x c
dx arctan x c
sinh xdx cosh x c
cosh xdx sinh x c
222-271
Analytische Definition des Integrals
Definition 156:
Die Funktion f sei über dem Intervall [a; b] definiert und dort beschränkt. Dann versteht man unter dem Integral von a bis b der Funktion f eine Zahl, die man folge ndermaßen erhält:
(1) Man bildet die Zerlegung Z n des Intervalls [a; b] in n gleich lange Teilintervalle.
(2) Man bildet die zu Z n gehörende Obersumme S n und die Untersumme S n. Insgesamt
erhält man eine Folge von Obersumme Sn und Untersumme Sn ,
(3) Wir bilden lim S n und lim Sn .
n
n
Stimmen beide Grenzwerte überein, das heißt ist: lim Sn lim Sn , so heißt dieser gen
n
meinsame Grenzwert das Integral von a bis b der Funktion f.
b
Man schreibt: f ( x )dx
a
Rechenregeln für Integrale
Faktorregel
Nun wird folgendes Integral berechnet ∫
.
Das neue besteht jetzt darin, dass die Funktion nicht mehr heißt f(x)=x³, sondern jetzt
f(x)=2x³.
Definition 157:
Besitzt eine Funktion f : a, b IR eine Stammfunktion auf a, b , so besitzt für jede
reelle Zahl c 0 auch die Funktion cf eine Stammfunktion und es gilt:
c f x dx c f x dx
Beispiel 165:
∫
∫
(
)
Summenregel
Definition 158:
Besitzen zwei Funktionen f , g : a, b IR eine Stammfunktion auf a, b , so besitzt
auch ihre Summe f g eine Stammfunktion und es gilt:
f x gx dx f x dx gx dx
Man spricht dann auch davon, dass eine Summe gliedweise integriert wird.
223-271
Beispiel 166:
Ermitteln Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen!
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 8x³
c) f(x) = x² + x
d) f(x) = 3x² + 4x + 1
e) f(x) = x 6 - 3x5 + 7x³
f) f(x) =
g) f(x) =
h) f(x) =
i) f(x) =
j) f(x) = √
Lösung:
a) F(x) = 3x²/2 + C
b) F(x) = 2x 4 + C
c) F(x) = x³/3 + x²/2 + C
d) F(x) = x³ + 2x² + x + C
e) F(x) = x 7 /7 - x6 /2 + 7x 4 /4 + C
f) F(x) = x³/9 + x²/8 + C
g) F(x) = x 5 /50 - x³ + 2x/3 + C
h) F(x) = -1/x + C
i) F(x) = -1/(2x²) + C
j) F(x) = 2/3·x³ + C
224-271
Beispiel 167:
Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, wenn die Ableitung und ein Punkt des Fun ktionsgraphen gegeben ist.
a) f'(x) = 4x; P(2/5)
b) f'(x) = 2x - 3; P(1/0)
c) f'(x) = -6x + 5; P(2/3)
d) f'(x) = -x + 1; P(-1/1)
e) f'(x) = 3x² - 4x; P(0/-4)
f) f'(x) = 6x² - 5; P(-2/-5)
g) f'(x) = -x² + x + 4; P(3/4)
h) f'(x) = 2x³ - 6x; P(-2/1)
Lösung:
a) f(x) = 2x² - 3
b) f(x) = x² - 3x + 2
c) f(x) = -3x² + 5x + 5
d) f(x) = -x²/2 + x + 5/2
e) f(x) = x³ - 2x² - 4
f) f(x) = 2x³ - 5x + 1
g) f(x) = -x³/3 + x²/2 + 4x - 7/2
h) f(x) = x 4 /2 - 3x² + 5
225-271
Beispiel 168:
226-271
Integration durch einfache Substitution
Beispiel 169:
227-271
Integration durch erweiterte Substitution
Beispiel 170:
228-271
Die erweiterte Substitution quadratischer Terme
Beispiel 171:
229-271
Das bestimmte Integral
Die Funktion f(x) sei gegeben; wir wollen die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen
und der x-Achse im Intervall [a, b] berechnen.
Einen Näherungswert erhält man, wenn man [a, b] in
Teilintervalle der Länge x teilt, in jedem Intervall eine
Stelle x i wählt und die Flächeninhalte der Rechtecke
x·f(x i) addiert:
A (f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n))·x,
in Summenschreibweise:
Die Fläche - das bestimmte Integral - definieren wir als Grenzwert dieser Summe,
wenn x gegen 0 geht; man schreibt:
sprich "Integral von a bis b von f(x)dx" (das Integralzeichen soll an S für "Summe" e rinnern).
230-271
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Definition 159:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
das heißt, die Fläche unter dem Graphen von f(x) ist eine Stammfunktion von f.
Wir suchen die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen den Gre nzen a = 1 und b = 2.
Folgende Vorgehensweise sollte immer angewandt werden:
Zuerst eine Zeichnung oder zumindest eine Skizze
erstellen, um den Sachverhalt zu verdeutlichen.
Um eventuelle Besonderheiten zu erkennen, sollten
die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) berechnet werden
Stammfunktion finden
Grenzen einsetzen, untere Grenze von oberer abziehen
231-271
Intervalladditivität
Wollen wir uns folgendes Integral anschauen:
3
1
3³ 1³
1
2
1³ 3³ 1
2
x
²
dx
9
8
und
9
8
1
3 3 3 3
3 3
3
3
3
b
b
b³ a ³
b³ a ³
a ³ b³
b³ a ³
x
²
dx
[
]
und
a
3 3
3 3
3 3
3 3
a
a
x²dx
a
a³ a³
0
3 3
Aus den obigen Beispielen ergibt sich die nachfolgende Definition:
Definition 160:
(1) Ist a<b, so sei
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
b
a
1
3
3
1
Bsp.: x ² dx x ² dx (
3³ 1³
26
2
) 8
3 3
3
3
(2)
a
x²dx 0
a
3
Bsp.: x ³dx 0
3
Außerdem gilt.
b
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
b
a
9
3
4
9
Bsp.: x ² dx x ² dx
3
x²dx
4
(a, b, c können beliebig sein.)
232-271
Beispiel 172:
1
4
2
1
(3x² 5 x 4)dx (3x² 5 x 4)dx
Lösung:
1
4
4
4
4
4
2
1
2
2
2
2
(3x² 5x 4)dx (3x² 5 x 4)dx (3x² 5 x 4)dx 3 x² dx 5 xdx 4 1dx
(Grund int egrale) 78
Flächenberechnungen
Achtung: Für f(x) < 0 ist auch das Integral negativ. Der Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist dann der Betrag des Integrals.
Definition 161:
Wenn die Funktion im angegebenen Intervall ein oder mehrere Nullstellen hat, müssen wir daher die einzelnen Flächenstücke getrennt berechnen und ihre Beträge a ddieren. (Werden wir später noch näher behandeln)
Wenn die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse berechnet werden soll (ohne
dass ein Intervall angegeben ist), müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen - das
sind dann die Integrationsgrenzen.
Definition 162:
Die Fläche, die von zwei Kurven - den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) - eingeschlossenen wird, berechnen wir nach der Formel
Die Integrationsgrenzen sind dabei die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Wenn es
mehr als zwei Schnittpunkte gibt, muss man wieder die einzelnen Flächenstücke g etrennt verrechnen.
Beispiel 173:
Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 und der x-Achse
zwischen den Grenzen a = 0 und b = 2 eingeschlossen wird?
Lösung:
Die Funktion hat bei x 1 = 1 eine Nullstelle, wir müssen daher von 0 bis 1 und von 1 bis
2 getrennt integrieren:
233-271
Beispiel 174:
Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = -x³ + 3x² und
der x-Achse begrenzt wird?
Lösung:
Nullstellen bestimmen: -x³ + 3x² = 0 x1 = 0, x 2 = 3
Beispiel 175:
Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³?
Lösung:
Schnittpunkte bestimmen: x² = x³ x1 = 0, x 2 = 1
1
x4 x3
1 1
3
4
1
A ( x x ) dx
3 0
4 3
12 12 12
4
0
1
2
3
Flächenberechnung zwischen zwei Graphen
Beispiel 176:
Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
f(x)=x²; g(x)=-x+2
Folgende Vorgehensweise hat sich bewährt
(1) Auch hier zeichnen wir wieder eine Skizze, um uns den Sachverhalt besser zu ve rdeutlichen.
(2) Um die Integralgrenzen zu erhalten, bestimmen wir die Schnittpunkte der Gr aphen.
234-271
x² x 2
x² x 2 0
p, q Formel
1
9
1
3
x1, 2
2
4
2
2
x1 1
x 2 2
(3) Man sieht hieraus:
x2
x2
x1
x1
g ( x)dx f ( x)dx
Also gilt:
2
2
1
1
A | ( x 2)dx x ² dx || 1 (
2² 1
(2)³ 1
)6(
)|
2 2
3
3
| 1,5 6 3 || 4,5 | 4,5
Definition 163:
Ist f(x)>g(x) für alle x mit a<x<b, das heißt verläuft der Graph von f zwischen a und b
oberhalb von g, so gilt für den Flächeninhalt A der von beiden Graphen über dem I ntervall [a; b] eingeschlossenen Fläche
b
A ( f ( x) g ( x))dx
a
Wird f(x)>g(x) nicht beachtet, so erscheint das Ergebnis mit negativen Vorzeichen.
235-271
Beispiel 177:
Lösung:
236-271
Beispiel 178:
237-271
Beispiel 179:
238-271
Beispiel 180:
239-271
Beispiel 181:
240-271
Beispiel 182:
241-271
242-271
Prozentrechnung
Beispiel 1:
Einer Zeitungsmeldung ist zu entnehmen, dass Unternehmen A seinen Umsatz im Jahr
2004 um 4% gegenüber dem Umsatz von 2003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steigern
konnte.
Unternehmen B hat 2004 ein Ergebnis von 3,1 Mio. Euro Umsatz zu verzeichnen, was
einem Minus von 5,1% gegenüber 2003 entspricht.
Wie groß war der Umsatz (in Euro) von A im Jahr 2004 bzw. der von B im Jahr 2003?
Der Ausdruck „p Prozent von G” bedeutet mathematisch gesehen
p
100 („Prozent” heißt wörtlich „pro Hundert”).
G
Die Größe G nennt man Grundwert, p Prozentsatz und P Prozentwert, so dass sich die
Beziehung
Definition 164:
Pr ozentwert
Prozentsatz
Grundwert
100
P
p
G
100
ergibt, auf der die gesamte Prozentrechnung beruht.
Man bezeichnet sie daher auch als Grundformel der Prozentrechnung.
Daraus lassen sich durch einfache Äquivalenzumformungen die Formeln für Grundwert und Prozentsatz herleiten:
G P
100
p
und
p 100
P
.
G
Aus der letzten Gleichung ersehen Sie, dass der Prozentsatz p gerade das Verhältnis
von Prozentwert zu Grundwert ist (multipliziert mit dem Faktor 100), also den Prozentwert relativ zum Grundwert betrachtet wiedergibt. Noch deutlicher wird dies in
der Form
P
p
,
G
100
d.h. der Prozentwert P verhält sich zum Grundwert G wie der Prozentsatz p zu 100.
Man spricht daher bei Prozentsätzen auch von relativen Zahlen (im Vergleich zu den
absoluten Zahlen P und G).
243-271
Beispiel 2:
Bei einer Kommunalwahl entfallen 42.543 von 99.223 abgegebenen Stimmen auf die
SPD. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Wählerstimmen, den die SPD erhält.
Lösung: Mit G 99.223
p 100
und P 42 .543 berechnet man
42 543
42,88 .
99 223
Die SPD erhält einen Stimmenanteil von 42,88%.
Beispiel 3:
:
Auf ein Produkt wird ein Preisnachlass von 8%, das sind 15,20 Euro, gegeben. Wie
teuer war das Produkt ursprünglich?
Lösung: Mit p 8 % und P 15,20Euro berechnet sich
G 15,20 Euro
100
190 Euro .
8
Der ursprüngliche Preis betrug somit 190 Euro.
Beispiel 4:
In einem Entwicklungsland leben 37% aller 19,7 Mio. Einwohner unterhalb der Armutsgrenze. Wie viele Personen sind das?
Lösung: Mit G 19,7 Mio. und p 37 % erhält man
P 19,7
37
Mio. 7,289 Mio.
100
Etwa 7,3 Mio. Einwohner leben unterhalb der Armutsgrenze.
Kehren wir zurück zur Aufgabe vom Beginn des Abschnitts: Das Unternehmen A kon nte seinen Umsatz um 4% von 4,3 Mio. Euro steigern, das sind
P 4.300 .000 Euro
4
172 .000 Euro .
100
Der Umsatz U im Jahr 1997 beträgt daher
4.300.000 Euro 172.000 Euro 4.472.000 Euro .
Einfacher ist es, den Jahresumsatz U direkt in einer Gleichung auszurechnen:
4
4.300 .000 Euro
100
4
4.300 .000 1
100
4.300 .000 Euro 1,04 4.472 .000 Euro
U 4.300 .000 Euro
Gelegentlich findet man für diesen Aufgabentyp, bei dem nach der Summe aus
Grundwert zuzüglich eines prozentualen Aufschlags gefragt ist, auch die Formel
244-271
Definition 165:
G p G
wobei G der vermehrte Grundwert ist, der sich aus dem ursprünglichen Grundwert G
zuzüglich des Prozentwertes P ergibt; p ist gegeben durch:
p 1
p
.
100
Definition 166:
Entsprechend kann man den verminderten Grundwert G definieren:
G p G mit p 1
p
100
Der verminderte Grundwert gibt den Grundwert an, vermindert um einen prozentualen Abzug von p % von G.
Ein Beispiel hierfür ist die Entwicklung des Unternehmen B in der Beispielaufgabe:
Hier entspricht der Umsatz in 2004 (3,1 Mio. Euro) dem Umsatz in 2003, vermindert
um 5,1%.
Mit G 3,1Mo. und p 1 0,051 0,949
erhält man
G
G 3,1 Mio. Euro
3.27 Mio. Euro .
0,949
p
245-271
Zinsen
Allgemeine Bezeichnungen
Definition 167:
K 0 : Barwert (Anfangskapital)
K n: Endwert (Kapital nach n Jahren)
i: Zinssatz
d: Diskontsatz
n: Laufzeit
Wir geben Zinssatz in Prozent oder als Dezimalzahl an,
z.B. i = 5% = 0,05.
Wenn jemand Geld auf ein Sparbuch legt, verleiht oder einem Unternehmen zuführt, so
möchte er im Allgemeinen nicht nur das angelegte Geld zurückbekommen, sondern
darüber hinaus noch einen zusätzlichen Betrag (als „Gewinn" aus dieser Geldanlage)
erhalten - die so genannten Zinsen.
In den meisten Fällen ist man sich darüber einig, dass die Zinsen umso höher sein so llen, je höher das eingesetzte Kapital ist und je länger das Kapital entlehnt wird. Hi nsichtlich der Zinsperioden (in welchen Zeitabständen die Verzinsung erfolgen soll),
hinsichtlich der Fälligkeit der Zinsen (zu Beginn oder am Ende einer Zinsperiode) und
hinsichtlich der Berechnungsbasis (entlehntes Kapital mit oder ohne Berücksichtigung
von Zinsen aus früheren Zinsperioden) gibt es jedoch sehr unterschiedliche Auffa ssungen.
Je nach Situation, gesetzlichen Bestimmungen oder wirtschaftlichen Gepflogenheiten
werden hier sehr unterschiedliche Vereinbarungen getroffen. Darüber hinaus orie ntieren sich die Prozentsätze, mit denen verzinst wird, am Geld- und Kapitalmarkt und
unterliegen zum Teil beträchtlichen Schwankungen.
Einfache Verzinsung
Im einfachsten Fall erfolgt die Berechnung der Zinsen jeweils vom ursprünglich en tlehnten Kapital ohne Berücksichtigung von Zinsen aus früheren Zinsperioden. Man
spricht von einfacher Verzinsung.
Beispiel 5:
Ein Kapital von € 10 000,- wird für drei Jahre verliehen. Nehmen wir an, es werde ve reinbart, dass pro Jahr 12% des entlehnten Kapitals an Zinsen anfallen. Diese Zinsen
sollen nach Ablauf der drei Jahre zusammen mit dem entlehnten Kapital (zurück)bezahlt werden. Wie hoch ist der gesamte Rückzahlungsbetrag?
Lösung:
Zum entlehnten „Anfangskapital" von € 10000,- kommen jährlich Zinsen in der Höhe
von 12% von € 10 000,- hinzu, in drei Jahren also:
246-271
3 · 0,12 · 10.000 = 3.600
Der Rückzahlungsbetrag nach 3 Jahren (Endkapital K3) beträgt somit:
K 3 = 10 000 + 3 . 0,12 . 10 000 = 13 600 €
In voriger Aufgabe wurden die Zinsen jeweils vom entlehnten Kapital berechnet und
erst am Ende der drei Jahre (nachschüssig oder dekursiv) dem Kapital zugeschlagen
(d.h. der Rückzahlungsbetrag erhöht sich um die Zinsen).
Definition 168:
Einfacher Zins:
Kn = K0 + n · i · K0 = K0 · (1 + n · i)
K 0 ... Anfangskapital (entlehnter Betrag);
K n... Endkapital (Rückzahlungsbetrag)
n ... Verzinsungsdauer (in Zinsperioden);
i ... Zinssatz für jede Zinsperiode
Bei einfacher Verzinsung bezieht sich der angegebene Zinssatz meist auf ein Jahr, d.
h.
Definition 169:
Eine Zinsperiode dauert ein (Kalender-)Jahr. Dabei gilt i.a.:
1 Jahr = 12 Monate = 360 Tage
Definition 170:
Die Berechnung des Endkapitals bezeichnet man als Aufzinsung, jene des Anfangskapitals als Abzinsung.
247-271
Einfache Verzinsung - kaufmännischer Diskont
Beispiel 6:
Ein Kapital von € 10000,- soll in 3 Jahren zurückbezahlt werden, wobei vereinbart
wurde, dass die Zinsen von jährlich 12% des entlehnten Kapitals bereits zu Beginn der
drei Jahre fällig sind, d. h. gleich vom entlehnten Kapital abgezogen werden. Welcher
Betrag wird ausbezahlt?
Lösung:
Nach drei Jahren werden K 3 = 10 000,- („Endkapital") zurückbezahlt. An Zinsen fallen
jährlich 12% von € 10 000,- an, in 3 Jahren also:
3 . 0,12 . 10 000 = 3 600
Somit ergibt sich ein Auszahlungsbetrag („Anfangskapital") K 0 von:
K 0 = 10 000 - 3 • 0,12 • 10 000 = 6 400 €
Die Zinsen werden zwar ebenfalls stets vom entlehnten Kapital berechnet (einfache
Verzinsung), sie werden jedoch gleich zu Beginn fällig (vorschüssig oder antizipativ),
sodass sich der Auszahlungsbetrag um diese Zinsen verminderte. Man nennt diese
Form der einfachen Verzinsung „kaufmännischer Diskont".
Definition 171:
Kaufmännischer Diskont:
K0 = Kn - n · d · Kn = Kn · (1 - n · d)
K0 ... Anfangskapital (Auszahlungsbetrag); Kn ... Endkapital (entlehnter Betrag)
n ...Verzinsungsdauer (in Zinsperioden);
d ... Diskontsatz für jede Zinsperiode
Beim einfachen Zins gibt das Anfangskapital K0 den entlehnten Betrag an, das Endkapital
Kn den um die Zinsen erhöhten Rückzahlungsbetrag.
Beim kaufmännischen Diskont ist das Endkapital Kn der nach n Jahren zurückzuzahlende
entlehnte Betrag, während das Anfangskapital K0 den um die Zinsen (hier: Diskont) verringerten Auszahlungsbetrag angibt.
Bemerkung 22:
Diese Art der Verzinsung wird vor allem bei der Wechseldiskontierung angewendet.
Mit einem Wechsel verpflichtet man sich, zu einem späteren Zeitpunkt einen b estimmten Betrag K n zu zahlen. Wenn der Empfänger des Wechsels ihn schon früher
einlösen will, erhält er von der Bank den um die Diskontzinsen verminderten Betrag.
248-271
Dekursiver Zinseszins
Dabei wird der Zins am Ende einer Zinsperiode (dekursiv) berechnet und mit dem Kapital verbunden. Dieses so erhöhte Kapital bildet dann wieder die Grundlage für die
Berechnung der Zinsen für die nächste Zinsperiode.
Definition 172:
p
K n K 0 1
100
Dekursiver Zinseszins:
n
K0 ... Anfangskapital;
Kn ... Endkapital
n ...Verzinsungsdauer (in Zinsperioden);
i ... Zinssatz pro Zinsperiode
Den Klammerausdruck (mit Exponent) nennt man Aufzinsungs-Faktor q n
q
n
p
1
100
n
Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab.
Abzinsen eines Anfangskapitals
Definition 173:
Man kann auch feststellen, welches Anfangskapital nötig ist, um nach n Jahren bei
einem bestimmten Zinssatz ein bestimmtes Endkapital zu erreichen. Dabei wird das
Endkapital sozusagen abgezinst (diskontiert) und man ermittelt den Barwert des Endkapitals.
Beispiel 7:
Wie hoch ist der Barwert eines Kapitals, das in 3 Jahren bei 5% Zinseszinsen auf 3000
Euro angewachsen ist?
K0
=
Kapital zu Beginn der Laufzeit (Anfangskapital)
Kn
=
Kapital am Ende des n-ten Jahres
n
=
Laufzeit in Jahren
qn
=
Aufzinsungs-Faktor
Herleitung der Barwert-Formel aus der Zinseszins-Formel
Für das Endkapital gilt
K n K0 q n
Stellt man die Formel um, erhält man für K 0
Definition 174:
K0
Kn
1
Kn n
n
q
q
249-271
K 0 3000
1
5
1
100
3
3000
1
1,05 3
K 0 2591 ,512794
Das Anfangskapital (= der Barwert des Endkapitals) beträgt 2591,51 Euro.
Für die Barwert-Ermittlung gilt die Allgemeine Barwert-Formel
K0 Kn
1
qn
1
heißt Abzinsungs-Faktor.
qn
Berechnung der Zinsen
Die Zinsen ergeben sich aus der Differenz von Anfangs- und Endkapital.
Berechnung des Zinssatzes
Der Zinssatz kann auch mathematisch genau berechnet werden. Auch das erfolgt über
den Aufzinsungsfaktor, denn es gilt die Formel
p
q 1
100
n
n
worin p der Zinssatz ist.
Ebenfalls gilt
Definition 175:
1
K n K0 q n
K
qn n
K0
K n
K
q=n n n
K0
K0
Man kann den Zinssatz also berechnen, wenn folgende Werte gegeben sind
Anfangskapital
Endkapital
Laufzeit
Definition 176:
Wenn der Aufzinsungsfaktor bekannt ist, kann man den Zinssatz berechnen über die
Beziehung
p = q 1 100
250-271
Beispiel 8:
Zu welchem Zinssatz wurden 12.000,00 Euro angelegt, wenn nach 3 Jahren ein En dkapital von 14.091,00 Euro entstanden ist?
q=3
14091,00 3
117425
,
1,055
12000,00
p = 1,055 1 100 5,5
Das Kapital wurde zu 5,5% verzinst.
Berechnung der Laufzeit
Definition 177:
Man kann die Laufzeit auch mathematisch genau berechnen. Das erfolgt mit Hilfe von
Logarithmen. Es gilt die Formel
n=
lg K n lg K0
lgq
lg = Logarithmus zur Basis 10
Den Aufzinsungsfaktor berechnet man am einfachsten mit der Formel
q = 1
p
100
Man kann die Laufzeit also berechnen, wenn folgende Werte gegeben sind
Anfangskapital
Endkapital
Zinssatz
Beispiel 9:
In welcher Zeit wächst ein Kapital von 7.450,00 Euro bei 7% Zinseszins auf 10.449,00
Euro?
q = 1
n=
7
1,07
100
4,019 3,872
4,999 5
0,029
Die Laufzeit beträgt 5 Jahre.
251-271
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Definition 178:
Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor
auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden!
Beispiel 10:
Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor:
A bietet 20.000 € sofort und 10.000 € in 3 Jahren;
B bietet je 15.000 € in einem Jahr und in 2 Jahren.
Welches Angebot ist - bei einer Verzinsung von 5% - für den Verkäufer günstiger?
Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch einen Zeitstrahl:
Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen:
A: 20.000·1,05 3 + 10.000 = 33.152,50
B: 15.000·1,05 2 + 15.000·1,05 = 32.287,50
Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger.
(Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.B.
den Anfang des 1. Jahres, gewählt hätten.)
A: 20.000+10.000·0,97=29.700
B: 15.000·0,97+15.000·0,97=28.663,5
252-271
Unterjährige Verzinsung
Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich,
vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes i m (m
ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten:
Definition 179:
Relativer unterjähriger Zinssatz: i m
i
m
Der nominelle Jahreszinssatz wird durch die Anzahl der Zinsperioden geteilt.
Dabei ergibt sich allerdings ein höherer Effektivzinsatz.
Beispiel 11:
K 0 = 100, i = 12%, n = 1
i2 = 6%
K 1 = 100·1,06 2 = 112,36
i eff = 12,36%
vierteljährlich: i4 = 3%
K 1 = 100·1,03 4 = 112,55
i eff = 12,55%
monatlich:
K 1 = 100·1,01 12 = 112,68
i eff = 12,68%
halbjährlich:
i12 = 1%
Definition 180:
Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz:
(1 + i m )m = 1 + i
Bemerkung 23:
im wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzinssatz ergibt wie bei jährlicher
Verzinsung.
Betrachten wir wieder das Beispiel i = 12%:
(1 + i 2 )2 = 1,12
i2 = 5,83%
vierteljährlich: (1 + i 4 )4 = 1,12
i4 = 2,87%
halbjährlich:
monatlich:
(1 + i 12 )12 = 1,12
i12 = 0,95%
Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen
unterjährigen Zinssatz verwendet!
Das bedeutet für unser Beispiel:
Wenn der gleiche Betrag als Ergebnis herauskommen soll, dann muss folgendermaßen
gerechnet werden
n
p
12
K1 K 0 1
100 1
112 €
100
100
Halbjährig:
253-271
(
)
Stetige Verzinsung
Wenn man (bei gleichbleibendem nominellem Zinssatz) die Anzahl der Zinsperioden
vergrößert, wird das Endkapital immer größer. Es gibt aber eine obere Grenze.
Setzen wir der Einfachheit halber K 0 = 1, i = 1%:
m
K1
1
1+1=2
2
(1 + ½) 2 = 2,25
4
(1 + ¼) 4 = 2,441
12
(1 + 1 / 12 )12 = 2,613
100
(1 + 1 / 100 )100 = 2,705
1000
(1 + 1 / 1000 )1000 = 2,717
Der Grenzwert dieser Folge für m ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828...
Endwert eines Kapitals bei stetiger Verzinsung zum nominellen Zinssatz i:
Definition 181:
K n = K 0 ·e i·n
Die stetige Verzinsung eines Kapitals ist in der Praxis nicht durchführbar; sie stellt
aber ein gutes Modell für natürliche Vorgänge (Wachstumsvorgänge, radioaktiver Ze rfall u.a.) dar.
254-271
Gemischte Verzinsung - Sparbuch
Die Formel für den dekursiven Zinseszins kann auch für nichtganzzahlige Werte von n
verwendet werden. In der Praxis passiert dies jedoch kaum (deshalb auch die B ezeichnung theoretische Verzinsung).
Bei Sparformen wird üblicherweise der Zinseszins nur für den ganzzahligen Teil von n
angewendet. Für den nichtganzzahligen Teil von n wird mit einfachem Zins gerechnet.
Man bezeichnet diese Art von Verzinsung als praktische oder gemischte Verzinsung.
Gemischte Verzinsung:
Kn = K0 • (1+i)g • (1+h•i)
K0 ... Anfangskapital;
pro Zinsperiode
Kn ... Endkapital; n ...Verzinsungsdauer;
i ... Zinssatz
g ... ganzzahliger Teil von n; h ... nichtganzzahliger Teil von n
Zinsperioden können an dem auf die Einzahlung folgenden Tag beginnen oder zu fixen, einheitlich festgelegten Terminen (z.B. am Ende eines Kalenderjahres) vorgeg eben sein. Die Verzinsung beginnt immer am ersten Werktag nach der Einzahlung und
endet am letzten Werktag vor der Behebung (Samstage zählen nicht als Werk tag).
Beträge, die innerhalb von 14 Tagen wieder behoben werden, werden i.a. nicht ve rzinst.
255-271
Rentenrechnung
Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen b ezeichnet man als Rente.
Die Rentenrechnung ist eine Form der Zinseszinsrechnung. Renten sind Geldleistungen, die zu regelmäßig wiederkehrenden Zeitpunkten in gleicher Höhe gezahlt we rden. Eine einzelne Zahlung heißt Rentenrate.
Wenn die Zahlungen am Ende eines Jahres geleistet werden, spricht man von nachschüssigen Renten. Erfolgen die Zahlungen am Anfang des Jahres, heißen sie vorschüssige Renten.
Die Summe aller Rentenraten einschließlich Zinseszinsen nach n Jahren nennt man
Renten-Endwert R n .
Bezeichnungen:
Definition 182:
R: Rate
E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums)
B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums)
Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten
Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode
Vorschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode
256-271
Berechnung des nachschüssigen Renten-Endwerts
Man kann sich den Renten-Endwert vorstellen als Summe der Zinseszinsrechnungen
über eine bestimmte Laufzeit.
Beispiel 12:
Am Ende eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind
die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres gele istet
wird und der Zinssatz 3% beträgt?
Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet we rden.
p
K n K 0 1
100
n
Rentenrate
Jahr
Aufzinsungsfaktor
Endwert
500
1. Jahr / n = 4
1,03 4
562,75
500
2. Jahr / n = 3
1,03 3
546,36
500
3. Jahr / n = 2
1,03 2
530,45
500
4. Jahr / n = 1
1,03
515,00
500
5. Jahr / n = 0
1,00
500,00
Summe
2654,56
Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt 2.654,56 Euro.
Mathematisch stellt die Summe der nachschüssigen Rentenraten eine geometrische
Reihe dar, die mit einer Summenformel berechnet werden kann.
Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Endwert
Definition 183:
En = R
q
q
1
q 1
n
1
q 1
n
R ist die einzelne Rentenrate
heißt nachschüssiger Renten-Endwert-Faktor
Den Aufzinsungsfaktor berechnet man mit der bekannten Formel
p
q n 1
100
n
Das Beispiel von oben mit der neuen Formel berechnet.
En
q
= R
1
1,03 5 1
500
2.654 ,57 €
q 1
1,03 1
n
Bei diesen Rechnungen mit Formel oder Tabelle kann es zu abweichenden Lösungen
durch Rundungsfehler kommen.
257-271
Berechnung des vorschüssigen Renten-Endwerts
Ebenso wie bei der Zinseszinsrechnung kann man auch bei der Rentenre chnung den
vorschüssigen Renten-Endwert berechnen.
Beispiel 13:
Am Anfang eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag
sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres g eleistet wird und der Zinssatz 3% beträgt?
Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet we rden.
p
K n K 0 1
100
Rentenrate
n
Jahr
Aufzinsungsfaktor
Endwert
5
579,64
500
1. Jahr / n = 5
1,03
500
2. Jahr / n = 4
1,03 4
562,75
500
3. Jahr / n = 3
1,03 3
546,36
500
4. Jahr / n = 2
1,03 2
530,45
500
5. Jahr / n = 1
1,03
515,00
Summe
2734,20
Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt 2.734,20 Euro.
Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Endwert
Definition 184:
EV = R q
q
q
1
q 1
n
q
1
q 1
n
R ist die einzelne Rentenrate
heißt vorschüssiger Renten-Endwert-Faktor
Den Aufzinsungsfaktor berechnet man mit der bekannten Formel
p
q n 1
100
n
Wieder nach der neuen Formel berechnet:
258-271
Berechnung des nachschüssigen Renten-Barwertes
Auch bei der Rentenrechnung kann der Barwert eines Kapitals berechnet werden. D abei wird in die Rechnung der Abzinsungsfaktor einbezogen.
Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Barwert
Definition 185:
B n =R
1 q n 1
q n q 1
1 qn 1
qn q 1
R ist die einzelne Rentenrate
heißt nachschüssiger Renten-Barwert-Faktor
Beispiel 14:
Welcher Betrag muss bei einer Verzinsung von 3% eingezahlt werden, dam it für 12
Jahre an jedem Jahresende eine Rente von 1500 Euro ausgezahlt werden kann?
n
1 q 1
Bn = r n
q
q 1
p
q n 1
100
B12 1.500
n
1
1,0312 1
14 .931,01
1,0312 1,03 1
Es muss ein Betrag von 14.931,01 Euro eingezahlt werden.
259-271
Berechnung des vorschüssigen Renten-Barwertes
Bei der vorschüssigen Rentenzahlung wird die letzte Rente bereits zu Beginn des n ten Jahres ausgezahlt. Daher fallen Zinsen nur für n minus 1 Jahre an.
Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Barwert
Definition 186:
Bv = R
1
q
n 1
q
q
q
n 1
1
q 1
n
1
q 1
1
n
R ist die einzelne Rentenrate
heißt vorschüssiger Renten-Barwert-Faktor
Beispiel 15:
Welcher Betrag muss bei 3% Verzinsung eingezahlt werden, damit für 12 Jahre an j edem Jahresanfang eine Rente von 1500 Euro ausgezahlt werden kann?
Bv = R
1
q
n 1
q
1
q 1
p
q 1
100
n
n
n
B12 = 1.500
1,03 12 1
1
1,03 11 1,03 1
15 .378 ,94
Es muss ein Betrag von 15.378,94 Euro eingezahlt werden.
Zusammenfassung:
nachschüssig
vorschüssig
Endwert:
Barwert:
Definition 187:
Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äqu ivalenten Zinssatz rechnen, z.B.:
monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q =
12
1,05 = 1,0041
zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q = 1,05 2 = 1,1025
260-271
Beispiel 16:
Herr A. zahlt 15 Jahre lang am Ende jedes Jahres 1.000 € ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will er 20 vorschüssige Jahresraten abheben, beginnend 5 Jahre nach der
letzten Einzahlung. Wie hoch ist eine Rate?
Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5
Jahre
Lösung:
En R
qn 1
1,0415 1
1.000
20 .023 ,60
q 1
1,04 1
Bv 20.023,6 1,04 5 24.361,76
Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig):
B v (q 1) q n 1
1 qn 1
B v R n 1
R
1.723 ,64
q
q 1
qn 1
Beispiel 17:
Frau B. nimmt einen Kredit von 15000 € mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie
in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Wie hoch ist eine Rate?
Lösung:
Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz:
q = 1 + i 12 = 12 1,08 = 1,0064.
Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 120 nachschüssige Raten zu zahlen:
15000 = R·(1 - 1,0064 -120 )/0,0064
R = 179,79 €
261-271
Unterjährige Renten
In der Praxis erfolgen Ratenzahlungen nicht nur einmal jährlich, sondern in den mei sten Fällen mehrmals pro Jahr (halbjährlich, vierteljährlich, monatlich).
Fallen die Zinstermine mit den Rententerminen zusammen, d.h. stimmen die
Zinsperioden mit den Rentenperioden überein, so bleiben die hergeleiteten
Formeln ohne Änderung gültig (n steht ja für die Anzahl der Rentenperioden und
nicht zwingend für die Zahl der Jahre).
Ist die Zinsperiode kleiner als die Rentenperiode (d.h. eine Ratenzahlung wird
m mal mit einem Zinssatz im verzinst, bevor die Zahlung der nächsten Rate e rfolgt), so wird dies in den Formeln durch einen Aufzinsungsfaktor r = (1+i m )m
berücksichtigt.
Ist die Rentenperiode kleiner als die Zinsperiode (z.B. vierteljährliche Rentenzahlungen bei i = 8% p.a. ), so ist die Verzinsung an die kleinere Periodenlänge
anzupassen. Dies geschieht durch Berechnung des äquivalenten Zinssatzes im
(z.B.: (1+i 4 )4 = (1+i) )
262-271
Ewige Renten
Werden die Zinsen eines Kapitals B als Rate ausbezahlt, so bleibt der Barwert B immer
gleich groß; man erhält eine "ewige Rente". Es gilt dann: R = B.i
263-271
Rentenumwandlung
Von Rentenumwandlungen spricht man, wenn Renten durch äquivalente einmalige
Zahlungen ersetzt werden, vorschüssige in nachschüssige Renten umgewandelt werden (oder umgekehrt) oder z.B. ein durch Rentenzahlungen angespartes Kapital wi eder durch eine neuerliche Rente (i.a. mit veränderter Laufzeit) wieder ausbezahlt wird
(z.B. bei privater Pensionsvorsorge, ...).
264-271
Tilgungsrechnung oder Annuitätendarlehen
Darunter versteht man ein Darlehen, das durch eine konstante Monatsrate zurückg ezahlt wird. Dieser Betrag setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: Tilgung und Zins.
Dadurch nimmt der Schuldenbetrag ab, was gleichzeitig zur Folge ha t, dass der
Zinsanteil zurückgeht, also nimmt mit jedem Monat die Tilgung zu.
D sei das aufgenommene Darlehen und K n der Kontostand des Schuldenkontos n Monate nach der Schuldenaufnahme. R sei die monatliche Rückzahlungsrate und p der
Jahreszins für die monatliche Verzinsung.
Berechnung der Kontostände: (jetzt wird nachschüssig zurückgezahlt!)
wobei in der Klammer die Reihenfolge der Summanden umgekehrt worden ist.
Diese Klammer stellt wieder eine geometrische Reihe dar, durch deren Summenfo rmel man die folgende Berechnungsformel erhält:
Definition 188:
K n D q n R
q n 1
q 1
Berechnung der Monatsrate, damit das Darlehen D nach einer bestimmten Zeit (n
Monate) zurückgezahlt sein soll:
Am Ende der Rückzahlungsphase ist der Kontostand auf 0 zurückgegangen.
Die Bedingung dafür ist K n = 0 daraus folgt:
Berechnung der Anteile von Zins und Tilgung innerhalb einer Monatsrate in Abhä ngigkeit von n:
Der im Monat n enthaltene Zinsanteil Z n berechnet sich aus dem Kontostand im Monat zuvor; der Rest der Rate dient alleine der Schuldentilgung.
Beispiel 18:
265-271
Herr Baumann nimmt für einen Umbau ein Darlehen von 250 000 € von der Bank auf.
Man vereinbart 100% Auszahlung, 7,5% Zins p. a. bei monatlicher Verzinsung und eine
Laufzeit von 10 Jahren. Mit der Rückzahlung wird nach 1 Monat begonnen
a) Berechnen Sie die Monatsrate.
b) Erstellen Sie bei 2500 € Monatsraten eine geeignete Formel zur Berechnung aller
Kontostände. Berechne damit die Kontostände K 0 , K 1 , K 2 , K 3 , K 120 , K 157 und K 158 .
c) Berechnen Sie die Laufzeit bei einer Monatsrate von 2500 € ! Wie hoch ist die letzte Rate?
d) Wie groß sind dabei Zins und Tilgung in den ersten drei Monaten und nach 10 Ja hren? Wann sind Zins und Tilgung etwa gleich groß?
e) Wie viel verdient die Bank daran?
Lösung:
a)
R D qn
q 1 250 .000 1,00625 120 0,00625
2.967 ,54 €
qn 1
1,00625 120 1
b)
266-271
c)
d) Zinsen und Tilgung in den ersten drei Monaten und nach 10 Jahren.
267-271
Man erkennt sehr schön. Um wie viel der Zins ab- und die Tilgung in gleichem Maße
zunimmt. Ganz stark ist dies nach 10 Jahren (120 Monaten) zu beobachten!
e)
Beispiel 19:
Zur Tilgung einer Schuld von € 80.000,- bei i = 6% p.a. sollen durch 4 Jahre hindurch
nachschüssig Zahlungen geleistet werden, die jeweils einen Tilgungsanteil gleicher
Höhe beinhalten. Erstellen Sie einen Tilgungsplan.
Lösung:
268-271
B = K 0 = 80 000, i = 6%
für die jährliche Tilgung t k muss gelten: tk
B
n
Tilgungsplan (Ratentilgung)
Jahr (k) Annuität (A k )
Zinsanteil (Z k )
Tilgungsanteil (T k ) Restschuld (K k )
0
0
0
0
80.000,00
1
24.800,00
4.800,00
20.000,00
60.000,00
2
23.600,00
3.600,00
20.000,00
40.000,00
3
22.400,00
2.400,00
20.000,00
20.000,00
4
21.200,00
1.200,00
20.000,00
0,00
12.000,00
80.000,00
Summe 92.000,00
allgemein gilt für nachschüssige Jahresraten:
Ak Z k Tk
Z k K k 1.i
K k K k 1 Tk
Bei vorschüssigen Rentenraten werden die Zinsen jeweils von der Restschuld am Ende
des gleichen Jahres berechnet (und nicht wie im vorigen Fall von der Restschuld des
Vorjahres); d.h. in diesem Fall gilt:
Zk Kk .d
Tilgungsplan (Ratentilgung vorschüssig)
Jahr (k) Annuität (A k )
Zinsanteil (Z k )
Tilgungsanteil (T k )
Restschuld (K k )
0
0
0
0
80.000,00
1
23.600,00
3.600,00
20.000,00
60.000,00
2
22.400,00
2.400,00
20.000,00
40.000,00
3
21.200,00
1.200,00
20.000,00
20.000,00
4
20.000,00
0,00
20.000,00
0,00
7.200,00
80.000,00
Summe 87.200,00
Annuitätentilgung
Die Annuitätentilgung entspricht einer Rentenrechnung mit gegebenem Barwert. Die
Rückzahlung erfolgt nach- oder vorschüssig durch Annuitäten konstanter Höhe.
Beispiel 20:
269-271
Eine Schuld von € 50.000,- soll bei i = 10% p.a. in 5 Jahren durch gleichbleibende
nachschüssige Jahresraten getilgt werden.
Erstellen Sie einen Tilgungsplan.
R Ak
50000 1,15 0,1
13189,87
1,15 1
Tilgungsplan (Annuitätentilgung nachschüssig)
Jahr (k) Annuität (A k )
Zinsanteil (Z k )
Tilgungsanteil (T k )
Restschuld (K k )
0
0
0
0
50.000,00
1
13.189,87
5.000,00
8.189,87
41.810,13
2
13.189,87
4.181,01
9.008,86
32.801,27
3
13.189,87
3.280,13
9.909,74
22.891,53
4
13.189,87
2.289,15
10.900,72
11.990,81
5
13.189,87
1.199,08
11.990,79
0,02
15.949,37
49.999,98
Summe 65.949,35
*)
*)
*) Abweichungen ergeben sich durch Rundungen
Nicht ganz so einfach gestaltet sich die Erstellung des Tilgungsplans bei vorschüssiger
Zahlung. Es wird die Restschuld mit d verzinst. Die Restschuld ist jedoch erst bekannt,
wenn man die Tilgung berechnet hat (und für diese benötigt man die Höhe der Res tschuld...).
Definition 189:
Ak Tk Z k
Ak Tk ( K k 1 Tk ) d
Ak Tk K k 1 d Tk d
Tk
Ak K k 1 d
1 d
Rechnet man mit B = 50000, d = 10%, n = 5 und vorschüssigen Zahlungen, so erhält
d
50000 (1 i )4 i
12209,71
man mit i
: R Ak
(1 i )5 1
1 d
270-271
Tilgungsplan (Annuitätentilgung vorschüssig)
Jahr (k) Annuität (A k )
Zinsanteil (Z k )
Tilgungsanteil (T k )
Restschuld (K k )
0
0
0
0
50.000,00
1
12.209,71
4.198,92
8.010,79
41.989,21
2
12.209,71
3.308,83
8.900,88
33.088,33
3
12.209,71
2.319,85
9.889,86
23.198,47
4
12.209,71
1.220,97
10.988,74
12.209,74
5
12.209,71
0,00
12.209,71
0,03
11.048,58
49.999,97
Summe 61.048,55
271-271
