1.5

25.05.2011
1.5 Schnittwinkelformeln
a) Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden
Zwei sich schneidende Geraden schließen stets zwei
Winkel miteinander ein, die sich zu 180° ergänzen.
φ
g2
Als Schnittwinkel zwischen zwei Geraden bezeichnet
man den kleineren der beiden:
g1
φ =
( g1 , g2 ) ε 0°; 90°
Bei der Bestimmung einer Formel zur Berechnung dieses Schnittwinkels sind zwei
Fälle zu unterscheiden:
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g1 :
r
1. Fall:
= r1 + s1 . a1
,
a1 . a2 > 0
a1
g2
g2 : r
= r2 + s2 . a2
a . b = | a | . | b | . cos (φ)
In diesem Fall schließen die beiden Richtungsvektor
φ
einen Winkel von höchstens 90° ein.
a2
Daher stimmt der Schnittwinkel zwischen den beiden
Geraden mit dem Winkel zwischen ihren beiden Rich-
g1
tungsvektoren überein:
( g1 , g2 ) =
( a1 , a2 )
= arccos
a1 . a2
| a1 | . | a2 |
= arccos
a1 . a2
| a1 | . | a2 |
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1
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r
g1 :
= r1 + s1 . a1
,
g2 : r
a . b = | a | . | b | . cos (φ)
a1 . a2 < 0
2. Fall:
= r2 + s2 . a2
In diesem Fall ist der Winkel zwischen den beiden
a1
g2
a2
φ
Richtungsvektoren größer als 90° .
- a2
Daher stimmt der Schnittwinkel zwischen den beiden
Geraden mit dem Winkel zwischen dem Richtungs-
g1
vektor der einen Geraden und dem Gegenvektor des
Richtungsvektors der anderen Geraden überein:
( g1 , g2 ) =
a1 . ( - a2 )
( a1 , - a2 ) = arccos
= arccos
| a1 | . | - a2 |
a1 . a2
| a1 | . | a2 |
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Daher gilt allgemein:
Der Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden
g1 :
r
= r1 + s1 . a1
und
g2 :
r
= r2 + s2 . a2
beträgt
( g1 , g2 ) =
arccos
a1 . a2
| a1 | . | a2 |
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2
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Beispiel
g1 : r
=
1
2
-1
+ s1 .
-1
1
1
,
g2 :
r
4
3
2
=
2
0
1
+ s2 .
Nach Beispiel 1 aus Abschnitt 1.3 a) schneiden sich diese beiden Geraden und bilden
daher einen Schnittwinkel. Er beträgt
( g1 , g2 ) =
arccos
-1
1
1
a1 . a2
=
arccos
| (-1) . 2
3
-1
1
1
+ 1. 0 + 1.1|
.
2
0
1
arccos
| a1 | . | a2 |
=
.
=
arccos
5
.
1
2
0
1
= 75,03°
15
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b) Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
g
n
Der Schnittwinkel
φ zwischen einer
Geraden g und einer Ebene E enta
φ
spricht dem Winkel zwischen der
Geraden g und ihrer Spurgeraden
E
S
( die Spurgerade ist die Projektion
der Geraden g in die Ebene E ).
g*
Zur Bestimmung dieses Winkels betrachtet man die Gerade g* ,
die den Schnittpunkt S zwischen g und E enthält und die die
Ebene E senkrecht schneidet :
φ = 90° -
( g, g * ) = 90° - arccos
a . n
a . n
= arcsin
|a| . |n|
|a| . |n|
Analysis 2.6
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3
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Daher gilt allgemein:
Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden
und einer Ebene
g : r = rg + s . a
E : n . ( r - rE ) = 0 ,
die sich in einem Punkt schneiden, beträgt
a . n
(g , E)
=
arcsin
|a| . |n|
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Beispiel:
Nach Beispiel 1 aus Abschnitt 1.3 b) schneidet sich die Gerade
g:
r
=
1
2
-4
in einem Punkt.
+ sg .
-1
1
1
mit der Ebene
=
-1
1
1
=
arcsin
=
9
arcsin
| (- 1) . 3
-1
1
1
+ 1 . (- 6 ) + 1 . 3 |
3
.
54
3
-6
3
.
arcsin
|a| . |n|
=
. r
Der Schnittwinkel beträgt
a . n
(g , E)
3
-6
3
E:
=
arcsin
3
-6
3
.
6
= 28,13°
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4
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c) Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen
( Schnittzeichnung :
E1
die Ebenen stehen senkrecht über
φ
den beiden eingezeichneten Geraden,
n1
φ
die Schnittgerade steht senkrecht
E2
n2
über dem Schnittpunkt )
Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen entspricht dem Winkel
zwischen zwei sich schneidenden Gera-
g1
g2
den, die jeweils zu einer dieser Ebenen
senkrecht stehen.
Daher gilt:
( E1 , E2 ) =
n1 . n2
arccos
| n1 | . | n2 |
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D
Hinweise zu den Übungen
Übung 3:
Bestimmen Sie den Innenwinkel eines Tetraeders
C M
φ
A
B
Übung 5:
a.) Bestimmen Sie alle Ebenen, die den Punkt P = ( 1 / 2 / 0 ) enthalten und die
Einheitskugel berühren.
b.) Welche dieser Ebenen stehen zusätzlich senkrecht zur x, y - Ebene ?
Bestimmen Sie zu diesen Ebenen Schnittgerade und Schnittwinkel.
c.) Welchen Abstand muss ein Punkt P der x, y - Ebene vom Nullpunkt haben,
damit der Schnittwinkel in Aufgabe b) 90°beträgt ?
d.) Geben Sie eine allgemeine Rechenformel für die Funktion f ( d ) an, die jedem
Abstand d zwischen einem Punkt P der x, y - Ebene und dem Nullpunkt den
Schnittwinkel der Ebenen gemäß b) zuordnet.
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