Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie
Vorlesung von Prof. Dr. B.H. Matzat
SS 1992 Heidelberg
Ausarbeitung von A. Christian
Vorwort
Das vorliegende Sriptum ist die Ausarbeitung einer Vorlesung uber Elementare Zahlentheorie, die ich an der TU Berlin im Sommersemester 1987 und in leicht erganzter Form
im Sommersemester 1992 an der Universitat Heidelberg gehalten habe. Das Ziel war eine
Einfuhrung in die Elementare Zahlentheorie mit Ausrichtung auf Fragen uber Primzahlen und diophantische Gleichungen. Insbesondere sollten am Schlu die Nichtexistenz eines Algorithmus fur die Losung allgemeiner diophantischer Geilchungen (X. Hilbertsches
Problem) und die Existenz eines Polynoms, dessen positive Werte genau die Menge der
Primzahlen durchlauft, bewiesen sein. Diese Zielrichtung legten den Sto der Vorlesung
weitgehend fest.
Das erste Kapitel enthalt den Standardsto der Elementaren Zahlentheorie: Eindeutigkeit der Primzerlegung, Struktur der Restklassenringe und deren Einheitengruppen, simultane Kongruenzen, Satz von Warning uber die Anzahl von Kongruenzlosungen diophantischer Gleichungen und das quadratische Reziprozitatsgesetz. Dieser wird erganzt durch
den Primzahltest von Miller und Rabin und den Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, der
zur Umsetzung diophantischer Probleme im Bereich der ganzen Zahlen in den Bereich der
naturlichen Zahlen benotigt wird.
Das zweite Kapitel ist den quadratischen Irrationalzahlen gewidmet. Es beginnt mit
einer Einfuhrung der Kettenbruche und der Charakterisierung quadratischer Irrationalzahlen durch periodische Kettenbruche. Anschlieend wird der Zusammenhang von Kettenbruchen mit diophantischen Approximationen dargelegt mit einer Anwendung auf Primzerlegungsalgorithmen (Verfahren von Lehman und Lehmer). Der Rest des Kapitels behandelt die Strukturtheorie quadratischer Zahlkorper: Hauptordnung, Einheitengruppe
mit Berechnung der Grundeinheit im reell{quadratischen Fall unter Verwendung von Kettenbruchen, Primidealzerlegung einschlielich Zerlegungsgesetz, Endlichkeit der Klassengruppe mit Beispielen fur die Klassengruppenberechnung im imaginar{ sowie im reell{
quadratischen Fall.
Das dritte und letzte Kapitel hat die von Matijasevic 1973 gezeigte Unlosbarkeit des X.
Hilbertschen Problems zum Ziel. Hierfur werden zunachst diophantische Mengen, Relationen und Funktionen eingefuhrt und die Potenzfunktion unter Verwendung von Losungen
der Pellschen Gleichung, d.h. von Einheiten reell{quadratischer Zahlringe, als diophantische Funktion nachgewiesen. Dann wird gezeigt, da der beschrankt Allquantor und unter
dessen Verwendung auch die Menge der Primzahlen diophantisch ist. Im vorletzten Paragraphen wird der Schlusselsatz bewiesen, da eine Funktion genau dann diophantisch ist,
wenn sie rekursiv ist. Hiermit lat sich dann ein Widerspruch zur Losbarkeit des X. Hilbertschen Problems konstruieren. Im abschlieenden Paragraphen schlielich wird unter
Verwendung denierender Relationen fur die Losungen der Pellschen Gleichung und der
Fakultat ein Satz von denierenden Relationen fur die Menge der Primzahlen aufgestellt,
der unmittelbar auf die Konstruktion eines Primzahlpolynoms fuhrt.
Als weiterfuhrende Literatur sei empfohlen:
H. Hasse: Vorlesungen uber Zahlentheorie, Springer{Verlag, Berlin 1964
H. Koch, H. Pieper: Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
1976
J.I.Manin: A course in mathematical logic, Springer{Verlag, New York 1977
1
C: Smorynski: Logical number theory I, Springer{Verlag, Berlin 1991
Abschlieend mochte ich an dieser Stelle noch Herrn A. Christian danken, der nicht
nur die textliche Ausgestaltung der Vorlesung sondern auch den TEX{Satz des Skriptums
ubernommen und selbstandig durchgefuhrt hat.
B.H. Matzat
2
Inhaltsverzeichnis
I Ganzrationale Zahlen
1 Primzahlen
1.1
1.2
1.3
1.4
Teilbarkeit und Primzahlen :
Der Euklidische Algorithmus
Primzerlegung : : : : : : : : :
Ideale von Z : : : : : : : : : :
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: 6
: 7
: 9
: 10
2 Kongruenzen
11
3 Die Gruppe der primen Restklassen
17
4 Simultane Kongruenzen
22
5 Quadratische Reste
28
6 Primzahltests
34
7 Quadratsummendarstellungen
40
II Kettenbruche und quadratische Irrationalzahlen
46
8 Kettenbruche
46
2.1 Kongruenzrelationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
2.2 Restklassenringe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
2.3 Kongruenzdivision : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
3.1 Zyklische Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
3.2 Primitivwurzeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18
3.3 Die Struktur von ( Z=pn Z ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
4.1 Hauptsatz uber simultane Kongruenzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22
4.2 Die Struktur der Einheitengruppe ( Z=mZ ) : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
4.3 Diophantische Gleichungen und Kongruenzen : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
5.1 Das Legendre-Symbol : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
5.2 Das Jacobi-Symbol : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
5.3 Das quadratische Reziprozitatsgesetz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32
6.1 Carmichael-Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
6.2 Der Primzahltest von Solovay und Strassen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
6.3 Der Primzahltest von Miller und Rabin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
7.1 Summen von zwei Quadraten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40
7.2 Summen von vier Quadraten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43
7.3 Summen von drei Quadraten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45
8.1 Der Kettenbruchalgorithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46
8.2 Periodische Kettenbruche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49
8.3 Rein periodische Kettenbruche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3
9 Diophantische Approximation
9.1
9.2
9.3
9.4
Diophantische Approximation und Kettenbruche :
Diophantische Approximation algebraischer Zahlen
Das Primzerlegungsverfahren von Lehman : : : : :
Das Verfahren von Lehmer : : : : : : : : : : : : :
10 Ganze Zahlen in quadratischen Zahlkorpern
10.1
10.2
10.3
10.4
Klassikation der quadratischen Zahlkorper : : :
Die Hauptordnung quadratischer Zahlkorper : : :
Einheiten in imaginarquadratischen Zahlkorpern
Einheiten in reellquadratischen Zahlkorpern : : :
11 Ideale in quadratischen Zahlkorpern
11.1
11.2
11.3
11.4
Primzerlegung in Ringen : : : : : : :
Erzeugung der Ideale in Od : : : : :
Primidealzerlegung : : : : : : : : : :
Das Zerlegungsgesetz fur Primideale
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68
68
70
71
72
12 Die Klassengruppe quadratischer Zahlkorper
75
III Diophantische Gleichungen
82
13 Diophantische Mengen und Relationen
82
14 Die Potenzfunktion
85
15 Der beschrankte Allquantor
93
12.1 Die Norm von Idealen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
12.2 Die Endlichkeit der Klassengruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77
12.3 Berechnung der Klassengruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79
13.1 Motivation: Das X. Hilbertsche Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82
13.2 Diophantische Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82
13.3 Diophantische Relationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
14.1 Die Pellsche Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86
14.2 Kongruenzen fur die Losungen der Pellschen Gleichung : : : : : : : : : : : : 87
14.3 Anwendung auf die Potenzfunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92
15.1 Der Produktsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
15.2 Der Satz uber den beschrankten Allquantor : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
15.3 Die Menge der Primzahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99
16 Rekursive Funktionen
16.1
16.2
16.3
16.4
Die Godelsche Folgenfunktion : : : : : : : : : :
Denition rekursiver Funktionen : : : : : : : :
Der Hauptsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Die Unlosbarkeit des X. Hilbertschen Problems
4
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99
99
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102
103
17 Konstruktion eines Primzahlpolynoms
17.1
17.2
17.3
17.4
Erganzungen zur Pellschen Gleichung :
Denierende Relationen fur die Fakultat
Denierende Relationen fur Primzahlen
Das Primzahlpolynom : : : : : : : : : :
Index
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Teil I
Ganzrationale Zahlen
1 Primzahlen
1.1 Teilbarkeit und Primzahlen
Bezeichnungen: Wie ublich bezeichnet N := f1; 2; 3; :::g die Menge der naturlichen Zahlen
mit den Verknupfungen + , und der Ordnungsrelation , deren grundlegende Eigenschaften hier als bekannt vorausgesetzt werden.
Ferner bezeichnet N 0 := N [f0g die Menge der endlichen Kardinalzahlen, N := f n j
n 2 N g die Menge der negativen ganzen Zahlen und Z := N [ f0g [ N die Menge der
ganzen Zahlen. Die Verknupfungen +, und die Relation in Z sind vertraglich mit denen
in N .
Denition 1.1. Es seien a und b 6= 0 ganze Zahlen. Die Zahl b heit Teiler von a, wenn
eine ganze Zahl q mit a = qb existiert. Entsprechend heit dann a Vielfaches von b.
Formelmaig wird die Teilbarkeit durch b j a bzw. deren Negation durch b6 j a angegeben.
Eine naturliche Zahl p 6= 1 heit Primzahl, wenn fur ein b 2 N aus b j p stets b = 1
oder b = p folgt. Die Menge der Primzahlen wird mit P := f p 2 N j p ist Primzahl g
bezeichnet.
Bemerkung 1.1. Fur a; b; c 2 Z gelten:
(a) Aus b j a und c j b folgt c j a.
(b) Aus c j a und c j b folgt c j (a b).
Beweis.
(a) Wegen b j a existiert ein q 2 Z mit a = qb. Wegen c j b existiert ein r 2 Z mit b = rc.
Daraus folgt a = qrc und damit c j a.
(b) Wegen c j a und c j b existieren q; r 2 Z mit a = qc bzw. b = rc. Daraus folgt
a b = (q r)c und damit c j (a b).
2
Bemerkung 1.2. Fur jede ganze Zahl a 2 ist ihr kleinster positiver von 1 verschiedener
Teiler eine Primzahl.
Beweis. Es sei T := f t 2 N j t j a; t 6= 1 g. Wegen a 2 T ist T nicht leer. Da jede nichtleere
Teilmenge von N ein kleinstes Element besitzt, existiert also z := min T .
Wegen z j a gilt fur jeden positiven Teiler d von z mit d 6= 1 stets d j a. Wegen der
Minimalitatseigenschaft von z folgt d z und damit d = z . Also ist z eine Primzahl. 2
Satz 1.1 (Euklid). Die Menge der Primzahlen ist unendlich.
6
Beweis. Ware die Menge der Primzahlen endlich, so gabe es ein n 2 N mit P = fp1 ; : : : ; pn g.
Bildet man die Zahl q := p1 : : : pn + 1 , so folgte wegen q > 1 aus Bemerkung 1.2, da
eine Primzahl z mit z j q existiert.
Ware z 2 fp1 ; : : : ; pn g, so wurde mit Bemerkungt 1.1 aus z j q und z j p1 : : : pn wegen
q p1 : : : pn = 1 schlielich z j 1 folgen im Widerspruch zur Denition von z.
Also ist z im Gegensatz zur Annahme eine von p1 ; : : : ; pn verschiedene Primzahl. 2
Eine einfache Methode zur Bestimmung von Primzahlen liefert das Sieb des Erato-
sthenes:
Aus einer Zahlentafel gewunschter Groe streicht man der Reihe nach die Vielfachen
der Primzahlen p = 2; 3; : : : , jeweils beginnend mit dem Produkt p2 . Die jeweils kleinste
nicht ausgestrichene Zahl z > p ist dann die nachste Primzahl.
Die folgende Tafel enthalt die so gewonnenen Primzahlen bis zur Schranke 100:
Abschnitt 1.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 Der Euklidische Algorithmus
Bemerkung 1.3 (Division mit Rest). Zu einem vorgegebenen Paar ganzer Zahlen a,b mit
b 6= 0 gibt es genau ein Paar ganzer Zahlen q,r mit
a = qb + r und 0 r < jbj:
Bezeichnung: q = [ ab ] heit der ganze Quotient, r heit der kleinste nichtnegative Rest bei
der Division von a durch b.
Beweis. Existenz: Es sei R := f a qb j q 2 Z g \ N . Wegen R 6= ; existiert ein minimales
Element r~ := min R, fur das also 1 r~ jbj gilt. Im Falle 1 r~ < jbj setzt man r := r~
und hat mit dem zugehorigen q die Darstellung a = qb + r gefunden.
Im Falle r~ = jbj setzt man r := 0 und hat mit dem passenden q wieder die gewunschte
Darstellung.
Eindeutigkeit: Ist q~; r~ ein Paar ganzer Zahlen mit denselben Eigenschaften wie q; r, so
gilt qb + r = q~b + r~, woraus (q q~)b = r~ r folgt. Also gilt b j (~r r), und wegen jr~ rj < jbj
ergibt sich r~ r = 0 und damit auch q = q~.
2
7
Denition 1.2. Seien z1 ; : : : ; zn von Null verschiedene ganze Zahlen. Eine ganze Zahl d
heit groter gemeinsamer Teiler von z1 ; : : : ; zn , wenn folgende Bedingungen erfullt
sind:
(a) Es gilt d j zi fur i = 1; : : : ; n.
(b) Aus t j zi fur i = 1; : : : ; n folgt t j d.
Bemerkung 1.4. Sind d1 und d2 grote gemeinsame Teiler von z1 ; : : : ; zn , so gilt d1 =
d2.
Beweis. Aus den Eigenschaften von d1 und d2 folgt sowohl d2 j d1 als auch d1 j d2 . Es
existieren also ganze Zahlen e; f mit d1 = ed2 und d2 = fd1 , woraus d1 = efd1 folgt.
Wegen d1 6= 0 erhalt man ef = 1 und damit e 2 f1; 1g, woraus d1 = d2 folgt.
2
Bezeichnungen: Der grote gemeinsame Teiler ist also genau bis auf das Vorzeichen bestimmt. Fur die positive dieser beiden Zahlen schreibt man ggTfz1 ; : : : ; zn g.
Satz 1.2. Seien z1 und z2 ganze von Null verschiedene Zahlen. Dann existiert der grote
gemeinsame Teiler d von z1 und z2 und es gibt ganze Zahlen u und v mit
d = uz1 + vz2 :
Beweis. Zur Konstruktion des groten gemeinsamen Teilers benutzt man den Euklidischen Algorithmus:
Oenbar darf z2 > 0 vorausgesetzt werden. Wendet man Division mit Rest auf z1 und
z2 an, ergibt sich:
z1 = q1 z2 + z3 ; 0 z3 < z2 :
Im Falle z3 = 0 stoppt das Verfahren.
Im Falle z3 > 0 wendet man Division mit Rest auf z2 und z3 an:
z2 = q2 z3 + z4 ; 0 z4 < z3 :
Da die Folge der Reste z2 ; z3 ; : : : streng monoton fallt, stoppt das Verfahren nach endlich
vielen Schritten mit den Gleichungen
zr 1 = qr 1zr + zr+1 ; 0 zr+1 < zr
zr = qr zr+1
Hieraus liest man zr+1 j zr ab. Aus der vorigen Gleichung zusammen mit Bemerkung 1.1
folgt somit zr+1 j zr 1 . So fortfahrend erhalt man schlielich aus den beiden ersten Gleichungen: zr+1 j z2 und zr+1 j z1 . Also ist zr+1 ein gemeinsamer Teiler von z1 und z2 .
Fur eine Zahl t mit t j z1 und t j z2 folgt aus der ersten Gleichung t j z3 . Mit der zweiten
Gleichung folgt weiter t j z4 . So fortfahrend erhalt man schlielich t j zr+1 .
Damit ist d := zr+1 der grote gemeinsame Teiler von z1 und z2 .
Zur Konstruktion der Zahlen u und v lost man
zr = zr
d = zr
2
1
8
qr 2zr
qr 1zr
1
nach d auf und sieht, da es ganze Zahlen ur
1
und vr
1
gibt mit
d = vr 1 z r 1 + u r 1 z r 2 :
So fortfahrend erhalt man schlielich aus der ersten Gleichung
d = v2 z2 + u2 z1 ;
was mit v := v2 und u := u2 die gewunschte Darstellung ergibt.
2
Beispiel 1.1. Bestimmung des groten gemeinsamen Teilers von 2257 und 1073:
2257
1073
111
74
= 2 1073 + 111
= 9 111 + 74
= 1 74 + 37
= 2 37
Also gilt ggTf2257; 1073 g = 37.
Fur die Linearkombination des groten gemeinsamen Teilers ergibt sich:
37 =
111
=
111
=
10 111
= 10 (2257 2 1073)
=
10 2257
74
(1073 9 111)
1073
1073
21 1073
1.3 Primzerlegung
Es seien n 2 N ; n > 1 und p1 der kleinste Primteiler von n, der nach Bemerkung 1.2 immer
existiert. Es ist dann
n = n1 p1 ; n1 2 N ; 1 n1 < n:
Im Falle n1 = 1 hat man eine Primzerlegung erreicht. Sonst zerlegt man in gleicher Weise
n1 = n2 p2 ; n2 2 N ; 1 n2 < n1 :
Wegen n1 > n2 > n3 > erhalt man nach endlich vielen Schritten eine Primzerlegung
von n:
n = p1 : : : pr
Fur n = 1 setzt man r = 0 ( leeres Produkt ), so da eine Primzerlegung fur jede naturliche
Zahl existiert.
Da die Frage nach der Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht voreilig mit ja beantwortet werden darf, zeigt folgendes
Beispiel 1.2. Die Menge H := f 4k + 1 j k 2 Z g ist, wie man leicht sieht, multiplikativ
abgeschlossen. Die Zahl p heit H -Primzahl, wenn p in H nur die trivialen Teiler 1 und p
besitzt. Da die Primzerlegung in H nicht eindeutig ist, sieht man daran, da sich mit den
H -Primzahlen 9 , 21 und 49 die Zahl 441 als 441 = 21 21 und 441 = 9 49 darstellen lat.
9
Satz 1.3 (Euklidische Charakterisierung der Primzahlen). Die Zahl p 2 N nf1g ist genau
dann eine Primzahl, wenn aus p j nm stets p j n oder p j m folgt.
Beweis. Sei p eine Primzahl und es gelte p j nm. Im Falle p j n ist nichts weiter zu zeigen.
Im Falle p6 j n gilt ggTfp; ng = 1, da p nur triviale Teiler besitzt. Aus Satz 1.2 folgt die
Existenz zweier Zahlen u; v 2 Z mit 1 = up + vn. Hieraus ergibt sich
m = ump + vmn:
Da p trivialerweise den ersten und nach Voraussetzung auch den zweiten Summanden der
rechten Gleichungsseite teilt, ergibt sich p j m.
Zum Beweis der Umkehrung habe p die im Satz angegebene Eigenschaft und es gelte
p = ab mit a; b 2 N . Daraus liest man ab, da sowohl a j p und b j p als auch eine der beiden
Aussagen p j a oder p j b zutreen.
Also gilt a = p oder b = p und damit besitzt p nur triviale Teiler.
2
Satz 1.4 (Gau). Die Primzerlegung einer naturlichen Zahl ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren.
Beweis. Fur n = 1 ist das leere Produkt die einzig mogliche Darstellung. Fur n > 1 wird
der Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Faktoren gefuhrt. Es sei
n = p1 : : : pr = q1 : : : qs mit pi; qi 2 P:
Fur r = 1 gilt n = p1 und damit p1 j q1 : : : qs . Aufgrund der Primzahleigenschaft mu
p1 mit einem der qi identisch sein. Ohne Einschrankung darf also p1 = q1 angenommen
werden. Daraus folgt q2 = : : : = qs = 1 und damit die Eindeutigkeit.
Nun sei die Eindeutigkeit fur r 1 Faktoren bewiesen. Aus p1 : : : pr = q1 : : : qs
folgt p1 j q1 : : : qs und damit wie oben ohne Einschrankung p1 = q1 . Dann gilt auch
p2 : : : pr = q2 : : : qs, woraus aufgrund der Induktionsvoraussetzung r = s und bis auf
die Reihenfolge pi = qi folgt.
2
1.4 Ideale von Z
Denition 1.3. Eine Teilmenge ; 6= a besitzt:
Z
heit Ideal, wenn sie folgende Eigenschaften
(a) Aus a1 2 a und a2 2 a folgt a1 a2 2 a:
(b) Aus a 2 a und z 2 Z folgt za 2 a:
Hierfur wird dann a E Z geschrieben.
Satz 1.5. Die Ideale von Z sind von der Form mZ mit m 2 N 0 und umgekehrt.
Beweis. Sind a1 2 mZ und a2 2 mZ, dann gibt es z1 ; z2 2 Z mit a1 = mz1 und a2 = mz2 .
Da mz1 mz2 = m(z1 z2 ) 2 mZ ist und fur alle z 2 Z za1 = mz1 z 2 mZ gilt, folgt
mZ E Z
Nun sei a E Z. Im Falle a = f0g ist a = 0 Z.
10
Im Falle a 6= f0g gilt a \ N 6= ;, da aus n 2 a stets n 2 a folgt. Also besitzt a \ N
ein minimales Elememt m. Trivialerweise gilt mZ a. Um a mZ zu zeigen, sei a 2 a
beliebig gegeben. Division mit Rest von a durch m ergibt
a = qm + r mit 0 r < m:
Wegen a 2 a und qm 2 a ist auch r = a qm 2 a. Wegen der Minimalitatseigenschaft von
m hat dies r = 0 zur Folge. Also gilt a = qm und damit a 2 mZ.
2
Satz 1.6 (Fundamentalsatz uber den groten gemeinsamen Teiler). Der grote gemeinsame Teiler d von z1 ; : : : ; zn 2 Znf0g existiert, und es gibt u1 ; : : : ; un 2 Z mit
d = u1 z1 + + un zn :
Beweis. Da a := z1 Z + + zn Z ein Ideal von Z ist, existiert nach Satz 1.5 eine Zahl d 2 N 0
mit a = dZ, wobei wegen zi =
6 0 sogar d 2 N angenommen werden kann. Aufgrund von
d 2 a gibt es u1; : : : ; un mit d = u1 z1 + + un zn. Es mu noch gezeigt werden, da d die
beiden denierenden Eigenschaften des groten gemeinsamen Teilers erfullt:
Fur alle i = 1; : : : ; n gilt zi 2 a. Daher gibt es qi 2 Z mit zi = dqi , und es folgt d j zi .
Aus t j zi fur i = 1; : : : ; n folgt t j (u1 z1 + + un zn ) und damit t j d.
2
Anmerkung: Die Berechnung von ggTfz1 ; : : : ; zn g kann durch sukzessive Berechnung von
d2 = ggTfz1 ; z2 g
d3 = ggTfd2 ; z3 g
..
.
d = ggTfdn 1 ; zn g
mittels des Euklidischen Algorithmus erfolgen.
(Beweis: U bungsaufgabe!)
2 Kongruenzen
2.1 Kongruenzrelationen
Denition 2.1. Es sei R eine Menge, auf der zwei Verknupfungen + (Addition) und (Multiplikation) erklart sind. (R; +; ) heit Ring, wenn folgende Bedingungen erfullt sind:
(a) (R; +) ist eine abelsche Gruppe.
(b) (R; ) ist eine Halbgruppe mit Einselement.
(c) Es gelten die Distributivgesetze
(a + b)c = ac + bc und a(b + c) = ab + ac:
Sind keine Verwechslungen moglich, so wird auch R selbst Ring genannt. Gilt daruberhinaus noch das Kommutativgesetz der Multiplikation, so heit R kommutativer Ring.
11
Beispiel 2.1. Die ganzen Zahlen bilden bezuglich der herkommlichen Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring.
Beispiel p2.2. Sei Z[i] := f a + bi j a; b 2 Z g eine Teilmenge von C mit der imaginaren Einheit i = 1. Addition und Multiplikation darauf seien als Einschrankung der Verknupfungen in C deniert. Dann ist (Z[i]; +; ) ein Ring und heit Ring der ganzen Gau'schen
Zahlen.
P
Beispiel 2.3. Es sei Z[X ] die Menge aller Polynome f = ni=0 ai X i in einer Variablen X
mit ganzzahligen Koezienten ai . Zusammen mit den Verknupfungen
f + g :=
X
maxfn;mg
f g :=
i=0
nX
+m
(
(ai + bi )X i
X
k=0 i+j =k
ai bj )X k
bildet Z[X ] einen kommutativen Ring, den Polynomring einer Variablen uber Z.
Denition 2.2. Es sei (R; +; ) ein kommutativer Ring. Eine A quivalenzrelation auf R
heit Kongruenzrelation, wenn aus a1 a2 und b1 b2 stets a1 + b1 a2 + b2 und
a1b1 a2 b2 folgt, d.h. wenn mit den Verknupfungen auf R vertraglich ist.
Eine nichtleere Teilmenge a von R heit Ideal, wenn fur alle a1 ; a2 2 a und r 2 R stets
a1 a2 2 a und ra1 2 a gilt. Ist a ein Ideal von R, so wird kurz a E R geschrieben.
Beispiel 2.4. Im Polynomring einer Variablen uber Z bildet
a := 2 f + X g j f; g 2 R
ein Ideal.
Satz 2.1. Es sei R ein kommutativer Ring.
(a) Ist eine Kongruenzrelation in R, so bildet die Menge a := f a 2 R j a 0 g ein
Ideal in R und es gilt a b genau dann, wenn a b 2 a gilt.
(b) Ist a ein Ideal in R und setzt man a b, falls a b 2 a gilt, so ist eine Kongruenzrelation in R und es gilt f a 2 R j a 0 g = a.
Beweis.
(a) Sind a; b 2 a, so gelten a 0 und b 0. Es folgt a b 0 und damit a b 2 a. Ist
a 2 a und r 2 R, so gilt wegen a 0 auch ra 0 und damit ra 2 a. Also ist a ein
Ideal in R.
Weiterhin ist die Kongruenz a b gleichbedeutend mit a b 0, was nach Denition
von a genau fur a b 2 a der Fall ist.
12
(b) Zunachst wird gezeigt, da eine A quivalenzrelation ist: Wegen 0 2 a gilt a a fur
alle a 2 R. Aus a b folgt a b 2 a. Dann gilt auch b a 2 a und damit b a. Aus
a b und b c folgen a b 2 a und b c 2 a. Hieraus folgt (a b)+(b c) = a c 2 a
und damit a c.
Um die Eigenschaften einer Kongruenzrelation nachzuprufen, gelte a1 a2 und
b1 b2 , woraus a1 a2 2 a und b1 b2 2 a folgen. Wegen (a1 a2 ) + (b1 b2 ) =
(a1 + b1 ) (a2 + b2 ) 2 a gilt damit a1 + b1 a2 + b2 .
Aus a1 a2 2 a und b1 b2 2 a folgen andererseits (a1 a2 )b1 2 a und a2 (b1 b2 ) 2 a.
Damit gilt auch fur deren Summe a1 b1 a2 b2 2 a, woraus a1 b1 a2 b2 folgt.
Trivialerweise gilt schlielich f a 2 R j a 0 g = f a 2 R j a 0 2 a g = a.
2
Folgerung 2.1. Die Kongruenzrelationen in Z entsprechen bijektiv den Idealen mZ mit
m 2 N 0 von Z.
Beweis. Wird ausgehend von einem Ideal a E Z gema Teil (b) von Satz 2.1 eine Kongruenzrelation deniert, so ist das nach Teil (a) zu der Kongruenzrelation gehorige Ideal
gerade a. Zusammen mit Satz 1.5 ergibt sich die Behauptung.
2
Bezeichnung: Fur die durch m 2 N 0 charakterisierte Kongruenzrelation in Z schreibt man
a b (mod m)
(lies: "a kongruent b modulo m\).
Es gilt also a b (mod m) genau dann, wenn a b 2 mZ bzw. m j (a b) gilt.
Als Beispiel fur die Anwendung des Kongruenzbegris folgen zwei einfache Teilbarkeitsregeln und eine Aussage uber Fermat-Zahlen:
Beispiel 2.5. "Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9
teilbar ist.\
P
i , so folgt wegen
Schreibt man die Zahl z in dezimaler P
Schreibweise z = ni=0 ai 10
P
n
der Kongruenz 10 1 (mod 9), da z i=0 ai (mod 9) gilt. Da ni=0 ai gerade die
Quersumme von z darstellt, ergibt sich die Behauptung.
Beispiel 2.6. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch"11 teilbar ist.\
Tatsache
folgt analog, wenn man beachtet, da wegen 10 1 (mod 11) auch
PnDiese
i Pn ( 1)i ai (mod 11) gilt.
a
10
i
i=0
i=0
Beispiel 2.7. Zahlen der Form Fn = 22n + 1 heien Fermat-Zahlen. Die ersten FermatZahlen F0 = 3 ; F1 = 5 ; F2 = 17 ; F3 = 257 ; F4 = 65537 sind Primzahlen. Entgegen der
ursprunglichen Vermutung, alle Fermat-Zahlen seien Primzahlen, kann gezeigt werden, da
F5 = 232 + 1 den Teiler 641 besitzt:
Oensichtlich gilt 28 256 (mod 641). Durch Quadrieren beider Seiten erhalt man
216 (256)2 154 (mod 641) und 232 (154)2 1 (mod 641):
Also gilt 232 + 1 0 (mod 641).
13
2.2 Restklassenringe
Bemerkung 2.1. Es seien (R; +; ) ein kommutativer Ring und eine darauf denierte
Kongruenzrelation. Unter R := R= werde wie ublich die Quotientenmenge nach der

Aquivalenzrelation
verstanden. Werden in R die Addition und Multiplikation vertreterweise erklart:
a + b := a + b und a b := ab;
so bildet R einen kommutativen Ring.
Beweis. Zunachst wird gezeigt, da die Verknupfungen wohldeniert sind: Sind a1 und a2
beliebige Elemente von a und b1 und b2 beliebige Elemente von b, so gilt wegen a1 a2
und b1 b2 auch a1 + b1 a2 + b2 . Also gilt a1 + b1 = a2 + b2 und damit ist die Denition
von a + b nicht von der speziellen Wahl der Vertreter abhangig.
Analog folgt wegen a1 b1 a2 b2 auch a1 b1 = a2 b2 . Damit ist auch die Multiplikation
wohldeniert. Wegen der vertreterweisen Erklarung der Verknupfungen ubertragen sich
alle Ringeigenschaften von R auf R.
2
Bezeichnung: Sei R ein kommutativer Ring, in dem es eine Kongruenzrelation und ein
Ideal a gibt, die sich gema Satz 2.1 entsprechen. Dann heit R = R=a = R= der
Restklassenring von R nach bzw. a.
Denition 2.3. Ein Ring R heit nullteilerfrei, wenn fur alle a; b 2 R aus ab = 0 stets
a = 0 oder b = 0 folgt.
Beispiel 2.8. Die Restklassenringe in Z haben folgende Gestalt:
Fur das Nullideal a = f0g ist R = Z=f0g = Z.
Fur a = Z ist Z=Z = 0 der Nullring, bei dem Nullelement und Einselement identisch
sind.
Weitere Restklassenringe sind Z=2Z = f0; 1g; Z=3Z = f0; 1; 2g und Z=4Z =
f0; 1; 2; 3g. Wegen 2 2 = 4 = 0 ist Z=4Z nicht nullteilerfrei.
Anmerkung: Fur den Restklassenring Z=nZ schreibt man manchmal auch kurz Zn .
Denition 2.4. Ein kommutativer Ring R heit Korper, wenn (Rnf0g; ) eine Gruppe ist.
Bemerkung 2.2. Der Restklassenring Z=mZ ist genau dann ein Korper, wenn m eine
Primzahl ist.
Beweis. Ist m keine Primzahl, so existiert eine nichtriviale Darstellung m = ab. Dann gilt
aber auch 0 = m = ab, das heit der Restklassenring besitzt Nullteiler. Ware Z=mZ ein
Korper, so gabe es ein zu a inverses Element a0 mit a0 a = 1 und es wurde wegen a0 ab = b
der Widerspruch 0 = b folgen.
Ist umgekehrt m eine Primzahl, so ist zu zeigen, da jede von 0 verschiedene Restklasse
a ein Inverses besitzt. Dafur sei a 2 a. Wegen ggTfa; mg = 1 gibt es nach Satz 1.2 ganze
Zahlen u und v mit ua + vm = 1. Der U bergang zu den Restklassen ergibt ua = 1. Also
2
besitzt a ein Inverses.
Bezeichnung: Ist p eine Primzahl, so wird Z=pZ =: F p als Primkorper der Charakteristik p bezeichnet.
14
2.3 Kongruenzdivision
In diesem Abschnitt wird die Frage behandelt, wann eine Kongruenzgleichung der Form
ax = b
losbar ist, und wie Losungen zu nden sind.
Bemerkung 2.3. Ist (R; +; ) ein kommutativer Ring, so bildet die Menge R aller Ele-
mente von R, die ein Inverses besitzen, eine kommutative Gruppe bezuglich der Multiplikation.
Beweis. Zu zeigen ist nur die Abgeschlossenheit von R und die Existenz inverser Elemente
bezuglich der Multiplikation. Fur a; b 2 R existieren a0 ; b0 2 R mit aa0 = 1 und bb0 = 1.
Wegen abb0 a0 = aa0 = 1 folgt ab 2 R und wegen aa0 = a0 a folgt auch a0 2 R .
2
Denition 2.5. R heit Einheitengruppe von R.
Beispiel 2.9. Die Einheitengruppen von Z; Z[i] und Q sind Z = f1g; Z[i] = f1; ig
und Q = Q nf0g.
Bemerkung 2.4. Die Einheitengruppe von R = Z=mZ ist
R = a 2 R j a = a + mZ mit ggT a; m = 1 :
Beweis. Zunachst ist fur a1 ; a2 2 a zu zeigen, da d1 := ggTfa1 ; mg und d2 := ggTfa2 ; mg
identisch sind, um die Wohldeniertheit der Menge zu sichern:
Wegen a1 a2 2 mZ gibt es eine ganze Zahl g mit a1 a2 = gm. Da d1 Teiler von a1
und m, also auch von a2 und m ist, ist d1 auch ein Teiler von d2 . Analog folgt, da d2 ein
Teiler von d1 ist. Also gilt d1 = d2 wegen der nach Bemerkung 1.4 vereinbarten positiven
Normierung.
Nach Satz 1.2 ist ggTfa; mg = 1 gleichbedeutend mit der Existenz zweier ganzer Zahlen
u und v mit ua + vm = 1. Genau dann ist aber ua = 1 und damit a 2 R der Fall. 2
Folgerung 2.2. Die Gleichung ax = 1 ist in ( Z=mZ ) genau dann losbar, wenn
ggTfa; mg = 1 gilt.
Beispiel 2.10. Die Gleichung 13 x 1 (mod 32) soll auf Losungen untersucht werden. Mit
dem Euklidischen Algorithmus
32 = 2 13 + 6
13 = 2 6 + 1
folgt ggTf32; 13g = 1, und daher existieren Losungen. Aus der Linearkombination des
groten gemeinsamen Teilers
1 =
=
=
13
26
13
2(32 2 13)
2 32 +
5 13
15
folgt durch U bergang zu Kongruenzen modulo 32, da x = 5 eine Losung darstellt.
Mit diesem Ergebnis kann man die Losung der Gleichung mit allgemeiner rechter Seite
13 x a (mod 32)
bestimmen, denn Multiplikation mit 5 ergibt
5 13 x 5a (mod 32)
x 5a (mod 32) :
Denition 2.6. Die Elemente von ( Z =mZ ) heien
prime Restklassen modulo m. Die
Z
Funktion ' : N ! N 0 mit '(m) = ( =mZ ) heit Eulersche '-Funktion.
Anmerkung: Mit Bemerkung 2.4 ergibt sich, da '(m) die Anzahl der naturlichen Zahlen
bezeichnet, die kleiner als m und zu m teilerfremd sind.
Satz 2.2 (Euler-Fermat). Ist a eine prime Restklasse modulo m, so gilt
a'(m) = 1:
Der Beweis folgt aus dem folgenden
Satz 2.3. Ist G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n und bezeichnet { ihr Einselement, so gilt fur alle Elemente von G die Beziehung n = {.
Beweis. Trivialerweise gilt G G. Da aus i 6= j immer i Q6= j folgt,
Q gilt sogar
GQ= G. Fur das Produkt uber alle Gruppenelemente gilt also ni=1 i = ni=1(i ) =
n ni=1 i , woraus n = { folgt.
2
Folgerung 2.3. Sei p eine Primzahl. Dann gelten
(a) Fur jedes a 2 F p ist ap 1 = 1.
(b) Fur jedes a 2 F p ist ap = a.
Beweis.
(a) Da p Primzahl ist, gilt '(p) = ( Z=pZ ) = F p = p 1. Die Behauptung folgt
damit unmittelbar aus dem Satz von Euler-Fermat.
(b) Fur a 2 F p folgt die Behauptung aus Teil (a) durch Multiplikation mit a. Die
2
verbleibende Restklasse 0 erfullt die Gleichung trivialerweise.
16
3 Die Gruppe der primen Restklassen
3.1 Zyklische Gruppen
Denition 3.1. Ist G eine Gruppe, so wird die Anzahl der Elemente von G als Gruppenordnung jGj bezeichnet. Die Gruppe heit zyklisch, wenn jedes Gruppenelement sich als
Potenz eines erzeugenden Elements schreiben lat, wenn also ein Element existiert mit
G = Z = f n j n 2 Z g. Hierfur schreibt man auch G = h i. Sind G und H Gruppen und
eine Abbildung von G in H , so heit (Gruppen-)Homomorphismus, wenn fur alle
Elemente ; aus G stets ( ) = () ( ) gilt. Ist die Abbildung zusatzlich bijektiv,
so heit sie Isomorphismus. Hierfur wird dann G = H geschrieben.
Beispiel 3.1. Die Abbildung : (Z; +) ! (2Z; +) mit : n 7! 2n ist ein Isomorphismus
von der Menge der ganzen Zahlen auf die Menge der geraden Zahlen.
Satz 3.1. Eine zyklische Gruppe G ist entweder zu (Z; +) oder zu ( Z=mZ ; +) mit einer
naturlichen Zahl m isomorph.
Beweis. Es sei ein erzeugendes Element von G. Die Menge a := f n 2 Z j n = { g ist ein
Ideal in Z, denn sind n; m 2 a und z 2 Z, so gilt wegen
n m = n ( m ) 1 = {{ 1 = { und zn = ( n)z = {z = {
auch n m 2 a und zn 2 a. Aus Satz 1.5 folgt, da man das Ideal in der Form a = mZ
mit m 2 N 0 darstellen kann. Im weiteren unterscheidet man die Falle m = 0 und m 2 N :
Fur m = 0 ist a = f0g das Nullideal. Die Abbildung
: G ! Z mit n 7! n
ist wohldeniert, denn aus n1 = n2 folgt wegen n1 n2 = {, da n1 n2 2 a gilt.
Daraus folgt aber n1 n2 = 0 und damit schlielich n1 = n2 . Die Abbildung ist ein
Homomorphismus, da
( n1 n2 ) = ( n1 +n2 ) = n1 + n2 = ( n1 ) + ( n2 )
gilt. Da oensichtlich bijektiv ist, ist ein Isomorphismus von G auf Z.
Im anderen Fall hat man a = mZ mit einer naturlichen Zahl m. Die Abbildung
: G ! Z=mZ mit n 7! n + mZ
ist wohldeniert, denn aus n1 = n2 folgt wegen n1 n2 = {, da n1 n2 2 a gilt, woraus
n1 + mZ = n2 + mZ folgt. Die Abbildung ist ein Homomorphismus wegen
( n1 n2 ) = ( n1 +n2 ) = n1 + n2 + mZ = ( n1 ) + ( n2 ):
Da auch hier oensichtlich bijektiv ist, ist ein Isomorphismus von G auf Z=mZ . 2
Denition 3.2. Ist Element einer Gruppe G und hat a = f n 2 Z j n = { g (wie oben
gezeigt) die Gestalt a = mZ mit m 2 N 0 , so heit m der Exponent von oder kurz exp( ).
Die Menge b = f n 2 Z j n = { fur alle 2 G g ist oensichtlich ein Ideal, besitzt also
auch die Darstellung b = eZ mit e 2 N 0 . Die Zahl e heit der Exponent von G oder kurz
exp(G).
17
Bemerkung 3.1. Fur eine endliche abelsche Gruppe G ist exp(G) stets ein Teiler von jGj.
Beweis. Wegen Satz 2.3 gilt fur alle 2 G stets jGj = {. Daher mu jGj ein Vielfaches
2
von exp(G) sein.
Satz 3.2. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe. G ist genau dann zyklisch, wenn der
Exponent von G gleich der Gruppenordnung ist.
Beweis. Zunachst gelte exp(G) = jGj =: m. Wegen
\ n 2 Z j n = { = \ exp( )Z
mZ = n 2 Z j n = { fur alle 2 G =
2G
2G
ist m das kleinste gemeinsame Vielfache der Exponenten aller Gruppenelemente. Stellt
man m = p11 : : : prr in der Primzerlegung dar, so gibt es fur alle i zwischen 1 und r
ein Element ei , dessen Exponent ein Vielfaches von pi i ist. Denn aus pi i 6 j exp( ) fur alle
2 G wurde folgen, da m nicht das kleinste gemeinsame Vielfache aller Exponenten ware.
Setzt man
exp(ei )=pi
i ;
i := ei
so gilt sogar exp(i ) = pi i .
Q
Nun wird gezeigt, da := ri=1 i ein erzeugendes Element der Gruppe ist: Fur alle
j = 1; : : : ; r gilt wegen exp(i) = pi i
m
pj =
Yr
i=1
m
m
ipj = jpj 6= {:
m
Damit gilt aber d 6= { fur alle echten Teiler d von m, weil d = { den Widerspruch pj = {
fur ein j zur Folge hatte. Folglich gilt exp( ) = m = jGj. Wegen exp( ) = jf n j n 2 Z gj
ist ein erzeugendes Element von G und G damit eine zyklische Gruppe.
Zum Beweis der Umkehrung sei G = h i als zyklische Gruppe vorausgesetzt, womit
jGj = exp( ) j exp(G) gilt. Nach Bemerkung 3.1 gilt aber auch exp(G) j jGj, was jGj =
exp(G) zur Folge hat.
2
3.2 Primitivwurzeln
Satz 3.3. Ist K ein Korper und f (X ) = Pni=0 aiX i ein Polynom mit ai 2 K und an 6= 0,
so hat f hochstens n Nullstellen in K .
Beweis. Fur n = 1 hat das Polynom die Gestalt f (x) = a1 X + a0 und besitzt genau eine
Nullstelle, namlich a0 =a1 . Die Richtigkeit der Behauptung fur n 1 sei jetzt vorausgesetzt.
Ist x 2 K eine Nullstelle von f , so gilt
f (X ) = f (X ) f (x) =
n
X
i=0
ai (X i xi ) = (X x)g(X )
mit einem Polynom g vom Grad n 1. Nach Induktionsvoraussetzung hat g hochstens
2
n 1 Nullstellen. Damit kann f hochstens n Nullstellen in K besitzen.
18
Folgerung 3.1. Fur jede Primzahl p gilt
Y
a2Fp
(X a) = X p
1
1:
Beweis. Jedes Element a aus F p ist wegen ap 1 1 = 0 eine Nullstelle von X p 1 1. Daher
gilt
0
1
Xp
1
1=@
Y
a2Fp
(X a)A g(x):
Ein Gradvergleich liefert, da g einem konstanten Polynom g sein mu. Der Vergleich mit
dem Koezienten von X p 1 ergibt g = 1.
2
Folgerung 3.2 (Satz von Wilson). Eine naturliche Zahl n ist genau dann eine Primzahl,
wenn (n 1)! 1 (mod n) gilt.
Beweis. Ist n gleich einer Primzahl p, so gilt nach Folgerung 3.1
(X 1)(X 2) : : : (X (p 1)) X p 1 1 (mod p)
Die Auswertung an der Stelle p ergibt
(p 1)! pp 1 1 1 (mod p):
Ist n keine Primzahl, so existiert eine nichttriviale Darstellung n = ab. Wegen a j (n 1)!
und b j (n 1)! gilt auch n j (n 1)! . Daraus folgt (n 1)! 0 6 1 (mod n).
2
Satz 3.4. Ist K ein Korper, so ist jede in K enthaltene endliche multiplikative Gruppe
G zyklisch.
Beweis. Es sei m := exp(G). Jedes Gruppenelement erfullt die Gleichung m = { und ist
damit Nullstelle von X m 1. Nach Satz 3.3 gilt jGj m, aus Bemerkung 3.1 folgt aber
m jGj. Also gilt jGj = exp(G) und nach Satz 3.2 ist G zyklisch.
2
Folgerung 3.3.
F
p
ist eine zyklische Gruppe.
Denition 3.3. Ein erzeugendes Element w von F p heit primitives Element von F p .
Ein Vertreter w von w heit Primitivwurzel modulo p.
Beispiel 3.2. Fur p = 7 gilt F p = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Wegen 22 = 4; 23 = 8 = 1 ist 2 keine Primitivwurzel. Hingegen ist 3 wegen
32 = 2; 33 = 6; 34 = 4; 35 = 5; 36 = 1
eine Primitivwurzel modulo 7.i
Ordnet man gema a = 3 jeder Restklasse modulo 7 den Exponenten i zu, erhalt man
die folgende Tabelle:
a 1 2 3 4 5 6
i
6 2 1 4 5 3
19
Die Zahl i heit Index von a bezuglich der Primitivwurzel 3. Die Tabelle wird als Indextabelle bezeichnet. Mit ihrer Hilfe konnen Multiplikationen durch Additionen ersetzt
werden (ahnlich wie bei Logarithmen), was sich allerdings erst bei vielen Multiplikationen
lohnt. Beispielsweise ergibt sich:
2 4 = 32 34 = 36 = 1
4 5 = 34 35 = 39 = 33 = 6
3.3 Die Struktur von ( Z=pnZ )
Bemerkung 3.2. Ist p eine Primzahl, so gilt
'(pn ) = (p 1)pn 1:
Beweis. Die Anzahl der durch p teilbaren Zahlen zwischen 1 und pn ist pn 1 . Damit gilt
'(pn) = pn pn 1 = (p 1)pn 1 :
2
Bezeichnung: Fur jede ganze Zahl n und jede Primzahl p hat man eine Darstellung
n = pa m mit p6 j m:
Die Zahl a heit Ordnung von p in n und wird mit ordp (n) bezeichnet. Ist
n = a0 + a1 p + + ar pr mit 0 ai < p
die p{Entwicklung von n, so heit sp := a0 + a1 + + ar die p{Quersumme von n.
Bemerkung 3.3. Fur jede naturliche Zahl n gilt
ordp (n!) = p 1 1 (n sp (n))
Beweis. Stellt man n als n = a0 + a1 p + + ar pr dar, so geht, wie man durch Abzahlen
der Faktoren erkennt, p in n! = 1 2 3 4 : : : (n 1) n genau ([ np ] + [ pn2 ] + + [ pnr ])-mal
als Faktor auf. Somit ergibt sich
ordp (n!) = (a1 + a2 p + + ar pr 1 ) + (a2 + a3 p + + ar pr 2 ) + + ar
= a1 + a2 (1 + p) + a3 (1 + p + p2 ) + + ar (1 + p + + pr 1 ):
Nach Multiplikation von (p 1) auf beiden Seiten erhalt man
(p 1) ordp(n!) = a1 (p 1) + a2 (p2 1) + a3 (p3 1) + + ar (pr 1) = n sp(n): 2
Satz 3.5. Fur jede Primzahl p > 2 ist ( Z=pnZ ) eine zyklische Gruppe. Sie wird erzeugt
von w(1 + p), wobei w eine Primitivwurzel modulo p vom Exponenten p 1 in ( Z=pn Z )
ist.
20
Beweis. Es sei we eine beliebige
Primitivwurzel modulo p. Nach dem Satz von Fermat gilt
2
p
p
we n1 we (mod p), woraus we we (modn p1) folgt. So fortfahrend erhalt man schlielich
wep we (mod p), womit auch w := wep eine Primitivwurzel modulo p ist.
Betrachtet man nun den Restklassenring Z=pn Z , so folgt wp 1 = 1 aus der Kongruenz
wp 1 = we(p 1)pn 1 = we (pn ) 1 (mod pn):
Daher ist exp(w) ein Teiler von p 1. Andererseits ist w eine Primitivwurzel modulo p,
was exp(w) p 1 zur Folge hat. Somit gilt exp(w) = p 1.
Fur jede Primzahl p > 2 gilt
(1 + p)pn 1
=1+
pn 1
1
p+
pn 1
2
p2 + + ppn 1 1 (mod pn);
pn 1
denn die Ordnung von p in allen Termen der Form m pm mit 1 m pn 1 lat sich
nach Bemerkung 3.3 wie folgt abschatzen:
n 1
n 1
ordp ( p m pm ) = ordp( m!(ppn 1 ! m)! ) + ordp(pm )
= p 1 1 pn 1 m (pn 1 m) sp (pn 1 ) + sp (m) + sp (pn 1 m) + m
n;
und daher sind alle auer dem ersten Summanden durch pn teilbar. Analog zeigt man
pn 2 pn 2
n 2
p
(1 + p) = 1 + 1 p + 2 p2 + + ppn 2 1 + pn 1 6 1 (mod pn ):
Damit gilt exp(1 + p) = pn 1 in ( Z=pn Z ) . Hieraus folgt aber, da z := w(1 + p) ein
erzeugendes Element von ( Z=pn Z ) ist. Da namlich exp(1 + p) und exp(w) teilerfremd
sind, ist z i = 1 gleichbedeutend mit wi = 1 und 1 + pi = 1. Dann ist aber sowohl
p 1 als auch pn 1 ein Teiler
von i. Also ist auch '(pn ) ein Teiler von i und es gilt
exp(z ) = '(pn ) = ( Z=pn Z ) : Nach Satz 3.2 ist ( Z=pn Z ) damit eine zyklische Gruppe
2
mit w(1 + p) als erzeugendem Element.
Beispiel 3.3. Kongruenzen modulo pn lassen sich schrittweise durch Kongruenzen modulo
p losen. Gesucht sei beispielsweise die Losung von
2x 3 (mod 5n ):
Fur n = 1 lautet die Kongruenz 2x1 3 (mod 5). Eine Losung ist x1 = 4.
Fur n = 2 lautet die Kongruenz 2x2 3 (mod 25). Wegen x2 x1 (mod 5) besitzt x2
die Darstellung x2 = x1 + 5a2 = 4 + 5a2 : Dann gilt 2x2 3 = 2(4 + 5a2 ) 3 = 5 + 5 2a2 =
5(1 + 2a2 ) 0 (mod 25); womit 1 + 2a2 0 (mod 5) gelten mu. Eine Losung lautet
a2 = 2, also gilt x2 = 14.
Fur n = 3 lautet die Kongruenz 2x3 3 (mod 53 ). Wegen x3 x2 (mod 25) besitzt x3
die Darstellung x3 = x2 +25a3 = 14+25a3 : Dann gilt 2x3 3 = 25+252a3 = 25(1+2a3 ) 0
21
(mod 53 ); womit 1 + 2a3 0 (mod 5) gelten mu. Eine Losung lautet a3 = 2, also gilt
x3 = 64.
Durch Induktion erhalt man schlielich
x 4 + 2 5 + 2 52 + + 2 5n
1
(mod 5n ):
Eine alternative Losungsmoglichkeit sieht wie folgt aus: Aus 2x 3 (mod 5n ) folgt
64 ( 6) 11 55n (1 + 5)(1 + 5 + + 5n 1 )
(1 + 2 5 + 2 52 + + 2 5n 1)
4 + 2 5 + 2 52 + + 2 5n 1 (mod 5n):
Satz 3.6. Es gilt ( Z=2nZ ) = h 1i h5i.
h1i h1i. Es sei also n 2. Oenbar gilt
Beweis. Fur n = 1 ergibt sich ( Z=2Z ) = h1i =
x 3
2
exp( 1) = 2. Mit einem zum Beweis von Satz 3.5 analogen Schlu erhalt man exp(5) =
2n 2 wegen
52n 2
52n 3
=
(1 + 22 )2n 2
=
(1 + 22 )2n 3
=1+
=1+
2n 2
1
2n
1
3
n
22 + 2
2
22 +
3
2
2n
2
24 + 1 (mod 2n )
24 + 1 + 2 n 1 6 1 (mod 2n ):
Gilt ( 1)i 5j ( 1)i0 5j 0 , wobei oenbar i; i0 2 f0;0 1g und0 j; j 0 2 f0; 1; : : : ; 2n 2 1g angenommen werden durfen, so erhalt man ( 1)i i 5j j (mod 2n ): Fur i 6= i0 wurde
i i0 1 (mod 4) gelten, was den Widerspruch
( 1) 1 1 6 1 5j 0 j (mod 4)
zur Folge hatte. Also gilt i = i0 und damit auch j = j 0 . Folglich gibt es genau 2n 1 = '(2n )
viele verschiedene Produkte der Form ( 1)i 5j . Daraus ergibt sich die Behauptung.
2
Beispiel 3.4. Fur n = 2; 3; 4 ergeben sich:
( Z=4Z ) = h 1i h1i
( Z=8Z ) = h 1i h5i
( Z=16Z ) = h 1i h5i
= Z2 ;
= Z2 Z2;
= Z2 Z4:
4 Simultane Kongruenzen
4.1 Hauptsatz uber simultane Kongruenzen
Denition 4.1. Sind (R; +; ) und (S; +; ) Ringe, so heit eine Abbildung von R in S ein
(Ring-)Homomorphismus, wenn fur alle Elemente a und b aus R stets
(a + b) = (a) + (b) und (a b) = (a) (b)
gelten. Ist ein Homomorphismus zusatzlich bijektiv, so heit er Isomorphismus.
22
Beispiel 4.1. Die Abbildung : Z ! Z=mZ mit a 7! a := a + mZ ist ein Ringhomomorphismus und wird als Restklassenhomomorphismus oder kanonischer Homomorphismus bezeichnet.
Satz 4.1 ( Hauptsatz uber
Q simultane Kongruenzen ). Sind m1; : : : ; mr paarweise teilerfremde Zahlen mit m = ri=1 mi , dann ist die Abbildung
: Z=mZ !
Qr
i=1 ( Z=mi Z )
Q
mit a + mZ 7! (a + m1 Z; : : :; a + mr Z)
ein Ringisomorphismus, wobei ri=1 ( Z=mi Z ) als kartesisches Produkt mit komponentenweiser Verknupfung zu verstehen ist. Die Umkehrabbildung ist durch
1
:
Yr
i=1
( Z=mi Z ) ! Z=mZ mit (a1 + m1 Z; : : :; ar + mr Z) 7! a + mZ
gegeben mit
a=
r
X
i=1
ai ei und ei = ( mm )'(mi ) :
i
Beweis. Fur i = 1; : : : ; r ist die Abbildung
i : Z=mZ ! Z=mi Z mit a + mZ 7! a + miZ
ein Homomorphismus, da sie eine Klassenvergroberung darstellt. Aufgrund der komponentenweisen Erklarung der Verknupfungen ist damit auch ein Homomorphismus. Zum
Beweis der Injektivitat gelte
(a + mZ) = (0 + m1 Z; : : :; 0 + mr Z):
Dann sind aber m1 ; : : : ; mr Teiler von a, was m j a zur Folge hat. Daher gilt
a + mZ = 0 + mZ:
Die Surjektivitat von folgt aus der Tatsache, da zwei Mengen von je m Elementen
injektiv aufeinander abbildet.QSomit ist ein Isomorphismus. Nun wird gezeigt, da 1
die identische Abbildung in ri=1 ( Z=mi Z ) darstellt. Es gilt
!
r
r
r
X
X
X
m
m
m
'
(
m
)
'
(
m
)
'
(
m
)
i
i
i
( ai ( m )
ai ( )
+ mZ) =
+ m1 Z; : : :; ai ( m )
+ mr Z :
i
i
i=1
i=1
i=1 mi
Also gilt fur die j -te Komponente aufgrund der Teilbarkeit von m=mi durch mj fur i 6= j
nach dem Satz von Euler-Fermat
r
X
ai ( m )'(mi ) + mj Z = aj ( m )'(mj ) + mj Z = aj + mj Z:
i=1
mi
mj
23
2
Beispiel 4.2. Zur Losung der Kongruenz x2 36 (mod 56) setzt man m = 56 , m1 = 7
und m2 = 8 und lost die beiden Kongruenzen
x2 36 1 (mod 7); x2 36 4 (mod 8)
x 1 (mod 7);
x 2 (mod 8) :
Die Losungen in Z=7Z Z=8Z lauten demnach
x01 = ( 1; 2);
x02 = (1; 2);
x03 = (1; 2) und x04 = ( 1; 2):
Durch Bestimmung von e1 und e2 erhalt man alle Losungen in Z=56Z :
e2 = ( mm )'(m2 ) 74 7 (mod 56);
e1 = ( mm )'(m1 ) 86 8 (mod 56);
1
x1 x3 8+27 x1
2
x2 8 + 2 7 x4 x2 6 (mod 56);
6 (mod 56);
22 (mod 56);
22 (mod 56):
Anmerkung: Mit den Bezeichnungen aus Satz 4.1 gelten fur ei := ei + mZ die Beziehungen
eiej = 0 fur i 6= j und e1 + + er = 1:
ei ei = ei ;
Die ei bilden daher eine Zerlegung der Eins von Z=mZ in paarweise orthogonale
Idempotente.
Beweis. Es gilt ei 1 (mod mi ) und ei 0 P
(mod mj ) fur j 6= i, da mj ein Teiler von
m=mi ist. Fur alle j = 1; : : : ; r gilt damit ri=1 ei 1 (mod mj ), was Pri=1 ei 1
(mod m) und schlielich e1 + + er = 1 zur Folge hat.
Aus m j ei ej fur i 6= j folt weiter ei ej 0 (mod m) und damit ei ej = 0.
Aus ei ei 1 (mod mi ) und ei ei 0 (mod mj ) fur i 6= j folgt nach Satz 4.1 ei ei ei
(mod m) und damit ei ei = ei .
2
4.2 Die Struktur der Einheitengruppe ( Z=mZ )
Satz 4.2. Sind m1; : : : ; mr paarweise teilerfremde Zahlen mit m = Qri=1 mi, dann ist die
Abbildung
e : ( Z=mZ ) !
Qr
i=1 (
miZ ) mit a + mZ 7! (a + m1 Z; : : :; a + mr Z)
Z=
Q
ein Gruppenisomorphismus, wobei ri=1 ( Z=mi Z ) als kartesisches Produkt mit komponentenweiser Verknupfung zu verstehen ist.
Beweis. Sind a 2 ( Z=mZ ) und a 2 a, so folgt ggTfa; mg = 1 aus Bemerkung 2.4. Daher
ist a zu jedem der mi teilerfremd. Bezeichnet den Ringisomorphismus aus Satz 4.1, so
bedeutet dies, da
Yr
(a) 2 ( Z=mi Z )
i=1
24
Q
gilt. Also ist e = j( Z= ) eine Abbildung in ri=1 ( Z=mi Z ) mit e(ab) = e(a)e(b)
mZ
und damit ein Gruppenhomomorphismus. Aus der Injektivitat von folgt sofort die Injektivitat von e. Gelten andererseits a 62 ( Z=mZ ) und a 2 a, so sind a und m nach
Bemerkung 2.4 nicht teilerfremd, besitzen also einen gemeinsamen Primteiler, etwa p. Da
p auch in mindestens einem der mi aufgeht, folgt
a + miZ 62 ( Z=mi Z ) :
Also ist e auch surjektiv und damit ein Isomorphismus.
2
Folgerung 4.1. Sind m1; : : : ; mr paarweise teilerfremde Zahlen mit m = Qri=1 mi, so gilt
Yr
'(m) =
i=1
'(mi ):
Beweis. Aufgrund von Denition 2.6 gilt
Z '(m) = ( =mZ ) und
Yr
i=1
Yr
Yr Z
'(mi ) = ( =miZ ) = ( Z=mi Z ) :
i=1
i=1
Die Behauptung ergibt sich nun aus Satz 4.1 wegen
Z Yr Z
( =mZ ) = ( =miZ ) :
i=1
Anmerkung: Funktionen auf
multiplikativ.
N
2
mit der Eigenschaft aus Folgerung 4.1 heien schwach
Folgerung 4.2. Fur jede naturliche Zahl m gilt
'(m) = m
Y
pjm
(1 1p ):
Q
Beweis. Es sei m = ri=1 pni i die Primzerlegung von m. Wegen Folgerung 4.1 und Bemerkung 3.2 gilt
Yr
'(m) = '(pi i ) und '(pi i ) = (pi 1)pi i 1 ;
i=1
womit sich die Behauptung ergibt:
'(m) =
Yr
Yr
pi i (1 p1 ) = m (1 p1 ):
i
i
i=1
i=1
25
2
4.3 Diophantische Gleichungen und Kongruenzen
Bezeichnungen: Eine formale Summe der Form
f (X ) =
X
i2Nn0
ai X i =
X
(i1 ;:::;in )2Nn0
ai1 ;:::;in X1i1 : : : Xnin
mit Variablen Xi und Koezienten ai aus einem kommutativen nullteilerfreien Ring R, von
denen hochstens endlich viele von Null verschieden sind, heit Polynom in n Variablen
(Unbestimmten) uber R. Fur die Menge aller dieser Polynome wird
R[X1 ; : : : ; Xn ] oder R[X ]
geschrieben. Ist f nicht das Nullpolynom (bei dem alle ai Null sind), so bezeichnet
@ (f ) := max i1 + + in j ai 6= 0
den (Gesamt-)Grad von f . Sind von der Gleichung f (X ) = 0 Losungen in Zn gesucht,
so nennt man diese Fragestellung diophantisches Problem.
Beispiel 4.3. Die Gleichung
x4 + y4 = z4 + 13
soll auf ganzzahlige Losungen untersucht werden. Hatte die Gleichung ganzzahlige Losungen, so ware auch die Kongruenz
x4 + y4 z 4 3 (mod 5)
losbar. Aufgrund des Satztes von Euler-Fermat konnen vierte Potenzen modulo 5 nur
die Werte 0 oder 1 annehmen. Also ist die Kongruenz und damit auch die diophantische
Gleichung unlosbar.
Beispiel 4.4. Durch Umformung der Gleichung
6xy 3x 2y + 1 = 0
(3x 1)(2y 1) = 0
liest man die Losungsmenge f ( 1=3 ; b); (a; 1=2 ) j a; b 2 Q g in Q Q ab. Da keine der
Losungen ganzzahlig ist, besitzt die Gleichung keine Losungen in Z Z. Die Betrachtung
von Kongruenzen fuhrt bei dieser Gleichung nicht zum Ziel, da fur jede Primzahl p entweder
die Kongruenz
3x 1 (mod p) oder 2y 1 (mod p)
losbar ist. Die Losbarkeit der Kongruenzgleichungen ist also nur eine notwendige, aber im
allgemeinen keine hinreichende Bedingung fur die Losbarkeit der Ausgangsgleichung.
Satz 4.3 (Satz von Warning). Es sei f (X1; : : : ; Xn) = Pi2Nn0 ai X i 2 F p [X ] ein Polynom,
bei dem der Gesamtgrad @ (f ) kleiner ist als die Anzahl der Variablen n. Dann ist die
Anzahl der Losungen in F np durch p teilbar. Anders gesagt: Fur die Losungsmenge in F np
L := (x1 ; : : : ; xn ) 2 F np j f (x) = 0
gilt jLj 0 (mod p).
26
Beweis. Es sei g das Polynom mit
g(X ) := 1 f (X )p 1 2 F p [X ] und g(X ) =
X
j2Nn0
bj X j :
Ist x Nullstelle von f , so gilt g(x) = 1. Ist x keine Nullstelle von f , so gilt nach dem Satz
von Euler-Fermat f (x)p 1 = 1 und damit g(x) = 0. Also gilt
X
x2Fnp
Wegen
gilt die Beziehung
X
x2Fnp
X
x2Fnp
g(x) = jLj :
X
(xj11 : : : xjnn ) = (
x2Fp
g (x ) =
n
X XY
j2Nn0
bj
x2Fnp k=1
X
xj1 ) : : : (
xjkk =
x2Fp
xjn )
X Yn X
j2Nn0
bj
(
k=1 x2Fp
xjk ):
Nach Voraussetzung gilt @ (f ) < n, was @ (g) < n(p 1) zur Folge hat. Zu jedem j mit
bj 6= 0 mu es also ein k mit P1 k n und
ein jk mit jk < p 1 geben. Im folgenden
P
j
sei j := jk . Fur j = 0 gilt x2Fp x = x2Fp 1 = 0 in F p . Fur j 6= 0 gibt es wegen
exp(F p ) = p 1 ein y 2 F p mit yj 6= 1. Da mit x auch yx alle Elemente von F p durchlauft,
gilt
X j X j jX j j
x = y S;
x = (yx) = y
S :=
x2Fp
x2Fp
x2Fp
was wegen yj 6= 1 schlielich S = 0 zurPFolge hat. Damit ist gezeigt, da fuPr jedes j mit
bj 6= 0 mindestens ein Faktor der Form x2Fp xjk gleich 0 ist. Also gilt jLj = x2Fnp g(x) =
0 in F p .
2
Folgerung 4.3. Besitzt ein Polynom f (X1 ; : : : ; Xn ) 2 Fp [X ] mit @ (f ) < n eine Nullstelle
in F np , so besitzt es mindestens p Nullstellen in F np .
Folgerung 4.4 (Satz von Chevalley). Jedes nicht konstante homogene Polynom
f (X1 ; : : : ; Xn ) 2 F p [X ]
mit @ (f ) < n besitzt uber F p mindestens eine nichttriviale Nullstelle.
Bezeichnet man ein homogenes Polynom vom Gesamtgrad 2 als quadratische Form,
so gilt speziell auch
Folgerung 4.5. Jede quadratische Form uber Fp mit mindestens 3 Variablen besitzt ein
nichttriviale Losung.
27
5 Quadratische Reste
5.1 Das Legendre-Symbol
Denition 5.1. Es sei p eine ungerade Primzahl. Eine prime Restklasse a 2 F p bzw. deren
Vertreter a 2 Z heit quadratischer Rest modulo p, wenn eine Restklasse x 2 F p mit
x2 = a existiert. Zur Kennzeichnung quadratischer Reste dient das Legendre-Symbol
a 1;
:=
p
1;
falls a quadratischer Rest modulo p
falls a kein quadratischer Rest modulo p ;
(lies: a uber p). Fur p = 2 wird die Denition des Legendre-Synbols an spaterer Stelle
nachgetragen. Da es fur manche Zwecke gunstig ist, ein Legendre-Symbol auch im Fall p j a
zur Verfugung zu haben, deniert man
a
p := 0 fur p j a:
Bemerkung 5.1. Ist p eine ungerade Primzahl, so bildet die Menge
Q := a 2 Fp j a ist quadratischer Rest
eine Untergruppe von F p der Ordnung p 2 1 .
Beweis. Sind a; b 2 Q, so gibt es x; y 2 F p mit x2 = a und y2 = b. Wegen (xy)2 = ab ist Q
multiplikativ abgeschlossen. Da 1 2 Q und mit a 2 Q auch a 1 2 Q gilt, bildet Q damit
eine Untergruppe von F p .
Ist w eine Primitivwurzel modulo p, so sind die geraden Potenzen w2 ; w4 ; : : : ; wp 1
verschieden, also gilt jQj p 2 1 . Da eine Primitivwurzel modulo p kein quadratischer Rest
ist, gibt es mindestens einen quadratischen Nichtrest und weil mit b 62 Q auch ab 62 Q fur
alle a 2 Q gilt, ist die Anzahl der quadratischen Reste ebenso gro wie die Anzahl der
2
quadratischen Nichtreste, was jQj = p 2 1 zur Folge hat.
Satz 5.1 (Euler-Kriterium). Ist a eine ganze Zahl und p eine ungerade Primzahl, so gilt
a
(p
p a
1)=2
(mod p):
Beweis. Ist p ein Teiler von a, so ergibt sich die triviale Kongruenz 0 0 (mod p). Im
folgenden gelte
a also p6 j a.
Im Falle p = 1 gibt es ein x 2 Z mit a x2 (mod p). Durch Anwendung des Satzes
von Euler-Fermat ergibt sich
a
a(p
1)=2
xp 1 1
(mod p):
Im Falle p = 1 gilt mit einer Primitivwurzel w und einer Zahl n 2 N die Kongruenz
a w2n+1 (mod p). Hieraus folgt durch nochmalige Anwendung des Satzes von EulerFermat
a(p 1)=2 w(p 1)n w(p 1)=2 w(p 1)=2 (mod p):
28
Setzt man zur Abkurzung v := w(p 1)=2 , so folgt durch Quadrieren der Kongruenz
v2 ap 1 1 (mod p);
was v 2 f1; 1g in F p zur Folge hat. Wegen exp(w) = p 1 kann nicht v = 1 gelten. Also
2
gilt v = 1 und damit lautet die Kongruenz a(p 1)=2 1 (mod p).
Folgerung 5.1. Fur ganze Zahlen a und b und eine ungerade Primzahl p gilt
ab a b =
:
p
p p
Beweis. Im Falle p j ab gilt entweder p j a oder p j b, wodurch die Aussage trivial wird. Fur
p6 j ab ergibt die zweimalige Anwendung von Satz 5.1
a b ab (p 1)=2 (p 1)=2
(p 1)=2
p p (mod p):
b
a
2
p (ab)
5.2 Das Jacobi-Symbol
Denition 5.2. Es sei m eine ungerade Zahl. Die Menge Hm := fh1 ; : : : ; h(m 1)=2 g heit
Halbsystem modulo m, wenn Z=mZ die Darstellung
mZ = H m [ ( H m ) [ f0g
besitzt, d.h. wenn die Zahlen h1 ; : : : ; h(m 1)=2 ; 0 ein vollstandiges Restsystem modulo m
Z=
bilden.
Beispiel 5.1. Die Menge hm = f1; 2; : : : ; m2 1 g ist ein Halbsystem modulo m.
Beispiel 5.2. Ist Hm ein Halbsystem modulo m und a eine ganze Zahl mit ggTfa; mg = 1,
so ist auch aHm = f ahi j i = 1; : : : ; m2 1 g ein Halbsystem modulo m, da wiederum
Z=
mZ = aH m [ ( aH m ) [ f0g gilt.
Bemerkung 5.2. Es sei m eine ungerade naturliche Zahl, a eine ganze zu m teilerfremde
Zahl und Hm = fh1 ; : : : ; h(m 1)=2 g ein Halbsystem modulo m. Dann gibt es eine Permutation 2 S(m 1)=2 und Zahlen vi 2 f 1; 1g mit
Q
ahi vi h(i) (mod m):
m 1)=2 v eine vom gewahlten Halbsystem unabhangige Groe.
Dabei ist (i=1
i
Beweis. Fur jedes i wird vi und (i) wie folgt gewahlt: Im Fall ahi 2 H m setzt man
vi = 1 und wahlt (i) passend. Sonst gilt ahi 2 H m, wobei man vi = 1 setzt und
(i) wieder passend gewahlt werden kann. Da aHm nach Beispiel 5.2 ein Halbsystem
modulo m bildet, gilt fur i 6= j stets (i) 6= (j ). Folglich ist eine Permutation. Es sei
Hem := feh1 ; : : : ; eh(m 1)=2 g ein zweites Halbsystem modulo m, wobei ehi = hi oder ehi = hi
angenommen werden darf. Das bedeutet, da fur alle i stets
ehi = sihi mit si 2 1; 1
29
gilt. Hieraus ergeben sich die folgenden Umformungen:
aehi = asi hi = vi si h(i) = vi sis(i)eh(i) =: veieh(i) ;
wobei vei := vi si s(i) gesetzt wurde. Hieraus folgt
Y
(m 1)=2
1 (m 1)=2
0(m 1)=2 0 0(m 1)=2
Y
Y
Y
si s(i)A =
vi @ @
vi ;
vei = @
i=1
i=1
i=1
i=1
2
da in dem Produkt jedes si zweimal als Faktor auftritt.
Denition 5.3. Mit den Bezeichnungen von Bemerkung 5.2 wird
a m
:=
Y
(m 1)=2
als Jacobi-Symbol bezeichnet.
i=1
Bemerkung 5.3. Fur eine ungerade Primzahl p gilt
vi
a a = p ; d.h. das Jacobi-Symbol
p
verallgemeinert das Legendre-Symbol.
Beweis. Durch Anwendung von Bemerkung 5.2 ergibt sich
a(p 1)=2
Y
(p 1)=2
i=1
hi =
Y
(p 1)=2
i=1
ahi Y
(p 1)=2
i=1
Y
(p 1)=2
vih(i) = (
i=1
vi )(
Y
(p 1)=2
i=1
hi) (mod p):
Hieraus folgt zusammen mit Satz 5.1 und Denition 5.3
a(p 1)=2
Y
(p 1)=2
i=1
a a vi (mod p) und p p (mod p):
Da beide Seiten der letzten Kongruenz nur die Werte -1 , 0 und 1 annehmen konnen, folgt
hieraus die Behauptung.
2
Bezeichnung:
Aufgrund von Bemerkung 5.3 wird auch fur das Jacobi-Symbol die Schreib
a
weise m verwendet.
Satz 5.2. (a) Fur ungerades m 2 N und a; b 2 N mit ggTfab; mg = 1 gilt
ab a b =
:
m
m
m
(b) Fur ungerade m; n 2 N und a 2 N mit ggTfa; mng = 1 gilt
a a a =
:
mn
m m
Beweis.
30
(a) Es sei Hm = fh1 ; : : : ; h(m 1)=2 g ein Halbsystem modulo m. Nach Bemerkung 5.2 gibt
es Zahlen vi ; vei und Permutationen ; e mit
ahi vi h(i) (mod m)
(5:1)
bhi veihe(i) (mod m)
Daraus folgt
(5:2)
abhi bvi h(i) vi ve(i) he(i) (mod m)
Aufgrund von Denition 5.3 gilt
ab m =
Y
(m 1)=2
i=1
vive(i) = (
Y
(m 1)=2
i=1
Y
(m 1)=2
vi )(
i=1
a b ve(i) ) = m
m ;
da sich das letzte Produkt uber alle i erstreckt.
(b) Es seien Hm = fh1 ; : : : ; h(m 1)=2 g ein Halbsystem modulo m mit ahi vi h(i)
(mod m) und Hn = fk1 ; : : : ; k(n 1)=2 g ein Halbsystem modulo n mit akj vej ke(j )
(mod n) . Aus Hm und Hn wird durch
Hm;n := hi + mr j hi 2 Hm; 0 r n 1 [ kj m j kj 2 Hn
ein Halbsystem modulo mn konstruiert. Denn es gilt
jHm;nj = n m 2 1 + n 2 1 = mn2 1 und H m;n [ ( H m;n) = Z=mnZ nf0g:
Aus (5.1) ergeben sich die Kongruenzen
a(hi + mr) ahi vih(i) (mod m)
a(hi + mr) vih(i) + mr0 vi(h(i) + mre) (mod mn)
(5.3)
amkj vej mke(j ) (mod mn)
(5:4)
mit einem passenden re. Aus (5.2) folgt
Also erhalt man unter Beachtung von (5.3) und (5.4) sowie n 1 (mod 2)
a
Y
(m 1)=2
mn = ( i=1
vi )n(
Y
(n 1)=2
j =1
vej ) = (
Y
(m 1)=2
i=1
vi )(
Y
(n 1)=2
j =1
vej ) = ma na :
2
Folgerung 5.2. Ist m = Qri=1 pei i die Primzerlegung einer ungeraden Zahl m mit pi6 j a, so
gilt
a Yr a ei
m =
pi :
i=1
31
5.3 Das quadratische Reziprozitatsgesetz
Satz 5.3 (Quadratisches Reziprozitatsgesetz). Sind m; n 2 N ungerade und teilerfremde
Zahlen, so gilt
n m Satz 5.4 (1.Erganzungssatz).
(m 1)=2(n 1)=2
:
=
(
1)
n
m
1
(m 1)=2
=
(
1)
m
Satz 5.5 (2.Erganzungssatz).
2
2
(m 1)=8
m = ( 1)
Anmerkung: Mittels Kongruenzen
ausgedruckt lauten die Satze: Ist m oder n kongruent
n = m . Sind m und n beide kongruent 3 modulo 4, so gilt
1 modulo
4,
so
gilt
n
n = m . Genau mfur m kongruent
1 modulo 4 ist 1 quadratischer Rest modulo m
m
n
und genau fur m kongruent 1 oder 7 modulo 8 ist 2 quadratischer Rest modulo m.
Beispiel 5.3. Mit Hilfe der vorangehenden Satze und der Tatsache, da aus n n0 (mod m)
stets mn = nm0 folgt, kann die Berechnung des Jacobi-Symbols schrittweise durchgefuhrt
werden. So fuhrt die Frage, ob 197 ein quadratischer Rest modulo 3001 ist, auf folgende
Rechnung:
197 13 197 3001 46 2 23 =
=
=
= ( 1) 23 = ( 1) 23 =
3001
23 197 10 197 2197 5 197
13 3 ( 1) 13 = ( 1) 13 = ( 1) 13 13 = ( 1)( 1) 5 = 5 = 1
Also ist 197 kein quadratischer Rest modulo 3001.
Beweis. Erganzungssatze: Durch
Hm = h1 ; : : : ; h(m
1)=2
mit hi := i
ist ein Halbsystem modulo m gegeben. Mit den Bezeichnungen aus Bemerkung 5.2 ergibt
sich fur a = 1:
( 1)hi vi hi (mod m) fur alle i.
Daraus folgt vi = 1 fur alle i und man erhalt
1
Y
(m 1)=2
(m 1)=2
:
m = i=1 vi = ( 1)
Fur a = 2 unterscheidet man die beiden folgenden Falle: Ist m 1 (mod 4), so gilt
vi = 1 fur 1 i m 4 1 und vi = 1 fur m 4+ 3 i m 2 1 :
32
Also gilt m2 = ( 1)(m 1)=4 .
Im anderen Fall gilt m 3 (mod 4) und damit
vi = 1 fur 1 i m 4 3 und vi = 1 fur m 4+ 1 i m 2 1 ;
woraus m2 = ( 1)(m+1)=4 folgt.
Beide Falle lassen
sich durch die Kongruenz modulo 8 beschreiben: Fur m 1
(mod 8) gilt m2 = 1 und fur m 3 (mod 8) gilt m2 = 1. Dies ist wiederum
aquivalent zu der kompakten Schreibweise
2
2
= ( 1)(m 1)=8 :
m
Reziprozitatsgesetz: Durch Hm = f1; : : : ; m2 1 g und Hn = f1; : : : ; n 2 1 g sind Halbsysteme
modulo m bzw. n gegeben. Es gilt
i = f (h; k) j
m
2
n
m =(
1)i ;
< nh mk < 0 ; h 2 Hm ; k 2 Z g :
Wegen nh mk < 0 mu k > 0 gelten. Aus nh mk > m2 folgt uber die Abschatzung
mk < nh + m2 < n m2 + m2 = m n +2 1 ;
n 1
da k < n+1
2 bzw. k 2 gelten mu, was k 2 Hn zur Folge hat.
Andererseits gilt
m
j mit j = (h; k) j n < mk nh < 0 ; h 2 H ; k 2 H ;
=
(
1)
m
n
n
2
wobei n2 < mk nh < 0 aquivalent zu 0 < nh mk < n2 ist. Somit gilt
n m i+j mit i + j = (h; k) j m < nh mk < n ; h 2 H ; k 2 H :
=
(
1)
m
n
m n
2
2
Damit ist die Fragestellung auf das geometrische Problem zuruckgefuhrt, wie viele Punkte
mit ganzzahligen Koordinaten in dem durch die Randbedingungen beschriebenen Gebiet
liegen.
Die Gleichungen der Geraden g1 und g2 haben die Gestalt
m = nh mk bzw. k = n h + 1 ;
2n
m
2n
n
2 = nh mk bzw. k = m h 2m :
Auerdem mu 1 h m2 1 und 1 k n 2 1 gelten. Die Gerade k = n+1
4 schneidet g1
bzw. g2 in den Punkten P1 und P2 , deren Koordinaten sich wie folgt ergeben:
g1 :
g2 :
n + 1 = n h + 1 ; h = m n 1 bzw. n + 1 = n h n ; h = n + 1 m + 1
4
m 2
n 4
4
m 2m
4 n 2
m
m
n
+
1
n
+
1
1
n
+
1
n
1
P1 = ( 4 n ; 4 ) ; P2 = ( 4 n + 2 ; 4 ):
33
6
g1
n 1 Abschnitt 5.3
g2
2
S
R1
n+1
P1 P
4
M 2
R2
1
m+1
m 1
1
4
2
-h
Fur den Mittelpunkt M der Strecke P1 P2 ergibt sich
1 ( m n 1 + n + 1 m + 1 ) = mn m + mn + m + 2n = m + 1 ; M = ( m + 1 ; n + 1 ):
2 n 4
4 n 2
8n
4
4
4
Da der in der Skizze schraerte Bereich S punktsymmetrisch bezuglich M ist, liegen in
R1 ebenso viele Gitterpunkte wie in R2 , etwa r Stuck. Fur die gesuchte Anzahl der Gitterpunkte in S gilt damit
i + j = n 2 1 m 2 1 2r:
Somit ergibt sich schlielich
n m m
(n 1)=2(m 1)=2
r 2 = ( 1)(n 1)=2(m 1)=2 :
(
1)
=
(
1)
n
2
6 Primzahltests
6.1 Carmichael-Zahlen
Eine der grundlegenden Aussagen uber Primzahlen stellt der Satz von Euler-Fermat dar
(Satz 2.2). Die Frage, ob auch die Umkehrung dieses Satzes gilt, die dann ein Primzahlkriterium ahnlich dem Satz von Wilson liefert, fuhrt zu der folgenden Denition:
Denition 6.1. Eine ungerade Zahl n 2 N nP heit Carmichael-Zahl, wenn fur alle Restklassen a 2 ( Z=nZ )
an 1 = 1
gilt.
34
Bemerkung 6.1. Die Zahl n ist genau dann Carmichael-Zahl, wenn n die Darstellung
n = p1 : : : pr
als Produkt von r > 1 ungeraden Primzahlen zur ersten Potenz besitzt und fur die Primteiler pi zusatzlich gilt
(pi 1) j (n 1):
Beweis. Ist m eine Carmichael-Zahl, so folgt aus der Denition
exp( Z=nZ ) j (n 1):
Ist pe mit p 2 P und e 1 ein Teiler von n, so gilt nach dem Hauptsatz uber simultane
Kongruenzen
exp( Z=pe Z ) j exp( Z=nZ ) ;
womit sich zusammen mir Bemerkung 3.2
pe 1(p 1) j (n 1)
ergibt. Die Annahme e > 1 fuhrt wegen p j (n 1) und p j n zu dem Widerspruch p j 1. Also
gilt e = 1, und da n ungerade ist, gehen folglich nur ungerade Primfaktoren zur ersten
Potenz in n auf, womit
(p 1) j (n 1)
gilt. Besitzt n umgekehrt die geforderte Darstellung
n = p1 : : : pr ; 2 6= pi 2 P ; (pi 1) j (n 1) fur i = 1; : : : ; r;
so ergibt sich
exp( Z=nZ ) = kgVf exp( Z=pi Z ) j i = 1; : : : ; r g = kgVf pi 1 j i = 1; : : : ; r g ;
exp( Z=nZ ) j (n 1) ;
was an 1 1 fur alle a 2 ( Z=nZ ) zur Folge hat. Also ist n eine Carmichael-Zahl.
2
Beispiel 6.1. Die kleinsten Carmichael-Zahlen sind 561 = 3 11 17, 1105 = 5 13 17 und
1729 = 7 13 19.
Anmerkung: Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen. Diese genugen der Abschatzung
n 2 N j n x; n Carmichael-Zahl x2=7
fur x 0
(Satz von Alford-Granville-Pomerance). Die Umkehrung des Satzes von Fermat ist also
nicht fur einen Primzahltest geeignet.
35
6.2 Der Primzahltest von Solovay und Strassen
In diesem Abschnitt wird untersucht, ob das Euler-Kriterium (Satz 5.1) fur quadratische
Reste fur Primzahlen charakteristisch ist.
Denition 6.2. Ist n eine ungerade naturliche Zahl, so heit eine ganze zu n teilerfremde
Zahl a mit
a (n 1)=2
(mod n)
6 a
n
ein Eulerscher Zeuge (fur die Zerlegbarkeit) von n. Mit En wird die Menge aller
Restklassen a bezeichnet, fur die a kein Eulerscher Zeuge von n ist.
Anmerkung: Ist a ein Eulerscher Zeuge von n, so kann n nach dem Euler-Kriterium keine
Primzahl sein. Also "bezeugt\ a die Zerlegbarkeit von n.
Bemerkung 6.2. En ist eine Untergruppe von ( Z=nZ ).
Beweis. Mit zwei Elementen a; b 2 En ist wegen
ab a b (n
=
a
n
n
n
1)=2 (n 1)=2
= (ab)(n 1)=2
b
auch ab 2 En . Da En das Einselement 1 und mit a auch dessen Inverses a'(n)
ist En eine Untergruppe.
1
enthalt,
2
Satz 6.1. Fur jede ungerade naturliche Zahl n gilt: n ist genau dann eine Primzahl, wenn
En = ( Z=nZ ) gilt.
Beweis. Ist n eine Primzahl, so gilt das Euler-Kriterium fur alle a 2 ( Z=nZ ) . Folglich
gibt es keine Eulerschen Zeugen von n, und es gilt En = ( Z=nZ ) . Gilt umgekehrt fur alle
zu n teilerfremden Zahlen a
a(n 1)=2 a (mod n);
so folgt durch Quadrieren
n
an 1 1 (mod n):
Also ist n entweder Primzahl oder Carmichael-Zahl. Im ersten Fall ist nichts mehr zu
zeigen. Nun wird angenommen, n sei Carmichael-Zahl mit der Darstellung
n = p1 : : : pr ; r 2 ; pi 6= pj fur i 6= j:
Der Satz uber simultane Kongruenzen sichert die Existenz einer Zahl b mit
b
p1 = 1 und b 1 (mod pi) fur i = 2; : : : ; r:
Daher gilt wegen pbi = 1 fur i = 2; : : : ; r
b b b n = p1 : : : pr = 1:
36
(6:1)
Nach Voraussetzung ist b kein Eulerscher Zeuge fur n, es gilt also
b
(n
b
n
Aus (6.1) und (6.2) folgt
b(n
1)=2
1)=2
(mod n):
(6:2)
1 (mod n);
was im Widerspruch etwa zu b(n 1)=2 1 (mod p2 ) steht. Also kann n keine CarmichaelZahl sein.
2
Folgerung 6.1. Fur eine ungerade Zahl n 2 N nP gilt
jEnj 12 '(n):
Beweis. Wegen Satz 6.1 existiert ein b 2 ( Z=nZ ) mit b 62 En . Daher gilt
bE = ba j a 2 E = jE j :
n
n
n
Gabe es ein c 2 bEn \ En, so ware c = ba mit a 2 En , was den Widerspruch b = ca 1 2 En
zur Folge hatte. Also gilt bEn \ En = ;, und es ergibt sich
jEnj = 21 En [ bEn 21 ( Z=nZ ) = '(n):
2
Primzahltest von Solovay und Strassen (1977):
Die ungerade Zahl n soll getestet werden. Dazu wahlt man r Zahlen a1 ; : : : ; ar zufallig.
(In der Praxis wahlt man haug die ersten r Primzahlen.) Danach testet man ggTfai ; ng
(n 1)
und berechnet die Werte ai =2 (mod n) und ani .
Gilt dann fur ein i die Beziehung
ai(n
1)=2
6 ani (mod n);
so ist n keine Primzahl.
Sonst ist die Vorhersage \n 2 P" richtig mit der Fehlerwahrscheinlichkeit W 1=2r .
6.3 Der Primzahltest von Miller und Rabin
Denition 6.3. Ist n eine ungerade naturliche Zahl und n 1 = 2t u mit t 1 und ungeradem u, so heit a 2 ( Z=nZ ) ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n, falls gelten
au 6= 1 und a2s u 6= 1 fur alle s = 0; : : : ; t 1:
(6:3)
Bemerkung 6.3. Gibt es einen Zeugen fur die Zerlegbarkeit von n, so ist n keine Primzahl.
Beweis. Hatte eine ungerade Primzahl p einen Zeugen fur die Zerlegbarkeit a, so wurde
wegen
p 1 = 2t u; 26 j u
37
uber den Satz von Fermat folgen, da
ap 1 = a2t u = 1
gilt. Wegen au 6= 1 mute es ein maximales Element s geben mit 0 s < t und
b := a2s u 6= 1:
(6:4)
Die durch Quadrieren entstehende Gleichung b2 = 1 hat uber dem Korper F p nur die
Losungen b = 1, die aber aufgrund von (6.3) und (6.4) beide zu einem Widerspruch
fuhren.
2
Hieraus erhalt man zunachst einen Primzahltest im Taschenrechnerbereich: Ist eine
ungerade Zahl n keine Primzahl, so gilt
(a) 2 ist ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n fur n < 2047.
(b) 2 oder 3 ist ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n fur n < 1373653.
(c) 2,3,5 oder 7 ist ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n fur n < 2; 5 1010 mit Ausnahme
von 3215031751 .
Die Verikation dieser Aussage erfolgt durch Nachrechnen mittels Computer.
Satz 6.2. Ist n eine ungerade Zahl, so ist jeder Eulersche Zeuge fur n auch ein Zeuge fur
die Zerlegbarkeit von n.
Beweis. Es gelte
n=
Yr
i=1
pei i und n 1 = 2t u mit ungeradem u:
(6:5)
Der Satz ist bewiesen, wenn gezeigt ist, da fur jede Restklasse a 2 ( Z=nZ ) , die kein
Zeuge fur die Zerlegbarkeit ist, a 2 En folgt. Ist a kein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n,
so ist eine der beiden Bedingungen aus (6.3) verletzt. Zunachst sei au = 1. Wegen (6.5)
folgt daraus
an 1=2 = a2t 1 u = 1
(6:6)
Andererseits andert sich der Wert von na nicht, wenn man a durch eine modulo n kongruente Zahl ersetzt, also gilt
1 au a u
1=
:
=
=
n
n
n
a = 1 gelten, woraus sich zusammen mit (6.6)
Da u ungerade ist, mu sogar schon n
a
also schlielich a 2 En ergibt.
(n
a
n
1)=2
38
(mod n);
Ist die zweite Bedingung aus (6.3) verletzt, so existiert ein s mit 0 s t 1 und
a2s u = 1:
(6:7)
Fur i = 1; : : : ; r sei di der Exponent von a in F pi . Aus a2s u 1 (mod pi ) ergibt sich
di 6 j 2s u; di j 2s+1 u:
Daher besitzt di die Darstellung
di = ss+1vi mit ungeradem vi :
Aufgrund des Satzes von Fermat erhalt man wegen di j (pi
woraus die Existenz eines ki 2 N mit
(6:8)
1) zunachst 2s+1 j (pi
pi 1 = 2s+1ki bzw. pi = 1 + 2s+1 ki
1),
(6:9)
folgt. Durch Einsetzen und Ausnutzung des binomischen Lehrsatzes folgt
n=
Yr
i=1
pei i 1 + 2s+1
r
X
i=1
ki ei (mod 2s+2):
Zusammen mit (6.5) ergibt sich somit
r
n 1 = 2t 1 u 2s X
kiei (mod 2s+1):
2
i=1
Nach Division durch 2s erhalt man weiter
2t
1 su r
X
i=1
ki ei (mod 2):
Unter Beachtung von u 1 (mod 2), (6.5) und (6.7) folgt
a(n
1)=2
= a2t 1 u = (a2s u )2t
1 s
= ( 1)2t
1 s
( 1)
Pri=1 kiei
(mod n):
(6:10)
Da di der Exponent von a in F pi ist, gilt andererseits
adi=2 1 (mod pi ):
Hieraus folgt unter Verwendung von (6.8) und (6.9)
a
(pi
a
pi
1)=2
= adi=2(pi 1)=di ( 1)(pi 1)=di ( 1)(pi 1)=2s+1 ( 1)ki (mod pi );
a Yr a ei Yr
=
= (
n
i=1
pi
i=1
1)ki ei = ( 1)
Pri=1 kiei
:
Zusammen mit (6.10) ergibt dies a(n 1)=2 na (mod n), womit schlielich a 2 En gilt. 2
39
Folgerung 6.2. Fur jede ungerade Zahl n 2 N nP gibt es mindestens 12 '(n) Zeugen fur die
Zerlegbarkeit in ( Z=nZ ) .
Beweis. Die Behauptung ergibt sich aus Folgerung 6.1 zusammen mit Satz 6.2 .
2
Beispiel 6.2. Die Zahl a = 199 ist ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n = 225, aber sie ist
kein Eulerscher Zeuge.
Satz 6.3 (Rabin). Ist n 2 N nP ungerade mit n 6= 9, so besitzt n mindestens 43 (n 1)
Zeugen fur die Zerlegbarkeit.
(ohne Beweis)
Primzahltest von Miller und Rabin:
Wahle r Zahlen a1 ; : : : ; ar und teste, ob ggTfn; ai g = 1 gilt. Falls ein ai ein Zeuge fur die
Zerlegbarkeit von n ist, so ist n keine Primzahl. Falls kein ai ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit
von n ist, so ist die Vorhersage \n 2 P" richtig mit der Fehlerwahrscheinlichkeit W 1=4r .
Anmerkung: Aus der erweiterten Riemannschen Vermutung folgt der Satz von Ankeny{
Montgomery{Bach: Ist n eine ungerade zerlegbare Zahl, so existiert ein Zeuge p 2 P fur
die Zerlegbarkeit von n mit
0 < p < 2(log(n))2 :
Unter Annahme der erweiterten Riemannschen Vermutung erhalt man also die folgende
deterministische Variante des Primzahltests von Miller und Rabin:
Teste fur alle Primzahlen p < 2(log(n))2 , ob p ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit von n ist.
Wird ein Zeuge fur die Zerlegbarkeit gefunden, so ist n keine Primzahl. Im anderen Fall
gilt n 2 P.
7 Quadratsummendarstellungen
7.1 Summen von zwei Quadraten
Satz 7.1 (Lemma von Thue). Es seien p eine Primzahl, e und f naturliche Zahlen mit
e; f < p und ef > p;
weiterhin sei x eine ganze Zahl mit p6 j x. Dann existieren naturliche Zahlen u und v mit
u < e; v < f und x uv (mod p):
Beweis. Fur die Menge
M := (u; v) 2 N N j u e; v f
gilt jM j = ef > p. Daher gibt es zwei nichtidentische Paare (u1 ; v1 ) und (u2 ; v2 ) aus M
mit
u1 x v1 u2 x v2 (mod p):
(7:1)
Ware u1 = u2 , so wurde v1 v2 (mod p) und damit der Widerspruch v1 = v2 folgen. Also
gilt u1 6= u2 . Ware weiter v1 = v2 , so hatte dies u1 x u2 x (mod p) zur Folge. Wegen
40
p6 j x wurde daraus u1 u2 (mod p) und schlielich u1 = u2 im Widerspruch zum schon
Bewiesenen folgen. Also gilt auch v1 6= v2 . Durch Umformung von (7.1) erhalt man somit
x uv1 vu2 (mod p);
1
2
woraus mit v := jv1 v2 j 2 N und u := ju1 u2 j 2 N die behauptete Kongruenz folgt. 2
Satz 7.2. (a) Die Zahl 2 lat sich durch 2 = 12 + 12 eindeutig als Summe von zwei
Quadraten darstellen.
(b) Jede Primzahl p mit p 1 (mod 4) lat sich als Summe von zwei Quadraten darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Summanden.
(c) Keine Primzahl p mit p 1 (mod 4) lat sich als Summe von zwei Quadraten
darstellen.
Beweis.
(b) Aus p 1 (mod 4) folgt nach dem ersten Erganzungssatz des quadratischen Reziprozitatsgesetzes
1
(p 1)=2
= 1:
=
(
1)
p
Also gibt es eine ganze Zahl x mit
x2 1 (mod p)
(7:2)
x uv (mod p) und u; v < pp:
(7:3)
Mit Hilfe des Lemmas von Thue mit e = f = [pp] + 1 < p folgt die Existenz zweier
naturlicher Zahlen u und v mit
Aus (7.2) und (7.3) ergibt sich v2 x2 v2 u2 (mod p) bzw. u2 + v2 0 (mod p).
Wegen 0 < u2 + v2 < 2p erhalt man schlielich
u2 + v2 = p:
Zum Beweis der Eindeutigkeit sei
p = u2 + v2 = ue2 + ve2 :
Durch U bergang zur Kongruenz modulo p erhalt man
( uv )2 1 ( uvee )2 (mod p):
Weil F p ein Korper ist, folgt hieraus
u ue (mod p):
v
ve
41
(7:4)
Da sich aufgrund der Beziehung
u v ( u )2 v (mod p)
v u v
u
bei der Vertauschung von u und v das Vorzeichen des Quotienten andert, darf
u ue (mod p)
v ve
angenommen werden. Hieraus folgt uve uev 0 (mod p), was wegen juve uevj < 2p
zunachst uve = uev zur Folge hat. Da wegen (7.4) sowohl u und v als auch ue und ve
teilerfremd sind, ergibt sich schlielich u = ue und v = ve.
(c) Da ein Quadrat modulo 4 nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann, folgt aus p = u2 + v2
stets
p 6 1 (mod 4):
2
Folgerung 7.1. Die Zahl n = Qri=1 pki i ist genau dann als Summe von zwei Quadraten
darstellbar, wenn alle Primfaktoren mit pi 1 (mod 4) einen geraden Exponenten ki
besitzen.
Beweis. Aufgrund der Beziehung
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad bc)2
und Satz 7.2 konnen Produkte, in denen nur die 2 und Primzahlen p mit p 1 (mod 4)
als Faktoren auftreten, als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden. Treten in der
Primzerlegung von n alle Primfaktoren p mit p 1 (mod 4) nur mit geraden Exponenten
auf, so kann n geschrieben werden als
Y
n = n21 n2 ; n1 =
pki i=2 ; n2 = a2 + b2 ;
pi 1 (mod 4)
woraus die geforderte Summendarstellung folgt:
n = n21 (a2 + b2 ) = (n1 a)2 + (n1 b)2 :
Zum Beweis der Umkehrung sei n als n = a2 + b2 darstellbar und pj sei ein Primfaktor von
n mit einem ungeraden Exponenten kj . Mit
d := ggT a; b ; a = dea ; b = deb und n = d2 ne
gelten die Beziehungen
Yr kei
2
2
e
e
ggT ea; b = 1 ; ne = ea + b = pi
und kei ki (mod 2):
i=1
Speziell folgt kej 1 (mod 2) und damit pj j ne. Also ist pj weder ein Teiler von ea noch von
eb, denn sonst waren ea und eb nicht teilerfremd. Andererseits gilt ea2 + eb2 0 (mod pj ) bzw.
ea2 eb2 (mod pj ). Da pj 6= 2 angenommen werden kann, ergibt sich hieraus
ea2 eb2 ! 1 eb2 !
=
=
= ( 1)(pj 1)=2 ;
1=
pj
pj
was pj 6 1 (mod 4) zur Folge hat.
pj
42
pj
2
7.2 Summen von vier Quadraten
Satz 7.3 (Lagrange). Jede naturliche Zahl ist als Summe von vier Quadraten darstellbar.
Beweis. Fur 1 und 2 existieren die Darstellungen
1 = 02 + 02 + 02 + 12 und 2 = 02 + 02 + 12 + 12 :
Mit zwei Zahlen
m=
4
X
i=1
a2i
und n =
ist auch deren Produkt mn darstellbar als
mn =
4
X
i=1
4
X
i=1
b2i
c2i ;
wobei die ci die folgende Gestalt besitzen:
c1 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 ; c2 = a1 b2 a2 b1 + a3 b4 a4 b3 ;
c3 = a1 b3 a3 b1 + a4 b2 a2 b4 ; c4 = a1 b4 a4 b1 + a2 b3 a3 b2 :
Somit genugt es, den Satz noch fur ungerade Primzahlen zu zeigen. Es sei also p eine
ungerade Primzahl. Mit der Bezeichnung Hp := f0; 1; 2; : : : ; p 2 1 g gilt fur alle Paare h; eh 2
Hp und k; ek 2 Hp mit h 6= eh und k 6= ek:
h2 6 eh2 (mod p) und
Da in jeder Kongruenz p+1
2
mit
1 k2 6 1 ek2 (mod p):
verschiedene Werte moglich sind, gibt es ein Paar h; k 2 Hp
h2 1 k2 (mod p);
woraus die Existenz einer naturlichen Zahl r mit
h2 + k2 + 1 = rp
folgt. Mit der Abschatzung
ergibt sich
(7:5)
1 + h2 + k2 < 1 + ( p2 )2 + ( p2 )2 < p2
r < p:
(7:6)
Bezeichnet s die kleinste naturliche Zahl, deren Produkt mit p sich als Summe von vier
Quadraten darstellen lat, so gilt wegen (7.5) und (7.6)
s<p
(7:7)
Fur s = 1 folgt die Behauptung. Es gelte also s > 1 und
sp =
4
X
i=1
43
a2i
(7:8)
mit minimalem s. Ist s gerade, so gilt
4
X
ai i=1
4
X
i=1
a2i 0 (mod 2);
weshalb ohne Einschrankung der Allgemeinheit
a1 a2 (mod 2) und a3 a4 (mod 2)
vorausgesetzt werden darf. Hieraus folgt aber, da 2s p als
s p = ( a1 + a2 )2 + ( a1 a2 )2 + ( a3 + a4 )2 + ( a3 a4 )2
2
2
2
2
2
dargestellt werden kann, was im Widerspruch zur Minimalitat von s steht.
Ist s ungerade, so ergibt die Division mit Rest von ai durch s
ai = qi s + bi ; 2s < bi < 2s :
(7:9)
Aus (7.8) folgt, da es mindestens ein i gibt, fur das s6 j ai gilt, denn sonst wurde s2 j a2i
gelten, was uber s2 j sp schlielich s j p zur Folge hatte. Dies kann aber wegen (7.7) nicht
sein. Wegen bi 6= 0 gilt die Abschatzung
0<
Aus (7.8) und (7.9) ergibt sich
0
woraus zusammen mit (7.10)
4
X
i=1
4
X
i=1
4
X
i=1
a2i
b2i < 4( 2s )2 = s2 :
4
X
i=1
b2i (mod s);
b2i = ses mit se < s
folgt. Werden die ci wie oben deniert, so gilt
spses = (
(7:10)
4
X
i=1
a2i )(
4
X
i=1
b2i ) =
4
X
i=1
(7:11)
c2i :
(7:12)
Wegen ai bi (mod s) gilt unter Beachtung der Darstellung der ci
ci 0 (mod s) fur i = 1; : : : ; 4:
Aus (7.12) ergibt sich somit
sep =
4
X
ci
i=1
( s )2 ; se < s;
was wieder einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft von s darstellt.
2
Anmerkung: Den theoretischen Hintergrund fur den Vier-Quadrate-Satz liefert der
Schiefkorper der Hamiltonschen Quaternionen.
44
7.3 Summen von drei Quadraten
Satz 7.4 (Gau). Die naturliche Zahl n ist genau dann als Summe von drei Quadraten
darstellbar, wenn n nicht die Form
n = 4l (8k + 7) mit l; k 2 N 0
besitzt.
(ohne Beweis)
45
Teil II
Kettenbruche und quadratische
Irrationalzahlen
8 Kettenbruche
8.1 Der Kettenbruchalgorithmus
Bezeichnungen: Wie ublich bezeichnet Q = (Q ; +; ) den durch geordneten Korper der
rationalen Zahlen und R = (R; +; ) den durch geordneten Korper der reellen Zahlen.
(R ist die Vervollstandigung von Q bezuglich des gewohnlichen Absolutbetrags, und die
Ordnung auf R ist vertraglich mit der auf Q .)
Fur r 2 N bezeichnet a0 := [r] die grote ganze Zahl kleiner gleich r. Es gilt also
r =: r = a + 1 mit 1 < r 1:
0
Fur r1 6= 1 gilt weiter
0
r1
1
r1 = a1 + r1 mit a1 = [r1 ] und 1 < r2 1
oder allgemein fur rn 6= 1
2
rn = an + r 1
n+1
mit an = [rn ] und 1 < rn+1 1:
Denition 8.1. Mit den Bezeichnungen wie oben heit [a0 ; a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ; : : :] Kettenbruch (Kettenbruchentwicklung) von r.
Fur rn+1 = 1 heit [a0 ; a1 ; : : : ; an ] abbrechender Kettenbruch.
1
[a0 ; a1 ; : : : ; an ] = pqn = a0 +
1
n
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
...
an 1 + 1
an
mit teilerfremden ganzen Zahlen pn und qn und qn > 0 heit n-ter Naherungsbruch.
Beispiel 8.1. (a) Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ergibt sich fur r = 12=5 :
1
=
2
+
r = 12
5
5
=2
1
5
r1 = 2 = 2 + 2
r2 = 2:
Somit besitzt r = [2; 2; 2] eine Darstellung als abbrechender Kettenbruch.
46
p
(b) Fur r = 1 + 2 ergibt sich wegen
p
r = 2 + ( 2 1)
p
p
r1 = p 1 = 2 + 1 = 2 + ( 2 1)
2 1
r2 = p 1 = r1
2 1
die Darstellung r = [2; 2; 2; : : : ] als periodischer Kettenbruch.
(c) Die Eulersche Zahl lat sich schreiben als e = [2; 1; 2; 1; 1; 4; 1; 1; 6; 1; 1; 8; 1; : : : ]: (Fur
den Beweis siehe z.B. Perron, Lehre der Kettenbruche)
Bemerkung 8.1. Der Kettenbruch von r 2 R bricht genau dann ab, wenn r 2 Q gilt.
Beweis. Bricht der Kettenbruch von r ab, so besitzt r eine Darstellung r = pn =qn 2 Q als
Naherungsbruch.
Gilt umgekehrt r 2 Q , so bilden die Nenner der ri bei der Kettenbruchentwicklung eine
streng monoton fallende Folge naturlicher Zahlen. Also bricht der Kettenbruch von r ab.2
Denition 8.2. Die beiden Vektoren rs und eers heien verhaltnisgleich falls rse = sre gilt.
Bezeichnung: rs eers . Fur rn = an + 1=rn+1 gilt somit
r a r + 1 r n n n+1
= An n+1 ;
1
wobei An := a1n
1
0
rn+1
1
mit det A = 1 gesetzt wurde. Durch Induktion ergibt sich somit
n
r A0 An rn+1 bzw. r Pn rn+1
(8:1)
mit Pn := A0 An .
1
1
1
1
Bemerkung 8.2. Mit den Bezeichnungen von oben gilt
p p Pn = n n 1
n+1
qn qn 1 und det Pn = ( 1) :
Beweis. Aus Pn = A0 : : : An und det Ai = 1 folgt det Pn = ( 1)n+1 . Da sich die
Aussage nicht andert, wenn man statt r den n-ten Naherungsbruch von r betrachtet, kann
ohne Einschrankung r = pn=qn und damit rn = an angenommen werden. Hieraus ergibt
sich zusammen mit (8.1)
p r r a n n =P
n =P A 1 =P 1 ;
P
n 1 1
n 1 1
n 1 n 0
n 0
qn
1
woraus die Darstellung
pf Pn = qen n
pf p mit qen qn
n
n
47
folgt. Da ggTfpn ; qn g = 1 ist und wegen det Pn = ( 1)n+1 auch ggTfpfn ; qen g = 1 gilt,
folgt wegen
pn q1 n > 0 und qen > 0 schlielich pn = pfn und qn = qen. Aus der Darstellung
Pn 1 = qn 1 folgt somit
Pn = Pn 1 An =
p
n 1
qn 1
an 1 = pn 1 1 0
qn 1
2
und damit die Behauptung.
Folgerung 8.1. Fur n 2 gilt
pn = pn 1 an + pn
2
und qn = qn 1 an + qn 2 :
Beweis. Die Behauptung folgt unmittelbar aus Bemerkung 8.2 und der Beziehung Pn =
2
Pn 1 An
Anmerkung: Durch die Denitionen p 2 = 0 ; p 1 = 1 ; q 2 = 1 und q 1 = 0 behalten die
Rekursionsformeln in Folgerung 8.1 auch fur n = 0; 1 ihre Gultigkeit. Die pn ; qn konnen
daher etwa durch folgende Tabelle aus den an berechnet werden:
n 2 1 0 1 2 3
an pn 0 1
qn 1 0
Satz 8.1. Fur die n-ten Naherungsbruche pn=qn von r 2 R gilt
a0 = pq0 < pq2 < pq4 < : : : r : : : < pq3 < pq1 mit r pqn q q1
0
2
4
3
1
n
n n+1
Beweis. Aus (8.1) und der Beziehung det Pn = pnqn 1 qn pn 1 = ( 1)n+1 folgt
+ pn 1 pn
r pqn = pqnrrn+1 +
n
n n+1 qn 1 qn
( 1)n
pnqnrn+1 pnqn 1 =
= qn pn rn+1 +qqn(pqnr 1 +
qn(qnrn+1 + qn 1 )
n n n+1 qn 1 )
Wegen rn+1 an+1 und Folgerung 8.1 gilt
qnrn+1 + qn 1 qnan+1 + qn 1 = qn+1;
woraus sich die behauptete Abschatzung
p r n 1
qn qnqn+1
48
ergibt. Aus
pn qn 2 = (an pn 1 + pn 2)qn 2;
qn pn 2 = (an qn 1 + qn 2 )pn 2
und der Beziehung det Pn 1 = pn 1 qn 2 qn 1 pn 2 = ( 1)n folgt
pn pn 2 = pnqn 2 pn 2 qn = ( 1)n an :
qn qn 2
qnqn 2
qn qn 2
2
Hieraus ergeben sich die Naherungen wie in Satz 8.1 angegeben.
8.2 Periodische Kettenbruche
Denition 8.3. Ein Kettenbruch der Art
[a0 ; a1 ; : : : ; ak ; ak+1 ; : : : ; al ]
heit periodischer Kettenbruch.
Satz 8.2 (Euler{Lagrange). Eine reelle Zahl r besitzt genau dann einen periodischen Kettenbruch, wenn r eine quadratische Irrationalzahl ist.
Beweis. Es sei r = [a0 ; a1; : : : ; ak ; ak+1 ; : : : ; al ] eine reelle Zahl mit periodischem Kettenbruch. Aus 1r Pk rk1+1 folgt
+ pk 1 :
r = pqk rrk+1 +
k k+1 qk 1
Daher ist r eine quadratische Irrationalzahl genau dann, wenn rk+1 eine quadratische Irrationalzahl ist. Ohne Einschrankung kann also r als rein periodisch angenommen werden,
etwa
r = [a0 ; a1 ; : : : ; al ]:
r
r
r
Aus 1 Pl l1+1 = Pl 1 folgt daher
pl 1 ;
r = pql rr +
+
ql 1
l
woraus sich
qlr2 + r(ql 1 pl ) pl 1 = 0
ergibt. Also ist r Losung einer quadratischem Gleichung mit ganzzahligen Koezienten.
Zusammen mit Bemerkung 8.1 ergibt sich, da r eine quadratische Irrationalzahl ist. Der
Beweis der Umkehrung erfolgt am Ende des Abschnitts.
2
Denition 8.4. Ist r 2 R eine quadratische Irrationalzahl, etwa
ar2 + br + c = 0 mit a 2 N ; b; c 2 Z ; ggT a; b; c = 1
p
d.h. r = 2ba 21a b2 4ac;
so heit D(r) := b2 4ac Diskriminante von r.
49
Bemerkung 8.3. Ist r 2 R eine quadratische Irrationalzahl, so gilt fur alle n 0
D(rn ) = D(r):
Beweis. Fur n = 0 ist nichts zu zeigen. Es gelte nun D(rn ) = D(r) = b2
rn = an + 1=rn+1 und arn2 + brn + c = 0 folgen
2
4ac. Aus
+ b an + r 1 + c = 0
a an + r 1
n+1
n+1
(|aa2n +{zban + c}) rn2 +1 + |(2aa{z
a = 0:
n + b}) rn+1 + |{z}
ea
ec
eb
Da mit ggTfa; b; cg auch ggTfea; eb; ecg gilt, folgt durch
eb2 4eaec
D(rn+1 ) =
=
=
=
4a2 a2n + 4aan b + b2 4(a2 a2n + aban + ac)
b2 4ac
D(rn )
2
die Behauptung.
p
Denition 8.5. Ist r = b=2a + 1=2a d mit d = D(r) eine quadratische Irrationalzahl,
so heit
p
r0 := 2ba 21a d
die zu r konjugierte quadratische Irrationalzahl. Die Zahl r heit reduziert, falls
r > 1 und 1=r0 > 1 gelten.
Bemerkung 8.4. Zu einer gegebenen Diskriminante d gibt es nur endlich viele reduzierte
quadratische Irrationalzahlen.
Beweis. Es sei r eine reduzierte quadratische Irrationalzahl mit D(r) = d. Da mit 1=r0 >
1 auch 1 < r0 < 0 gilt, folgt r + r0 > 0. Also gilt b=2a > 0, woraus wegen a 2 N
schlielich b < 0 folgt.
p
p
Andererseits p
gilt wegen r0 > 0 auch bp
=2a + 1=2a d > 0, womit sich b + d > 0 und
schlielich b > d ergibt. Folglich gilt d < b < 0, und daher gibt es nur endlich viele
Moglichkeiten fur die Wahl von b. Da wegen d = b2 4ac sowohl a als auch c Teiler von
d b2 sind, gibt es auch nur endlich viele Moglichkeiten fur die Wahl von a und c. Daher
gibt es nur endlich viele reduzierte r mit D(r) = d.
2
Bemerkung 8.5. Ist r 2 R eine quadratische Irrationalzahl, so existiert ein n0 2 N , so
da fur alle n n0 die Zahl rn reduziert ist.
Beweis. Es sei r = [a0 ; a1 ; a2 ; : : :] die Kettenbruchdarstellung von r. Wegen 1r Pn rn1+1
gilt
r n+1
1
r Pn 1
1
1
mit Pn = (
50
1)n+1
q
n 1
qn
pn
pn
1
:
Hieraus folgt wegen rn+1 > 1
0
rn+1 = qn q1rr +ppn 1 bzw. rn0 +1 = qn q1rr0 +ppn 1 ;
n
n
n
n
und zusammen mit det Pn = pn qn 1 qnpn 1 = ( 1)n+1 ergibt sich
1 = qn r0 pn qn 1 = qnqn 1 r0 pn qn 1
rn0 +1
qn 1r0 pn 1 qn 1 qn 1 (qn 1r0 pn 1)
n+1
0 (qn pn 1 + ( 1)n+1 ) qn
(
1)
q
q
r
n
n
1
= q
;
=
0
n 1 q1
n 1 (qn 1 r0 pn 1 )
0qn 1(qn 1r pn 1)
1
rn0 +1
n+1
1 = q 1 @(qn qn 1)
n 1
qn
A
0( 1)p
n
1
=qn 1
1 r
Fur n ! 1 strebt pn 1 =qn 1 gegen r und qn 1 gegen 1, wahrend qn qn 1 2 N gilt. Fur
2
hinreichend groe n ist wegen 1=rn0 +1 > 1 damit rn reduziert.
Beweis zum Satz von Euler{Lagrange Teil 2. Ist r 2 R eine quadratische Irrationalzahl,
so existiert nach Bemerkung 8.5 ein n0 2 N , so da fur alle n n0 die Zahl rn reduziert
ist. Nach Bemerkung 8.3 gilt jeweils D(rn ) = D(r). Da es nach Bemerkung 8.4 nur endlich
viele verschiedene reduzierte rn mit D(rn ) = D(r) geben kann, existieren Zahlen k und l
mit rk+l = rk . Hieraus folgt aber rk+l+i = rk+i und damit ak+l+i = ak+i fur alle i 2 N .
Folglich ist der Kettenbruch periodisch.
2
8.3 Rein periodische Kettenbruche
Bemerkung 8.6. Ist r 2 R eine reduzierte quadratische Irrationalzahl, so ist fur alle
n 2 N auch rn eine reduzierte quadratische Irrationalzahl.
Beweis. Da r reduziert ist, gelten r > 1 und r0 < 0. Aus
r = a0 + 1 und r0 = a0 + 10
r1
folgt somit r1 > 1 und wegen a0 1 auch
1 =a
r10
r1
0
r0 > 1:
Daher ist r1 reduzierte quadratische Irrationalzahl. Die Behauptung folgt durch Induktion.
2
Satz 8.3. Eine reelle quadratische Irrationalzahl r besitzt genau dann eine rein periodische
Kettenbruchentwicklung, wenn r reduziert ist.
Beweis. Ist r 2 R eine quadratische Irrationalzahl mit rein periodischer Kettenbruchentwicklung r = [a0 ; a1 ; : : : ; al 1 ], so gilt r = rl = r2l = . Nach Bemerkung 8.5 gibt es eine
Zahl i, so da ril reduziert ist. Folglich ist r reduziert.
51
Fur die Umkehrung sei r eine reduzierte quadratische Irrationalzahl. Nach Satz 8.2
besitzt r eine periodische Kettenbruchentwicklung
r = [a0 ; a1 ; : : : ; ak ; ak+1 ; : : : ; ak+l ]:
Angenommen, fur die minimale Zahl m mit rm = rm+l gelte m > 0. Aus
rm 1 = am 1 + r1 und rm0 1 = am 1 + r10
m
m
folgt
1
rm0 = am
rm0 1 ;
1
und da rm 1 nach Bemerkung 8.6 reduziert ist, ergibt sich wegen 1 < rm0 1 < 0
am 1 =
"
1
1 =
r0
#
rm0 +l = am+l 1 :
m
Hieraus folgt aber rm+l 1 = rm 1 und damit ein Widerspruch zur Minimalitat von m. 2
Bemerkung 8.7. Ist r 2 R eine reduzierte quadratische Irrationalzahl, etwa
r = [a0 ; a1 ; : : : ; al 1 ];
so gilt fur die konjugierte Zahl r0
Beweis. Es sei
1 = [a ; a ; : : : ; a ]:
0
l 1 l 2
r0
1
j 1 ]:
r0 =: [ae0 ; ae1 ; : : : ; ag
Wegen r = rl gilt zunachst rl 1 = al 1 + 1=r und somit 1=r0 = al
reduziert ist, folgt wegen 0 < rl0 1 < 1 die Beziehung
al 1 =
Wegen 1=rl0
1
= al
2
rl0 2 gilt weiter
al 2 =
1
rl0 1 . Da rl
1
"
r0 = ae0 :
#
1
rl0
1
= ae1 :
2
Die Behauptung folgt durch Induktion.
Beispiel 8.2. Fur die Zahl r = [1; 1] mit rein periodischer Kettenbruchentwicklung gilt
r = 1 + 1 = 1 + 1;
woraus r2
1
r1
r
p
r 1 = 0 und schlielich r = 1=2 + 1=2 5 folgt.
52
9 Diophantische Approximation
9.1 Diophantische Approximation und Kettenbruche
Denition 9.1. Sind r 2 R, p 2 Z und q 2 N , so heit p=q diophantische (beste)
Approximation von r, falls fur alle pe 2 Z und qe 2 N mit qe q entweder p=q = pe=qe
oder
jrq pj < jrqe pej
gilt.
Anmerkung: Aus r pe=qe < r p=q mit qe < q folgt jrqe pej < jrq pj. Ist also p=q
eine diophantische Approximation von r, so gibt es keine bessere rationale Approximation
von r mit Nenner kleiner oder gleich q.
Satz 9.1. (a) Ist p=q eine diophantische Approximation von r, so gibt es eine naturliche
Zahl n mit p=q = pn =qn . (Jede diophantische Approximation von r ist also ein
Naherungsbruch.)
(b) Ist pn =qn ein Naherungsbruch von r mit n 1, so ist pn =qn eine diophantische
Approximation von r.
Beweis.
(a) Es sei p=q eine diophantische Approximation von r. Nach Satz 8.1 gilt
a0 = pq0 < pq2 < : : : r : : : < pq3 < pq1 :
0
2
3
1
Durch Fallunterscheidung wird nun die Annahme, da p=q kein Naherungsbruch von
r ist, zu einem Widerspruch gefuhrt:
1.Fall: Es gelte p=q < p0 =q0 = a0 . Hieraus folgt r p=q > jr a0 j und durch
Multiplikation mit q ergibt sich
jrq pj > jr a0j ;
was im Widerspruch dazu steht, da p=q eine diophantische Approximation von r
ist.
2.Fall: Es gelte p=q > p1 =q1 . Hieraus ergibt sich
p p p 1
r > 1 :
q
q1 q qq1
Durch Multiplikation mit q und der Abschatzung in Satz 8.1 folgt
p 1
1
jrq pj =
r 0 = jr a j ;
q1
q1 q0
was wie oben einen Widerspruch darstellt.
53
q0 0
3.Fall: Fur irgendein n gelte pn 1 =qn 1 < p=q < pn+1 =qn+1 . Hieraus folgt
1 p pn 1 < pn+1 pn 1 r pn 1 1 ;
qqn
1
q qn 1 qn+1 qn 1 qn 1 qn 1qn
was q > qn zur Folge hat. Weiter gilt
p p
r n+1 p 1 ;
q
qn+1 q qqn+1
woraus sich durch Multiplikation mit q und der Abschatzung in Satz 8.1
jrq pj 1 jrq p j
n
qn+1
n
und damit wie oben ein Widerspruch ergibt.
Der 4.Fall: Fur irgendein n gelte pn+1=qn+1 < p=q < pn 1 =qn
3.Fall behandelt.
(b) Es sei pn =qn ein Naherungsbruch von r mit n 1. Wird
Mn(r) :=
q :=
1
wird analog zum
(p; q) 2 Z N j q q und jrq pj minimal ;
n
min q j es gibt p mit (p; q) 2 M (r)
n
gesetzt, so ist q eindeutig bestimmt. Es sei p die zu q gehorige Zahl mit (p; q) 2
Mn(r). Angenommen, p sei nicht eindeutig bestimmt, es gebe also ein pe 6= p mit
p pe r = r :
q
q
Hieraus folgt aber
und schlielich
e
jrq
r = p 2+qp
e pj = p + p
2
e
p = p
p 1 :
2
2
Andererseits folgt aber aus q2 > q1 > q0 = 1, da q2 3 gilt, was nach der
Abschatzung aus Satz 8.1
jrq1 p1 j q1 13
2
a
t von q zur Folge hat. Daher ist p
und damit einen Widerspruch
zur
Minimalit
eindeutig bestimmt und p =q ist nach Denition ein diophantische Approximation
von r. Es bleibt zu zeigen, da p =q = pn=qn gilt. Nach Teil (a) des Satzes gibt es
ein m n mit
p = pm :
(9:1)
q q
m
54
Angenommen, es gelte m < n. Die Beziehung rm+1 < am+1 + 1 aus dem Kettenbruchalgorithmus und Folgerung 8.1 haben
qmrm+1 + qm 1 < qmam+1 + qm 1 + qm = qm+1 + qm
zur Folge. Aus der Beziehung aus dem Beweis zu Satz 8.1 ergibt sich somit wegen
m<n
jrqm
pmj = q r 1+ q
m m+1
m
> 1 > 1 :
qm+1 + qm qn+1 + qn
1
Zusammen mit (9.1) ergibt sich schlielich der Widerspruch
1
qn + qn 1 < jqmr pm j = jq r p j
jqnr pnj = jq r 1+ q j
n n 1
n 1
1
< q +q :
n
n 1
Also ist pn =qn = p =q eine diophantische Approximation von r.
2
Beispiel 9.1. Durch die Kettenbruchentwicklung sollen Naherungswerte fur die Zahl
= 3; 14159265358979 : : : berechnet werden. Der Kettenbruchalgorithmus ergibt
r0 = = 3 + ( 3)
r1 = 1 3 = 7 + 22 73
3
333
3
r2 = 22 7 = 15 + 22 7 15 = 15 + 106
22 7
22
7
r3 = 106 333 = 1 + : : :
Mit p1 =q1 = 3 + 1=7 = 3; 1328 : : : ergibt sich der klassische Naherungswert fur .
p2 =q2 = 3; 141509 : : : und p3 =q3 = 3; 1415929 : : : liefern bereits Naherungen mit 4 bzw. 6
Stellen Genauigkeit.
9.2 Diophantische Approximation algebraischer Zahlen
Denition 9.2. Eine komplexe Zahl a heit algebraische Zahl, wenn es ein Polynom
f 2 Q [X ] mit f (a) = 0 gibt. Ist n der minimale Grad eines solchen Polynoms, so heit a
algebraische Zahl vom Grad n.
Satz 9.2 (Liouville). Ist a eine irrationale algebraische Zahl vom Grad n, so gibt es eine
reelle Zahl c > 0, so da fur alle p 2 Z und q 2 N
p c
a n
q q
gilt.
55
Beweis. Gilt a 62 R, so folgt
p a jIm(a)j jIm(na)j
q
q
und mit c := jIm(a)j erhalt man die behauptete Abschatzung.
Gilt andererseits a 2 R, so sei f 2 Q [X ] ein Polynom kleinsten Grades mit f (a) = 0.
Ohne Einschrankung kann
n
X
f (x) = ai X i 2 Z[X ]
i=0
angenommen werden. Ware a mehrfache Nullstelle von f , so ware a auch Nullstelle von
f 0 2 Z[X ], und es wurde sich wegen @ (f 0 ) < @ (f ) ein Widerspruch zu der Wahl von f
ergeben. Daher gilt
f (X ) = (X a)g(X ) mit g 2 R[X ] und g(a) 6= 0:
Aus der Stetigkeit von g folgt die Existenz von > 0 mit
g(x) 6= 0 fur a x a + :
p p und q 2 N beliebig vorgegeben, so gilt gilt entweder a p =q oder
a =q < . Im ersten Fall gilt fur alle n 2 N die Abschatzung a =q =qn . Im
zweiten Fall folgt g( p=q ) 6= 0 und damit
Sind p 2
Z
p f ( p=q ) anpn + an 1pn 1q + + a0 qn 1
a = p =
n p qn M ;
q g( =q ) q g( =q )
wobei M := maxf jg(x)j j a x a + g gesetzt wurde.
Daher erhalt man mit c := minf; 1=M g die behauptete Abschatzung.
Folgerung 9.1. Es gibt reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind.
2
Beweis. Es seien a0 ; : : : ; ak 2 N , pk =qk := [a0 ; a1 ; : : : ; ak ] und ak+1 ; : : : ; an ; : : : 2 N mit
an+1 > qnn 1 fur n k. Setzt man r := [a0 ; a1 ; : : : ; an ; : : :], so gilt nach Satz 8.1 und
Folgerung 8.1
p 1
1 < 1 fur n k:
r n 1 =
2
qn qnqn+1 qn(qnan+1 + qn 1) qnan+1 qnn+1
Ware r eine algebraische Zahl vom Grad m, so gabe es ein c > 0 mit
was den Widerspruch
p c
r n m ;
qn qn
c < 1 fur alle n k
qnm qnn+1
zur Folge hatte. Eine so konstruierte nicht algebraische reelle Zahl r heit Liouville'sche
transzendente Zahl.
2
56
9.3 Das Primzerlegungsverfahren von Lehman
Satz 9.3 (Lehman). Ist 6 6= n 2 N eine zusammengesetzte Zahl, so gilt genau eine der
beiden folgenden Aussagen:
p
(a) Es gibt p 2 P mit p 3 n und p j n
(b) Es gibt naturliche Zahlen k, d und m mit
p6 n
hp i 2
p
3
4kn + d
4kn = m2 :
k n; d p + 1 und
4 k
hp i
Dabei ist fur l := 4kn + d die Zahl ggTfl + m; ng ein nichttrivialer Teiler von n.
p
Beispiel 9.2. Die Anwendung des Satzes auf n = 2257 ergibt folgendes: Wegen [ 3 n] = 13
und p6 j n fur p p
2 f2; 3; 5; 7; 11; 13g mu Aussage (b) des Satzes zutreen. Da fur 1 k 13
stets 1 d 6 n=4pk + 1 < 2 gilt, darf d = 1 angenommen werden. Das Rechenschema
ist nun aus folgender Tabelle ersichtlich:
4kn
1 9028
2 18056
k
hp i
4kn
95
134
l
l2
l2 4kn
96 9216
188
135 18225 169 = 132 = m2
Hieraus ergibt sich der nichttriviale Teiler ggTf135 + 13 ; 2257g = 37 von n = 37 61.
p
p
Vorbemerkung: Gilt n = pq mit 3 n < q p < 3 n2 , so gibt es naturliche Zahlen r und s
mit
p
p
rs 3 n und jqr psj 3 n:
Beweis. Es sei p=q = [a0 ; a1 ; a2 ; : : :] die Darstellung von p=q als abbrechender Kettenbruch
mit Naherungsbruchen pn =qn . Nach Voraussetzung gelten
p p
p0 q0 = a0 = q < 3 n
p
und q > 3 n:
Da die Folge der pi qi monoton wachsend ist, gibt es eine naturliche Zahl m mit
p
p
pmqm < 3 n und pm+1 qm+1 3 n:
Wird r := pm und s := qm gesetzt, so gilt nach Satz 8.1
r p 1
q :
bzw.
j
rq
ps
j
s q sq
q
m+1
Gilt q=qm+1 p=pm+1 , so folgt wie behauptet
m+1
r q p rn p
jrq psj q p p3 n 3 n:
m+1 m+1
57
Gilt andererseits p=pm+1 < q=qm+1 , so lat sich durch die Darstellung
q = 0 + 1 = [0; a ; a ; : : :]
p=q
p
0 1
und mit den sich aus dem Kettenbruchalgorithmus ergebenden Naherungsbruchen pfn =qen =
qn+1 =pn+1 durch Vertauschung von p und q, r und s schlielich
r p q p
p
jsp qrj p < p q 3 n
m+1
m+1 m+1
2
folgern.
Beweis zu dem Satz von Lehman. Gilt Aussage
(a) des Satzes nicht, pso ist n eine zusamp
p
3
mengesetzte Zahl mit p6 j n fur alle p n. Daher gilt n = pq mit 3 n < q p < 3pn2 .
Wird mit den Bezeichnungen aus der Vorbemerkung k := rs gesetzt, so gilt k 3 n.
Weiter gilt
p
4kn = 4rspq = (qr + ps)2 (qr ps)2 =: l2 + m2 mit m 3 n:
Wird d := l
hp i
4kn 1 gesetzt, so folgt weiter
p p m2 = l2 4kn = l
4kn l + 4kn (d 1) d +
Also gilt
hp i p p
4kn + 4kn 2(d 1) 4kn:
p
p
2(d p
1) 4kn 3 n2
p6 n
3 2
n
p
d
+ 1 = p + 1:
2 4kn
4 k
Wegen 4kn = (l + m)(l m) und p; q6 j 4k genugt es, l + m < n zu zeigen. Dies folgt fur
n 27 aus
p6 n
p
p
p
p
l + m d + 4kn + m 1 + 4 + 2 3 n2 + 3 n < 3 3 n2 n:
Fur n < 27 ergibt sich die Behauptung des Satzes durch direkte Verikation mit der
Ausnahme n = 6.
2
Zusatz 9.1. Die Anzahl der Divisionsversuche ist durch 2 p3 n beschrankt. Genauer gilt
p j p p3 p + (k; d) j 1 k p3 n; 1 d p6pn + 1 2 p3 n:
Beweis. Oensichtlich gilt
4 k
p j p p3 n 1 p3 n:
3
Aus der Bedingung fur d ergibt sich
p3 n 16(d 1)2 k:
58
Fur d = 1 ergibt sich hieraus keine weitere Bedingung fur k, wahrend fur d 2
p3
k 16(d n 1)2
gefolgert werden kann. Durch Summation folgt schlielich
p
(k; d) j 1 k p3 n; 1 d 6pn + 1 p3 n 1 + 12 + 12 + 12 + 4 8 12
4 k
p 1 1 1
<
3n
1 + 22 + 32 + 42 + 2p
p
= 6 3 n < 53 3 n;
womit sich die behauptete Abschatzung ergibt.
2
Anmerkung: Fur die Anzahl der Rechenschritte zwischen dem naiven Verfahren, auf
Teiler t mit 26 j t und 36 j t zu testen, dem Verfahren, auf Primteiler zu testen, und dem
Lehman{Verfahren liefert die folgende Tabelle einen Vergleich:
allgemein
n = 106 n = 1012
Verfahren
p
1
t j n mit 26 j t und 36 j t
333
333333
3 pn
p j n mit p 2 P
(pn)
168
78448
23n
200
20000
Lehman{Verfahren
9.4 Das Verfahren von Lehmer
p
Anmerkung: Ist n eine naturliche Zahl, so seien pi =qi die Naherungsbruche von n und
di := p2i nqi2 . Gilt dann fur ein i, da di = m2 eine Quadratzahl ist, so folgt
nqi2 = p2i m2 = (pi m)(pi + m)
und wegen n6 j (pi m) ist d := ggTfpi m; ng ein nichttrivialer Teiler von n.
Beispiel 9.3. Fur n = 1147 ergibt der Kettenbruchalgorithmus
p
p
r0 = n = 33 + n 33
p
p
r1 = pn 1 33 = n58+ 33 = 1 + n58 25
Mit p0 = 33 und q0 = 1 erhalt man d0 = 332 1147 < 0, wahrend sich mit p1 = 34 und
q1 = 1 fur d1 = 322 1147 = 9 =: m2 eine Quadratzahl ergibt. Mit p1 + m = 37 und
p1 m = 31 erhalt man auf
p diese Weise
die beiden Teiler von n = 31 37.
p
Mit der Abschatzung i =qi
n < 1=qi2 aus Satz 8.1 gilt
p
p2 1 1 p 2i n < 2 2 + 2 n ;
qi
qi qi
was di < 1+2 n zur Folge hat. Unter der Annahme, da die di gleichverteilt
ist
p p auftreten,
p p4
die relative Haugkeit, mit di eine Quadratzahl zu treen, etwa 1 + 2 n 2 np. Also
p
ist obiger Algorithmus ein (i.a. nicht sicheres) Primzerlegungsverfahren mit etwa 2 4 n
Schritten.
59
10 Ganze Zahlen in quadratischen Zahlkorpern
10.1 Klassikation der quadratischen Zahlkorper
Bezeichnungen: Wie ublich bezeichnet C = (C ; +; ) den Korper der komplexen Zahlen.
(C ist die algebraisch abgeschlossene Hulle von R.) Jeder Teilkorper K von C umfat den
Primkorper Q und kann somit als Q {Vektorraum der Dimension dimQ (K ) uber Q aufgefat
werden.
Denition 10.1. Ein Korper K mit Q K C heit quadratischer Zahlkorper (uber
Q ), wenn dimQ (K ) = 2 gilt.
Satz 10.1. (a) K ist ein quadratischer Zahlkorper genau dann, wenn eine ganze quadratfreie Zahl d existiert mit
p
p
p
K = r + s d j r; s 2 Q = Q + Q d =: Q ( d ):
p
p
(b) Sind d 6= de ganze quadratfreie Zahlen, so gilt Q ( d ) 6= Q ( de).
Beweis.
(a) Es sei K ein quadratischer Zahlkorper und x 2 K nQ . Da 1 und x eine Basis von K
als Q {Vektorraum bilden, folgt K = Q + Q x. Wegen x2 2 K existieren also r; s 2 Q
mit x2 = r + sx. Hiermit erhalt man teilerfremde Zahlen a 2 N und b; c 2 Z mit
ax2 + bx + c = 0; woraus sich
p
x = 2ba 21a D(x) mit D(x) = b2 4ac
ergibt. Wegen D(x) 2 Z existiert eine nat
p urliche Zahl m mit D(x)p= m2d pund
quadratfreiem d 2 Z. Also gilt x 2 Q p+ Q d, woraus sich K Q + Q d =
p Q( d )
ergibt. Da fur alle r; s 2 Q stets r + s d 2 K gilt, folgt schlielich K = Q ( d ).
p
Gilt umgekehrt K = Q ( d ), so bildet K wegen
p
p
p
(r1 + s1 d) + (r2 + s2 d) = (r1 + r2 ) + (s1 + s2 ) d;
p
p
p
p
0 2 K und ( r s d) + (r + s d) = 0 eine additive abelsche Gruppe. Da K wegen
p
p
(r1 + s1 d)(r2 + s2 d) = (r1 r2 + s1 s2 d) + (r1 s2 + r2 s1 ) d
bezuglich der Multiplikation abgeschlossen ist und jedes Element r + s d 6= 0 wegen
p r spd
(r + s d)
=1
r 2 s2 d
ein multiplikatives Inverses besitzt, ist K ein Teilkorper von C . Da oensichtlich
dimQ (K ) = 2 gilt, ist K somit ein quadratischer Zahlkorper.
60
p
p
(b) Gilt
sich paus
p e Q ( d ) =p Q ( de) fur ganze quadratfreie Zahlen d und de, sopergibt
e
d 2 Q + Q d die Existenz
p von rationaleneZahlen r und s mit d = r + s d,
2
2
e
woraus d = r + s d + 2rs
p d folgt. Wegen d 2 Z ergibt sich hieraus 2rs = 0. Da
s = 0 den Widerspruch de 2 Q zur Folge hatte, gilt r = 0, woraus de = s2d und
wegen der Quadratfreiheit von de schlielich de = d folgt.
2
p
Bemerkung 10.1. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper, so ist die Abbildung 0
von K nach K mit
p 0
p
r+s d =r s d
ein Automorphismus von K als Ring bzw. als Korper.
Beweis. Die Abbildung ist eine Bijektion und fur x; y 2 K gelten (x + y)0 = x0 + y0 sowie
(xy)0 = x0 y0 .
2
p
Denition 10.2. Ist K ein quadratischer Zahlkorper, so heit fur x = r + s d
S (x) := x + x0 = 2r 2 Q
Spur von x und
N (x) := xx0 = r2 s2d 2 Q
Norm von x. Die hiermit denierten Abbildungen S und N von K nach
entsprechend als Spur bzw. Norm bezeichnet.
Bemerkung 10.2. Fur alle x 2 K gilt x2 S (x)x + N (x) = 0. Ferner gelten
S (x + y) = S (x) + S (y) und N (xy) = N (x)N (y):
Folglich sind die Abbildungen S und N additiv bzw. multiplikativ.
Q
werden
Beweis. Die Behauptungen ergeben sich unmittelbar aus der Denition.
10.2 Die Hauptordnung quadratischer Zahlkorper
p
2
Denition 10.3. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper, so heit xp2 K ganze
Zahl, falls S (x) 2 Z und N (x) 2 Z gilt. Die Menge der ganzen Zahlen in Q ( d )
p
Od := x 2 Q ( d ) j x ganz
p
heit Hauptordnung von Q ( d ).
p
Satz 10.2. Fur die Hauptordnung von Q ( d ) gilt
1 (1 + pd) falls d 1 (mod 4)
p
Od = Z + Zz = r + sz j r; s 2 Z mit z = 2
d falls d 2; 3 (mod 4) :
61
p
Beweis. Es sei x = r + s d mit r; s 2 Q eine ganzepZahl. Wegen S (x) = 2r 2 Z gibt es eine
Zahl n 2 Z mit r = n=2 . Also gilt x = n=2 + s d und wegen N (x) = n2 =4 s2 d 2 Z
gibt es eine Zahl m 2 Z mit s = m=2 . Hieraus folgt uber N (x) = (n2 m2 d)=4 2 Z die
Beziehung n2 m2 d (mod 4).
Im Falle d 2; 3 (mod 4) ergeben sich nun wegen m2 ; n2 0; 1 (mod 4) die Kongruenzen m2 ; n2 p0 (mod 4). Dies hat m; n p
0 (mod 2) zur Folge, und hiermit gilt r; sp2 Z
bzw. x 2 Z + Z d. Zusammen mit Z + Z d Od erhalt man Od = Z + Zz mit z = d.
Im Falle d 1 (mod 4) ergibt sich die Kongruenz m2 n2 (mod 4), was pm n
(mod 2) zur Folge hat. Fur m n 0 (mod 2) folgt wie im ersten Fall x 2 Z + Z d. Fur
m n 1 (mod 2) erhalt man aber
p
p
x = n2 + m2 d = (a + 21 ) + (b + 21 ) d mit a; b 2 Z;
p
woraus
sich
x
2
Z + z Z mit z = 21 (1 + d) ergibt. Gilt umgekehrt x = (a + 1=2 ) + (b +
1=2 )pd mit a; b 2 Z, so folgt S (x) = 2a + 1 2 Z und aus
1 2 1 2 2a + 1 2 2b + 1 2 1 d
b+ 2 d=
d 4 (mod 4)
N (x) = a + 2
2
2
folgt wegen d 1 (mod 4) die Beziehung N (x) 2 Z. Somit gilt x 2 Od .
2
10.3 Einheiten in imaginarquadratischen Zahlkorpern
Bemerkung 10.3. Die Hauptordnung Od ist ein Ring und eine ganze Zahl x liegt genau
dann in Od , wenn N (x) 2 Z gilt.
Beweis. Wegen 0; 1 2 Od C genugt es, von den Ringeigenschaften die Abgeschlossenheit
bzgl. Addition und Multiplikation zu zeigen. Nach Satz 10.2 ist ersteres trivial, wahrend
es fur letzteres genugt, z 2 2 Od nachzuweisen. Im Falle d 2; 3 (mod 4) ist dies wegen
z2 = d oensichtlich und fur d 1 (mod 4) gilt
p
p
p
= 14 (1 + d)2 = d +4 1 + 2d = d 4 1 + 1 +2 d = d 4 1 + z 2 Od :
Nun sei x 2 Od . Dann gilt auch x 1 2 Od und wegen N (x); N (x 1 ) 2 Z folgt aus
N (x)N (x 1 ) = N (xx 1 ) = N (1) = 1 die Beziehung 0N (x) 2 f1; 1g = Z. Ist umgekehrt
x eine ganze Zahl mit N (x) 2 Z, so gilt x 1 = x =N (x) 2 Od , was x 2 Od zur Folge
hat.
2
z2
p
Denition 10.4. Ein quadratischer Zahlkorper Q ( d ) heit imaginarquadratisch, falls
d < 0 gilt, im Falle d > 0 heit er reellquadratisch.
Satz 10.3. Fur die Einheiten imaginarquadratischer Zahlkorper gelten die folgenden Aussagen:
p
(a) O1 = f1; ig mit i = 1,
p
(b) O3 = f z k j k = 0; : : : ; 5 g mit z = 1+ 2 3 ,
62
(c) Fur d 6= 1; 3 gilt Od = f1g.
Beweis.
(a) Wegen d = 1 3 (mod 4) gilt nach Satz 10.2 O 1 = Z + Zi. Nach Bemerkung 10.3
ist x = a + bi 2 O1 mit a; b 2 Z gleichbedeutend mit N (a + bi) = a2 + b2 = 1.
Diese Gleichung besitzt aber genau die behaupteten Losungen a = 0 und b = 1
sowie a = 1 und b = 0.
p
(b) Wegen d = 3 1 (mod 4) gilt nach Satz 10.2 O 3 = Z + Zz mit z = 12 (1 + 3).
Nach Bemerkung 10.3 ist x = a + bz 2 O3 mit a; b 2 Z gleichbedeutend mit
ep
p
p
N (a + bz) = N (a + 2b + 2b 3) = N ( ea2 + 2b 3) = N ( 12 )N (ea + eb 3) = 1;
wobei ea := 2a + b 2 Z und eb := b 2 Zp gesetzt wurde. Aufgrund von N ( 1=2 ) = 1=4
ist dies gleichbedeutend mit N (ea + eb 3) = ea2 + 3eb2 = 4. Diese Gleichung besitzt
aber genau die Losungen ea = 1 und eb = 1 sowie ea = 2 und eb = 0, woraus sich
die behaupteten Losungen ergeben: Aus ea = 1 und
sich a = 0 und
p eb = 1ergibt
1
1
b = 1 bzw. a = 1 und b = 1, was x = 2 (1 3) = z zur Folge hat. Aus
ea = 1 1 und peb = 1 ergibt
sich a = 1 und b = 1 bzw. a = 0 und b = 1, woraus
x = 2 ( 1 3) = z2 folgt. Aus ea = 2 und eb = 0 folgt schlielich a = 1 und
b = 0, womit sich x = 1 2 fz0 ; z3 g ergibt.
p
(c) Nun sei d 2. Im Falle d 2; 3 p
(mod 4) gilt nach Satz 10.2 Od = Z + Z d.
Nach Bemerkung
10.3 ist x = a + b d 2 Od mit a; b 2 Z gleichbedeutend mit
p
N (a + b d) = a2 db2 = 1. Diese Gleichung besitzt aber genau die behaupteten
Losungen a = 1 und b = 0.
p
Im Falle d 1 (mod 4) gilt nach Satz 10.2 Od = Z + Zz mit z = 21 (1 + d). Nach
Bemerkung 10.3 ist x = a + bz 2 Od mit a; b 2 Z gleichbedeutend mit
ep
p
p
N (a + bz) = N (a + 2b + 2b d) = N ( ea2 + 2b d) = N ( 12 )N (ea + eb d) = 1;
wobei ea := 2a + bp2 Z und eb := b 2 Z gesetzt wurde. Dies ist wiederum gleichbedeutend mit N (ea + eb d) = ea2 deb2 = 4. Diese Gleichung besitzt aber fur d 7genau
die Losungen ea = 2 und eb = 0, woraus sich wie oben die behaupteten Losungen
ergeben.
2
10.4 Einheiten in reellquadratischen Zahlkorpern
p
Bemerkung 10.4. Ist Q ( d ) ein reellquadratischer Zahlkorper und wird
1 (1 + pd) falls d 1 (mod 4)
p
z := 2
d falls d 2; 3 (mod 4)
gesetzt, so ist die durch die Kettenbruchentwicklung von z bestimmte Zahl
z1 = z 1 [z]
reduziert.
63
Beweis. Aus 0 < z [z ] < 1 folgt z1 > 1. Mit z 0 = S (z ) z gilt weiter
1 = [z ] z 0 = [z ] + z S (z ):
0
z1
Mit z > 1, [z ] 1 und S (z ) 2 f0; 1g ergibt sich hiermit 1=z10 > 1. Also ist z1 reduziert.
2
p
Bemerkung 10.5. Ist t 2 Q ( d ) mit d > 0 eine reduzierte Zahl mit D(t) = D(z),
(z sei wie oben deniert), und ist t = [a0 ; a1 ; : : : ; an ] die nach Satz 8.3 rein periodische
Kettenbruchentwicklung von t mit Naherungsbruchen pk =qk , so gilt
e := qn t + qn 1 2 Od mit e > 1:
Beweis. Aus t = tn+1 und (8.1) folgt
t
1 Pn
Daher existiert eine reelle Zahl e mit
t
e 1
t n+1
1
t
= Pn 1 :
t p t + p n 1 :
= Pn
= n
qn t + qn
1
1
Hieraus ergibt sich e = qn t + qn 1 2 Q ( d ) und wegen t > 1 gilt e > 1. Aus (Pn eI ) 1t =
0 folgt det(Pn eI ) = 0, womit sich uber
p
0 = det pnq e q pn 1 e = e2 (pn + qn 1 )e + det Pn
n 1
n
die Beziehung e 2 Od ergibt. Aufgrund von N (e) = det Pn = ( 1)n+1 gilt schlielich sogar
e 2 Od.
2
Folgerung 10.1. In reellquadratischen Zahlkorpern gilt Od = 1.
Beweis. Fur jedes n 2 Z gilt en 2 Od , und aufgrund von e > 1 gibt es unendlich viele
2
verschiedene solcher Potenzen.
p
Satz 10.4. Ist K = Q ( d ) ein reellquadratischer Zahlkorper und sind z1 = 1=(z [z])
wie in Bemerkung 10.4 und e = qn z1 + qn 1 wie in Bemerkung 10.5 gewahlt, so gilt
Od = h 1i hei = ( 1)i ej j i 2 0; 1 ; j 2 Z :
Denition 10.5. Die Zahl e heit Grundeinheit von K .
Beweis. Fur die Diskriminante von z gilt
d
D := D(z) =
falls d 1 (mod 4) ;
4d falls d 2; 3 (mod 4)
64
(10:1)
p
p
da sich fur z = d die quadratische Gleichung z 2 d = 0 und fur z = 21 (1 + d) die
Gleichung z 2 z + (1 d)=4 = 0 zur Bestimmung der Diskriminante ergeben.
Es sei f ein beliebiges Element von Od ungleich 1. Da entweder f > 1, 1=f > 1,
f > 1 oder 1=f > 1 gilt, kann fur den Beweis des Satzes ohne Einschrankung f > 1
angenommen werden.
Fur f kann stets eine Darstellung
p
u
+
v
(10:2)
f = 2 D mit u; v 2 Z ; u vD (mod 2)
gefunden werden, denn im Falle d 2; 3 (mod 4) gilt nach Satz 10.2 und (10.1)
p 2ue + vep4d u + vpD
f = ue + ve d =
=
2
2 ;
wobei u := 2ue und v := ve mit u vD (mod 2) gesetzt wurde. Im Falle d 1 (mod 4) gilt
nach Satz 10.2 hingegen
p
u
+
v
f = 2 d mit u v (mod 2);
woraus sich mit (10.1) D 1 (mod 2) und damit die behauptete Darstellung mit u vD
(mod 2) ergibt.
Aus den resultierenden Darstellungen
p
p
0
u
v
1
f
u
v
D
D
f=
;
=
=
2
f
N (f )
2
folgt aufgrund der Wahl von f als grote der vier Zahlen f; f; 1=f ; 1=f die Beziehung
u; v > 1.
Ist t 2 Od reduziert mit D(t) = D(z ) = D wie in Bemerkung 10.5, so existieren eine
naturliche Zahl a und ganze Zahlen b und c mit
at2 + bt + c = 0
(10:3)
bzw.
p
(10:4)
at = 2b + 12 D mit D = b2 4ac:
Aus D b (mod 2) und (10.2) folgt somit u vb (mod 2), womit 2 j (u vb) gilt. Folglich
besitzt die Matrix
! (u vb)=2
cv
p pe
=:
P :=
(
u
+
vb
)
q qe
av
=2
ganzzahlige Eintrage. Die folgende Gleichung
t
t P 1 =f 1
(10:5)
wird durch elementares Nachrechnen veriziert: Die erste Zeile pt + pe = ft ist aquivalent
zur Gleichung
p
u vb t cv = u + v D t:
2
2
65
Dies wiederum gilt fur
p
b
b
D
2 t c = 2 t = at + 2 t;
was wegen (10.3) erfullt ist. Die zweite Zeile qt + qe = f ist gleichbedeutend mit
p
avt + u +2 vb = u + 2v D ;
was aufgrund von (10.4) richtig ist.
Unter der Annahme, da
P=
m Y
ai 1 1 0
i=0
den Anfang einer Kettenbruchentwicklung von
et = [a0 ; a1 ; : : : ; am ; t]
darstellt, lat sich wie folgt die Aussage des Satzes schlieen: Nach (8.1) und (10.5) gilt
et t
1 P 1
t t
=f 1 1 ;
woraus t = et und t = [a0 ; a1 ; : : : ; am ] folgen. Es sei also t = [a0 ; a1 ; : : : ; an ] mit minimalem
n. Dann gibt es ein k 2 N mit m = kn. Hierdurch folgt wegen
f 1t = P 1t = ek 1t
die Beziehung f = ek .
1 ( b + pD )
Zu zeigen bleibt
also
noch
die
Richtigkeit
der
obigen
Annahme.
Mit
t
=
2a
p
gilt t0 = 21a (b + D). Da t reduziertpist, gelten t > 1 und 0 < t0 < 1. Aus t0 > 0 ergibt
sich wegen a > 0 die Beziehung b + D > 0 und schlielich
b>
p
p
D:
(10:6)
Aus t0 < 1 folgt uber b + D < 2a die Beziehung
p
p
2a b > D;
wahrend t > 1 zunachst D b > 2a und damit
b 2a >
p
D
zur Folge hat. Aus (10.6), (10.7) und (10.8) folgen
p
qe = u +2 vb > u 2v D = f 0 = N f(f )
0 fur N (f ) = 1
>
1 fur N (f ) = 1
66
(10:7)
(10:8)
q qe = av u +2 vb = v(2a 2b) u > v
1 fur N (f ) = 1
>
0 fur N (f ) = 1
p q = u 2 vb av = u vb2 2av > u
0 fur N (f ) = 1
>
1 fur N (f ) = 1
p
D u = f 0 = N (f )
2
f
p
v D = f 0 = N (f )
2
f
Fur N (f ) = 1 ergeben sich somit die Abschatzungen 0 < qe q und p=q > 1, wahrend
fur N (f ) = 1 die Abschatzungen 0 qe < q und p=q 1 gelten. Als rationale Zahl
besitzt p=q eine abbrechende Kettenbruchentwicklung
p = [a ; a ; : : : ; a ]
0 1
m
e
q
(
[a0 ; a1 ; : : : ; am ] falls N (f ) = ( 1)me +1 :
=:
[a0 ; a1 ; : : : ; ame 1; 1] falls N (f ) = ( 1)me
Ist Pm = pqmm pqmm 11 die zugehorige Matrix, so gilt p=q = pm =qm . Wegen det Pm = 1
gilt ggTfpm ; qm g = 1, woraus zusammen mit ggTfp; qg = 1 und q; qm > 0 die Beziehungen
p = pm und q = qm folgen. Weiter gilt
pqm
1
woraus sich die Beziehung
pm 1 q = ( 1)m+1 = N (f ) = det P = pqe peq;
qe) = (pe pm 1 )q
(10:9)
ergibt. Zum Beweis des Satzes bleiben noch qe = qm 1 und pe = pm 1 zu zeigen. Im Falle
0 < qe < q folgt wegen 0 qm 1 qm = q die Beziehung
jqe qm 1 j q 1 < q
und mit ggTfp; qg = 1 und (10.9) ergibt sich q j (qm 1 qe), was schlielich qm 1 qe = 0
und damit pe = pm 1 zur Folge hat.
Im Falle 0 < qe = q folgt wegen pqe peq = ( 1)m+1 die Beziehung q = qe = 1, woraus
sich
p = p = [p] = [p 1; 1]
q
ergibt. Also gilt m = 1 und es folgen qm 1 = q0 = 1 = qe und pm 1 = p0 = pe.
Im letzten Falle 0 = qe < q ergeben sich wegen pqe peq = ( 1)m+1 die Beziehungen
q = 1 und N (f ) = 1. Somit gelten p=q = p = [p] und m = 0, woraus P = p1 10 folgt. 2
p
p
Beispiel
e
von
Q ( 19 ) berechnet werden. Mit z = 19 =
p 10.1. Es soll die Grundeinheit
4 + ( 19 4) gilt t = z1 = 1=(p19 4) , und es ergibt sich die folgende Rechnung:
p
p(qm
1
p
p
p 1 = 193+ 4 = 2 + 193 2 ;
19 4
p
+ 2) = 1 + 19 3 ;
p 3 = 3( 19
15
5
19 2
67
p
p
p
p
+ 3) = 3 + 19 3 ; p 2 = 2( 19 + 3) = 1 + 19 2 ;
p 5 = 5( 19
5
19 3
19 3
p 10
p 10
p 2
+ 2) = 2 + 19 4 ; p 3 = 3( 19 + 4) = 8 + (p19 4):
p 5 = 5( 19
15
3
3
19 2
19 4
Hieraus ergibt sich die Kettenbruchdarstellung t = [2; 1; 3; 1; 2; 8]. Die Berechnung des
5{ten Naherungsbruchs geht aus folgender Tabelle hervor (siehe Anmerkung nach Folgerung 8.1):
n 2 1 0 1 2 3 4 5
an 2 1 3 1 2 8
pn 0 1 2 3 11 14 39 326
qn 1 0 1 1 4 5 14 117
Somit ergibt sich
p
p
1
+ 14 = 117 193+ 4 + 14 = 170 + 39 19
e = q5 t + q4 = 117 p
19 4
p
als Grundeinheit von Q ( 19 ).
11 Ideale in quadratischen Zahlkorpern
11.1 Primzerlegung in Ringen
Die folgende Denition dient zur Wiederholung und Erganzung der Bezeichnungen der
Paragraphen 1 und 2:
Denition 11.1. Ist R ein kommutativer Ring, so werden folgende Bezeichnungen eingefuhrt:
(a) R := f r 2 R j es gibt ein s 2 R mit rs = 1 g heit Einheitengruppe von R.
(b) Gilt r; s 2 R, so heit r Teiler von s, wenn es ein t 2 R mit s = rt gibt. Die
Bezeichnung hierfur lautet r j s.
(c) Gilt r; s 2 R, so heien r und s assoziiert, falls r j s und s j r gilt. Die Bezeichnung
hierfur lautet r ' s.
(d) Ein Element u 2 R heit unzerlegbar, wenn fur alle r 2 R mit r j u stets r ' 1 oder
r ' u gilt.
(e) Ein Element p 2 RnR heit prim (Primelement), wenn fur alle r; s 2 R aus p j rs
stets p j r oder p j s folgt.
(f) Ist P ein Vertretersystem von f p 2 R j p prim g=R , so heit R Ring mit eindeutiger Primzerlegung (ZPE{Ring), wenn jedes Element r 2 R bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig als
r = e p1 : : : pn mit e 2 R ; pi 2 P
darstellbar ist.
68
Beispiel 11.1. (a) Fur R = Z gilt R = f1g und P = P. Nach Satz 1.4 ist Z daher ein
ZPE{Ring.
(b) Fur R = Z + Zi gilt R = f1; ig und
P = i + 1 [ p 2 P j p 3 (mod 4)
[ a + bi; a bi j a; b 2 N ; a2 + b2 = p; a > b; p 2 P ; p 1 (mod 4) :
Daher ist Z + Zi ein ZPE{Ring. (Der Beweis hierfur sei als U bung empfohlen.)
p
(c) Fur R = Z + Z 5p= O 5 giltpnach Satz 10.3 R = f1g. Weiterhin sind die
Elemente 2 ; 3 ; (1
5) ; (1
5) unzerlegbar aber nicht prim.
p
Beweis. Es sei 2 = rs mit r; s 2 O 5 . Fur alle Elemente t = a + b 5 mit a; b 2 Z
gilt
N (t) = a2 + 5b2 6= 2 und N (t) 2 Z:
Daher kann aufgrund von 4 = N (2) = N (rs) = N (r)N (s) ohne Einschrankung
N (r) = 1 angenommen werden. Folglich gilt r 2 Op5 , woraus pr ' 1 folgt. Also ist 2
5), aber keinen der
ein unzerlegbares Element. Aber da 2 zwar 6 = (1+ 5)(1
beiden Faktoren teilt, ist 2 nicht prim. Die restlichen Behauptungen werden analog
bewiesen.
2
Bemerkung 11.1. Ist R ein kommutativer Ring und sind a, b und c Ideale in R, so gelten
folgende Aussagen.
(a) a + b := f a + b j a 2 a ; b 2 b g E R
P
(b) ab := a b := f ni=1 ai bi j n 2 N ; ai 2 a ; bi 2 b g E R
(c) ab = ba
(d) a(bc) = (ab)c
(e) a(b + c) = ab + ac
Beweis. (U bung)
2
Denition 11.2. Ist R ein kommutativer Ring, so werden folgende Bezeichnungen eingefuhrt:
(a) Gilt a; b E R, so heit a Teiler von b, wenn es ein c E R mit ac = b gibt. Die
Bezeichnung hierfur lautet a j b.
(b) Ein Ideal u E R heit unzerlegbar, wenn fur alle a E R mit a j u stets a = R oder
a = u gilt.
(c) Ein Ideal p E R heit prim (Primideal), wenn fur alle a; b E R aus p j ab stets p j a
oder p j b folgt.
(d) Ein Ideal m <6= R heit maximal, wenn fur alle a E R mit a m stets a = m oder
a = R gilt.
69
Satz 11.1. Ist R ein kommutativer Ring und a E R ein Ideal, so gelten folgende Aussagen:
(a) Das Ideal a ist ein ein Primideal genau dann, wenn R=a nullteilerfrei ist.
(b) Das Ideal a ist ein maximales Ideal genau dann, wenn R=a ein Korper ist.
Beweis.
(a) Ist a ein Primideal, so folgt aus ab 2 a stets a 2 a oder b 2 a. Im Restklassenring
R=a folgt somit aus ab = 0 stets a = 0 oder b = 0 und daher ist R=a nullteilerfrei.
Da alle Implikationen auch in der anderen Richtung gelten, gilt auch die Umkehrung.
(b) Ist a ein maximales Ideal, so folgt aus x 2= a stets a + Rx = R und daher existieren
Elemente a 2 a uns y 2 R mit a + yx = 1. Fur die Restklassen in R=a hat dies xy = 1
zur Folge, weshalb x 2 ( R=a ) gilt. Daher gilt R=a nf0g = ( R=a ) und R=a ist ein
Korper. Ist umgekehrt R=a ein Korper und gilt x 2= a, so gilt x 2 ( R=a ) , weshalb
es ein y 2 R mit xy = 1 gibt. Folglich gilt xy 1 2 a und es existiert ein a 2 a mit
xy a = 1, woraus 1 2 a + Rx und schlielich R = a + Rx folgen. Also ist a ein
maximales Ideal.
2
11.2 Erzeugung der Ideale in Od
Bemerkung 11.2. Gilt o := f0g 6= a E Od und wird a := min(a \ N ) gesetzt, so gibt es
eine Zahl v 2 Od nZ mit a = Za + Zv.
Beweis. Aufgrund von o =
6 a E Od existiert ein x 2 a mit x 6= 0 und wegen
0=
6 xx0 = N (x) 2 a \ Z
gilt o =
6 a \ Z =: A E Z. Nach Satz 1.5 gibt es eine Zahl a 2 N mit A = Za, wobei
a = min(A \ N ) = min(a \ N ) gilt. Die Hauptordnung lat sich nach Satz 10.2 schreiben
als Od = Z + Zz . Oensichtlich gilt
C := c 2 Z j es gibt ein b 2 Z mit b + cz 2 a E Z;
und da mit a 2 A auch az 2 a und somit a 2 C gilt, folgt C A =
6 o. Daher existiert ein
c 2 N mit C = Zc, und wegen c 2 C gibt es ein b 2 Z mit b + cz =: v 2 a. Hieraus folgen
zunachst v 2 Od nZ und Za + Zv a. Umgekehrt existieren fur ein beliebiges Element
x 2 a wegen a Od Zahlen g; h 2 Z mit x = g + hz . Folglich gilt h 2 C , und es gibt ein
k 2 Z mit h = kc. Somit ergibt sich x = g + kcz = g + k(v b), woraus
x kv = g kb 2 a \ Z = A = Za
folgt. Also gilt x 2 Za + Zv, was die Inklusion a Za + Zv zur Folge hat.
2
Bemerkung 11.3. Gelten fur u; v 2 Od und g 2 Z die Beziehungen g j uu0 , g j vv0 und
g j (uv0 + u0v), so folgen g j uv0 und g j u0 v.
70
Beweis. Wird x := uv0 gesetzt, so gilt x0 = (uv0 )0 = u0 v. Daher existieren Zahlen s; t 2 Z mit
x2 + sx + t = 0, wobei s = S (x) = (x + x0) = (uv0 + u0v) und t = N (x) = xx0 = uu0 vv0
gelten. Aus den Voraussetzungen folgen somit g j s und g2 j t, weshalb mit se := s=g und
et := t=g2 die Beziehung se; et 2 Z gilt. Die Division der quadratischen Gleichung fur x durch
g2 fuhrt zu
x 2 x
+ se + et = 0;
g
g
was x=g 2 Od und schlielich g j x zur Folge hat. Da mit gy = x stets gy0 = x0 gilt, folgt
somit auch g j x0 .
2
Bemerkung 11.4. Ist o 6= a E Od ein Ideal, das (nach Bemerkung 11.2) die Gestalt
a = Od u + Od v mit u; v 2 a besitzt und wird g := ggTfN (u); N (v); S (u0 v)g 2 N gesetzt,
so gilt aa0 = Od g.
Beweis. Zunachst gilt aa0 = (Od u + Od v)(Od u0 + Od v0 ) = Od uu0 + Od uv0 + Od u0 v + Od vv0 .
Aus uu0 = N (u) 2 aa0 , vv0 = N (v) 2 aa0 und u0 v + v0 u = S (u0 v) 2 aa0 und der Wahl
von g folgt nun g 2 aa0, womit sich Od g aa0 ergibt. Andererseits ergeben sich nach
Bemerkung 11.3 die Beziehungen g j u0 v und g j uv0 , woraus die andere Inklusion aa0 Od g
2
folgt.
11.3 Primidealzerlegung
Bemerkung 11.5. Fur o 6= a; b; c E Od folgt aus ab = ac stets b = c.
Beweis. Aus ab = ac folgt zunachst a0 ab = a0 ac. Nach Bemerkung 11.4 existiert somit ein
g 2 N mit Od gb = Od gc, was gb = gc zur Folge hat. Da in Od aus gb = gc stets b = c folgt,
gilt daher b = c.
2
Bemerkung 11.6. Fur o 6= a; b E Od ist a j b gleichbedeutend mit a b.
Beweis. Gilt a j b so existiert ein c E Od mit b = ca Od a = a. Umgekehrt hat a b die
Beziehung a0 b a0 a = Od g mit g 2 N zur Folge. Da c := 1=g a0 b ein Ideal in Od ist, gilt
somit a0b = gc = Od gc = a0 ac. Nach Bemerkung 11.5 hat dies b = ac zur Folge, weshalb
schlielich a j b gilt.
2
Folgerung 11.1. Fur o =6 a; b E Od gilt ggTfa; bg = a + b.
Beweis. Nach der Deniton von c := ggTfa; bg gelten c j a und c j b, und fur alle d E Od
folgt aus d j a und d j b die Beziehung d j c. Nach Bemerkung 11.6 ist dies gleichbedeutend
2
mit c = a + b.
Satz 11.2. Fur p E Od sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) p ist unzerlegbar.
(b) p ist maximal.
(c) p ist prim.
71
Beweis. Zunachst sei p unzerlegbar. Gilt a p, so folgt nach Bemerkung 11.6 a j p und
aufgrund der Unzerlegbarkeit von p gilt a = p oder a = Od . Daher ist p maximal.
Nun sei p als maximal vorausgesetzt und es gelte p j ab aber p6 j a. Hieraus folgen p ab
und p 6 a. Daher gilt p + a 6= p, und aus der Maximalitat von p folgt p + a = Od . Also
existieren p 2 p und a 2 a mit p + a = 1, und es gilt
b = b1 = b(p + a) bp + ba bp + ba p + p = p:
Somit folgt p j b, und p ist ein Primideal.
Schlielich sei p ein Primideal, und es gelte a j p. Dann gibt es ein b mit p = ab. Aus
a j p und b j p folgen somit die Inklusionen a p und b p. Da p Primideal ist, folgen
wegen p j ab andererseits p j a oder p j b, womit p a oder p b gilt. Somit gilt a = p oder
b = p, und folglich ist p unzerlegbar.
2
Satz 11.3. Jedes Ideal o 6= a E Od ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig als
Produkt von Primidealen darstellbar.
Beweis. Fur die Machtigkeit des Restklassenrings von Od nach a gilt
O O O
d
d
d
0
=
=
=
=
a aa Od g :
Ein Vertretersystem von Od =Od g ist V := f r + sz j r; s 2 Z ; 0 r; s < g g, wie die
folgenden Betrachtungen zeigen: Fur zwei Elemente r1 + s1 z 2 V und r2 + s2 z 2 V mit
g j (r1 + s1 z r2 s2 z) gelten wegen (r1 r2 ) + (s1 s2 )z = g(x + yz) = gx + gyz
die Beziehungen g j (r1 r2 ) und g j (s1 s2 ). Hieraus folgen aber wegen jr1 r2 j < g
und js1 s2 j < g schlielich r1 = r2 und s1 = s2 . Andererseits besitzt jedes Element
x + yz 2 Od einen Vertreter in V , denn durch Division mit Rest x = xeg + r mit xe 2 Z und
0 r < g und y = yeg + s mit ye 2 Z und 0 s < g folgt
x + yz = xeg + r + yegz + bz r + sz 2 V mod Od g:
O Daher ist wegen d =a jV j = g2 die Machtigkeit des Restklassenrings von Od nach a
endlich. Fur Od =a = 1 ist die Behauptung des Satzes klar. Fur Od =a > 1 existiert ein
maximales Ideal p1 E O d mit
O p1 a. Folglich gilt p1 j a und es gibt ein a1 mit a = a1p und
O
a 6= a1 . Wegen d =a1 < d =a erhalt man auf diese Weise nach endlich vielen Schritten
a = p1 : : : pn mit pi maximal:
Die Eindeutigkeit wird wie im Beweis zu Satz 1.4 gezeigt.
2
11.4 Das Zerlegungsgesetz fur Primideale
Bezeichnung: Mit den Bezeichnungen von Satz 10.2 gelte f (x) := x2 S (z )x + N (z ) =:
x2 sx + t = (x z)(x z0 ) und D := D(z) = s2 4t
p
Zahlkorper mit der Diskriminante
Bemerkung 11.7. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer
D
D, so gelten fur das Legendre{Symbol p mit p 2 P die folgenden Aussagen:
72
(a) Dp = 1 ist gleichbedeutend mit Od =Od p = F p2 (d.h. Od =Od p ist ein Korper mit
p2 Elementen).
D
(b) p = 1 ist gleichbedeutend mit Od =Od p = Fp Fp .
(c) Dp = 0 ist gleichbedeutend mit Od =Od p = F p + qF p (als F p {Vektorraum) mit
2
q 0 (mod p).
Beweis. Es genugt, jeweils die Implikationen von links nach rechts zu beweisen. Zur
Abkurzung wird R := Od =Od p gesetzt.
p
(a) Es gelte Dp = 1. Da im Falle f (x) 0 (mod p) die Kongruenz x s=2 D 0
(mod p) gelten wurde und D damit ein quadratischer Rest modulo p ware, besitzt f
modulo p keine Nullstellen. Wie im Beweis zu Satz 11.3 gezeigt, besitzt R genau p2
Elemente und es bleibt zu zeigen, da R nullteilerfrei ist. Gibt es Elemente x; y 2 Od
mit x; y 6 0 (mod p) und xy 0 (mod p), so folgt N (x)N (y) 0 (mod p), weshalb aufgrund der Nullteilerfreiheit in Z=pZ ohne Einschrankung N (x) 0 (mod p)
angenommen werden kann. Hat x die Gestalt x = a + bz , gilt also
N (x) = (a + bz)(a + bz0) = a2 + abs + b2 t 0 (mod p):
(11:1)
Die Annahme b 6 0 (mod p) fuhrt nun wegen b2 f ( a=b ) = a2 + abs + b2 t 0
(mod p) zu dem Widerspruch, da a=b eine Nullstelle von f modulo p ist. Daher
gilt b 0 (mod p), woraus mit (11.1) auch a 0 (mod p) folgt. Dies hat aber den
Widerspruch x 0 (mod p) zur Folge. Also ist R nullteilerfrei.
(b) Gilt Dp = 1, so existiert ein w 2 Z mit f (X ) (X w)(X
Abbildungen
w0 ) (mod p). Die
' : R ! F p ; x + yz 7! x + yw (mod p) ; '0 : R ! F p ; x + yz 7! x + yw0 (mod p)
sind Homomorphismen, denn fur z.B. ' gelten
'((x + yz) + (xe + yez)) = ((x + xe) + (y + ye)w)
= x + yw + xe + yew
= '(x + yz ) + '(xe + yez ) und
'((x + yz)(xe + yez)) = '(xxe + yye(sz t) + (xyexey)z)
= '(xxe yyet + (xye + xey + yyes)z )
= xxe yye + (xye + xey + yyes)w
= xxe + yye(sw t) + (xye + xey)w
xxe + yyew2 + (xye + xey)w (mod p)
= (x + yw)(xe + yew)
= '(x + yz )'(xe + yez ):
73
Daher ist auch
: R ! F p F p ; x + yz 7! ('(x + yz); '0 (x + yz))
ein Homomorphismus. Um die Injektivitat von zu zeigen, sei (x + yz ) = (0; 0).
Somit gelten x + yw = 0 und x + yw0 = 0, woraus y(w w0 ) = 0 folgt. Wegen
w w0 6= 0 hat dies y 0 (mod p) zur Folge, womit auch x 0 (mod p) gilt. Damit
gilt x + yz 2 Od p, was x + yz = 0 zur Folge hat. Also ist injektiv. Aufgrund von
jRj = p2 = jF p Fp j ist auch surjektiv und damit bijektiv.
(c) Gilt Dp = 0, so existiert ein w 2 Z mit f (X ) (X w)2 (mod p). Wird q := z w
gesetzt, so gilt
q2 = (z w)2 f (z) 0 (mod p);
weshalb 1 und q eine Z{Basis von Od bilden. Hieraus folgt Od = Z + qZ, woraus
R = F p + qF p mit q2 0 (mod p) folgt.
2
p
Zahlkorper mit der Diskriminante D, so
Satz 11.4. Ist K = Q ( d ) einquadratischer
D
gelten fur das Legendre{Symbol p mit p 2 P die folgenden Aussagen:
(a) Dp = 1 ist gleichbedeutend mit Od p = p mit einem Primideal p E Od . .
(b) Dp = 1 ist gleichbedeutend mit Od p = pp0 mit Primidealen p 6= p0 E Od .
(c) Dp = 0 ist gleichbedeutend mit Od p = p2 mit einem Primideal p E Od .
Hierbei gilt Od =p = p2 in (a) und Od =p = p in (b) und (c).
Beweis. Nach Bemerkung 11.7 ist Dp = 1 genau dann der Fall, wenn Od =Od p nullteilerfrei und von der Machtigkeit
ist aber nach Satz 11.1 gleichbedeutend damit,
O p2 ist. Dies
2
d
da Od p ein Primideal mit =p = p ist.
Gilt Od p = p2 mit einem Primideal p E Od , so existiert wegen p 6= p2 ein q 2 pnp2 . Es
gelten also q 6 0 (mod
p) und q2 0 (modp). Daher tritt Fall (c) in Bemerkung 11.7
ein und es folgt Dp = 0. Gilt umgekehrt Dp = 0, so existiert ein q 2 Od =Od p mit
q 6 0 (mod p) und q2 0 (mod p). Wird p := Od p + Odq gesetzt,
so gilt p2 Od p 6= p.
folgt Od p j p2 , womit sich p 6= Od und schlielich Od =p = p ergeben. Somit gilt
Hieraus
O
2
O
d
d
2
=
=
=
p
=
p
Od p , was zusammen mit der schon gezeigten Inklusion p2 = Od p
zur Folge hat.
Fur einen direkten Beweis der Aussage (b) wurde man den Hauptsatz 4.1 uber simultane
Kongruenzen in der allgemeineren Fassung fur kommutative Ringe mit 1 benotigen, wie er
in der Algebra I bewiesen wird. Unter Verwendung der vollstandigen Fallunterscheidung
in der Folgerung 12.2 im nachsten Paragraphen ergibt sie sich aber als direkte Konsequenz
aus den bereits bewiesenen Teilen (a) und (c).
2
74
12 Die Klassengruppe quadratischer Zahlkorper
12.1 Die Norm von Idealen
p
Denition 12.1. Ist Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper und gilt o 6= a E Od , so heit
N (a) := Od =a Norm von a.
Bemerkung 12.1. Ist o 6= a E Od ein Ideal mit a = Za + Zv und gilt v = b + cz mit
a; c 2 N minimal und b 2 Z, so folgt N (a) = ac.
Beweis. Wird V := f r + sz j 0 r < a; 0 s < c g gesetzt, so gilt jV j = ac, und es
bleibt zu zeigen, da V ein Vertretersystem von Od =a ist. Zunachst sind alle Elemente
von V paarweise inkongruent modulo a, denn fur Elemente r + sz 2 V und re + sez 2 V
mit (r + sz ) (re + sez ) 2 a gilt (r re) + (s se)z 2 a, womit sich a j (r re) und c j (s se)
ergeben. Hieraus folgen aber wegen jr rej < a und js sej < c schlielich r = re und s = se.
Andererseits besitzt jede Restklasse g 2 Od =a einen Vertreter in V , denn fur g = x + yz
mit x; y 2 Z erhalt man durch Division mit Rest y = yec + s mit ye 2 Z und 0 s < c.
Hiermit ergibt sich
g yev = x + yz ye(b + cz) = x + yecz + sz yeb yecz = x yeb + sz:
Durch Division mit Rest erhalt man weiter x yeb = xea + r mit xe 2 Z und 0 r < a,
womit sich
g yev xea = x yeb + sz xea = r + sz 2 V
ergibt. Aufgrund von yev xea 2 a folgt nun aber g r + sz mod a.
2
Bemerkung 12.2. Ist o 6= a E Od ein Ideal mit a = Za + Zv und gilt v = b + cz mit
a; c 2 N minimal und b 2 Z, so gelten
ea := ac 2 N ; eb := bc 2 Z
und eb2 + S (z )eb + N (z ) 0 mod a:
Beweis. Wird s := S (z ) und t := N (z ) gesetzt, so gilt z 2 sz + t = 0. Aufgrund von
a E Od gilt z a a, woraus za 2 Za + Zv und zv 2 Za + Zv folgen. Hieraus ergeben sich
uber
za = v b a = b a + a v
c
c
c
die Beziehungen c j a und c j b, womit ea 2 N und eb 2 Z gelten. Weiterhin folgt aus
zv = z(b + cz) = zb + cz 2 = zb + c(sz t) = z(b + cs) ct
2
2
2
2
+ c2 t a + b + cs v
= (v b)(b +c cs) c t = b bcs cc t + v(b + cs) = b + bcs
ac
c
die Beziehung ac j (b2 + bcs + c2 t), was ac j (c2eb2 + ebc2 s + c2 t) und schlielich ea j (eb2 + seb + t)
zur Folge hat.
2
Folgerung 12.1. Mit den Bezeichnungen von Bemerkung 12.2 gilt a = cea mit ea = Zea+ Zve
und ve = eb + z
75
Bezeichnung: Ideale der Form von ea heien primitive Ideale.
Bemerkung 12.3. Fur o 6= a E Od gilt aa0 = Od N (a).
Beweis. Hat a die Gestalt a = Za + Zv und gilt v = b + cz mit a; c 2 N minimal und
b 2 Z, so wird ea = Zea + Zve mit ea = a=c , ve = eb + z und eb = b=c gesetzt. Nach
Bemerkung 12.1 gelten N (a) = ac und N (ea) = ea, was N (a) = c2 N (ea) zur Folge hat.
Wegen aa0 = (cea)(cea)0 = c2eaea0 kann daher a ohne Einschrankung als primitiv, etwa als
a = aZ + vZ mit v = b + z vorausgesetzt werden. Nach Bemerkung 11.4 gilt nun aa0 = Od g
mit g = ggTfN (a); N (v); S (av0 )g und den Beziehungen
N (a) = a2 ;
N (v) = (b + z)(b + z0 ) = b2 + bS (z) + N (z) =: c und
S (av0) = S (a(b + z0 )) = a(2b + S (z)):
Da nach Bemerkung 12.2 ein ec 2 Z mit c = aec existiert, gilt g = a ggTfa; ec; 2b + S (z )g =:
age. Wegen aa0 = Od g = Od age = Od N (a)ge bleibt nur noch ge = 1 zu zeigen. Es sei also p
eine Primzahl mit p j a und p j (2b + S (z )). Im Falle p =
6 2 folgt aus
4c = 4b2 + 4bS (z ) + 4N (z ) = (2b + S (z ))2 S (z )2 + 4N (z )
aufgrund von p2 j (2b + S (z ))2 und p2 6 j D(z ) = S (z )2 4N (z ) die Beziehung p2 6 j c. Wegen
c = aec und p j a hat dies p6 j ec und schlielich p6 j ge zur Folge. Im anderen Falle p = 2 gilt
2 j S (z ) und nach Satz 10.2 folgen d 2; 3 (mod 4) und S (z ) = 0. Hiermit ergibt sich
wegen b2 0; 1 (mod 4) die Beziehung c = b2 + N (z ) = b2 d 6 0 (mod 4). Also gilt 46 j c,
und wie im ersten Fall folgt 26 j eg, was insgesamt ge = 1 zur Folge hat.
2
Satz 12.1. Fur o 6= a; b E Od gelten die folgenden Aussagen:
(a) N (ab) = N (a)N (b)
(b) Fur x 2 Od gilt N (Od x) = jN (x)j.
Beweis.
(a) Nach Bemerkung 12.3 gilt Od N (ab) = (ab)(ab)0 = (aa0 )(bb0 ) = Od N (a)Od N (b) =
Od N (a)N (b), womit N (ab) = N (a)N (b) folgt.
(b) Aus Od N (Od x) = (Od x)(Od x)0 = (Od x)(Od x0 ) = Od xx0 = Od N (x) folgt N (Od x) =
jN (x)j.
2
Folgerung 12.2. Ist p E Od ein Primideal, so gilt genau eine der folgenden Aussagen:
(a) p = Od p mit N (p) = p2 .
(b) pp0 = Od p mit N (p) = p und p 6= p0 .
(c) p2 = Od p mit N (p) = p.
76
Q
Beweis. Nach Bemerkung 11.4 gibt es eine naturliche Zahl g mit pp0 = Od g. Ist g = ri=1 pei i
die Primzerlegung von g, so folgt wegen
pp0 = Od
Yr
i=1
pei i =
Yr
i=1
(Od pi )ei
und der Primidealeigenschaft von p, da es ein i gibt mit p j Od pi =: Od p. Somit gilt nach
Satz 12.1 die Beziehung N (p) j N (Od p) = jN (p)j = p2 . Im folgenden unterscheidet man
drei Falle. Im Falle N (p) = p2 gilt N (p) = N (Od p) und wegen p Od p tritt Fall (a) ein.
Im Falle N (p) = p gilt pp0 = Od N (p) = Od p, woraus sich fur p 6= p0 Fall (b) und fur p = p0
Fall (c) ergibt. Der letzte Fall N (p) = 1 fuhrt wegen p = Od zu einem Widerspruch. 2
12.2 Die Endlichkeit der Klassengruppe
p
Bemerkung 12.4. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper, so gibt es fur m 2 N
nur endlich viele Ideale a E Od mit N (a) = m.
Beweis. Mit N (a) = m gilt nach Bemerkung 12.3 aa0 = Od m, woraus a j Od m folgt. Nach
Satz 11.3 und Folgerung 12.2 besitzt Od m nur endlich viele Teiler.
2
p
Satz 12.2. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper, so gibt es fur o =6 a E Od ein
Element a 2 a mit jN (a)j (1 + jdj)N (a).
hp i
Beweis. Werden m := N (a) und V =: f x + yz j 0 x; y m g gesetzt, so existieren
wegen jV j = (m + 1)2 > N (a) Elemente r1 = x1 + y1 z 2 V und r2 = x2 + y2 z 2 V mit
r1 =
6 r2 und r1 r2 2 a. Somit gilt x1 x2 + (y1 y2)z =: a1 + a2z =: a 2 a mit
N (a) = aa0 = a21 + a1 a2S (z) + a22 N (z):
Fur d 2; 3 (mod 4) gelten nun nach Satz 10.2 die Beziehungen S (z ) = 0 und N (z ) = d,
was
jN (a)j m2 + m2 jdj (1 + jdj)m2 (1 + jdj)N (a)
zur Folge hat. Fur d 1 (mod 4) gelten S (z ) = 1 und wie im Beweis zu Satz 10.4 gezeigt
N (z) = (1 d)=4 . Wegen jdj =
6 1 ergibt sich hieraus wegen
1 d 2
2
2
m2 + m2 + m2 1 + jdj
jN (a)j m + m + m =
9 + jdj 4
4 4
m2 (1 + jdj)m2 (1 + jdj)N (a)
die Behauptung.
2
p
Denition 12.2. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper und gilt a; b E Od dann
heit a aquivalent zu b, wenn es Elemente a; b 2 Od mit aa = bb gibt. Die Bezeichnung
hierfur lautet a b. (Hierdurch wird eine A quivalenzrelation auf der Menge der Ideale
in Od deniert.) Eine A quivalenzklasse von Idealen heit Idealklasse, und die Menge Cd
der Idealklassen heit Klassengruppe. Diese Bezeichnung wird durch Bemerkung
12.6
p
d
)
und
wird
gerechtfertigt.
Die
Anzahl
der
Idealklassen
in
O
heit
Klassenzahl
von
Q
(
d
p
mit h(Q ( d )) bezeichnet.
77
Bemerkung 12.5. Gilt a E Od , so ist a Od genau dann der Fall, wenn a ein Hauptideal
ist.
Beweis. Ist a ein Hauptideal, so existiert ein a 2 Od mit a1 = a = Od a, woraus a Od
folgt. Gilt umgekehrt a Od , so existieren a; b 20 Od mit aa = Od b. Wird m := aa0 2 Z
gesetzt, so gilt am = aaa0 = Od ba0 , was a = Od ba =m zur Folge hat. Aufgrund von a Od
gilt somit ba0 =m 2 Od , weshalb a ein Hauptideal ist.
2
p
p
Folgerung 12.3. Ist K = Q ( d ) ein quadratischer Zahlkorper, so gilt h(Q ( d )) = 1
genau dann, wenn Od ein Hauptidealring ist.
Bemerkung 12.6. Die Menge der Idealklassen bildet eine abelsche Gruppe bezuglich der
Multiplikation.
Beweis. Zunachst folgt aus a1 a2 und b1 b2 die Beziehung a1 b1 a2 b2 , weshalb die
Multiplikation auf der Menge der Idealklassen vertreterweise deniert werden kann. Die
Klasse E von Od ist nach Bemerkung 12.5 gleich der Menge aller Hauptideale in Od , und
da wegen aOd = a fur alle Idealklassen A die Beziehung AE = A gilt, stellt E das neutrale
Element der Multiplikation dar. Ist schlielich A eine beliebige Idealklasse mit a 2 A, so
ist nach Bemerkung 12.3 aa0 = Od N (a) ein Hauptideal, womit AA0 = E gilt. Also besitzt
jede Idealklasse A die Klasse A0 als Inverses.
2
Satz 12.3. In jeder Idealklasse A von Od gibt es ein Ideal a mit N (a) 1 + jdj.
Beweis. Ist o =
6 a 2 A, so gibt es nach Satz 12.2 ein Element a 2 a mit jN (a)j (1 +
jdj)N (a). Aufgrund von a Oda gilt a j Od a, weshalb es ein b E Od mit ab = Od a gibt.
Nach Satz 12.1 folgt hieraus
N (a)N (b) = N (ab) = N (Od a) = jN (a)j ;
womit sich
(a)j (1 + jdj)N (a) = 1 + jdj
N (b) = jN
N (a)
N (a)
ergibt. Die Idealklasse B von b enthalt also ein Ideal mit der geforderten Normabschatzung.
Da aufgrund von AB = E die Klasse B invers zu A ist, durchlauft mit A auch B alle
Idealklassen von Od , womit die Behauptung gezeigt ist.
2
p
Satz 12.4. Die Klassenzahl eines quadratischen Zahlkorpers Q ( d ) ist endlich.
Beweis. Nach Satz 12.3 besitzt jede Idealklasse einen Vertreter a mit N (a) 1 + jdj. Da
es aber nach Bemerkung 12.4 nur endlich viele solcher Ideale a geben kann, ist die Anzahl
der Idealklassen in Od endlich.
2
78
12.3 Berechnung der Klassengruppe
In diesem Abschnitt soll an einigen Beispielen gezeigt werden,pwie die Klassengruppe von
imaginarquadratischen und reellquadratischen Zahlkorpern Q ( d ) konkret berechnet werden kann.
p
Zunachst wird die Diskriminante D = D(z ) von Q ( d ) bestimmt, die fur die Anwendung des Zerlegungsgesetzes Satz 11.4 benotigt wird. (Vergleiche Satz 10.2 und Beweis zu
Satz 10.4.) Das gesuchte Vertretersystem V von Cd kann nach Satz 12.3 so gewahlt werden,
da
V o 6= a E Od j N (a) 1 + jdj
gilt. Zur Bestimmung von V werden zunachst mit Hilfe von Folgerung 12.2 die Primideale
p E Od mit N (p) 1 + jdj gesucht und durch deren Produkte die Ideale a E Od mit
N (a) 1 + jdj zusammengesetzt. Anschlieend wird durch Aufstellen von Normgleichungen untersucht, welche dieser Ideale aquivalent sind und welche Relationen zwischen den
nichtaquivalenten Vertretern bestehen. So erhalt man eine Beschreibung der Gruppenstruktur von Cd .
Beispiel 12.1. Die Klassengruppe von Q (
Primideale der Norm 1 + j 1j = 2 gilt
p
2O 1 = p22 ;
woraus
1 ): Es gilt d = 1 und D = 4. Fur die
da
4
2
= 0;
V O 1 ; p2
folgt. Wegen N (1 + i) = 2 gilt p2 = (1 + i)O 1 . Dies hat p2 O 1 und somit C 1 = 1 zur
Folge.
p
Beispiel 12.2. Die Klassengruppe von Q ( 17 ): Es gilt d = 17 und D = 68. Zur
Abkurzung sei O := O 17 . Fur die Primideale der Norm 1 + j 17j = 18 gilt nach dem
Zerlegungsgesetz
da 268 = 0 ;
2O = p22 ;
da 368 = 1 ;
3O = p3 p03 ;
5O = p5 O ; da 568 = 1 ;
7O = p7 p07 ;
da 768 = 1 ;
11O = p11 p011 ; da 1168 = 1 ;
13O = p13 p013 ; da 1368 = 1 ;
da 1768 = 0 ;
17O = p217 ;
woraus
V O ; p2 ; p3 ; p03 ; p7 ; p07 ; p11 ; p011 ; p13 ; p013 ; p17 ; p2 p3 ; p2 p03 ; p2p7 ; p2 p07 ; p23 ; p032
p
folgt. Nun wird die Norm von xa := a + 17 fur a = 0; 1; 2; 3; 4 betrachtet: Aus
N (x0 ) = 17 ;
N (x1 ) = 18 = 2 9 ; N (x2 ) = 21 = 3 7 ;
N (x3 ) = 26 = 2 13 ; N (x4 ) = 33 = 3 11
79
ergeben sich bei geeigneter Bezeichnung von pi ; p0i die Beziehungen
Ox0 = p17 ;
Ox1 = p2p23
Ox2 = p03p7
Ox3 = p2p13
Ox4 = p3p11
und
und
und
und
Ox01 = p2p032 ;
Ox02 = p3p07 ;
Ox03 = p2p013 ;
Ox04 = p3p011:
Hierbei ist zu beachten, da die Wahl von p3 als Teiler von Ox1 das Ideal p03 als Teiler
von Ox2 festlegt, da im Falle p3 j Ox2 der Widerspruch p3 j (x2 x1 )O = O folgen wurde.
Daher gelten die folgenden Relationen:
p17 O ;
p2p23 O
p03p7 O
p2p13 O
p3p11 O
und
und
und
und
p2 p032 O ;
p03 p7 O ;
p2 p13 O ;
p3 p011 O:
Aus p2 p23 O folgt wegen p22 O die Beziehung
p23 = Op23 p22 p23 p2 O = p2
und in ahnlicher Weise ergeben sich
p032 p2 ; p3 p7 ; p03 p07 ; p2 p13 ; p2 p013 ; p03 p11 ; p3 p011 :
Also gilt V fO; p2 ; p3 ; p03 g. Um nachzuweisen, da die restlichen vier Vertreter nicht
aquivalent sind, genugt es wegen p2 p23 , die Beziehung p2 6 O zu zeigen.
p Die Annahme
p2 O hat aber die Existenz ganzer Zahlen a und b mit p2 = O(a + b 17) und somit
den Widerspruch
p
2 = N (p2 ) = N (a + b 17) = a2 + 17b2
zur Folge. Also gilt C 17 = hp3 O 17 i = Z4 .
p
Beispiel 12.3. Fur die Klassengruppe von Q ( 5 ) gilt C 5 = Z2 : (Vergleiche Beispiel 11.1.) Der Beweis hierfur sei als U bung empfohlen.
p
Beispiel 12.4. Die Klassengruppe von Q ( 5 ): Es gilt d = 5 und D = 5. Fur die Primideale
der Norm 1 + j5j = 6 gilt nach dem Zerlegungsgesetz
2O = p2 O ; da
3O = p3 O ; da
5O = p25 ;
da
woraus
p
V O; p5
p
5
2
5
3
5
5
= 1;
= 1;
= 0;
folgt. Wegen N ( 5) = 5 gilt aber p5 = 5O. Also gilt auch p5 O und somit C5 = 1.
80
p
Beispiel 12.5. Die Klassengruppe von Q ( 15 ): Es gilt d = 15 und D = 60. Fur die
Primideale der Norm 1 + j15j = 16 gilt nach dem Zerlegungsgesetz
2O
3O
5O
7O
11O
13O
woraus
=
=
=
=
=
=
p22 ;
p23 ;
p25 ;
p7 p07 ;
p11 p011 ;
p13 O ;
da
da
da
da
da
da
60
2
60
3
60
5
60
7
60
11
60
13
= 0;
= 0;
= 0;
= 1;
= 1;
= 1;
V O ; p2 ; p3 ; p5 ; p7 ; p07 ; p11 ; p011 ; p2 p3 ; p2 p5 ; p2 p7 ; p2 p07 ; p3 p5
p
folgt. Nun wird die Norm von xa := a + 15 fur a = 0; 1; 2; 3; 4 betrachtet: Aus
N (x0 ) = 15 = 3 5 ; N (x1 ) = 14 = 2 7 ; N (x2 ) = 11 ; p
N (x3 ) = 6 = 2 3 ; N (x4 ) = 1 (x4 ist sogar Grundeinheit in Q ( 15 ))
ergeben sich bei geeigneter Bezeichnung von pi ; p0i die Beziehungen
Ox0 = p3p5 ;
Ox1 = p2p7 und Ox01 = p2p07 ;
Ox2 = p11 und Ox02 = p011 ;
Ox3 = p2p3:
Daher gelten die folgenden Relationen:
p3 p5 O ;
p2 p7 O und p2 p07 O ;
p11 O
und p011 O ;
p2 p3 O:
Somit ergeben sich
p5 p3 ; p7 p2 ; p07 p2 ; p3 p2 :
Also gilt V fOp
; p2 g. Die Annahme p2 O hat aber die Existenz ganzer Zahlen a und b
mit p2 = O(a + b 17) zur Folge. Hier fuhrt die Kongruenzmethode (vergl. Beispiel 4.3)
zum Ziel: Betrachtet man die Gleichung modulo 3, so ergibt sich der Widerspruch a2 2
(mod 3). Also gilt C15 = hp2 O15 i = Z2 .
81
Teil III
Diophantische Gleichungen
13 Diophantische Mengen und Relationen
13.1 Motivation: Das X. Hilbertsche Problem
Ist f (X1 ; : : : ; Xn ) = f (X ) 2 Z[X] ein Polynom in n Variablen, so heit x 2 Zn Losung
der diophantischen Gleichung f (X ) = 0 , falls f (x) = 0 gilt.
Die Frage nach der Existenz eines Algorithmus, der in endlich vielen Schritten entscheidet, ob eine gegebene diophantische Gleichung eine Losung besitzt, wird als X. Hilbertsches Problem bezeichnet.
Bemerkung 13.1. Folgende Aussagen sind aquivalent:
(a) Es gibt einen Algorithmus, der fur alle f (X ) 2 Z[X] entscheidet, ob eine Losung in
Zn
existiert.
(b) Es gibt einen Algorithmus, der fur alle f (X ) 2 Z[X] entscheidet, ob eine Losung in
N n existiert.
Beweis. Zunachst sei Aussage (b) vorausgesetzt. Ein Polynom f (X ) 2 Z[X ] hat eine
Losung in Zn genau dann, wenn
g(X ) :=
Y
2f1gn
f (1 X1 ; : : : ; nXn )
eine Losung in N n0 besitzt. Dies ist aber gleichbedeutend damit, da
h(X ) := g(X1 1; : : : ; Xn 1)
eine Losung in N n besitzt, was nach Voraussetzung entschieden werden kann.
Nun gelte Aussage (a). Ein Polynom f (X ) 2 Z[X] hat eine Losung in N n genau dann,
wenn g(X ) := f (X1 + 1; : : : ; Xn + 1) eine Losung in N n0 besitzt. Nach dem Vier-QuadrateSatz 7.3 ist dies aber gleichbedeutend damit, da
h(Z1 ; : : : ; Z4n ) := g(Y1 ; : : : ; Yn ) mit Yi := Zi2 + Zi2+n + Zi2+2n + Zi2+3n
eine Losung in Z4n besitzt, was nach Voraussetzung entschieden werden kann.
2
Anmerkung: Es genugt also, die Losbarkeit diophantischer Gleichungen in N n zu untersuchen.
13.2 Diophantische Mengen
Denition 13.1. Es sei f (X1 ; : : : ; Xn ) 2 Z[X] ein Polynom. Die Menge
Vf := (x1 ; : : : ; xn ) 2 N n j f (x) = 0
82
wird als Nullstellenmenge (Varietat) von f in N n bezeichnet. Fur m n sei
m (Vf ) := (x1 ; : : : ; xm ) 2 N m j (x1; : : : ; xn ) 2 Vf
die Projektion von Vf auf die ersten m Komponenten.
Eine Menge D N m heit diophantische Menge, falls es ein Polynom f 2
Z[X1; : : : ; Xn ] mit n m gibt, so da D = m (Vf ) gilt.
Beispiel 13.1. (a) N n und ; sind diophantische Mengen vermoge den Polynomen f (X ) =
0 bzw. f (X ) = 1.
(b) fag mit a 2 N ist diophantische Menge vermoge f (X ) = X a.
Die Menge f (x1 ; x2 ) 2 N 2 j x1 = x2 g wird als Diagonale von N 2 bezeichnet und ist
diophantisch vermoge f (X1 ; X2 ) = X1 X2 .
(c) Fur f (X1 ; X2 ; X3 ) = X1 + X3 X2 ist 2 (Vf ) die Menge der (x1 ; x2 ), fur die es ein
x3 2 N mit x1 + x3 = x2 gibt. Daher ist f (x1 ; x2) 2 N 2 j x1 < x2 g diophantische
Menge.
(d) Fur f (X1 ; X2 ; X3 ) = X2 X1 X3 ist 2 (Vf ) = f (x1 ; x2 ) 2 N 2 j x1 j x2 g diophantische
Menge.
(e) Fur f (X1 ; X2 ) = X1 n(X2 1) a mit a; n 2 N ist 1 (Vf ) = f x1 2 N j x1 a
(mod n) g diophantische Menge.
(f) Die Menge f n 2 N j n ist zusammengesetzt g ist diophantisch vermoge dem Polynom
f (X1 ; : : : ; X5 ) = (X1 X2 X3 )2 + (1 + X4 X2 )2 + (1 + X5 X2)2 .
Satz 13.1. Sind D1; D2 2 N m diophantische Mengen, so sind auch D1 [ D2 und D1 \ D2
diophantische Mengen.
Beweis. Die folgende Vorbemerkung zeigt, da bei dem Polynom zu einer diophantischen
Menge beliebig viele neue Variablen hinzugefugt werden konnen: Eine diophantische Menge
D = m (Vf ) zu f = f (X1 ; : : : ; Xn ) mit n m lat sich fur beliebiges s n auch als
D = m(Vfe) zu fe = fe(Y1 ; : : : ; Ys) = f (Y1; : : : ; Ym ; Yr+1 ; : : : ; Yr+n m) mit m r s n + m
darstellen. Dies wird dadurch erreicht, da als Koezienten der "neuen\ Variablen jeweils
null gewahlt wird.
Somit kann ohne Einschrankung D1 = m (Vf1 ) und D2 = m (Vf2 ) mit f1 ; f2 2
Z[X1; : : : ; Xn ] angenommen werden.
Nun sei g := f1 f2 . Wegen Vg = Vf1 [ Vf2 ist
m(Vg ) = m (Vf1 [ Vf2 ) = m(Vf1 ) [ m(Vf2 ) = D1 [ D2
eine diophantische Menge.
Wird andererseits g := f12 + f22 gesetzt, so gilt wegen Vg = Vf1 \ Vf2 die Beziehung
m(Vg ) = m(Vf1 \ Vf2 ) m(Vf1 ) \ m(Vf2 ) = D1 \ D2 :
83
Der Satz ist somit bewiesen, wenn f1 und f2 so gewahlt werden konnen, da auch die
andere Inklusion gilt. Aufgrund der Vorbemerkung kann ohne Einschrankung
f1 = f1 (X1 ; : : : ; Xm ; Xm+1 ; : : : ; Xn ; Xn+1 ; : : : ; Xr )
fn ; Xg
fr )
f2 = f2 (X1 ; : : : ; Xm ; Xg
m+1 ; : : : ; X
n+1 ; : : : ; X
mit n m = r n und Xg
n+i = Xm+i fur 1 i r n angenommen werden. Hierbei sind
fi fur m + 1 i n
die Koezienten der Xi fur n + 1 i r und die Koezienten der X
jeweils gleich null.
Es gelte nun x = (x1 ; : : : ; xm ) 2 m (Vf1 ) \ m (Vf2 ). Folglich gibt es xi ; xei 2 N fur
m + 1 i r mit
f1 (x1 ; : : : ; xm ; xm+1 ; : : : ; xn; xn+1 ; : : : ; xr ) = 0
f2 (x1 ; : : : ; xm ; xg
m+1 ; : : : ; xfn ; xg
n+1 ; : : : ; xer ) = 0
Da ihre Koezienten gleich null sind, konnen fur n + 1 i r die Komponenten xi durch
xei ersetzt werden. Ebenso konnen fur m + 1 i n die Komponenten xei durch xi ersetzt
werden.
Somit ist (x1 ; : : : ; xm ; xm+1 ; : : : ; xn ; xg
n+1 ; : : : ; xer ) eine gemeinsame Nullstelle von f1 und
2
f2 , womit x 2 m(Vf1 \ Vf2 ) gezeigt ist.
13.3 Diophantische Relationen
Denition 13.2. Eine Aussage R(x1 ; : : : ; xn ) uber n naturliche Zahlen xi heit (n-stellige)
diophantische Relation (diophantisches Pradikat), wenn es eine diophantische Menge
D gibt, so da R(x) gleichbedeutend ist mit x 2 D.
Eine Abbildung f : N n ! N heit diophantische Abbildung ([diophan-
tisch!diophantische Funktion]diophantische Funktion), wenn der Graph von f
Graphf := (x1 ; : : : ; xn ; f (x1 ; : : : ; xn ))
diophantisch ist.
Anmerkungen: Die Aussage f (x) = y ist genau dann eine diophantische Relation, wenn
f eine diophantische Abbildung ist.
Jedes Polynom f = f (X1 ; : : : ; Xn ) ist diophantische Abbildung vermoge
g(X1 ; : : : ; Xn ; Y ) := f (X1; : : : ; Xn ) Y:
Beispiel 13.2. Die folgenden Relationen sind diophantisch nach Beispiel 13.1:
(a) x = a fur a 2 N ,
(b) x1 = x2 ,
(c) x1 < x2 ,
(d) x1 j x2 ,
(e) x ist zusammengesetzt.
84
Satz 13.2. Sind R1 und R2 diophantische Relationen, so sind auch R1 ^ R2 und R1 _ R2
diophantische Relationen.
Beweis. Entspricht Ri der diophantischen Menge Di fur i = 1; 2, so kann ohne Einschrankung R1 ; R2 2 N m angenommen werden. Dann entsprechen R1 ^ R2 der Menge
D1 \ D2 und R1 _ R2 der Menge D1 [ D2 , die nach Satz 13.1 diophantisch sind.
2
Folgerung 13.1. Ist R(x1 ; : : : ; xn ) eine diophantische Relation und sind fi(xi) =
fi(xi1 ; : : : ; xisi ) diophantische Funktionen, so ist Q(xi ; : : : ; xn ) := R(f1 (xi ); : : : ; fn (xn ))
eine diophantische Relation.
Beweis. Die Relation Q ist aquivalent zu
R(x1 ; : : : ; xn) ^ (f1 (xi ) = x1 ) ^ : : : ^ (fn (xn ) = xn );
wobei jedes Konjunktionsglied eine diophantische Relation ist. Die Behauptung folgt somit
aus Bemerkung 13.2.
2
Beispiel 13.3. (a) Die Relation x1 6= x2 ist aquivalent zu (x1 < x2 ) _ (x2 < x1 ) und
damit diophantisch.
(b) Die Relation x1 x2 ist aquivalent zu (x1 < x2 ) _ (x1 = x2 ) und damit diophantisch.
(c) Die Relation x1 x2 (mod x3 ) ist diophantisch, denn fur f (X1 ; : : : ; Xn ) = X1
X2 X3 X4 ist
3 (Vf ) = (x1 ; x2 ; x3 ) j x1 x2 (mod x3 ) und x1 > x2
eine diophantische Menge. Folglich ist (x1 x2 (mod x3 )) ^ (x1 > x2 ) eine diophantische Relation. Analog wird gezeigt, da (x1 x2 (mod x3 )) ^ (x2 > x1 ) eine
diophantische Relation ist. Nun ist aber x1 x2 (mod x3 ) aquivalent zu
((x1 x2 (mod x3 )) ^ (x1 > x2 )) _ ((x1 x2 (mod x3 )) ^ (x2 > x1 )) _ (x1 = x2 )
und daher diophantisch.
Bemerkung 13.2. Ist R(x1; : : : ; xn; y1 ; : : : ; ym ) eine diophantische Relation, so ist auch
Die Aussage Q(x) : Es gibt ein y 2 N m mit R(x; y ) eine diophantische Relation.
Beweis. Ist m+n (Vf ) die diophantische Menge zu R, so ist m (Vf ) die diophantische Menge
zu Q.
2
h
i
Beispiel 13.4. Die Relation x1 = x2 =x3 ist diophantisch, denn sie ist aquivalent zu der
Aussage
Es gibt ein y 2 N mit (x1 x3 = x2 + (y 1) ^ y x3 ):
14 Die Potenzfunktion
Ziel dieses Paragraphen ist es zu zeigen, da die Menge f (n; k; nk ) j n; k 2 N g N 3
diophantisch ist, oder gleichbedeutend, da die Abbildung f : N 2 ! N mit (n; k) 7! nk
eine diophantische Funktion ist.
85
14.1 Die Pellsche Gleichung
Ist a 2 eine naturliche Zahl, so wird die Gleichung
X 2 (a2 1)Y 2 = 1
als Pellsche Gleichung (Pa ) bezeichnet. Triviale Losungen von (Pa ) sind (1; 0) und (a; 1).
Fur Losungen (x; y) 2 N 2 sind wegen x2 = (a2 1)y2 + 1 die Funktionen x(y) und y(x)
streng monoton wachsend. Wegen (1; 0) 62 N 2 wird daher
p 2 die Losung (a; 1) als minimale
Losung bezeichnet. Im quadratischen Zahlkorper Q ( a 1 ) ist
p
e1 := a + a2 1
wegen N (e1 ) = a2 (a2 1) = 1 eine Einheit. (Achtung: a2 1 ist im allgemeinen nicht
quadratfrei.)
Bezeichnung: Fur n p2 N 0 und a 2 seien Xnp(a) 2 N und Yn(a) 2 N 0 durch die
Zerlegung von en1 = (a + a2 1)n =: Xn (a) + Yn (a) a2 1 in Summanden ohne und mit
Wurzel deniert. Fur jedes n 2 N ist (Xn (a); Yn (a)) eine Losung von (Pa ) wegen
1 = N (e1 )n = N (en1 ) = Xn (a)2 Yn (a)2 (a2 1):
Bemerkung 14.1. Ist (x; y) 2 N 2 eine Losung von (Pa ) , so gibt es ein n 2 N mit
p
p
p
x + y a2 1 = Xn (a) + Yn(a) a2 1 = (a + a2 1)n = en1 :
Beweis. Da (a; 1) minimale
Losung ist, gelten die Beziehungen x a und y 1. Folglich
p2
gilt 1 < e1 x + y a 1 und es gibt eine naturlichen Zahl n mit
p
Da e1 1 = a
p
en1 x + y a2 1 < en1 +1 :
a2 1 als Inverses einer positiven reellen Zahl auch positiv ist, folgt hieraus
p
1 (x + y a2 1)e1 n < e1 :
p
p
(14:1)
Setzt man (x + y a2 1)e1 n =: r =: u + v a2 1 mit u; v 2 Z, so ist r wegen
p
p
rr0 = (x + y a2 1)e1 n (x y a2 1)en1 = x2 y2 (a2 1) = 1
p
p
eine Einheit in Q ( a2 1 ) mit r 1 = u v a2 1.
Die Annahme
p u; v < 0 fuhrt zu r < 0 im Widerspruchpzu (14.1). Im Falle u 0; v <
0 folgt wegen a2 1 > 1 die Beziehung r 1 = u v a2 1 > 1, die wiederum im
Widerspruch
zu (14.1) steht. Gilt andererseits u < 0; v 0, so folgt r 1 = u +
p2
v a 1 > 0, was im Widerspruch zu r 1 < e1 1 < 0 steht. Also gilt u; v 2 N 0 und da
(u; v) wegen
p
p
u2 v2 (a2 1) = (u + v a2 1)(u v a2 1) = rr0 = 1
eine Losung von (Pa ) ist und e1 zur minimalen Losung (a; 1)p gehort, folgt aus r < e1
schlielich (u; v) = (1; 0). Damit gilt r = 1, woraus sich (x + y a2 1) = en1 ergibt. 2
86
p
Anmerkung: Ist ap2 1 quadratfrei, so zeigt Bemerkung 14.1, da e1 = a + a2 1
Grundeinheit von Q ( a2 1 ) ist.
Bemerkung 14.2. Ist f eine naturliche Zahl, so gibt es x; y 2 N mit x2 y2 f 2(a2 1) = 1.
p
p
4d.
Beweis. Es sei d := f 2 (a2 1) und t 2 Q ( d ) eine reduzierte Zahl mit D(t) = D( d) = p
(Nach Bemerkung 10.4 kann t z.B. als erster Rest in der Kettenbruchentwicklung von d
gewahlt werden.) Nach Satz 8.3 besitzt t eine rein periodische Kettenbruchentwicklung etwa
der Periode n mit Naherungsbruchen pk =qk , wobei nach Bemerkung 10.5 die Beziehung
e := qn t + qn 1 2 Od bzw. N (e) = 1
gilt. Aus der Periodizitat von t ergibt sich 1t = Pn 1t , woraus
pn 1
t = pqn tt +
n + qn 1
und schlielich qn t2 + (qn 1 pn)t pn 1 = 0 folgt. Mit y := ggTfqn ; qn
gilt somit
p
t = pn 2qqn 1 + 2yq D(t);
n
n
woraus sich
e = qnt + qn
1
p
= 21 (pn qn 1) + 21 y D(t) + qn
p
= 21 (pn + qn 1) + yf a2 1
p
=: x + yf a2 1
1
pn ; pn 1g 2 N
1
ergibt, wobei 21 (pn + qn 1 ) =: x gesetzt wurde.
Wegen pS (e) = e + e0 = pn + qn 1 und N (e) = 1 ist e ganz uber Z und aufgrund von
x = e yf a2 1 2 Q ist auch x ganz uber Z. Folglich gilt x 2 Z und damit sogar x 2 N .
Im Falle N (e) = 1 folgt die Behauptung nun wegen 1 = N (e) = x2 p y2 f 2 (a2 1) direkt,
wahrend sie sich im Falle N (e) = 1 uber 1 = N (e2 ) = N (xe + yef a2 1) mit xe; ye 2 N
ergibt.
2
14.2 Kongruenzen fur die Losungen der Pellschen Gleichung
Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, da die Relationen x = Xk (a) und y = Yk (a)
diophantisch sind.
Bemerkung 14.3. Fur a 2 gelten die folgenden Beziehungen:
(a)
Ynk (a) =
k X
k
j =1
26 j j
p
j 1
k j
j 2
j Xn (a) Yn (a) a 1
(b) Aus a b (mod c) folgt Yk (a) Yk (b) (mod c).
87
(14:2)
(c) Yk (a) k (mod (a 1))
Beweis. Nach Bemerkung 14.1 gilt
p
nk
Xnk (a) + Ynk (a) a2 1 = enk
1 = (e1 ) p 2 k
= Xn (a) + Yn (a) a 1
=
k X
k
j =0
p
j
k j
j 2
j Xn (a) Yn (a) a 1 :
Da bei den Summanden zu geradem j die Wurzel quadriert wird, ergibt eine Zerlegung in
Anteile mit und ohne Wurzel
p
Ynk (a)
a2
1=
k X
k
j =1
26 j j
p
j
k j
j 2
j Xn (a) Yn (a) a 1 ;
womit Teil (a) folgt.
Fur jedes a 2 gelten X1 (a) = a und Y1 (a) = 1. Also folgen aus a b (mod c) die
Beziehungen
X1 (a) X1 (b) (mod c)
Y1 (a) Y1 (b) (mod c)
Setzt man in (14.2) n = 1, so ergibt sich die Kongruenz Yk (a) Yk (b) (mod c), womit (b)
gezeigt ist.
Um schlielich (c) zu zeigen, wird in (14.2) n = 1 gesetzt und die Gleichung modulo
(a 1) betrachtet. Wegen a2 1 0 (mod (a 1)) ist nur der Summand fur j = 1
nichttrivial. Aus X1 (a) = a 1 (mod (a 1)) und Y1 (a) = 1 folgt somit
Yk (a) k
1
= k (mod (a 1));
2
womit (c) gezeigt ist.
Bemerkung 14.4. Fur a 2 folgt aus Yn(a)2 j Ym(a) stets Yn(a) j m.
Beweis. Wird zur Abkurzung xn := Xn (a), yn := Yn (a) und d := a2 1 gesetzt und durch
Division mit Rest m = kn + r mit 0 r < n geschrieben, so gilt
p
xm + ym d = em1 = (en1p)k er1
p
= (0xn + yn d)k (xr + yr1 d)
=
k @X kj xnk j ynj pdj A (xr + yr pd):
j =0
88
Eine Zerlegung in Summanden mit und ohne Wurzel ergibt
p
ym d =
k X
k
j =0
2jj
k
k j yj pdj yr pd + X k xk j yj pdj xr ;
x
n n
j n n
j =1 j
26 j j
woraus sich die Beziehung
ym =
k X
k
k pj X
k xk j yj pdj 1 x
k
j
j
d
x
y
y
+
r
r
n
n
n n
j =0 j
j =1 j
26 j j
2jj
ergibt. Betrachtet man diese Gleichung modulo yn, so ist nur der Summand fur j = 0
nichttrivial. Da nach Voraussetztung yn j ym gilt, ergibt sich hiermit
0 ym xkn yr (mod yn ):
Da jeder gemeinsame Teiler von xn und yn auch N (en1 ) = 1 teilt, mu ggTfxn ; yn g = 1
gelten, was yn j yr zur Folge hat. Da andererseits aus r < n aufgrund der Monotonie auch
yr < yn folgt, ergibt sich yr = 0 und damit r = 0, womit m = kn gilt. Betrachtet man
nun (14.2) modulo yn2 , so ist nur der Summand fur j = 1 nichttrivial. Zusammen mit der
Voraussetztung ergibt sich
0 ym = ynk kxnk 1 yn (mod yn2 );
woraus sich yn j kxnk 1 ergibt. Aufgrund von ggTfxn ; yn g = 1 gilt nun yn j k, was schlielich
yn j m zur Folge hat.
2
Bemerkung 14.5. Fur a > 2 folgt aus Yi(a) Yj (a) (mod Xn (a)) stets i j
(mod 2n).
Beweis. Fur n; mp 2 N 0 mit n m gilt mit den Bezeichnungen aus Bemerkung 14.4 wegen
e1 m = xm ym d die Beziehung
p
p
p
xnm + ynm d = e1nm = en1 e1 m = (xn + yn d)(xm ym d):
Hieraus ergeben sich durch Zerlegung in Summanden mit und ohne Wurzel und (Pa ) die
folgenden Kongruenzen:
ynm = xm yn xnym ynxm (mod xn)
xnm = xnxm ynym d ynymd (mod xn )
1 = x2n dyn2 dyn2 (mod xn)
Die schrittweise Anwendung von (14.3), (14.4) und (14.5) ergibt
y2nm = yn+(nm) ynxnm yn2 ymd ym (mod xn );
woraus mit der Bezeichnung
Yk := yk (mod xn); yk (mod xn)
89
(14.3)
(14.4)
(14.5)
die Beziehung Y2nm = Ym folgt.
Zu jedem k 2 N 0 existiert ein k mit 0 k n, fur das entweder k k (mod 2n)
oder k k (mod 2n) und damit Yk = Yk gilt. Nach Voraussetzung gilt Yi = Yj woraus
Yi = Yj und weiter
xn j (yi + yj ) oder xn j (yi yj )
folgt. Aufgrund der Monotonie gilt wegen 0 i ; j n auch 0 yi ; yj yn , und da
sich aufgrund von a 3 uber die Abschatzung
x2n = 1 + (a2 1)yn2 > 8yn2 > 4yn2
die Beziehung yn < 1=2 xn ergibt, gilt schlielich
jyi yj j < 2 12 xn = xn:
Da aber xn entweder die Summe oder die Dierenz teilt, folgt somit yi yj = 0 und
wegen yj 0 gilt yi = yj . Aufgrund der strengen Monotonie hat dies aber i = j und
damit i j (mod 2n) zur Folge.
2
Bemerkung 14.6. Fur a > 2 ist die Relation y = Yk (a) aquivalent zu der Relation
R(y; k; a) mit
R(y; k; a) : es gibt x; xe; x; ye; y ; b mit R1 ^ R2 ^ : : : ^ R8;
wobei die Ri folgende Relationen sind:
R1 : y k
R2 : x2 y2 (a2 1) = 1
R3 : ye 0 (mod 2x2 y2 )
R4 : xe2 ye2 (a2 1) = 1
R5 :
R6 :
R7 :
R8 :
b = a + xe2 (xe2 a)
2 y 2 2
x
(b 1) = 1
y y (mod xe2)
y k (mod 2y):
Beweis. Wird y = Yk (a) vorausgesetzt, so ist die Existenz von Zahlen x; xe; x; ye; y und b zu
zeigen, die die Relationen R1 bis R8 erfullen. Zunachst gelten wegen y = Yk (a) k und
mit x := Xk (a) die Relationen R1 und R2 .
Wird f := 2x2 y2 gesetzt, so existieren nach Bemerkung 14.2 Zahlen x0 ; y0 mit x02
0
2
y f 2 (a2 1) = 1. Mit xe := x0 und ye := y0f gelten nun R3 und R4 .
Werden b durch Relation R5 und x := Xk (b), y := Yk (b) deniert, so gelten R5 und R6 .
Aus R5 folgt b a (mod xe2 ), was nach Bemerkung 14.3 (b) die Beziehung Yk (b) Yk (a)
(mod xe2 ) und damit R7 zur Folge hat.
Nach Bemerkung 14.3 (c) gilt y = Yk (b) k (mod (b 1)). Zum Beweis der Relation
R8 reicht es also, 2y j (b 1) zu zeigen. Da nach R3 aber ye 0 (mod 2y) gilt, ergibt sich
mit R4 die Kongruenz xe2 1 (mod 2y). Zusammen mit R5 erhalt man b a +1(1 a) 1
(mod 2y), woraus 2y j (b 1) folgt.
Zum Beweis der Umkehrung sei die Relation R vorausgesetzt. Aus R2 und Bemerkung 14.1 folgt die Existenz von n 2 N mit x = Xn (a) und y = Yn (a). Es ist also noch
n = k zu zeigen. Aus R4 und R6 folgt die Existenz von ne; n 2 N mit
xe = Xen (a) ; ye = Yen (a) und y = Y (b):
n
90
Mit Bemerkung 14.3 (c) gilt y = Y (b) n (mod (b 1)) und da sich wie oben aus den
n
Relationen R3 , R4 und R5 die Beziehung 2y j (b 1) ergibt, folgen y n (mod 2y) und
zusammen mit R8
k n (mod 2y):
(14:6)
Andererseits gilt mit Relation R5 die Beziehung b a (mod xe), woraus sich zusammen
mit Bemerkung 14.3 (b)
Y (b) Y (a) (mod xe)
n
ergibt. Da mit R7 aber auch
n
Y (b) = y y = Yn(a) (mod xe)
n
gilt, folgt wegen xe = Xen (a) somit
Yn (a) Y(a) (mod Xen (a)):
n
Mit Bemerkung 14.5 ergibt sich hieraus
n n (mod 2ne):
(14:7)
Weiter folgt mit R3 die Beziehung y2 j ye bzw. Yn (a)2 j Yen (a), womit sich nach Bemerkung 14.4
y j ne
(14:8)
ergibt. Aus (14.6), (14.7) und (14.8) folgt nun
k n n (mod 2y):
Da 0 < n Yn (a) = y und mit R1 die Beziehung 0 < k y gilt, ergibt sich
jk nj 2y:
Im Falle k n (mod 2y) folgt somit k + n = 2y und damit n = k = y, wahrend sich im
Falle k n (mod 2y) direkt k = n ergibt.
2
Satz 14.1. Die Relationen a > 2 ^ x = Xn(a) und a > 2 ^ y = Yn(a) sind diophantisch.
Beweis. Die Relation a > 2 ^ y = Yn(a) ist nach Bemerkung 14.6 aquivalent zu R(y; k; a) ^
a > 2, die nach den Bemerkungen 13.2 und 13.2 diophantisch ist.
Die Relation a > 2 ^ x = Xn (a) andererseits ist aquivalent zu a > 2 ^ y =
Yn(a) ^ x2 (a2 1)y2 = 1 und damit diophantisch.
2
91
14.3 Anwendung auf die Potenzfunktion
Bemerkung 14.7. Fur a 2 und a n gilt
nk Xk (a) (a n)Yk (a) (mod m) mit m = 2an n2 1:
Beweis. Der Beweis erfolgt durch Induktion nach k. Wie oben sei zur Abkurzung xn :=
Xn(a), yn := Yn (a) und d := a2 1 gesetzt.
Fur k = 0 gilt die Behauptung wegen n0 = 1 , x0 = 1 und y0 = 0 trivialerweise.
Fur der Induktionsschlu beachtet man die Zerlegung von
p
xk+1 + yk+1 d = ek1 +1
p
p
= (xk + yk d)(a + d)
p
= axk + (a2 1)yk + (xk + ayk ) d;
in Anteile mit und ohne Wurzel, woraus die Darstellungen
xk+1 = axk + (a2 1)yk und yk+1 = xk + ayk
folgen. Somit ergibt sich mit der Induktionsvoraussetzung wegen
xk+1 (a n)yk+1 = axk + (a2 1)yk + (n a)(xk + ayk )
= nxk + (na 1)yk
n(nk + (a n)yk ) + (na 1)yk
= nk+1 + (2an n2 1)yk
= nk+1 + myk
nk+1 (mod m)
2
die Behauptung.
Satz 14.2. Die Potenzfunktion N 2 ! N mit (n; k) 7! nk ist diophantisch.
p
Beweis. Betrachtet man die Pellsche Gleichung (Pn+2 ), so gilt e1 = n +2+ (n + 2)2 1 >
n + 1. Hieraus folgt
p
a := Xk (n + 2) + (n + 2)Yk (n + 2) > Xk (n + 2) + (n + 2)2 1Yk (n + 2)
= ek1 > (n + 1)k ;
womit sich fur k 1
m := (a n)n + an 1 > ((n + 1)k n)n + (n + 1)k n 1
> (n + 1)k n > nk
ergibt. Nach Bemerkung 14.7 ist die Relation z = nk somit aquivalent zu der Relation
z Xk (a) (a n)Yk (a) (mod m)
^ m = (a n)n + an 1 ^ z < m
^ a = Xk (n + 2) + (n + 2)Yk (n + 2);
92
die wiederum mit der folgenden Relationen gleichbedeutend ist
z x (a n)y (mod m) ^ x = Xk (a) ^ y = Yk (a)
^ m = (a n)n + an 1 ^ z < m
^ a = u + (n + 2)v ^ u = Xk (n + 2) ^ v = Yk (n + 2);
und da alle Konjunktionsglieder diophantisch sind, ist z = nk eine diophantische Relation
bzw. (n; k) 7! nk eine diophantische Abbildung.
2
Anmerkung: Dieses Ergebnis zeigt, da die Exponentialfunktion nk polynomialer Natur
ist.
15 Der beschrankte Allquantor
15.1 Der Produktsatz
Bemerkung 15.1. Die Relation n k ^ z = nk ist diophantisch.
Beweis. Wahlt man eine beliebige Hilfszahl m 2 N mit m > 2n , so gilt
Pn n mj
n
n X
(m + 1)n = j =0 j
n
j
k
=
k
k
j m + k +r
m
mit
r=
womit sich
m
k 1 X
n
j =0
j =k+1
k 1
n
1 1X
n 1X
n 1 (1 + 1)n = 2n < 1;
j mk j m j =0 j
m j =0 j
m
m
n
(m + 1)n n
mk
k (mod m)
(15:1)
ergibt. Wegen k 2n < m ist somit gezeigt, da die Relation
n
R1 : n k ^ z = k
die Relation
R2 : n k ^
m > 2n
^ z<m ^ z
(m + 1)n n
mk
(mod m)
zur Folge hat. Gilt umgekehrt R2 , so hat (15.1) z k (mod m) zur Folge, womit sich
n
wegen z < m und k 2n < m die Relation R1 ergibt. Nach Satz 14.2, Bemerkung 13.2
und den Beispielen 13.3 und 13.4 ist die Relation R2 diophantisch, womit die Behauptung
gezeigt ist.
2
93
Bemerkung 15.2. Die Relation z = n! ist diophantisch.
Beweis. Es sei m 2 N eine Hilfszahl mit m > (2n)n+1 . Wegen Bemerkung 15.1 genugt es,
n
n! = [x] mit x := m m
n
zu zeigen. Aufgrund von
n n!
x = m(m 1) m
(m n + 1)
m
m
= n! m m 1 m mn + 1
= n! 1 (1 m1 ) 1 (1 m2 ) 1 (1 n m 1 ) 1
ergibt sich die Abschatzung x > n!. Da fur jedes 2 R mit 0 < < 1=2 stets (1 ) 1 1 + 2 gilt, folgt andererseits
x = n! 1 (1 m1 ) 1 (1 m2 ) 1 (1 n m 1 ) 1
n! 1 (1 + m2 )(1 + m4 ) 1 (1 + 2(nm 1) ) 1
< n!(1 + 2mn )n
n n X
n ( 2n )j n!(1 + 2n X
n )
= n!
j m
j
m
j =0
j =1
n
n!(1 + 2mn 2n) < n!(1 + (22nn)2n+1 )
n!(1 + 1 ) < n! + 1;
nn
womit n! = [x] gezeigt ist.
2
Satz 15.1 (Produktsatz). Die Relation R(a; b; y; z) : z = Qyn=1(a + bn) ist diophantisch.
Beweis. Wird zunachst
m := (a + by)! + 1 >
Yy
(a + bn) = z
n=1
gesetzt, so gilt wegen b j (a + by)! die Beziehung ggTfm; bg = 1. Also existiert (nach
Folgerung 2.2) ein q 2 N mit bq a (mod m), womit sich
Yy
y
z (bq + bn) = b (q + n)
n=1
n=1
Yy
94
(mod m)
ergibt. Somit ist gezeigt, da die Relation
R(a; b; y; z) : z =
Yy
(a + bn)
n=1
die Relation
R~ (a; b; y; z) : m = (a + by)! + 1
^ z by
Yy
n=1
(q + n) (mod m) ^ z < m ^ bq a (mod m)
zur Folge hat.
Gilt umgekehrt R~ , so folgt
z by
Yy
(q + n) =
n=1
Yy
(bq + bn) n=1
Yy
(a + bn) (mod m);
n=1
Q
womit sich wegen z < m und yn=1 (a + bn) < m die Relation R ergibt.
kung 15.2 ist die Relation
Yy
(q + y)!
x=
(q + n) =
n=1
Nach Bemer-
q!
diophantisch, womit auch R~ diophantisch ist.
2
Folgerung 15.1. Die Relation c d ^ z = Qdn 1(c n) ist diophantisch.
Beweis. Im Falle c d + 2 ergibt sich nach Satz 15.1 mit y = d, b = 1 und a = c d 1
die diophantische Relation
z=
Yd
n=1
(c d 1 + n) = (c d) (c 1) =
Yd
(c n);
n=1
wahrend sich im Falle c = d + 1 die nach Bemerkung 15.2 diophantische Relation
z=
Yd
(d + 1 n) = d!
n=1
und fur c = d die diophantische Relation z = 0 ergibt. Die Behauptung ergibt sich nun
mit Bemerkung 13.2.
2
15.2 Der Satz uber den beschrankten Allquantor
Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, da der beschrankte Allquantor diophantische Relationen erhalt.
95
Denition 15.1. Ist R(k; y; x1 ; : : : ; xr ) eine Relation zwischen naturlichen Zahlen, so sei die
Relation
R0(y; x1 ; : : : ; xr ) : 8k y : R(k; y; x1 ; : : : ; xr )
deniert als
fur alle k gilt R(k; y; x1 ; : : : ; xr ) _ k > y:
Hierin heit 8k y : beschrankter Allquantor.
Bezeichnung: Im folgenden sei f ein festes Polynom aus Z[K; Y; X1; : : : ; Xr ; Z1 ; : : : ; Zs ],
weiter sei X := (X1 ; : : : ; Xn ) , Z := (Z1 ; : : : ; Zs ) und fur z1 u; z2 u; : : : ; zs u werde
kurz z := (z1 ; : : : ; zs ) u geschrieben.
Bemerkung 15.3. Die folgenden Relationen sind aquivalent:
(a) 8k y : es gibt z 2 N s mit f (k; y; x; z ) = 0,
(b) es gibt u 2 N mit 8k y : es gibt z 2 N s mit z u ^ f (k; y; x; z ) = 0.
Beweis. Die Aussage (b) impliziert (a) trivialerweise. Gilt umgekehrt Relation (a), so gibt
es fur jedes k y ein z (k) 2 N s mit f (k; y; x; z ) = 0. Daher folgt (b) mit
u := max zi(k) j 1 k y; 1 i s :
2
Bemerkung 15.4. Es gibt ein Polynom g 2 Z[Y; X; U ] mit
(8k y : 8z u : jf (k; y; x; z )j g(y; x; u)) ^ g(y; x; u) > max y; u :
P f in Monome
Beweis. Wird f = m
i=1 i
fi(K; Y; X; Z ) = ci K ai Y bi X ei Z ni mit ci 2 Z ; ai; bi 2 N 0 ; ei 2 N r0 ; ni 2 N s0
zerlegt, und wird g durch
gi (Y; X; U ) := jci j Y ai+bi X ei U ni
g(Y; X; U ) := Y + U +
deniert, so gelten
und
m
X
i=1
mit ni :=
r
X
j =1
nji
gi (Y; X; U )
g(y; x; u) y + u > max y; u
8k y : 8z u : jf (k; y; x; z )j m
X
i=1
jfi(k; y; x; z )j m
X
i=1
gi (y; x; u) < g(y; x; u): 2
Bemerkung 15.5. Die folgenden Relationen sind aquivalent:
(a) Q(y; x; u) : 8k y : es gibt z 2 N s mit z u ^ f (k; y; x; z ) = 0
96
(b) Qe(y; x; u) : es gibt a 2 N s ; t; m; l 2 N mit R1 ^ : : : ^ R6
mit den folgende Relationen Ri :
R1 : t = g(Qy; x; u)!
R2 : m yk=1 (1 + kt)
R3 : m = 1 + lt
R4 : a u
R5 : f (l; Q
y; x; a) 0 (mod m)
R6 : m j uj=1(ai j ) fur i = 1; : : : ; s:
wobei g wie in Bemerkung 15.4 durch f deniert ist.
Beweis. Zunachst gelte die Relation Q. Werden t und m wie in den Relationen R1 und R2
deniert, so gelten R1 und R2 und wegen m 1 (mod t) gibt es ein l 2 N mit m 1 = lt,
womit R3 gilt.
Nun soll gezeigt werden, da m = kgVf 1 + kt j 1 k y g gilt. Gibt es fur
1 k; ek y eine Primzahl p mit p j (1 + kt) und p j (1 + ekt), so gelten p j (ek k)t und p6 j t.
Da p Primzahl ist, folgt hieraus aber p j (ek k) mit p ek k < y. Da nach Denition von
g aber y < g(y; x; u) gilt, ergibt sich der Widerspruch
p j g(y; x; u)! = t:
Daher gilt ggTf1 + kt; 1 + ektg = 1, womit m = kgVf 1 + kt j 1 k y g gezeigt ist. Nach
Voraussetzung gibt es zu jedem k y ein z (k) 2 N s mit z (k) u und f (k; y; x; z (k) ) = 0,
und nach dem Hauptsatz uber simultane Kongruenzen 4.1 gibt es fur jedes i = 1; : : : ; s eine
Zahl ai mit
z1(k) ai (mod (1 + kt)):
(15:2)
Da zu ai beliebige Vielfache von m addiert weden konnen, kann dabei ohne Einschrankung
ai u vorausgesetzt werden kann, womit R4 gilt. Betrachtet man fur k = 1; : : : ; y die
Relation R3 modulo 1 + kt, so ergibt sich 1 + kt 0 1 + lt (mod (1 + kt)), was wegen
t6 j (1 + kt) die Beziehung k l (mod (1 + kt)) zur Folge hat. Damit gilt
0 = f (k; y; x; z (k) ) f (l; y; x; a) (mod (1 + kt)) fur k = 1; : : : ; y;
was nach dem Hauptsatz uber simultane Kongruenzen die Relation R5 zur Folge hat.
Da nach 15.2 fur k = 1; : : : ; y und i = 1; : : : ; s die Beziehung
(1 + kt) j (ai zi(k) )
mit ai u und zi(k) u gilt, folgt
(1 + kt) j
Yu
(ai j );
j =1
womit sich R6 ergibt.
Nun sei Relation Qe vorausgesetzt. Fur ein festes k mit k y sei p eine Primzahl mit
p j (1 + kt). Nach R2 und R3 gilt somit 1 + lt 0 (mod (1 + kt)), womit sich wie oben
l k (mod p) ergibt. Schreibt man durch Division mit Rest
ai = qi p + zi mit 0 < zi p;
97
(15:3)
hat dies wegen p j m zusammen mit R5
f (k; y; x; z ) 0 (mod p)
(15:4)
zur Folge. Aus der Annahme p g(y; x; u) ergibt sich mit R1 die Beziehung p j t, was im
Widerspruch zu p j (1 + kt) steht. Also gilt zusammen mit Bemerkung 15.4
p > g(y; x; u) > max y; u ;
und mit der Abschatzung
(15:5)
jf (k; y; x; z)j g(y; x; u)
aus Bemerkung 15.4 und (15.4) folgt
f (k; y; x; z ) = 0:
Weiter gilt wegen p j m und R6 die Beziehung
pj
Yu
(ai j );
j =1
und da p Primzahl ist, gibt es ein j 2 f1; : : : ; ug mit p j (ai j ). Dies hat ai j (mod p)
und mit (15.3) die Kongruenz zi j (mod p) zur Folge. Da aber nach (15.3) und (15.5)
die Abschatzungen
1 zi p
1 j u < g(y; x; u) < p
2
gelten, ergibt sich somit zi = j , womit z u folgt.
Satz 15.2. Ist R(k; y; x) eine diophantische Relation, so ist auch
Q(y; x) : 8k y : R(k; y; x)
eine diophantische Relation.
Beweis. Ist die zu R gehorende diophantische Menge
2+r Vf mit f 2 Z[K; Y; X1; : : : ; Xr ; Z1 ; : : : ; Zs ];
so ist Q(y; x) gleichbedeutend mit mit
8k y : es gibt z 2 N s mit f (k; y; x; z ) = 0:
Nach den Bemerkungen 15.3 und 15.5 ist dies aquivalent zu der Relation
es gibt u 2 N mit Qe(y; x; u);
wobei Qe wie in Bemerkung 15.5 deniert ist. Nun sind R1 (Bemerkung 15.2), R2 (Satz 15.1),
R3 bis R5 (Paragraph 13) und R6 (Folgerung 15.1) diophantisch, und mit Bemerkung 13.2
folgt, da Qe und damit auch Q diophantische Relationen sind.
2
98
15.3 Die Menge der Primzahlen
Satz 15.3. Die Menge P der Primzahlen ist diophantisch.
Beweis. Die Relation p 2 P ist aquivalent zu
8y p : (y = 1 _ y = p _ y6 j p);
und da y6 j p gleichbedeutend ist mit
8x p : yx =6 p;
folgt die Behauptung aus dem Vorausgehenden.
2
Bemerkung 15.6. Ist D Z[X1; : : : ; Xn ]
N eine diophantische Menge, so gibt es ein Polynom g 2
mit D = g(N n ) \ N .
Beweis. Es sei D = 1 (Vf ) mit f 2 Z[X1; : : : ; Xn ] und
g(X1 ; : : : ; Xn) := X1 (1 f (X )2 ):
Gilt nun x1 2 D N , so gibt es x2 ; : : : ; xn 2 N mit f (x1 ; : : : ; xn ) = 0, womit
g(x1 ; : : : ; xn ) = x1 und damit x1 2 g(N n ) folgt.
Gilt umgekehrt z 2 g(N n ) \ N , so gibt es ein x 2 N n mit z = g(x). Wegen x1 2 N hat
dies 1 f (x) 2 N und damit f (x) = 0 zur Folge. Somit gilt z = x1 2 1 (Vf ) = D.
2
Folgerung 15.2. Es gibt ein Polynom g(X1 ; : : : ; Xn ) 2 Z[X1; : : : ; Xn ], dessen positiven
Werte genau die Primzahlen sind.
Anmerkung: Ein solches Primzahlpolynom wird im abschlieenden Paragraphen 17 konstruiert.
16 Rekursive Funktionen
16.1 Die Godelsche Folgenfunktion
Denition 16.1. Die Abbildung P : N N ! N mit
(x; y) 7! (x + y 2) + x mit (z ) := 1 + 2 + + z = z (z 2+ 1)
heit Cantorsche Paarabbildung.
Anmerkung: Die Cantorsche Paarabbildung ist eine bijektive Abbildung von N N nach
N.
Bemerkung 16.1. Die Cantorsche Paarabbildung P : N N ! N und ihre Umkehrabbildung P 1 : N ! N N mit z ! (L(z ); R(z )) sind diophantisch. Ferner gelten
L(z) z und R(z) z.
99
Beweis. Wegen 2P = (X + Y 2)(X + Y 1) + 2X 2 Z[X; Y ] ist P eine diophantische
Abbildung und mit z = P (x; y) gelten L(z ) z und R(z ) z . Da die Relationen x = L(z )
und y = R(z ) aquivalent sind zu
es gibt y 2 N mit z = P (x; y) und x z bzw.
es gibt x 2 N mit z = P (x; y) und y z;
2
sind L(z ) und R(z ) diophantisch.
Denition 16.2. Die Abbildung F : N N ! N mit
(k; m) 7! L(m) (mod (1 + kR(m))) mit 1 L(m) 1 + kR(m)
heit Godelsche Folgenfunktion.
Satz 16.1. Die Godelsche Folgenfunktion ist diophantisch und hat die folgenden Eigenschaften:
(a) Fur alle k; m 2 N gilt F (k; m) m.
(b) Fur alle a 2 N n gibt es ein m 2 N , so da F (k; m) = ak fur k = 1; : : : ; n gilt.
Beweis. Nach Bemerkung 16.1 ist F diophantisch und es gilt F (k; m) L(m) m, womit
(a) gezeigt ist.
Wird y := n!a1 : : : an gesetzt, so gilt ggTf 1 + ky j 1 k n g = 1, denn gibt es
fur 1 k < ek n eine Primzahl p mit p j (1 + ky) und p j (1 + ek y), so gelten p j (ek k)y
und p6 j y. Da p Primzahl ist, folgt hieraus aber p j (ek k) mit p ek k < n, was den
Widerspruch p j y zur Folge hat.
Nach dem Satz uber simultane Kongruenzen gibt es ein x 2 N mit x ak (mod (1 +
ky)) fur k = 1; : : : ; n. Wird nun m := P (x; y) gesetzt, so gilt
F (k; m) L(m) = x ak (mod (1+ ky)) mit 1 ak y = R(m) < 1+ kR(m) = 1+ ky;
womit ak = F (k; m) gezeigt ist.
2
16.2 Denition rekursiver Funktionen
Denition 16.3. Die Funktionen
!N ;
x 7! 1
! N ; x 7! x + 1
! N ; (x1 ; : : : ; xn) 7! xk
! N;
heien rekursive Grundfunktionen
C :N
S :N
Pn;k :N n
F :N 2
(konstante Funktion)
(Nachfolgerfunktion)
(Projektionen)
(Godelsche Funktion)
Anmerkung: Auf F kann auch verzichtet werden.
Bemerkung 16.2. Die rekursiven Grundfunktionen lassen sich in endlich vielen Rechenschritten auswerten.
100
Beweis. Fur C, S und Pn;k ist die Behauptung klar. Da x = L(m) aquivalent ist zu
x m ^ es gibt y m mit m = P (x; y);
ist L(m) in endlich vielen Schritten auswertbar. Analoges gilt fur R(m), und schlielich lat
sich F (k; m) aus R(m) und L(m) in endlich vielen Rechenschritten durch den Euklidischen
Algorithmus auswerten.
2
Denition 16.4. (a) Sind f : N n ! N und g := (g1 ; : : : ; gn ) mit gk : N m ! N Funktionen, so heit h = f g : N m ! N mit
h(x) = h(x1 ; : : : ; xm ) := f (g1 (x1 ; : : : ; xm ); : : : ; gn (x1 ; : : : ; xm ))
Komposition von f und g.
(b) Sind f : N n ! N und g : N n+2 ! N Funktionen, so heit h : N n+1 ! N mit
h(1; x) := f (x)
h(t + 1; x) := g(t; h(t; x); x)
primitive Rekursion von f und g.
(c) Sind f; g : N n+1 ! N Funktionen mit der Eigenschaft, da es fur alle x 2 N ein
y 2 N mit f (x; y) = g(x; y) gibt, so heit h : N n ! N mit
h(x) := min y 2 N j f (x; y) = g(x; y)
Minimalisierung von f und g.
Komposition, primitive Rekursion und Minimalisierung heien rekursive Grundoperationen. Eine Funktion heit rekursiv, wenn sie durch Anwendung endlich vieler rekursiver Grundoperationen aus den rekursiven Grundfunktionen erhalten wird.
Bemerkung 16.3. Rekursive Funktionen lassen sich in endlich vielen Rechenschritten
auswerten.
Beweis. Nach Bemerkung 16.2 genugt es zu zeigen, da Funktionen, die in endlich vielen
Rechenschritten ausgewertet werden konnen, bei Anwendung der rekursiven Grundoperationen wieder in solche ubergehen.
(a) Komposition: Sind f und g1 ; : : : ; gn endlich berechenbar, so ist auch f g endlich
berechenbar.
(b) Primitive Rekursion: Sind f und g endlich berechenbar, so ist h(1; x) = f und
mit h(t; x) auch h(t + 1; x) endlich berechenbar. Die Behauptung folgt nun durch
Induktion.
(c) Minimalisierung: Sind f und g endlich berechenbar, so wird fur y = 1; 2; : : : gepruft,
ob f (x; y) = g(x; y) gilt. Nach Voraussetzung tritt dies nach endlich vielen Schritten
ein, womit y = h(x) endlich berechenbar ist.
2
Anmerkung: Die Auswertungsvorschrift einer rekursiven Funktion heit Algorithmus.
Die Umkehrung von Bemerkung 16.3 ("Jede endlich berechenbare Funktion ist rekursiv\)
wird als Church'sche These bezeichnet.
101
16.3 Der Hauptsatz
Satz 16.2. Eine Funktion ist genau dann diophantisch, wenn sie rekursiv ist.
Beweis.
(a) Behauptung 1: Eine rekursive Funktion ist diophantisch.
Die Grundfunktionen C , S und Pn;k sind diophantisch nach Paragraph 13, und F ist
rekursiv nach Satz 16.1. Es genugt also zu zeigen, da diophantische Funktionen bei
Anwendung der rekursiven Grundoperationen wieder in solche ubergehen:
(i) Komposition: nach Folgerung 13.1.
(ii) Primitive Rekursion: Es seien f und g diophantische Funktionen und h die
primitive Rekursion von f und g. Nach Satz 16.1 gibt es ein m 2 N mit
h(1; x) = F (1; m); : : : ; h(n; x) = F (n; m);
und damit ist y = h(n; x) gleichbedeutend mit
es gibt m 2 N mit F (1; m) = f (x) ^ F (n; m) = y ^
8t < n : F (t + 1; m) = g(t; F (t; m); x);
wobei alle auftretenden Relationen diophantisch sind.
(iii) Minimalisierung: Ist h die Minimalisierung zweier diophantischer Funktionen f
und g, so ist y = h(x) gleichbedeutend mit
f (x; y) = g(x; y) ^ 8t < y : f (x; t) 6= g(x; t);
wobei alle auftretenden Relationen diophantisch sind.
(b) Behauptung 2: Polynomfunktionen f 2 N [X ] sind rekursiv.
(i) Die Addition Ad(x; y) = x + y kann durch
Ad(x; 1) := x + 1 = S(x)
Ad(x; t + 1) := x + t + 1
= Ad(x; t) + 1 = g(t; Ad(x; t); x) mit g = S P3;2
deniert werden und ist damit rekursiv.
(ii) Die Multiplikation Mu(x; y) = xy kann durch
Mu(x; 1) := x = P1;1 (x)
Mu(x; t + 1) := xt + x
= Mu(x; t) + x = g(t; Mu(x; t); x) mit g = Ad (P3;2 ; P3;3 )
deniert werden und ist damit rekursiv.
102
(iii) Die konstanten Funktionen Ck (x) = k konnen durch Induktion als
C1 (x) := C(x)
Ck+1 (x) := k + 1
= Ck (x) + 1 = (Ad (Ck ; C1 ))(x)
deniert werden und sind damit rekursiv.
Jedes Polynom f 2 N [X ] ist durch endlich Anwendung von Ck , Mu und Ad aus den
Projektionen Pn;k zu erhalten und damit rekursiv.
(c) Behauptung 3: Diophantische Funktionen sind rekursiv.
Ist f 2 Z[X] eine diophantische Funktion, so ist f (x) = y gleichbedeutend damit,
da es ein Polynom g 2 Z[X; Y; Z ] und z = (z1 ; : : : ; zs ) mit g(x; y; z ) = 0 gibt. Eine
Zerlegung in Anteile mit positiven und negativen Koezienten zeigt die Existenz
zweier Polynome p; q 2 N [X; Y; Z ] mit p(x; y; z ) = q(x; y; z ), wobei p und q nach
Behauptung 2 rekursiv sind. Nach Satz 16.1 gibt es ein m 2 N mit
F (1; m) = y ^ F (2; m) = z1 ^ ; : : : ; ^ F (s + 1; m) = zs:
Wird also
pe(m; x) := p(x; F (1; m); : : : ; F (s + 1; m))
gesetzt, so ist pe rekursiv. Deniert man qe auf analoge Weise durch q, so ist
M (x) := min m 2 N j pe(m; x) = qe(m; x)
die Minimalisierung von pe und qe und damit rekursiv. Da schlielich
f (x) = y = F (1; m) = F (1; M (x))
2
gilt, ist f rekursiv.
16.4 Die Unlosbarkeit des X. Hilbertschen Problems
Bemerkung 16.4. (a) Die Menge E (N ) der endlichen Folgen naturlicher Zahlen ist
abzahlbar.
(b) Die Menge E (Z) der endlichen Folgen ganzer Zahlen ist abzahlbar.
Beweis.
(a) Wird fur a = (a1 ; : : : ; ak ) 2 E (N )
m(a) := min m 2 N j a1 = F (1; m); : : : ; ak = F (k; m) 2 N
gesetzt, so ist a durch m(a) und k = k(a) und damit auch durch P (m; k) eindeutig bestimmt. Also gibt es eine injektive Abbildung : E (N ) ! N womit E (N )
abzahlbar ist.
103
(b) Ist : Z ! N die bijektive Abbildung mit
z 7!
2z
fur z > 0
2z + 1 fur z 0 ;
so ist : E (Z) ! N eine injektive Abbildung, womit E (Z) abzahlbar ist.
2
Folgerung 16.1. Die Menge aller Polynome mit ganzzahligen Koezienten
Z[X ]
:=
[
n1
Z[X1; : : : ; Xn ]
ist eine abzahlbare Menge.
Beweis. Jedes f 2 Z[X] lat sich als endliche Summe von ci X i mit Monomen X i schreiben.
Da jedem Monom X i = X1i1 : : : Xnin umkehrbar eindeutig die Folge i1 +1; : : : ; in +1 2 E (N )
zugeordnet werden kann, ist die Menge M aller Monome abzahlbar nach Bemerkung 16.4
(a). Also gilt M = f Mi j i 2 N g, und f lat sich als endliche Summe von ci Mi mit
ci 2 Z schreiben. Wird nun f die Folge (ci ) zugeordnet, so ergibt sich eine umkehrbar
eindeutige Abbildung zwischen Z[X] und E (Z), womit nach Bemerkung 16.4 (b) folgt, da
ahlbar ist.
2
Z[X ] abz
Satz 16.3. Das X. Hilbertsche Problem ist unlosbar, d.h. die Frage nach der Existenz von
Nullstellen einer diophantischen Gleichung ist algorithmisch nicht losbar.
Beweis. Nach Folgerung 16.1 besitzt Z[X] eine Darstellung Z[X] = ff1 ; f2 ; : : :g. Weiter sei
D := Dn j n 2 N
mit Dn := 1 (Vfn )
die Menge aller diophantischer Mengen und g : N N ! N durch
1
falls x 2 Dn
2 falls x 2= Dn
deniert. Die Annahme, da das X. Hilbertsche Problem losbar ist, hatte nun zur Folge,
da x 2 Dn berechnet werden kann. Damit ware g eine rekursive und nach Satz 16.2 auch
eine diophantische Funktion. Folgende U berlegung zeigt aber, da g nicht diophantisch
sein kann: Es sei
X := x 2 N j x 2= Dx :
Ware X diophantisch, so gabe es ein m 2 N mit X = Dm und nach Denition von X ware
m 2 Dm gleichbedeutend mit m 2= X = Dm , was einen Widerspruch darstellt.
Daher ist X nicht diophantisch. Da aber x 2 X gleichbedeutend ist mit g(x; x) = 2,
was wiederum gleichbedeutend ist mit
g(x; n) :=
g(x; y) = z ^ x = y ^ z = 2;
hat die Annahme, da g diophantisch ist zur Folge, da X diophantisch ist, was einen
Widerspruch zu dem schon Bewiesenen darstellt. Also ist g nicht diophantisch und das
X. Hilbertsche Problem ist nicht losbar.
2
104
17 Konstruktion eines Primzahlpolynoms
17.1 Erganzungen zur Pellschen Gleichung
p
p
Bemerkung 17.1. Werden wie in Bemerkung 14.1 (a + d)k =: xk + yk d mit d := a2 1
gesetzt, so gelten (x0 ; y0 ) = (1; 0), (x1 ; y1 ) = (a; 1) und fur k 2
xk+1 = 2axk xk 1
yk+1 = 2ayk yk 1:
Beweis. Die ersten beiden Gleichungen ergeben sich direkt aus der Denition. Nach dem
Beweis zu Bemerkung 14.5 gelten die Beziehungen
xkl = xk xl yk yl d
ykl = xl yk xk yl :
Wird nun l = 1 gesetzt, so folgt aus der ersten Gleichung
xk+1 = axk + yk d
(17.1)
xk 1 = axk yk d;
woraus sich durch Addition xk+1 = 2axk xk 1 ergibt, wahrend die zweiten Gleichung
yk+1 = ayk + xk
(17.2)
yk 1 = ayk xk
und durch Subtraktion yk+1 = 2ayk yk 1 zur Folge hat.
2
Bemerkung 17.2. Fur alle a 2, k 2 N 0 und m 2 N gilt mit xk := Xk (a) und yk := Yk (a)
stets
xk yk (a m) mk (mod 2am m2 1):
Fur a > mk gilt daruberhinaus
xk yk (a m) mk :
Beweis. Der Beweis der ersten Behauptung erfolgt durch Induktion nach k, denn fur k = 0
ergibt sich wegen x0 = 1 und y0 = 0 eine triviale Beziehung und fur den Induktionsschlu
gilt zusammen mit Bemerkung 17.1
xk+1 yk+1(a m) = 2a(xk (a m)yk ) (xk 1 (a m)yk 1)
2amk mk 1 (mod 2am m2 1)
= mk 1 (2am 1)
mk 1m2 = mk+1 (mod 2am m2 1):
Gilt nun a > mk , so folgt zusammen mit (17.1) und (17.2)
xk ayk + myk = axk 1 + (a2 1)yk 1 a(ayk 1 + xk 1 ) + m(ayk 1 + xk 1)
= (ma 1)yk 1 + mxk 1
> (mk+1 1)yk 1 + mxk 1 ;
105
woraus sich die zweite Behauptung durch Fallunterscheidung ergibt: Fur k = 0 ist die
Behauptung trivial und fur k = 1 gilt
(mk+1 1)yk 1 + mxk 1 = (m0 1) 0 + m 1 = m m1
Fur k > 1 und m = 1 ergibt sich
(mk+1 1)yk 1 + mxk 1 = (1 1)yk 1 + 1 xk 1 x1 = a > mk ;
wahrend fur k > 1 und m > 1 die Abschatzung
(mk+1 1)yk 1 + mxk 1 (mk+1 1) mk
folgt.
2
Bemerkung 17.3. Analog zu der in Bemerkung 14.3 (b) gezeigten Kongruenz gilt auch
Xk (a) Xk (b) (mod c) fur a b (mod c):
Beweis. Die Behauptung wird durch triviale Verikation fur k = 0; 1 und Induktionsschlu
mit Hilfe von Bemerkung 17.1 gezeigt.
2
Satz 17.1. Fur alle a 2 ist die Relation y = Yn(a) gleichbedeutend mit
Q(y; n; a) : es gibt c; d; r; u; x mit Q1 ^ Q2 ^ Q3 ^ Q4 ;
wobei die Qi folgende Relationen sind:
Q1 : y n
Q2 : x2 = (a2 1)y2 + 1
Q3 : u2 = (a2 1)4r2 y4 + 1
Q4 : (x + (c 1)u)2 = (a + u2 (u2 a))2 1 (n + 2(d 1)y)2 + 1:
Beweis. Wird Bemerkung 14.6 mit der Umbenennung k ! n; xe ! u; ye ! v; x ! s
und y ! t verwendet, so ist noch die A quivalenz von R mit Q zu zeigen. Oensichtlich
gelten R1 = Q1 und R2 = Q2 .
Werden R3 und R4 vorausgesetzt, so folgt v 0 (mod 2y2 ), wobei die starkere Aussage
v 0 (mod 2x2 y2 ) im zweiten Beweisteil von Bemerkung 14.6 nicht verwandt wurde.
Daher gibt es ein r 2 N mit v = 2ry2 , und es gilt u2 4r2 y4 (a2 1) = 1, womit Q3 gezeigt
ist. Umgekehrt folgt aber aus Q3 die Beziehung R4 mit v = 2ry2 und die schwacheren
Kongruenz v 0 (mod 2y2 ).
Werden nun R5 bis R8 vorausgesetzt, so gilt nach R6
s2 = (b2 1)t2 + 1
wobei nach R5
(17:3)
b = a + u2 (u2 a)
(17:4)
gilt. Hieraus folgt aber a b (mod u) und nach Bemerkung 17.3 zusammen mit Q2 und
(17.3) gilt s x (mod u), womit es eine Zahl c 2 N mit
s = x + (c 1)u
(17:5)
106
gibt. Weiter gilt nach R8 noch t n (mod 2y), und daher gibt es ein d 2 N mit
t = n + 2(d 1)y:
(17:6)
Setzt man nun (17.5), (17.4) und (17.6) in (17.3) ein, so erhalt man Q4 .
Gilt nun umgekehrt Q4 und werden s, b und t wie in (17.5), (17.4) und (17.6) deniert,
so gelten oensichtlich R5 , R8 und R6 .
2
17.2 Denierende Relationen fur die Fakultat
Bemerkung 17.4. (a) Fur alle k; n 2 N folgt aus (2k)k n stets
(n+1)k < k! + 1:
n
k
(b) Fur alle k; n; p 2 N folgt aus (2k)k n und nk < p stets
k k
k! < (n + 1) p < k! + 1;
r
wobei r der kleinste positive Rest von (p + 1)n modulo pk+1 ist.
Beweis.
(a) Es gelten die folgenden Abschatzungen:
(n+1)k =
k!
n(n 1) : : : (n k + 1)=(n + 1)k
n
k
k!
< k ! k :
=
(n + 1 kk)!k
k
=(n + 1)k
1 k =n + 1
1 k=n
Da fur 0 1q stets (1 )q 1 q gilt, folgt weiter
kk! k 1 kk!2 = :
1 =n
n
Fur 0 21 gilt stets
1
1 1 + 2, und somit ergibt sich
k! k! 1 + 2k2 k! 1 + 2k2 k! 1 + 1 ;
n
(2k)k
k!
1 k2 =n
wobei die letzte Umformung klar ist fur k = 1 und sich fur k > 1 aus
1
1
2k 2 =
(2k)k 2k 1 kk 2 k!
ergibt.
107
(b) Sind k; n und p wie vorausgesetzt gegeben, so folgt aus der Hilfsrechnung
(np)k+1 1 = nk npk+1 1
(p 1)npk+1 1
= npk+2 npk+1 1
< npk+2 pk+1
= (np 1)pk+1
die Abschatzung
r :=
k X
n
k
X
i
p ni pi =
i
i=0
i=0
Aufgrund der Zerlegung
(p + 1)n =
(np)k+1 1 < pk+1:
np 1
k X
n
i=0
n
i + pk+1 X n pi
p
i
i
i=k+1
k 1
ist r somit der kleinste positive Rest von (p + 1)n modulo pk+1 . Hieraus erhalt man
die Ungleichungskette
k!r = k!
k !
X
n i
i p
n n
k
1
k! k k 1 p + k pk
i=0
nk 1
k! k (k 1)! pk
k
1 + n pk
k!
= k2 nk 1 pk 1 + nk pk
< knk pk 1 + nk pk wegen k < n
< kpk + nk pk wegen nk < p
= (k + nk )pk
(1 + n)k pk ;
womit sich die linke Ungleichung ergibt.
Die rechte Ungleichung ergibt sich nach Teil (a) wegen
(n + 1)k pk =
r
k
(n + 1)
(n+1)k < k! + 1:
<
Pk n pi k
n
i=0 i
k
2
Bemerkung 17.5. (a) Ist e 2 und e3 (e + 2)(n + 1)2 + 1 eine Quadratzahl, so gilt
e 1 + ee 2 n.
(b) Fur jedes e 2 N gibt es ein n 2 N , so da e3 (e + 2)(n + 1)2 + 1 eine Quadratzahl ist.
108
Beweis. Wird a := e +1 gesetzt, so ist (a 1)3 (a +1)(n +1)2 +1 = (a2 1)(a 1)2 (n +1)2 +1
eine Quadratzahl groer als 1, womit (a 1)(n + 1) eine Losung der Pellschen Gleichung
(Pa ) ist. Daher gibt es ein k 1 mit
(a 1)(n + 1) = Yk (a):
Da nach Bemerkung 14.3 (c) Yk (a) k (mod (a 1)) gilt, ergibt sich hieraus k 0
(mod (a 1)), woraus (a 1) j k und wegen k 6= 0 schlielich a 1 k folgt. Mit der
Hilfsbehauptung
(2a 1)k Yk+1 (a) (2a)k fur a 3 ; k 0
folgt nun
(a 2)(a 1) + (a 1)a 2 < (2a 1)a 2 Ya 1 (a) Yk (a) = (a 1)(n + 1);
woraus sich a 2 + (a 1)a 3 < n + 1 und durch Ruckersetzung a = e 1 die Aussage (a) ergibt. Die Hilfsbehauptung folgt nun durch Induktion nach k: Fur k = 0 ist
sie wegen Y1 (a) = 1 trivialerweise erfullt. Wird nun die Richtigkeit der Aussage (beide
Ungleichungen!) bis k 1 vorausgesetzt, so gelten zusammen mit Bemerkung 17.1
Yk+1 (a) = 2aYk (a) Yk 1 (a) 2a(2a 1)k 1 (2a)k 2 (2a 1)k
und
Yk+1(a) = 2aYk (a) Yk 1 (a) 2a(2a)k 1 (2a 1)k 2 (2a)k :
Die Aussage (b) ergibt sich durch Ersetzung a = e + 1 wie oben aus der Tatsache, da die
2
Pellsche Gleichung X 2 dY 2 = 1 fur d 6= 0 stets nichttriviale Losungen besitzt.
Satz 17.2. Fur naturliche Zahlen k und f ist die Relation f = k! gleichbedeutend mit
Q(k; f ) : es gibt q; w; z; h; j; n; p 2 N mit S1 ^ : : : ^ S6
mit den folgenden Relationen Si:
S1 : q = (w 1)z + h + j
S4 : p = (n + 1)k
S2 : z = f (h + j ) + h
S5 : q = (p + 1)n
S3 : (2k)3 (2k + 2)(n + 1)2 + 1 ist Quadratzahl
S6 : z = pk+1
Beweis. Sei zunachst f = k!. Nach Bemerkung 17.5 (b) gibt es ein n, so da (2k)3 (2k +
2)(n + 1)2 + 1 eine Quadratzahl ist, womit S3 gilt. Werden nun p , q und z durch S4 bis
S6 deniert und wird r als der kleinste positive Rest von q modulo z erklart, so folgt mit
S6 , Bemerkung 17.4 (b) und S4
h := z fr = pk+1 rk! > pk+1 (n + 1)k pk = 0;
womit h 2 N gilt. Wird weiter j := r h gesetzt, so folgt mit Bemerkung 17.4 (b) und S4
j = r pk+1 + rk! = r(k! + 1) pk+1 > (n + 1)k pk pk+1 = 0;
womit j 2 N gilt. Schlielich folgt aus q h j = q r 0 (mod z ) und q z 0 die
Existenz einer Zahl w mit q h j = (w 1)z , womit S1 gilt. Schlielich ergibt sich S2
aus z = fr + h = f (h + j ) + h.
109
Werden umgekehrt S1 bis S6 vorausgesetzt, so gilt wegen S1 q h + j (mod z ). Da
aus S2 die Beziehung 0 < h + j < z folgt, ist r := h + j somit der kleinste nichtnegative
Rest von q modulo z . Mit S2 ergibt sich somit
f h +z j f + 1:
Nach S6 und S4 gilt aber
z = pk+1 = (n + 1)k pk ;
h+j
r
r
z
womit zusammen mit Bemerkung 17.4 k! < =h + j < k! + 1 und somit f = k! folgt. 2
17.3 Denierende Relationen fur Primzahlen
Satz 17.3. Fur k 2 N ist die Relation k + 1 2 P gleichbedeutend mit
es gibt a : : : z 2 N mit P1 ^ : : : ^ P14
mit den folgenden Relationen Pi :
P1 :
P2 :
P3 :
P4 :
P5 :
P6 :
P7 :
P8 :
P9 :
P10 :
P11 :
P12 :
P13 :
P14 :
q = (w 1)z + h + j
z = (gk + g 1)(h + j ) + h
(2k)3 (2k + 2)(n + 1)2 + 1 = f 2
e = p + q + z + 2n
e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 = o2
x2 = (a2 1)y2 + 1
u2 = 4(a2 1)r2 y4 + 1
(x + (c 1)u)2 = ((a + u2 (u2 a))2 1)(n + 2(d 1)y)2 + 1
m2 = (a2 1)l2 + 1
l = k + (i 1)(a 1)
n+l+v =y
m = p + l(a n 1) + (b 1)(2a(n + 1) (n + 1)2 1)
x = q + y(a p 1) + (s 1)(2a(p + 1) (p + 1)2 1)
pm = z + pl(a p) + (t 1)(2ap p2 1)
Beweis. Zunachst seien P1 bis P14 vorausgesetzt. Aus P3 folgt nach Bemerkung 14.5 (a)
die Beziehung n 2k 1 + (2k)2k 2 2 und somit
n > k:
(17:7)
Ebenso folgt aus P4 und P5 die Beziehung
a e 1 + ee 2 = p + q + z + 2n 1 + (p + q + z + 2n)p+q+z+2n 2 2:
(17:8)
Somit kann a in vielen Abschatzungen als eine obere Schranke verwendet werden. Da aus
P11 die Relation y n folgt, sind zusammen mit P6 , P7 und P8 die Relationen Q1 bis Q4
aus Satz 17.1 erfullt und es folgt y = Yn (a), womit sich mit P6 die Beziehung x = Xn (a)
ergibt.
110
Nach P9 gibt es eine Zahl ek 2 N mit m = Xek (a) und l = Yek (a). Nun soll k = ek gezeigt
werden: Da nach P11 l < y gilt, folgt aufgrund der Monotonie ek < n. Da sich aus (17.8)
n < a ergibt, gilt ek < a und somit ek a 1. Andererseits folgt zusammen mit (17.7) und
n < a die Abschatzung k a 1. Aus P10 und Bemerkung 14.3 (c) folgt schlielich
k l = Yek(a) ek (mod a 1);
womit sich k = ek ergibt. Also gelten m = Xk (a) und l = Yk (a).
Ziel ist es nun, die Relationen S1 bis S6 aus Satz 17.2 zu zeigen. Die Relationen S1 bis
S3 gelten wegen P1 bis P3 , wenn in S2 statt f die Zahl fe := gk + g 1 gesetzt wird. Nach
P12 und Bemerkung 17.2 gilt
p m l(a n 1) Xk (a) Yk (a)(a n 1) (n + 1)k (mod 2a(n + 1) (n + 1)2 1):
Da nach (17.8) p < a gilt, folgt mit (17.7) und nochmals (17.8) (n + 1)k < (n + 1)n < a.
Aus (17.8) folgt aber auch n + 2 a womit sich
a < a(n + 1) = 2a(n + 1) a(n + 1) 2a(n + 1) (n + 1)2 1
ergibt. Hieraus folgt schlielich p = (n + 1)k und somit S4 .
Auf die gleiche Weise erhalt man aus P13 und den aus (17.8) stammenden Abschatzungen q < a, (p + 1) < a und a < 2a(p + 1) (p + 1)2 1 die Relation S5 .
Nach P14 und Bemerkung 17.2 gilt
z pm pl(a p) = pXk (a) pYk (a)(a p) ppk = pk+1 (mod 2ap p2 1):
Da nach (17.8) z < a und pn < a gelten, folgt mit (17.7) pk < a. Wiederum nach (17.8)
gilt p + 2 a, womit sich
a < ap = 2ap ap 2ap p2 1
ergibt. Hieraus folgt schlielich z = pk+1 und somit S4 .
Mit Satz 17.2 gilt nun fe = k! mit fe := gk + g 1, womit sich k! + 1 = g(k + 1) ergibt.
Dies hat aber (k + 1) j (k! + 1) und somit k! 1 (mod k + 1) zur Folge. Nach dem Satz
von Wilson (Folgerung 3.2) bedeutet dies aber, da k + 1 eine Primzahl ist.
Nun sei umgekehrt k + 1 eine Primzahl. Nach dem Satz von Wilson gilt somit (k +
1) j (k! + 1) und daher gibt es eine Zahl g 2 N mit k! + 1 = g(k + 1). Da nun k! = gk + g 1
gilt, folgt nach Satz 17.2 die Existenz von Zahlen q; w; z; h; j; n; p; f 2 N mit S1 ^ : : : ^ S6 ,
wobei in S2 gk + g 1 statt f und fur S3 (2k)3 (2k +2)(n +1)2 +1 = f 2 gesetzt wird. Somit
gelten die Relationen P1 bis P3 .
Wird nun e wie in P4 deniert, so gibt es nach Bemerkung 17.5 (b) Zahlen a; o 2 N mit
3
e (e +2)(a +1)2 +1 = o2 , womit P5 gilt. Weiter folgt wegen e 2 nach Bemerkung 17.5 (a)
a e 1 + ee 2 2. Wird nun y durch y := Yn (a) deniert, so gibt es nach Satz 17.1
Zahlen c; d; r; u; x 2 N , die die Relationen P6 bis P8 erfullen. (Insbesondere gilt x = Xn (a).)
Mit m := Xk (a) und l := Yk (a) gilt auch P9 . Da aufgrund der Monotonie nun k Yk (a) = l und nach Bemerkung 14.3 (c) auch l = Yk (a) k (mod (a 1)) gelten, gibt es
eine Zahl i 2 N mit l = k + (i 1)(a 1), womit P10 gilt.
111
Die Zwischenbehauptung Yk+1 (a) Yk (a) > k 1 wird durch Induktion nach k gezeigt:
Fur k = 1 ergibt sich wegen a 2 die wahre Aussage Y2 (a) Y1 (a) = 2a 1 > 2 und fur
k > 1 gilt nach Bemerkung 17.1 wegen a 2 und der Induktionsannahme
Yk+1 (a) Yk (a) = 2aYk (a) Yk 1(a) Yk (a)
= (2a 1)Yk (a) Yk 1 (a)
= (Yk (a) Yk 1(a)) + 2(a 1)Yk (a)
(Yk (a) Yk 1(a)) + 1
k + 1:
Aus P3 folgt nach Bemerkung 17.5 (a) die Beziehung n 2k 1 + (2k)2k 2 , womit k < n
gilt. Mit der Zwischenbehauptung erhalt man die Ungleichung
n + l = n + Yk (a) n + Yn 1(a) < Yn(a) = y
und daher gibt es eine Zahl v 2 N mit n + l + v = y, womit P11 gezeigt ist.
Aus den Relationen P4 und P5 folgt wie im ersten Teil des Beweises die Abschatzung
(17.8), womit sich zusammen mit S4 bis S6 die folgenden Beziehungen ergeben:
a > p = (n + 1)k
a > q = (p + 1)n :
a > z = pk+1
Nach Bemerkung 17.2 (a) gilt die Kongruenz
m l(a (n +1)) = Xk (a) Yk (a)(a (n +1)) (n +1)k = p (mod 2a(n +1) (n +1)2 1)
und nach Bemerkung 17.2 (b) gibt es eine Zahl b 2 N mit
m l(a (n + 1)) = p + (b 1)(2a(n + 1) (n + 1)2 1);
womit P12 gezeigt ist. In analoger Weise erhalt man
x y(a (p +1)) = Xn (a) Yn (a)(a (p +1)) (p +1)k = q (mod 2a(p +1) (p +1)2 1)
und die Existenz einer Zahl s 2 N mit
x y(a (p + 1)) = q + (s 1)(2a(p + 1) (p + 1)2 1);
womit P13 gezeigt ist. Schlielich erhalt man P14 auf gleichem Wege, da aus
m l(a p) = Xk (a) Yk (a)(a p) pk (mod 2ap p2 1)
durch Multiplikation mit p die Beziehung
mp lp(a p) z (mod 2ap p2 1)
folgt und somit eine Zahl t 2 N mit
mp lp(a p) = z + (t 1)(2ap p2 1)
existiert.
2
112
17.4 Das Primzahlpolynom
Satz 17.4. Ist Fi das durch die Relation Pi in Satz 17.3 denierte Polynom, so ist die
Menge der positiven Werte des Polynoms
F (a; : : : ; z) := (k + 1)(1
fur (a; : : : ; z ) 2 N 26 gerade die Menge der Primzahlen.
113
14
X
i=1
Fi2 )
Index
aquivalent, 77
algebraische Zahl, 55
Algorithmus, 101
assoziiert, 68
Primideal, 69
primitive, 76
imaginarquadratisch, 62
Index, 20
Indextabelle, 20
Isomorphismus, 17, 22
beschrankter Allquantor, 96
Cantorsche Paarabbildung, 99
Carmichael-Zahl, 34
Church'sche These, 101
Jacobi-Symbol, 30
Korper, 14
Kettenbruch
abbrechender, 46
Kettenbruchentwicklung, 46
n-ter Naherungsbruch, 46
periodischer, 47, 49
Klassengruppe, 77
Klassenzahl, 77
Komposition von f und g, 101
Kongruenzrelation, 12
konjugiert, 50
diophantisch
diophantische Abbildung, 84
diophantische Approximation, 53
diophantische Gleichung, 82
diophantische Menge, 83
diophantische Relation, 84
diophantisches Pradikat, 84
diophantisches Problem, 26
Diskriminante, 49
Division mit Rest, 7
Legendre-Symbol, 28
Lemma von Thue, 40
Liouville'sche transzendente Zahl, 56
Einheitengruppe, 15, 68
Euklidischer Algorithmus, 8
Eulersche '-Funktion, 16
Exponent, 17
minimale Losung, 86
Minimalisierung von f und g, 101
Godelsche Folgenfunktion, 100
Grad
einer algebraischen Zahl, 55
Gesamtgrad eines Polynoms, 26
Grundeinheit, 64
Gruppenordnung, 17
Norm, 61
eines Ideals, 75
eines Korperelements, 61
Nullstellenmenge, 83
nullteilerfrei, 14
Halbsystem modulo m, 29
Hauptordnung, 61
Homomorphismus
Gruppen-, 17
kanonischer, 23
Restklassen-, 23
Ring-, 22
Ordnung
Gruppen-, 17
von p, 20
Pellsche Gleichung, 86
Polynom
in n Variablen uber R, 26
Polynomring einer Variablen uber Z,
12
p{Quersumme, 20
prim, 68, 69
Ideal, 10, 12
Idealklasse, 77
maximales, 69
114
prime Restklassen modulo m, 16
Primelement, 68
Primideal, 69
Primkorper der Charakteristik p, 14
Primzahl, 6
primitiv
primitive Ideale, 76
primitives Element, 19
Primitivwurzel modulo p, 19
primitive Rekursion von f und g, 101
Primzahltest
von Miller und Rabin, 40
von Solovay und Strassen, 37
Primzerlegungsverfahren
von Lehman, 57
von Lehmer, 59
Projektion, 83
von Warning, 26
von Wilson, 19
Zerlegungsgesetz fur Primideale, 74
schwach multiplikativ, 25
Sieb des Eratosthenes, 7
simultane Kongruenzen, 22
Spur, 61
Teiler
einer ganzen Zahl, 6
einer Ringelements, 68
eines Ideals, 69
groter gemeinsamer, 8
unzerlegbar, 68, 69
Varietat, 83
verhaltnisgleich, 47
Vielfaches einer ganzen Zahl, 6
quadratische Form, 27
quadratischer Rest modulo p, 28
quadratischer Zahlkorper, 60
X. Hilbertsches Problem, 82
Zahl
algebraische, 55
Carmichael-, 34
Fermat-, 13
ganze, 61
Liouville'sche transzendente, 56
Zerlegung der Eins, 24
Zeuge
Eulerscher Zeuge fur n, 36
fur die Zerlegbarkeit von n, 37
zyklisch, 17
reduziert, 50
reellquadratisch, 62
rekursiv, 101
rekursive Grundfunktionen, 100
rekursive Grundoperationen, 101
Ring, 11
der ganzen Gau'schen Zahlen, 12
kommutativer, 11
mit eindeutiger Primzerlegung, 68
Polynomring einer Variablen uber Z,
12
Restklassen-, 14
ZPE, 68
Satz
Hauptsatz uber simultane Kongruenzen, 23
Produktsatz, 94
Quadratisches Reziprozitatsgesetz, 32
Vier-Quadrate-Satz, 43
von Alford-Granville-Pomerance, 35
von Ankeny{Montgomery{Bach, 40
von Chevalley, 27
von Euklid, 6
von Euler-Fermat, 16
115