logik-ws15-Blatt04-angabe - Institut für Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 4
(Abgabe bis Donnerstag 12.11.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Existentielle und Universelle Formeln)
7 Punkte
1. Ähnlich zu den universellen Formeln der Vorlesung definieren wir nun die existenziellen
Formeln:
A, B
A, B
A
i)
A quantorfrei
ii)
iii)
iv)
A
A∧B
A∨B
∃x A
Beweisen Sie für eine Teil-Interpretation I von J, eine Belegung β zu I und eine existenzielle Formel C, dass
I, β |= C ⇒ J, β |= C
Wie in der Vorlesung ist iii) analog zu ii). Sie brauchen daher iii) nicht näher zu beweisen.
2. Geben Sie einen intuitiven Grund an, warum bei universellen Formeln kein ∃-Quantor
erlaubt ist.
3. Geben Sie einen intuitiven Grund an, warum es bei universellen Formeln keine Regel
für die Implikation analog zu ii) oder iii) gibt.
Aufgabe 2: (Wahrheitstafel und Normalformen)
6+3+4 = 13 Punkte
1. Werten Sie folgende Formeln mittels Wahrheitstafel aus. Entscheiden Sie, für jede Formel, ob sie gültig, erfüllbar, oder unerfüllbar ist. Beachten Sie, dass mehrere dieser
Eigenschaften auf dieselbe Formel zutreffen können. Verwenden Sie für Wahrheitstafeln
das Schema aus der Vorlesung und verwenden Sie für jede Teilformel eine eigene Spalte.
(a) ¬p ↔ p
(b) (q → r) ∧ (¬p ↔ p) → p ∨ ¬p
(c) p ∨ ¬((q → r) ∨ p)
2. Bestimmen Sie die disjunktive und die konjunktive Normalform der Formel (c) mit dem
Verfahren aus der Vorlesung.
3. Belegen Sie mithilfe einer Wahrheitstafel, dass folgende Formel ein Tautologie ist. Verwenden Sie Erkenntnisse der Vorlesung, um die Wahrheitstafel möglichst klein zu halten.
((s → ∀x Q(x)) ∧ (p ∧ ¬r)) → ((p ∧ ¬r) → (s → ∀x Q(x)))
Aufgabe 3: (Formalisierung mit verschiedenen Sorten)
5 Punkte
Gegeben sei folgende Interpretation mit einer Grundmenge, die die natürlichen und reellen
Zahlen, Städte und Länder enthält. Verwenden Sie folgende Prädikate zur Formalisierung:
NI=
b ist eine natürliche Zahl“
RI =
b ist eine reelle Zahl“
SI =
b ist eine Stadt“
”
”
”
I
I
L =
b ist ein Land“
In(s, l) =
b Die Stadt s liegt in dem Land l“
”
”I
M ore =
b größer als (auf Zahlen)“
”
inhabI =
b Anzahl der Einwohner (von Städten und Ländern)“
auxI =
b Augsburg“
”
”
Die Prädikate und Formeln sind nur auf den jeweiligen Teilen der Grundmenge definiert. Die
Werte auf falsch getypten Eingaben sind nicht definiert, also ungewiss. Stellen Sie sicher, dass
Ihre Formeln trotzdem keine ungewissen Werte haben.
Übungsblatt 4 (Logik für Informatiker WS 15/16)
1. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der reellen Zahlen.
2. In jedem Land gibt es eine Stadt mit mehr Einwohnern als Augsburg.
3. Jede Stadt liegt in genau einem Land.
4. Die Anzahl der Einwohner ist immer eine natürliche Zahl, niemals eine reelle.
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