Seminar ” Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen“
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Seminar Einführung in die Kunst ” mathematischer Ungleichungen“ Majorisierung und Schur-Konvexität Robert Kowallek 04.07.2016 Definition 1 (Majorisierung) Für ein n-Tupel γ = (γ1 , γ2 , . . . , γn ) und 1 ≤ j ≤ n sei γ[j] der j-größte Eintrag von γ, d. h. es gilt γ[1] ≥ γ[2] ≥ · · · ≥ γ[n] . Es seien α = (α1 , α2 , . . . , αn ) und β = (β1 , β2 , . . . , βn ) zwei n-Tupel nichtnegativer reeller Zahlen. Dann wird α von β majorisiert, falls die folgenden n − 1 Ungleichungen α[1] ≤ β[1] , α[1] + α[2] ≤ β[1] + β[2] , .. . . ≤ .. α[1] + α[2] + · · · + α[n−1] ≤ β[1] + β[2] + · · · + β[n−1] sowie die Gleichung α[1] + α[2] + · · · + α[n] = β[1] + β[2] + · · · + β[n] erfüllt sind. In dem Fall schreibt man α ≺ β. Definition 2 (Schur-Konvexität) Sei A ⊂ Rd und f : A → R. Dann ist f Schur-konvex auf A, falls f (α) ≤ f (β) für alle α, β ∈ A mit α ≺ β gilt. f ist Schur-konkav, falls in der Ungleichung ≥ statt ≤ gilt. Satz 1 (Schurs Kriterium) Sei f : (a, b)n → R stetig differenzierbar und symmetrisch. f ist genau dann Schur-konvex auf (a, b)n , wenn für alle 1 ≤ j < k ≤ n und alle x ∈ (a, b)n ∂f (x) ∂f (x) 0 ≤ (xj − xk ) − ∂xj ∂xk gilt. 1 Definition 3 (Muirhead-Bedingung) Falls für zwei n-Tupel α und β nichtnegative Gewichte pτ existieren, deren Summe 1 ist und für die X (α1 , α2 , . . . , αn ) = pτ (βτ (1) , βτ (2) , . . . , βτ (n) ) τ ∈Sn gilt, so ist α ∈ H(β). Bemerkung 1 Für α ∈ H(β) existiert eine doppelt-stochastische Matrix D mit α = Dβ. Satz 2 Für zwei n-Tupel α und β gilt α ∈ H(β) =⇒ α ≺ β. Satz 3 (HLP-Darstellung) Für α ≺ β existiert eine doppelt-stochastische Matrix D mit α = Dβ. Bemerkung 2 Zusammen mit Birkhoffs Theorem (aus α = Dβ mit einer doppelt-stochastischen Matrix D folgt α ∈ H(β)) ergibt sich nun α ∈ H(β) ⇐⇒ α = Dβ ⇐⇒ α ≺ β. Satz 4 (Schurs Majorisierungsungleichung) Für eine konvexe Funktion φ : (a, b) → R ist die Funktion f : (a, b)n → R, welche durch f (x1 , x2 , . . . , xn ) = n X φ(xk ) k=1 definiert ist, Schur-konvex. D. h. für α, β ∈ (a, b)n mit α ≺ β gilt n X φ(αk ) ≤ k=1 n X k=1 2 φ(βk ).
