Nachname: Matrnr.: M3 ET 7.5.09 A Nr Aussage J/N 1.) Sind die

Nachname:
Nr
1.)
2.)
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4.)
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6.)
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8.)
9.)
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11.)
12.)
Matrnr.:
M3 ET 7.5.09 A
Aussage
Sind die Aussagen A und B wahr, sowie C falsch, so ist (A ⇒ B) ⇒ C wahr
Die Aussage “Jede auf IR stetige monotone Funktion f ist in einem Punkt x
differenzierbar” kann in die Form “(∀f )(∃x)M (f ) ⇒ D(f, x)” gebracht werden
Für beliebige Mengen A, B, C gilt (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Es gibt eine symmetrische und transitive Relation
Sind f : A → B und g : B → C Funktionen und g ◦ f injektiv, so auch f
Das reguläre 9-Eck hat
mit 18 Elementen
eine Symmetriegruppe
1
3
Das Matrixelement
hat Ordnung 2 bezüglich Matrizenmultip−1 −2
likation
Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente
Es sei X := {1, 2} und P (X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} die Potenzmenge von X.
Dann ist (P (X), ∩, ∪) ein Ring, wobei “∩” als Addition, und “∪” als Multiplikation zu deuten sind
Jeder Ring hat mindestens zwei Elemente
Es ist ZZ 9 ein endlicher Körper mit 9 Elementen
Es ist IF3 [x]/hx2 + 1i ein endlicher Körper
J/N
N
J
J
J
J
J
N
J
N
N
N
J
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
11.)
12.)
Matrnr.:
M3 ET 7.5.09 B
Aussage
Sind die AussagenA und B wahr, sowie C falsch, so ist A ⇒ (B ⇒ C) wahr
Die Aussage “Jede auf IR stetige monotone Funktion f ist in einem Punkt x
differenzierbar” kann in die Form “(∀f )(∃x)M (f ) ⇒ D(f, x)” gebracht werden
Für beliebige Mengen A, B, C gilt (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) gilt
Jede transitive Relation ist symmetrisch
Sind f : A → B und g : B → C Funktionen und g ◦ f injektiv, so auch g
Das reguläre 17-Eck hat eine Symmetriegruppe
mit 34 Elementen
1
3
Das Matrixelement
hat Ordnung 3 bezüglich Matrizenmultip−1 −2
likation
Die Ordnung eines Normalteilers einer endlichen Gruppe ist ein Teiler der Gruppenordnung
Es sei X = {1, 2} und P (X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} die Potenzmenge von X.
Dann ist (P (X), ∪, ∩) ein Ring, wobei “∪” als Addition, und “∩” als Multiplikation zu deuten sind
Jeder Ring hat mindestens ein Element
Es ist ZZ 9 ein endlicher Körper mit 9 Elementen
Es ist IF2 [x]/hx2 + 1i ein endlicher Körper
J/N
N
J
J
N
N
J
J
J
N
J
N
N
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
11.)
12.)
Matrnr.:
M3 ET Nachtest
Aussage
Sind A, B und C wahre Aussagen, so ist ist auch (A ⇒ B) ⇒ (B ⇒ ¬C) eine
wahre Aussage
Es gibtTkeine Mengen A, B für die A ∪ B = A ∩ B gilt
Es ist x>0 (0, x) = {0} (dabei ist (a, b) das offene Intervall mit Endpunkten
a < b)
Jede injektive Funktion ist surjektiv
In einem Monoid gilt das Distributivgesetz
1 0
Die Menge der Matrizen {
} bildet bezüglich der Multiplikation eine
0 0
Gruppe
Die Symmetriegruppe des Oktaeders ist durch 12 teilbar
Es gibt einen Ring mit 0 Elementen
Die 2 × 2-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen bilden bezüglich Matrizenaddition und -multiplikation einen Ring
Es ist 7 eine Einheit im Ring ZZ 16
Es ist ZZ 1397 ein endlicher Körper
Es ist IF5 [x]/hx2 + x + 1i ein endlicher Körper
J/N
N
N
N
N
N
J
J
N
J
J
N
J
1
Erklärungen
1.1
Haupttermin
1. Die Aussagen “A ⇒ B” bzw. “A” sind wahr, somit kann aus ihnen keine falsche Aussage hergeleitet
werden. Die Aussagen “C” bzw. “B ⇒ C” sind falsch, also ist die Gesamtaussage falsch.
2. J. Es ist M (f ) die Aussage “f ist monoton und stetig” und D(f, x) die Aussage “f ist an x
differenzierbar”
3. J. Es handelt sich um eines der Distributivgesetze für die Mengenoperationen “∩” und “∪”.
4. A) Die Gleichheitsrelation ist ein Beispiel.
/ 2 auf der Menge {1, 2} (bzw. formal definiert durch R := {(1, 2)} ⊂
B) Die Relation 1
{1, 2} × {1, 2}) ist transitiv und nicht symmetrisch.
5. A) Angenommen f (x) = f (x0 ). Dann ist gf (x) = gf (x0 ), also x = x0 . Somit ist f injektiv.
B) Es seien A := {1}, B := {1, 2} und C := {1}. Danach soll f (1) := 1, f (2) := 2 und g(1) := 1,
g(2) := 1 sein. Dann ist gf injektiv, nicht jedoch g.
6. Das reguläre n-Eck hat die Drehungen sk mit k = 0, 1, 2, .., n − 1 und die Spiegelungen an Seitenmittelachsen von der Form sk r wobei r die Spiegelung an einer solchen festgelegten Achse ist.
Somit hat seine Symmetriegruppe die Ordnung 2n.
7. Man muß nachsehen, ob A2 = I bzw. A3 = I gilt. Es erweist sich A3 = I als korrekt. Dies prüft
2
man z.B., indem man die Eigenwerte bestimmt: Char. Pol
= x + x + 1, mit den 3.ten Einheits
ζ 0
wurzeln als Lösung. Somit ist A diagonalisierbar J =
und es ist J 3 = I. Somit ist
0 ζ1
A3 = I.
8. A) die Definition der Ordnung einer endlichen Gruppe.
B) ist Spezialfall des Satzes von Lagrange.
9. Weder bezüglich“∩” “∪” bilden die Elemente von P (X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} eine Gruppe.
Für “∪” zeigt man es so: Wohl wäre ∅ ein Einselement, jedoch zu {1} kann kein Inverses gefunden
werden.
Für “∩” zeigt man es so: Wohl wäre {1, 2} ein Einselement, jedoch zu {1} kann kein Inverses
gefunden werden.
Somit liegt weder in A) noch in B) ein Ring vor.
10. A) Die Teilmenge {0} von ZZ bildet einen Ring mit nur einem Element.
B) Jeder Ring muß bezüglich “+” eine Gruppe sein, und somit ein Nullelement enthalten. Somit
enthält jeder Ring mindestens ein Element.
11. In einem Körper darf es keine Nullteiler geben, es ist aber 3 × 3 = 0 in ZZ 9 .
12. Es handelt sich um einen Quotientenring. A) Es ist x2 + 1 in IF3 irreduzibel, also gibt es keine
Nullteiler. Somit, weil endlich, ein Körper.
B) Das Polynom x2 + 1 = (x + 1)2 ist reduzibel und x + 1 ein Nullteiler. Es liegt kein Körper vor.
1.2
Nachtest
1. Die Aussage “B ⇒ ¬C” ist falsch und kann nicht aus der vorangegangenen wahren Aussage “A ⇒
B” gefolgert werden.
2. Ein Beispiel, daß es solche Mengen sehr wohl gibt, ist A = B = ∅.
3. Der besagte Durchschnitt ist leer. Ist nämlich p > 0, so ist p 6∈ (0, p2 ), somit nicht im Durchschnitt.
Somit ist keine positive Zahl drinnen. Null und negative Zahlen kommen in keinem der Intervalle
vor, somit erst recht nicht im Durchschnitt.
4. Die Funktion f (x) = arctan x ist injektiv als Funktion von IR nach IR, jedoch nicht surjektiv.
5. Das “Distributivgesetz” hat bei Monoiden nichts verloren, weil es 2 Rechenoperationen involviert.
1 0
6. Für die angegebene Matrix A :=
gilt AA = A, also ist sie Einselement und Inverses
0 0
zugleich. Es liegt eine Gruppe
man lasse sich nicht durch den Umstand irritieren, daß
vor. (Anm:
1 0
A nicht die Einheitsmatrix
ist).
0 1
7. Es gibt eine 4 und eine 3-zählige Drehachse, also Elemente der Ordnungen 4 und 3. Somit ist die
Ordnung der Symmetriegruppe sowohl durch 4 als auch 3, und da diese Zahlen relativ prim sind,
auch durch 12 teilbar.
8. Jeder Ring enthält ein Nullelement, also mindestens ein Element.
9. Es ist 7 relativ prim zu 16 und daher Einheit. Das Inverse kann durch fortlaufendes Potenzieren
und Reduzieren rasch gefunden werden. Aus 7x=1 (in ZZ 16 ) folgert man 7 × 7 × x = 7 also x = 7,
weil 49 = 1 + 2 × 16.
10. Jene mit reellen Einträgen bilden den Ring der reellen 2×2 Matrizen. Mit je 2 ganzzahligen Matrizen
ist auch die Differenz ganzzahlig und das Produkt. Somit liegt ein Teilring vor.
11. Es ist 1397 durch 11 teilbar (Quersumme=0), somit keine Primzahl. Also liegt zwar ein Restklassenring, aber eben kein Körper vor.
12. Es ist x2 + x + 1 im Körper IF5 irreduzibel, weil es dort keine Nullstelle besitzt.