Vektorraum
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Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum The trick in teaching mathematics is that I do the easy part and you do the hard part. Hahn Hiang‐Shin, Complex Numbers and Geometry MBT Mathematische Basistechniken Der lineare Vektorraum Christian Cenker CSLearn Center for Computer Science Didactics and Learning Research Fachdidaktik‐ und Lernforschungszentrum Informatik http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo Die reellen Zahlen . … | ∈ , ∈ 0,1,2, … , 9 , , ∙ ist ein Körper, da , ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element , ∙ ist eine kommutative Gruppe mit Einselement Es gilt das Distributivgesetz ∙ ∙ ∙ © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 1 Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum Die reellen Zahlen Rechenregeln Addition (A0) Die Addition ist abgeschlossen (A1) Die Addition ist assoziativ (A2) Die Addition ist kommutativ (A3) Die 0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition (A4) Zu jeder Zahl gibt es ein additives Inverses Multiplikation (M0) Die Multiplikation ist abgeschlossen (M1) Die Multiplikation ist assoziativ (M2) Die Multiplikation ist kommutativ (M3) Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist 1 (M4) Zu jeder Zahl gibt es ein multiplikatives Inverses Distributivgesetze (D1) Erstes DG: ⋅ (D2) Zweites DG: ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ∀ , , ∈ . ⋅ , ∀ , , ∈ . © CC, 2012 Der Vektorraum ⋮ | ∈ , 1,2, … , Notation ∈ ⋮ , ,…, , ,…, © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 2 Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum Der Vektorraum Beispiele | , ∈ | , , ∈ | , ∈ | , , ∈ © CC, 2012 Der Vektorraum Kartesische Koordinaten | , , ∈ rechtwinkelig © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 3 Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum Der Vektorraum Kartesische Koordinaten | , , ∈ rechtsdrehend linksdrehend linksdrehend © CC, 2012 Der Vektorraum Punkte und Vektoren Punkt: 433 Vektor 433 4; 3; 3 433 ′ 4 Der Vektor 3 ist der Ortsvektor des Punktes 4,3,3 . 3 Vektor = Klasse von Pfeilen ∘gleichlang ∘gleichgerichtet ∘gleichorientiert © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 4 Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum Der Vektorraum Rechnen mit Vektoren ∙ ∙ ∙ 2 1.4 ∈ Skalar © CC, 2012 Der Vektorraum Linearer Vektorraum ist linearer Vektorraum, falls für alle Vektoren in gilt: ≫ Kommutativität: ≫ Assoziativität: ≫ Neutrales Element : ≫ Inverses Element : 0 , ∀ , ∈ , ∀ , , ∈ 0 , ∀ ∈ ∀ ∈ ≫ Neutrales Element 1 bezüglich Skalarmultiplikation: 1∙ , ∀ ∈ ≫ Distributivität der Skalaraddition bez. der Skalarmultiplikation: λ μ ∙ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ ≫ Distributivität der Vektoraddition bez. der Skalarmultiplikation: ∙ , ∀ , ∈ , ∀ ∈ ≫ Assoziativität bez. der Skalarmultiplikation: λ∙μ ∙ ∙ ∙ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 5 Mathematische Basistechniken MBT ‐ Vektorraum Der Vektorraum Linearer Teilraum ⊆ ist ein linearer Teilraum, falls für alle Vektoren in gilt: ≫ Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition: , ∈ ⟹ ∈ ∀ , ∈ ≫ Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation: ∈ ⟹ ∈ ∀ ∈ ⟹0∈ Norm eines Vektors ⋯ , ⊆ ∈ ⟶Normierter Vektorraum © CC, 2012 Der Vektorraum Rechnen mit Vektoren Skalares Produkt und Winkel zwischen Vektoren , | || |cos ∙ , ∙ ∙ ∙ , Fläche = | , ∙ ∙ ∙ | © CC, 2012 http://cewebs.cs.univie.ac.at/inf‐mbt/_vo 6
