Angewandte Mathematik und Programmierung
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Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 F Fomuso Ek Ekellem ll Inhalt Messreihen Grenzwertsatz Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 2 Messreihen Aufgabe der deskriptiven (beschreibenden) Statistik: Übersichtliche Darstellung von Eigenschaften von Messreihen. Bezeichnung: Eine Messreihe (auch empirische Messreihe) zur Zufallsvariablen x besteht aus n konkret durchgeführten Messungen im Rahmen desselben Experiments, und liefert als Ergebnis n konkrete Messwerte x1, . . . , xn. A der Aus d Fülle Füll der d einzelnen i l Messwerte M t einer i Messreihe M ih bbestimmt ti t man zunächst ä h t wichtige i hti Lageparameter wie Mittelwert, Median, und Streuungsparameter wie Spannweite, Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient und quartilabstand. Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 3 Mittelwert x̄ (empirisches arithmetisches Mittel) Problematisch bei nicht reellen Messgrößen g oder falls Ausreißer in Stichprobe p vorhanden. Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 4 Median x̃ (empirischer Median) Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 5 Spannweite (empirische) Spannweite oder Variationsbreite: Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 6 Varianz: (empirische) Varianz: Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 7 Standardabweichung oder Streuung: (empirische) Standardabweichung oder Streuung: Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 8 Variationskoeffizient Variationskoeffizient Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 9 Quartilabstand Bei nicht reellen Messgr¨oßen oder Vorhandensein von Ausreißern ist der sogenannte Interquartilabstand Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 10 Boxplot Graphische Darstellung einiger dieser Lage- und Streuungsparameter im sogenannten Boxplot: Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 11 Verteilung und ihre Darstellung 1. 2. 3. Hat man zu einem Experiment eine längere Messreihe (vorzugsweise n≥ 50), so kann man über die Bestimmung der drei statistischen Daten n, x̄ und s hinaus eine feinere (auch graphische) hi h ) Auswertung A d der M Messergebnisse b i x1, . . . , xn vornehmen h wie i ffolgt: l Strichliste Säulendiagramm Dichtefunktion (nicht Vorlesung relevant) Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 12 Strichliste Ist xmin der kleinste, xmax der größte gemessene Wert, so teilt man die x-Achse im Bereich xmin ≤x≤ xmax in eine gewisse Anzahl - etwa m -gleichlange Intervalle I1, . . . , Im, der Länge x und d zählt hl ffür jedes j d dieser di Intervalle I ll die di Häufigkeit H fi k i H, H mit i der d Messwerte M di dieser M Messreihe ih in dem Intervall liegen. Messwerte auf der Intervallgrenze werden dabei zu je 1/2 beiden Nachbarintervallen zugerechnet. Das Auszählungsergebnis nennt man eine Strichliste. Hier spielen die relative und absolute Häufigkeiten eine große Rolle auch: Der Begriff absolute Häufigkeit" ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Bei der relativen Häufigkeit - manchmal auch bedingte Häufigkeit genannt - bezieht man die absolute Häufigkeit auf die Gesamtzahl. Bei gleicher Klassenbreite ist die graphische Darstellung einer relativen Häufigkeitsverteilung ein Säulendiagramm. Die Summe der Säulenlängen ergibt den Wert 1 (100%). Es besteht aus mehreren direkt aneinander angrenzenden Säulen, deren Flächeninhalt proportional zur relativen Klassenhäufigkeit ist. Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 13 Frage Gegeben sei die Messreihe 4, 5, 1, 3.7, 2.3, 4, 1.3, 2.7, 5, 3.3 (a) Bestimmen sie das Mittel, den Median, die Spannweite, die Varianz, die Standardabweichung und den Interquartilabstand dieser Messreihe. (b) Zeichnen sie ein Histogramm dieser Messreihe bzgl. der Partition f[1, 2.5), [2.5, 5]g des Intervalls [1, 5]. Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 14 Grenzwertsatz Verlängert man eine Messreihe im Rahmen eines Experiments um immer mehr Messungen, d.h. lässt man n gegen Unendlich streben, und berechnet man dabei den Mittelwert x̄ und di empirische die ii h S Streuung s mit i wachsendem h d n iimmer wieder i d neu, so strebt b di die F Folge l d der Mittelwerte ebenso wie die Folge der empirischen Streuungen je gegen einen Grenzwert: Die ideale Messreihe zu einem Experiment besitzt die statistischen Daten Fomuso Ekellem Angewandte Mathematik und Programmierung 15
