Serie 1 - ETH Zürich

ETH Zürich
FS 2017
Analysis I
Serie 1
d-infk
Prof. Dr. Özlem Imamoglu
1.1. MC Fragen: Supremum und Infimum auf R Wählen Sie die einzige richtige
Antwort.
(a) Sei S eine nichtleere, nach unten beschränkte Menge S ⊂ R und sei β ∈ R ihr
Infimum. Dann sicherlich:
existiert x ∈ S so dass x < β + für jedes > 0;
die Menge (β, β + 1) ∩ S ist nicht leer;
für jedes > 0 existiert x ∈ S so dass β ≤ x < β + .
(b) Sei S eine nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von R und sei a ∈ R ihr
Infimum. Dann sicherlich:
für jedes > 0 existiert eine Minorante b von S, so dass a < b < a + ;
S \ {a} besitzt ein Minimum;
a ist das Supremum der unteren Schranken.
(c) Sei A ⊆ R. Welche der folgenden Bedingungen stellt sicher, dass A nach oben
unbeschränkt ist?
für jedes q ∈ Q gilt log(q 2 + 1) ∈ A;
für jedes a ∈ A gilt a ≥ 104 ;
für jedes a ∈ A gilt a ≥ a2 .
1.2. (schriftlich) Bestimmung von Supremum und Infimum Bestimmen Sie
das Supremum (möglich +∞) und das Infimum (möglich −∞) der folgenden Mengen.
Welche Mengen besitzen Maximum oder Minimum?
1
M1 = 1 + : n ∈ N>0 ,
n
[ 1
1
M3 =
,
,
n≥1 n + 1 n
(
)
|x|
M2 =
:x∈R ,
1 + |x|
x+y
M4 =
: x, y > 0, z ∈ R .
z
1.3. Abrundungsfunktion Die Abrundungsfunktion (Eng. “Floor Function”) [·] :
R → Z ist definiert wie folgt: für jede reelle Zahl x, ist [x] die grösste ganze Zahl, die
kleiner oder gleich x ist. Zum Beispiel:
1
= 0,
2
[3] = 3,
[17.5] = 17,
[π] = 3.
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Sei jetzt α ∈ R, α > 0 gegeben. Zeigen Sie, dass die Menge
M = [αn]
1
: n ∈ N>0
n
von oben beschränkt ist. Können Sie ihr Supremum bestimmen?
1.4. Komplexe Zahlen - Wiederholung Für jede der folgenden komplexen Zahlen
z, finden Sie
• ihre kartesische Form A + iB,
• ihre Polarform ρ eiθ ,
• ihren Betrag |z|,
• ihr Konjugiertes z̄,
• ihr Reziprokes 1/z (in kartesischer Form):
z1 = −3,
√
z4 = 3eiπ/6 ,
z6 = cos α + i sin α,
z2 = 2i,
√
z5 = 2ei3π/4 ,
z7 = sin α + i cos α,
z3 =
1+i
,
1−i
wobei α ∈ R.
Bemerkung: Die kartesische Form darf nicht i in dem Nenner erhalten! Z.B. 1 + i ist
OK, 1/(1 + i) nicht.
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